双曲方程差分方法

常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲

上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理

常微分方程边值问题的数值解法

第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；

(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<

时间序列分析讲义 第01章 差分方程

第一章 差分方程 差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。 §1.1 一阶差分方程 假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程： t t t w y y ++=-110φφ (1.1) 在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。 例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为： ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=- 上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 1.1.1 差分方程求解：递归替代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。 由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφ t t =：t t t w y y ++=-110φφ 依次进行叠代可以得到： 1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ 0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=- i t i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0 111 1 0φφφφ (1.2) 上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将 t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化 过程。 1.1. 2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier) 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1-y 和t w w ,,1 不受到影响，则有：

差分方程方法

第四章 差分方程方法 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。 4．1常系数线性差分方程 4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=+?+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1) 其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。对应的代数方程 02 211=++++--k k k k a a a λ λλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根 设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为 n k k n n n c c c x λλλ+++= 2211， 其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件 () 0 i i x λ= ()k i ,,2,1 = (4.3) 时，可以唯一确定一个特解。 2. 特征根为重根 设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ 重数分别为 l m m m ,,,21 且k m l i i =∑=1 则差分方程（4.1）的通解为

差分方程方法

第三章 差分方程方法 3.1 差分方程的平衡点及其稳定性 设有未知序列{}n x ，称 0),,,;(1=++k n n n x x x n F (3.1) 为k 阶差分方程。若有)(n x x n =，满足 0))(,),1(),(;(=++k n x n x n x n F 则称)(n x x n =是差分方程(3.1)的解，包含k 个任意常数的解称为(3.1)的通解， 110,,,-k x x x 为已知时，称其为(3.1)的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后 的解称为(3.1)的特解。 形如 )()()(11n f x n a x n a x n k k n k n =+++-++ (3.2) 的差分方程，称为k 阶线性差分方程。)(n a i 为已知系数，且0)(≠n a k 。 若差分方程(3.2)中的0)(=n f ，则称差分方程(3.2)为k 阶齐次线性差分方程，否则称为k 阶非齐次线性差分方程。 若有常数α是差分方程(3.1)的解，即0),,,;(=ααα n F ，则称α是差分方程(3.1)的平衡点，又对差分方程(3.1)的任意由初始条件确定的解)(n x x n =，都有 )(∞→→n x n α，则称这个平衡点α是稳定的。 若110,,,-k x x x 已知，则形如),,,;(11-+++=k n n n k n x x x n g x 的差分方程的解可以在计算机上实现。下面给出理论上需要的一些特殊差分方程的解。 一阶常系数线性差分方程 b x x n n =++α1， (3.3) （其中b ,α为常数，且0,1-≠α）的通解为 )1()(++-=a b C x n n α (3.4) 易知)1(+αb 是方程(3.3)的平衡点，由(3.4)式知，当且仅当1<α时，)1(+αb 是稳定的平衡点。

差分方程模型的理论和方法

第九章 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、 差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为：

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

常微分方程差分解法、入门、多解法

毕业论文 题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0802 学生王丹丹 学号20080901045 指导教师王宣欣 二〇一二年五月二十五日

摘要 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。 第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系 数扩散方程： 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? 第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。 第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。 关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例

ABSTRACT The numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example. The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for the first time. 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability. The third part tests the accuracy of each scheme. Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application

差分方程的解法

第三节 差分方程常用解法与性质分析 1、常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如 n n x λ=的解，带入方程中可得： 0 ...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ )...(121----+++

（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ?βαρarctan ,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有成 项： n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++ 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解： =n x -n x +* n x （11） （1） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征 根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如 果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系 数即可。

大连理工大学 高等数值分析 偏微分方程数值解(双曲方程书稿)

双曲型方程的有限差分法 线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程 ()0=??+??x u x a t u （b ）一阶常系数线性双曲型方程组 0=??+??x t u A u 其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。 （c ）二阶线性双曲型方程（波动方程） ()022=?? ? ??????-??x u x a x t u ()x a 为非负函数 （d ）二维，三维空间变量的波动方程 0222222=???? ????+??-??y u x u t u 022222222=???? ????+??+??-??z u y u x u t u §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征 线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程： （1.1） 22 222x u a t u ??=?? 其中0>a 是常数。 （1.1）可表示为：022 222=??-??x u a t u ，进一步有

