相似三角形求值问题难点突破经典培优好题

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北师大版九年级数学上册相似三角形解答题培优专题(含答案)

2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BDCP的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形：（2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ，动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ；第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ；第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==，证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ．（1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为．（2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC 于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD ＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似【解析】【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果．【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得；（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值．【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==，故答案为：2；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==，设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时，可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==．故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝，综上所述，满足条件的BD 的长为355．【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒，故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==，故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化，由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=，又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=，在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==；（3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=，又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形．【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒，//OM AB ∴， OB OD =， 5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形，易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=，当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-．故答案为：5，1，41045-．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3，在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=，而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ，在△ E 和△CED 中，，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ，四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=，解得：80t 41=，综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC，即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP，即8=614x x-，解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。

专题27.22 相似三角形的性质(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识

专题27.22 相似三角形的性质（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标(0，3)，点B 坐标(4，0)，将点O 沿直线34y x b =-+对折，点O 恰好落在∠OAB 的平分线上的O’处，则b 的值为（）A ．12B ．65C ．98D ．15162．如图，CD 是ABC 的高，2CD AD BD M =⋅,是CD 的中点，BM 交AC 于,E EF AB ⊥于F ．若164,5EF CE ==,则AB 的长为( )A ．485B ．383C ．413D ．4153．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是( )A ．43B ．1C ．56D ．654．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，AB BC =，若2AD =，1CD =，则BD 的值为（）AB ．2CD ．5．如图，点E 从矩形ABCD 的顶点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒1个单位的速度运动，过E 作EF ∠AE 交直线DC 于F 点，如图2 是点E 运动时CF 的长度y 随时间t 变化的图象，其中M 点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M 点作MN ∠y 轴交图象于N 点，则N 点坐标是（）A ．（5，2）B ．（2）C ．（2+2）D ．（2+，2）6．如图，在直角坐标系xOy 中，A （﹣4，0），B （0，2），连结AB 并延长到C ，连结CO ，若∠COB∠∠CAO ，则点C 的坐标为（）A ．（1，52）B ．（43，83）C D7．如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D 顺时针旋转得到菱形A 'B 'C 'D ，线段AB 与线段B 'C '交于点P ，连接BB '．当五边形A 'B 'BCD 为正五边形时，BPAP即长为（）A．1B C1D8．如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．若裁切线AB的长为6，则裁切线CD的长是（）A．2B．6-C．D．49．如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（）A．B C．203D．410．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点P，若AP HF⊥，10AP=，则小正方形边长GF的长是（）A ．52B ．C ．3 D二、填空题11．如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，连接EC ，已知BC ＝6，AD ＝2，且S △CDE ＝2710，则点A 到DE 的距离为 _________．12．如图，E 、F 、G 、H 分别为矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、HE 、EC 、GA 、GF ，已知AG ∠GF ，AC ＝AB 的长为___．13．在平面直角坐标系中，如图，3==OB AB ，点(,0),33-<+A a a 点C 在y 轴上且OC OA =，连接BC ．现给出以下结论：∠连接AC ，则AC =； ∠OAB 的周长是一个固定值； ∠BC 的最小值为1；∠当BC 取最小值时，OA其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）14．如图，在平面直角坐标系中，点A (0，1)，点B 为直线y=12x 上的一个动点，∠ABC ＝90°，BC =2AB ，则OC 的最小值为____．15．已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．16．将矩形OABC 如图放置，O 为坐标原点，若点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，则点C 的坐标是_________．17．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．矩形ABCD 绕着点A 旋转，点B 、C 、D 的对应点分别是点B '、C '、D ，如果点B '恰好落在对角线BD 上，连接DD '，DD '与B C ''交于点E ，那么DE =___________．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是AB 的中点，连接ED ，延长EA 至F ，使EF ＝ED ．以线段AF 为边作正方形AFGH ，点H 落在AD 边上，连接FH 并延长，交ED 于点M，则DMDE的值为_____．三、解答题19．已知矩形ABCD，点E在AD边上，连接BE、BD，∠BED＝2∠BDC，BE＝25，BC ＝32，则CD的长度为______．20．在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将△BCP沿CP折叠，得到△FCP．（1）如图1，延长PF交AD于E，求证：EF=ED；（2）如图2，DF，CP的延长线交于点G，求DFAG的值．21．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P ，Q 两点之间的距离是多少？（2）若∠CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与∠ABC 相似？22．如图1．已知四边形ABCD 是矩形．点E 在BA 的延长线上．. AE AD EC =与BD 相交于点G ，与AD 相交于点,.F AF AB =()1求证：BD EC ⊥；()2若1AB =，求AE 的长；()3如图2，连接AG ，求证：EG DG -=．23．如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），连结BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，连结QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F ．（1）连结CQ ，求证：AP CQ =；（2）若14AP AC=，求:CE BC的值；（3）求证：PF EQ=．24．