高考数学专题突破：反韦达定理在高考中的应用

反“韦达定理”的应用

在一元二次方程2

0ax bx c ++=中，若0∆>，设它的两个根分别为12,x x ，则有根与系数关系：

12b x x a +=-

，12c x x a =，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理12x x -，22

12x x +，12

11x x +之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及12,x x 的不同系数的代数式的应算，比如求

1

2

x x ，12x x λμ+之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了。特别是在圆锥曲线问题中，我

们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种12x x λμ+中12,x x 的系数不对等的情况，称为“非对称韦达”，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用。

1.函数131)(23

++-=

x ax ax x f 在21,x x 处有极值，且511

2≤

'

=+-=ax ax x f ，则有221=+x x ，a

x x 1

21=⋅。令

21

x t x =，则21x tx =（15t <≤），得211(1)x x t x +=+，2

121x x tx =，所以t

t x x x x 212212)1()(+=

+，即214++=t t a ，因为51≤

21x tx =，得211(1)x x t x +=+，212

1

x x tx =，所以()()2

2

12

12

1x x t x x t

++=

2.设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A、

B 两点，则AP

PB

的取值范围为.

解析：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得(

)

4554492

2

=+++kx x k （*）

则

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x ，注意到

1

122x x AP PB x x ==，令λ=2

1x x ，则12x x λ=，所以()1221x x x λ+=+，212

2

x x x λ=，所以()()2

2

12

12

1x x x x λλ

++=

，即.20

4532421

2

2

+=++k k λλ在（*）中，由判别式,0>∆可得9

5

2

>

k ，从而有5

36204532442

2<+

214<++<λλ，解得

551<<λ.结合10<<λ得151<<λ.综上，151<≤PB

AP

.小结：12x x λ=经常出现在圆锥曲线的题型为：过点Q 的直线与圆锥曲线交于不同的两点,A B ，且

满足QA QB λ= 之类的，或者是QA QB 之类的。其中QA QB λ= ，用坐标表示出来后，就可以选择一

个较简单的式子来转化到韦达定理；QA

QB

我们可以设他们的比值为λ，这样可以转化到QA QB λ= ，

再用同样的办法来解决。

3.设椭圆C：22

221x y a b +=(0)a b >>的左焦点为F，过点F 的直线与椭圆C 相交于A，B 两点，直

线l 的倾斜角为0

60,2AF FB =

.

⑴求椭圆C 的离心率；⑵如果15

4

AB =

，求椭圆C 的方程.解析：⑴由题意得(),0F c -，设()()1122,,,A x y B x y ,由题意得10y <，20y >，2AF FB =

可得12

2y y =-，即

()2

1212

1

2

y y y y +=-，直线l

的方程为)y x c =+，

由)2222x 1

y x c y a

b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得(

)22224330a b y cy b +--=，所以21222

233c

y y a b +=

+，4

12

2233b y y a b -=+。代入

()2

1212

1

2

y y y y +=-，

可得2224142c a c =-，即23c a =

，所以椭圆C 的离心率为2

3。

⑵

222

4315

34AB a b

==+，所以53b a =，由⑴23c a =，解得3a

=，b =C 的方程为22

195

x y +=4.已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >

>）过点(P ，且离心率为22。

⑴求椭圆C 的方程；

⑵记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程。

解析：⑴22

184

x y +=⑵由题意得()0,2A ，()0,2B -，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，

由224

184y kx x y =+⎧⎪⎨+

=⎪⎩得()22

1216240k x kx +++=，所以1221612k x x k -+=+，122

2412x x k =+。直线AN 的方程为2222y y x x --=，直线BM 的方程为11

22y y x x ++=，联立22112222y y x x y y x x -⎧

-=⎪⎪

⎨

+⎪+=⎪⎩

，