0=??? ????+?????? ????-?? u x a t x a t 由于 x a t ?? ±??当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数 （=dt du dt dx x u t u ???+??x u a t u ??±??=）,故由此定出两个方向 （1.3） a dx dt 1±= 解常微分方程（1.3）得到两族直线 （1．4） 1C t a x =?+ 和 2C t a x =?- 称其为特征。 特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。 比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。由复合函数的微分法则 2 12211C u C u x C C u x C C u x u ??+ ??=?????+?????=?? x C C u C u C x C C u C u C x u ????? ? ????+????+?????? ????+????=??2 212121122 2 22122212212C u C C u C C u C u ??+???+???+??= 22 22122122C u C C u C u ??+???+??= 同理可得 a t t a t C -=??-=??1，a t C =??2 ???? ????-??=?????+?????=??21 2211C u C u a t C C u t C C u t u

常微分方程的差分方法

第五章 常微分方程的差分方法 一、教学目标及基本要求 通过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的数值解法。 二、教学内容及学时分配 本节课主要介绍常微分方程的数值解法。具体内容如下： 讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。 三、教学重点难点 1．教学重点：改进的欧拉公式、龙格库塔方法、收敛性与稳定性。 2. 教学难点：收敛性与稳定性。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。 五、正文 基于数值积分的求解公式：欧拉公式、改进的欧拉公式 引 言 1．主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解: 00()(,)()y x f x y y x y '=??=? 微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2. 例如微分方程: xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。 于是可得一阶常微分方程的初始问题 24(1)3y y x y ?'=+???=-?。 显然函数y(x)=x 2-4x 满足以上条件,因而是该初始问题的微分方程的解。

3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4． 微分方程的数值解： 设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x 0=a ，将[a,b]进行划分得一系列节点x 0 , x 1 ,...,x n ，其中a= x 0< x 1<…< x n =b 。y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点x k 的近似值y(x k )，即 y≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 如果计算y n 时，只利用y n-1，称这种方法为单步法；如果在计算y n 时不仅利用y n-1，而且还要利用y n-2, y n-3,…, y n-r ,则称这种方法为r 步方法，也称多步法。 §5.1 欧拉方法 §5.1.1 欧拉格式 方程()(,)n n n y x f x y '=中，1()()()n n n y x y x y x h +-'≈ 1()()(,())n n n n y x y x hf x y x +≈+?1(,)n n n n y y hf x y +=+ 称为解一阶常微分方程初值问题的欧拉公式，也称显示欧拉公式。 欧拉公式的几何意义非常明显，因为微分方程的解在xoy 平面上表示一族积分曲线。用欧拉公式求数值解的几何意义如图： 容易验证，该折线各个顶点的纵坐标(1,2...)n y n =就是欧拉公式算得的近似值解，所以，欧拉方法又称为折线法。 算例：P98

差分方程基本概念和方法

差分方程基本概念和方法 考察定义在整数集上的函数，(),,2,1,0,1,2, n x f n n ==-- 函数()n x f n =在n 时刻的一阶差分定义为： 1(1)()n n n x x x f n f n ?+=-=+- 函数()n x f n =在n 时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分： 21212n n n n n n x x x x x x ???+++=-=-+ 同理可依次定义k 阶差分 k n x ? 定义1．含有自变量n ,未知函数n x 以及n x 的差分2,, n n x x ??的函数方程, 称为常 差分方程，简称为差分方程。出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方 程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 (,,, ,)0k n n n F n x x x ??= 其中(,,,,)k n n n F n x x x ??为,,, k n n n n x x x ??的已知函数，且至少k n x ?要在式中出 现。 定义2．含有自变量n 和两个或两个以上函数值1,, n n x x +的函数方程，称为（常） 差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 1(,,, ,)0n n n k F n x x x ++= 其中1(,,,,)n n n k F n x x x ++为1,,, n n n k n x x x ++的已知函数，且n x 和n k x +要在式中一定 要出现。 定义3．如果将已知函数()n x n ?=代入上述差分方程，使其对0,1,2, n =成为恒 等式，则称()n x n ?=为差分方程的解。如果差分方程的解中含有k 个独立的任意