【操作发现】如图∠，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图∠条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN 上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图∠，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．参考答案1．D【分析】假设直线与∠OAB的平分线交x轴点C，交y轴于D,易求得OA=3,OB=4,AB=5,OD=b,且直线与AB平行，利用角平分线性质可得35OC OACB AB==,再由平行线分线段成比例得,OD OC OA AB =即3353b =+，解得98b =,结合图象，1928﹤b ﹤，利用排除法即可得到答案.解：假设直线与∠OAB 的平分线交x 轴点C ，交y 轴于D ，如图：∠A(0，3)，B(4，0)，∠OA=3，OB=4，AB=5，且直线AB 斜率等于34-，由直线34y x b =-+知OD=b ，且直线与AB 平行，∠AC 平分∠OAB, ∠35OC OA CB AB ==, ∠直线与AB 平行, ∠,OD OC OA AB=即3353b =+，解得98b =, 结合图象直线34y x b =-+的位置，b 的范围为1928﹤b ﹤，利用排除法，故选D.【点拨】本题考查了角平分线的性质和平行线分线段成比例，利用假设法和排除法解答是选择题的一种技巧．2．C 【分析】延长BC 交FE 的延长线于点H ，推出4EF EH ==，通过证明ACDCBD ，得出90ECH ∠=︒，继而得出 2.4CH =，再证明AEF HEC ，得出5AE =，再证明HECABC ，从而得出答案．解：延长BC 交FE 的延长线于点H ，∠,EF AB CD AB ⊥⊥∠//CD FH ∠,DM BM CM BM EF BE EH BE == ∠DM CM EF EH= ∠M 是CD 的中点∠DM CM =∠4EF EH ==∠ACD CBD∠A BCD ∠=∠∠90BCD ACD ∠+∠=︒∠90ACB ∠=︒∠90ECH ∠=︒∠222CH CE EH +=∠ 2.4CH =∠AEF HEC ∠,AE EF A EHC EH CE=∠=∠ ∠5AE =∠AC AE CE =+∠8.2AC =∠90,ACB HCE EHC A ∠=∠=︒∠=∠∠HEC ABC ∠HE HC AB AC=∠4 2.48.2 AB=∠413 AB=故选：C．【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，作出辅助线后多次利用相似三角形的性质得出CH、AE的值是解此题的关键．3．D【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF FC=，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP AB⊥时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．解：如图所示：当//PE AB．由翻折的性质可知：2PF FC==，90FPE C∠=∠=︒．//PE AB，90PDB∴∠=︒．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又FP为定值，PD∴有最小值．又A A∠=∠，ACB ADF∠=∠，AFD ABC∴∆∆∽．∠AF DF AB BC=，∠CF＝2，AC＝6，BC＝8，∠AF＝4，AB10，∠即4108DF=，∠ 3.2 DF=．3.22 1.2PD DF FP∴=-=-=．故选：D．【点拨】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．4．C【分析】延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥BE，垂足为F，如图所示，易发现ABE CDE，通过对应边成比例，可求解出DE、CE，再利用ABE DFE即可求出DF、BF.解：延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥BE，垂足为F，如图所示，AB BC⊥，AD CD⊥，90ABE CDE∴∠=∠=︒，AC AB BC∴===,又,E E ABE CDE∠=∠∴，DE CE CDBE AE AB∴==，设DE=x,CE=y,2yx===+整理可得关于x,y的二元一次方程组，⎧=⎪=，解得3xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，90,,ABE DFE E E∠=∠=︒∠=∠ABE DFE∴,35DF CE DE AB BE AE ∴===33225555DF AB BF BE ∴=====BD ∴=故选C.【点拨】利用三角形相似，找到边与边的比例关系，可以求出未知边长，再利用勾股定理即可求解.5．D【分析】当点E 运动到C 点位置时，0FC =，则4BC =，当E 点运动到BC 中点位置时，2FC =，即2CD =，证明ABE ECF ∽△△，当F 在DC 的延长线上时，且2FC =，根据相似三角形的性质求得BE 的长，即可求得点N 的横坐标解：根据函数图象可知，当点E 运动到C 点位置时，0FC =，则4BC =，当E 点运动到BC 中点位置时，2FC =，即2CD =，AE EF ⊥∠90AEB FEC ∠+∠=︒四边形ABCD 是矩形90B ∴∠=︒90AEB BAE ∴∠+∠=︒FEC BAE ∴∠=∠90ECF ABE ∠=∠=︒∴ABE ECF ∽△△,M N 的纵坐标相等，则当F 在DC 的延长线上时，2FC =，BE t =，4EC t =-，AB EC BE FC=，即242t t -=解得12t =，22t =-即点N 的坐标为(2，2)故选：D【点拨】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图像获取信息是解题的关键．6．B解：根据相似三角形对应边成比例，由∠COB∠∠CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到13CBAB=，过点C作CD∠y轴于点D，然后求出∠AOB和∠CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=43、BD=23，再求出OD=83，最后写出点C的坐标为（43，83）．故选：B．【点拨】本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出13CBAB=是解题的关键，也是本题的难点．7．B【分析】先计算得出∠CDC'=∠ADA'=∠ADC'=36°，得到点C'在对角线BD上，再证明△BDA∠∠BAC'，求得BP= C'A= C'B1，进一步计算即可求解．解：连接BC'，AC'，如图：∠五边形A'B'BCD为正五边形，∠∠CDA '=()521805-⨯︒=108°， ∠菱形ABCD 绕点D 顺时针旋转得到菱形A 'B 'C 'D ，且∠ADC =72°，∠∠A 'DC '=∠ADC =72°，∠∠CDC '=∠ADA '=108°-72°=36°，∠∠CDC '=∠ADA '=∠ADC '=36°，∠点C '在对角线BD 上，∠ABC '=36°，由旋转的性质知AD =AB = DC '=2，∠∠DC 'A =∠DAC '=72°，∠∠C 'AB =36°，∠C 'A = C 'B ，设C 'A = C 'B =x ，则BD = x +2，∠∠BDA =∠BAC '=36°，∠△BDA ∠∠BAC '，∠DA ：AC '=BD ：BA ，即2：x =( x +2)：2，整理得：x 2+2x -4=0，解得x 1，(负值已舍)∠∠C 'BP =36°，∠BC 'P =72°，∠∠C 'PB =72°，∠BP = C 'A = C 'B 1，∠AP =3∠BP AP == 故选：B ．【点拨】本题考查了正多边的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．A【分析】画出裁切后的矩形，再利用相似求解即可．解：如图所示，四边形ABQN 是裁切后的矩形：∠ABG AHN HEQ ∠=∠=∠，CD QE =，6AB NQ ==∠ABGAHN HEQ ∠,,AH AN AN NH AB AG HQ QE== ∠正方形HFG 的面积是24∠AH AG === ∠4AN =∠NH∠6HQ NQ NH =-=-=解得2CD QE ==故选：A ．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是正确的画出裁切后拼成的矩形．9．C【分析】过点G 作GI ∠AB ，GH ∠ED '，垂足分别为I 、H ，由折叠的性质可得C ′E =5-4=1，在Rt △EFC ′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，再证明△BC′D'∠∠C′GH，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，则HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到C′G=5m=5，从而解决问题．解：由折叠的性质得，∠AD'E=∠D=90°，AD=AD'，又∠∠DAB=90°，∠四边形ADED'是矩形，∠AD=AD'，∠四边形ADED'是正方形，过点G作GI∠AB，GH∠ED'，垂足分别为I、H，∠AD'ED是正方形，∠AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，∠C=∠BC′F=90°，FC=FC′，∠D'B=EC=8-5=3，在Rt∠C′BD'中，C′D'=4，∠C′E=5-4=1，在Rt∠EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，∠∠BC′D'+∠GC′H=90°，∠GC′H+∠C′GH=90°，∠∠BC′D'=∠C′GH，又∠∠GHC′=∠BD'C′=90°，∠∠BC′D'∠∠C′GH，∠C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，∠HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，∠C′G=5m=5，∠FG=203；故选：C．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造三角形相似是解题的关键．10．B【分析】过点E作EM∠AB于点M，证明∠AED∠∠HMD，可得DH MH DMAD AE DE==，由MH∠DP，可得32AH AMHP DE==，从而可得结论.解：∠∠ADE∠∠DCH∠∠CBG∠∠BAF，∠AE=DH，DE=CH，∠四边形GFEH是正方形，∠EH=EF=HG=GF，∠HF A=45°=∠EHF，∠AP∠HF，∠∠F AH=∠AFH=45°=∠AHE，∠AH=FH，AE=HE，∠AF=2AE，设AE=a，则AF=DE=2a，如图过点H作HM∠AD于M，∠,AD=∠∠DMH=∠AED=90°，∠ADE=∠MDH，∠∠AED∠∠HMD，∠DH MH DM AD AE DE==，∠MH，DM=，∠AM AD DM=-==，∠AD∠CD，∠MH∠DP，∠ 32AH AM HP DE ==， ∠AP =10，∠AH =6，∠EH =GF ，故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．11．