抛物型方程差分方法

偏微分方程数值解复习提纲 一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法. 二.基本概念: (1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径; (2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶; (3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件; (4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度； (5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度； (6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法； (7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳 定性、网格的P`e clet数; (8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件； (9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法； (10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解； (11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性. 三.基本方法与技巧: (1)比较函数与利用最大值原理的误差分析; (2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理； (3)修正方程分析、能量法分析； (4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件； (5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar′e-Friedrichs不等式; (6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系; (7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理. 四.基本格式: (1)二维Poisson方程的五点差分格式; (2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法； (3)具有热守恒性质的格式； (4)ADI格式与LOD格式； (5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendro?格式、盒式格式和蛙跳格式；

微分方程的边值问题

微分方程边值问题的数值方法 本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。 二阶常微分方程为 (,,),y f x y y a x b '''=≤≤ (1.1) 当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程 ()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤ (1.2) 对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类： 第一类边界条件为 (),()y a y b αβ== (1.3) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第二类边界条件为 (),()y a y b αβ''== (1.4) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第三类边界条件为 0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+= (1.5) 其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。 1 打靶法介绍 下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。 【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为 (,,) ()()y f x y y y a y a t α '''=?? =??'=? (1.6) 令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组

常微分方程与偏微分方程数值方法比较

常微分方程与微分方程数值方法比较 1. 微分方程数值方法的有关概念 首先回顾微分方程的定义与分类。含有自变量、未知函数及其导数（微分或偏导数）的方程称为微分 方程；如果未知函数只含有一个变量，则称为常微分方程；如果未知函数含有若干个变量，则称为偏微分方程。微分方程中未知函数的导数或偏导数的最高阶次称为微分方程的阶。例如：微分方程 (,)du f t u dt =是一阶常微分方程， 而2 22u u a t x ??=??是二阶偏微分方程。 所有使微分方程成为等式的函数，都是微分方程的解；在 n 阶微分方程中，将微分方 程的含有 n 个任意常数的解称为该微分方程的通解。为确定微分方程通解中的任意常数而需要的条件称为定解条件；定解条件可以分为初始条件和边界条件两类。由微分方程和定解条件一起构成的问题称为微分方程定解问题。 根据定解条件的不同，常微分方程分为初值问题和边值问题；若定解条件是描述函数在一点（或初始点）处状态的，则称为初值问题，一阶常微分方程初值问题的一般形式为： 2(0)1dy x y dx y y ?=-? ??=? 若定解条件描述了函数在至少两点（或边界）处状态的称为边值问题，例如： 2 22(0,)(,)0(,0)()u u a t x u t u L t u x f x ???=????? ==??=??? 2.常微分方程数值方法 有限差分法是常微分方程中数值解法中通常有效的方法，建立差分算法的两个基本的步 骤： 1. 建立差分格式，包括：a. 对解的存在域剖分；b. 采用不同的算法可得到不同的逼近误差—截断误差（相容性）；c.数值解对真解的精度—整体截断误差（收敛性）；d.数值解收敛于真解的速度；e. 差分算法—舍人误差（稳定性）. 2.差分格式求解，将积分方程通过差分方程转化为代数方程求解，一般常用递推算法。 差分方法的基本思想“就是以差商代替微商”，差分形式如下：