【分析】过点E 作EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，AH ∠BC 于H ，由将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，可得,BD DG BDA EDA =∠=∠，可证AH AG =，由D 为BC 中点，BC =6，可求132BD ED DC BC ====，由S △CDE ＝2710，可求95EF =，在Rt △EDF 中，由勾股定理125DF ，可求FC =35，在Rt △ECF 中，由勾股定理EC ==，可证AHD EFC ∆∆∽，可得AD AH EC EF = ，可求AH =即可解：过点E 作EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，AH ∠BC 于H ，∠将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，∠,BD DG BDA EDA =∠=∠，∠AD 为∠BDE 的平分线，∠EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，∠AH AG =，∠D 为BC 中点，BC =6，∠132BD ED DC BC ====， ∠S △CDE ＝2710， ∠112732210DCE S DC EF EF ∆=⋅=⨯⨯=， ∠95EF =，在Rt △EDF中，由勾股定理125DF =，∠FC =DC -DF =3-12355=，在Rt △ECF中，由勾股定理EC =∠DE =DC ， ∠DEC DCE ∠=∠，由外角性质，22BDE DEC DCE DCE BDA ∠=∠+∠=∠=∠， ∠DCE BDA ∠=∠，90AHD EFC ∠=∠=︒，∠AHD EFC ∆∆∽，∠AD AHEC EF =95AH=，∠AH =， ∠AG=AH =，．【点拨】本题考查折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，掌握折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，利用辅助线画出准去图形是解题关键．12．【分析】如图，连接BD ．由∠ADG ∠∠GCF ，设CF ＝BF ＝a ，CG ＝DG ＝b ，可得AD GC ＝DGCF，推出2=a bb a，可得b a ，在Rt ∠GCF 中，利用勾股定理求出b ，即可解决问题；解：如图，连接BD ．∠四边形ABCD 是矩形，∠∠ADC ＝∠DCB ＝90°，AC ＝BD ＝∠CG ＝DG ，CF ＝FB ， ∠GF ＝12BD∠AG ∠FG ， ∠∠AGF ＝90°，∠∠DAG +∠AGD ＝90°，∠AGD +∠CGF ＝90°， ∠∠DAG ＝∠CGF ， ∠∠ADG ∠∠GCF ，设CF ＝BF ＝a ，CG ＝DG ＝b ， ∠AD GC ＝DGCF， ∠2=a b b a， ∠b 2＝2a 2， ∠a ＞0．b ＞0， ∠b，在Rt ∠GCF 中，3a 2＝3， ∠a ＝1，∠AB ＝2b ＝故答案为【点拨】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．∠∠∠【分析】∠利用勾股定理计算出AC的长，进行判断；∠表示出∠OAB的周长即可判断；∠利用图形变形，将BC放在三角形中根据三角形的三边关系进行判断；∠利用三垂直模型及三角形相似求出OA的长即可．解：∠∠A（a，0），OA＝OC，a，∠AC∠C△OAB＝OA+AB+OB＝a∠3﹣a＜∠C△OAB不是一个固定值，故∠错误；∠如图，将∠OBC绕点O顺时针旋转90°，得到∠ODA，则OB＝OD，BC＝AD，∠BOD＝90°，∠BD4，在∠ABD中，AD＞BD﹣AB，当B，A，D三点共线时，AD最短，即BC最短，此时BC＝DA﹣AB＝4﹣3＝1，故∠正确；∠如图，当B，A，D三点共线时，作BE，DF垂直于x轴，垂足为E，F，则∠OEB ＝∠DFO ＝90°，∠1+∠2＝90°，又∠BOD ＝∠2+∠3＝90°， ∠∠1=∠3，又OB ＝OD ，∠∠BOE ∠∠ODF （AAS ），设B （x ，y ），则DF ＝OE ＝x ，OF ＝BE ＝y ，且x 2+y 2＝（）2＝8，由BE ∠x 轴，DF ∠x 轴得BE ∠DF ， ∠∠ADF ∠∠ABE ， ∠=DF ADBE AB，即13x y =，∠y ＝3x ，把y ＝3x 代入x 2+y 2＝（2＝8得， x 2+9x 2＝8，解得x ＝（负值舍去），∠y =由∠ADF ∠∠ABE 得，13AF AD AE AB ==， ∠AE ＝3AF ，即a ﹣x ＝3（y ﹣a ）， a ﹣x ＝3y ﹣3a ，∠a 35544x y +===即OA =故∠正确．故答案为：∠∠∠．【点拨】本题考查勾股定理，相似以及两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．14【分析】分析求OC最小即求AC最小，求AC最小即求AB最小，根据点到直线的距离公式求AB最小，继而代换求出OC最小．解：连接OC，在∠AOC中，OC<OA+AC或OC>AC-OA故求OC最短，即求AC最短由题意知：∠ABC=90 ，BC=2AB且点A(0，1)，设AB=m，BC=2m，AC=根据点到直线的距离可知，m最小= 1255．此时AB∠直线y=12x，点C在直线上作BD∠OA与点D，在∠ABD和∠BOD中(DOB AOBDBO OAB公共角）∠∠DOB∠∠OBA∠12 OD OB BD AB又．【点拨】本题主要考查了点到直线的距离公式及三角形相似的性质，正确掌握点到直线的距离公式及三角形相似的性质是解题的关键．15【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，ABF BHE ∠=∠，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形，又EDC ∆是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，EHD DBC ∠=∠，9045ABF FBD DBC DBC ∠=︒-∠-∠=︒-∠ 45BHE EHD ∠=︒-∠ABF BHE ∴∠=∠ //AB HE ∴AFB HFE ∠=∠， ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AFEH EF AE AF， 2AE =∴35=AF ∴=，【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．