差分方程模型理论与方法

差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑

双曲方程基于matlab的数值解法

双曲型方程基于MATLAB 的数值解法 （数学1201,陈晓云,41262022） 一：一阶双曲型微分方程的初边值问题 0,01,0 1.(,0)cos(),0 1.(0,)(1,)cos(),0 1. u u x t t x u x x x u t u t t t ππ??-=≤≤≤≤??=≤≤=-=≤≤ 精确解为 ()t x cos +π 二：数值解法思想和步骤 2.1:网格剖分 为了用差分方法求解上述问题，将求解区域{}(,)|01,01x t x t Ω=≤≤≤≤作剖分。将空间区间[0,1]作m 等分，将时间[0,1]区间作n 等分，并记 1/,1/,,0,,0j k h m n x jh j m t k k n ττ===≤≤=≤≤。分别称h 和τ为空间和时 间步长。用两簇平行直线,0,,0j k x x j m t t k n =≤≤=≤≤将Ω分割成矩形网格。 2.2：差分格式的建立 0u u t x ??-=?? 2.2.1：Lax-Friedrichs 方法 对时间、空间采用中心差分使得 2h 11 111)(2 1u u x u u u u u t u k j k j k j k j k j k j -+-++-= +=-=????τ τ 则由上式得到Lax-Friedrichs 格式 1 11111()202k k k k k j j j j j u u u u u h τ+-+-+-+-+=

截断误差为 ()[]k k k j h j j R u L u Lu =- 1 11111()22k k k k k k k j j j j j j j u u u u u u u h t x τ+-+-+-+-??=+-+?? 23222 3 (),(0,0)26k k j j u u h O h j m k n t x ττ??= -=+≤≤≤≤?? 所以Lax-Friedrichs 格式的截断误差的阶式2()O h τ+ 令/s h τ=：则可得差分格式为 1111 11(),(0,0)222 k k k k k j j j j j s s u u u u u j m k n +--++=-+++≤≤≤≤ 0cos()(0)j j u x j m π=≤≤ 0cos(),cos(),(0)k k k m k u t u t k n ππ==-≤≤ 其传播因子为： ()()()e e G h i h i s h i h i σσσστσ---=-+e e 221， 化简可得： ()()()()()h s G h is h G στσσστ σsin 11,sin cos ,2 2 2--=-= 所以当1s ≤时，()1,≤τσG ,格式稳定。 * 2.2.2：LaxWendroff 方法 用牛顿二次插值公式可以得到LaxWendroff 的差分格式，在此不详细分析，它的截断误差为() h 2 2 +O τ ，是二阶精度；当2s ≤时，()1,≤τσG ， 格式稳定。在这里主要用它与上面一阶精度的Lax-Friedrichs 方法进行简单对比。 2.3差分格式的求解

差分方程的解法

1、常系数线性差分方程的解 方程 a 0x n k a 1x n k 1 ... a k x n b(n) 其中 a 0 , a 1,..., a k 为常数，称方程（ 8）为常系数线性方程。 又称方程 a 0x n k a 1x n k 1 ... a k x n 为方程（ 8）对应的齐次方程。 第三节 差分方程常用解法与性质分析 9） n 如果（ 9）有形如 x n 的解， 带入方程中可得： k k 1 a 0 a 1 ... a k 1 a k 0 10) 称方程（ 10）为方程（ 8）、 9）的特征方程。

n n n c 1 1 c 2 2 ... c k k ， 若（10） 有 m 重根 ，则通解中有构成项： (c 1 m 1 n c 2 n ... c m n ) 显然， 如果能求出（ 10）的根，则可以得到（ 9）的解。 基本结果如下： 1） 若（10） 有 k 个不同的实根，则（ 9）有通解：

（3）若（10）有一对单复根 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：X n 如果能得到方程（8）的一个特解：X n ，则（8）必有通解: * X n X n + 焉 （11） （1）的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果b （n ）bk m （n ）, pMn ）为门的多项式，则当b 不是特征 根 时，可设成形如 bq m （n ） 形式的特解，其中 q m （n ） 为m 次多项式；如 果b 是 r 重根时，可设特解：b n n r q m （n ） ，将其代入（8）中确定出系 数即可。 arcta n — ，则(9) 的通解中有构成项: C l n . cos n C 2 sin （4）若有 m 重复根: i e ，则 （9）的通项中有成 项: cos n (C m 1 C m 2 n m 1 、 n ? c 2m n ) sin n