16．(3，32)【分析】过点A 作AD ∠x 轴，垂足为D ，过点B 作BF ∠x 轴，垂足为F ，过点C 作CG ∠x 轴，垂足为G ，过点B 作BE ∠CG ，交GC 的延长线于点E ，通过证明△ADO ∠△CEB ，△ADO ∠△OGC 即可．解：过点A 作AD ∠x 轴，垂足为D ，过点B 作BF ∠x 轴，垂足为F ，过点C 作CG ∠x 轴，垂足为G ，过点B 作BE ∠CG ，交GC 的延长线于点E ，∠四边形BFGE 是矩形，∠ADO =∠CBE =90°， ∠BF =EG ，∠四边形OABC 是矩形， ∠OA =CB ，∠BCO =90°，∠∠AOD =90°-∠COG =∠GCO =90°-∠BCE =∠CBE ， ∠∠ADO ∠∠CEB ，∠ADO ∠∠OGC ， ∠AD =CE ，AD DOOG CG=， ∠点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，∠AD =CE =2，BF =EG =72，CG =EG -CE =72-2=32，∠2132OG =，解得OG =3，故点C 的坐标为(3，32)，故答案为：(3，32)．【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握矩形的性质，三角形的全等与系数是解题的关键．17．2120【分析】过A 点作AF ∠BD ，交BD 于点F ，利用勾股定理求出BD =5，在根据是矩形ABD 的面积求出AF ，进而可求出 1.8BF B F '==，进而求出BD '，再证明AB F B ED ''△∽△，即有AF B FB D DE''=，DE 可求．解：过A 点作AF ∠BD ，交BD 于点F ，如图，∠矩形中AB =3，BC =AD =4，∠BAC =90°，∠5BD =， ∠1122ABDAB AD B SD AF ⨯⨯=⨯⨯=， ∠342.45AB AD AF BD ⨯⨯===，∠ 1.8BF =，根据旋转可知：AB AB '=，90ABC AB C '∠=∠=，AD AD ='， ∠AF BD ⊥，∠ 1.8BF B F '==，即 3.6BB BF B F ''=+=， ∠5 3.6 1.4B D BD BB ''=-=-=，根据旋转可知：AB AB '=，AD AD ='，BAB DAD ''∠=∠，∠根据两个等腰三角形中顶角相等，则其底角也相等，即ABD ADD '∠=∠， ∠90ABD ADB ∠+∠=︒，∠90ADB ADD BDD ∠+∠==∠''，∠90AB F DB E ''∠+∠=，90B ED DB E ''∠+∠=， ∠AB F DEB ''∠=∠， ∠90AFB B DE ''∠=∠=， ∠AB F B ED ''△∽△， ∠AF B F B D DE ''=， ∠2.4 1.81.4DE=， ∠2120DE =，故答案为：2120．【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求出BD '是解答本题的关键．18【分析】过点M 作MN ∠AD 于点N ，根据勾股定理可得DE ＝EF AFGH 是正方形，可得AF ＝AH ＝EF ﹣AE 1，根据//MN AE ，可得∠DMN ∠∠DEA ，所以MN DN DMAE DA DE==，即12MN DN ==MN ＝NH ＝x ，则DN ＝2x ，DM ，再根据DN +NH ＝AD ﹣AH ，列式)3213x =-=求出x 的值，进而可以解决问题．解：如图，过点M 作MN ∠AD 于点N ，∠正方形ABCD 的边长为2，E 是AB 的中点， ∠AD ＝AB ＝2，AE ＝1，∠EAD ＝90°，∠DE EF = ∠四边形AFGH 是正方形，∠AF ＝AH ＝EF ﹣AE 1， ∠∠AHF ＝∠NHM ＝45°， ∠MN ＝NH ， ∠//MN AE ， ∠∠DMN ∠∠DEA ， ∠MN DN DMAE DA DE ==， ∠12MN DN == 设MN ＝NH ＝x ，则DN ＝2x ，DM ， ∠DN +NH ＝AD ﹣AH ，∠)3213x =-=∠DM =，∠DM x DE ==【点拨】此题考察了正方形的性质和三角形相似的知识，解决本题的关键是找到相似三角形得出线段之间的关系．19．24【分析】过E 作EF ∠BD 于F ，根据矩形的性质得到∠C =∠ADC =90°，于是得到∠ADB +∠BDC =90°，根据已知条件推出180°-∠AEB =2（90°-∠ADB ），得到∠AEB =2∠EDB ，根据等腰三角形的性质得到BF =12BD ，由平行线的性质得到∠ADB =∠DBC ，等量代换得到∠EBF =∠DBC ，推出∠EBF ∠∠DBC ，根据相似三角形的性质，求得BD =40，由勾股定理即可得到结论．解：过E 作EF BD ⊥于F ，∠四边形ABCD 是矩形，∠90C ADC ∠=∠=︒，∠2BED BDC ∠=∠，∠()180290AEB ADB ︒-∠=︒-∠，∠2AEB EDB ∠=∠，∠,AEB ADB EBD ∠=∠+∠，∠EDB EBD ∠=∠，∠BE DE =， ∠12BF BD =， ∠AD BC ∥，∠ADB DBC ∠=∠，∠EBF DBC ∠=∠，∠EBF DBC ∽△△，BD BC∠2222253240BD BC BE =⋅=⨯⨯=，∠40BD =，∠24CD ．故答案为：24．【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，外角的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．20．（1）证明见解析（2【分析】（1）连接CE ，通过全等三角形的判定，得到Rt △CFE∠Rt △CDE ，进而得出结论；（2）连接BG 、BF 、BD ，作CH∠DF ，垂足为H ．依据△CFG∠∠CBG ，可得GF=GB ，进而得出△GBF 是等腰直角三角形，故BF BG ．再判定△BGA∠∠FBD ，即可得到DF BF AG BG＝解：（1）如图1，连接CE ，∠四边形ABCD 是正方形，∠BC=CD ，∠B=∠D=90°．∠∠PBC 和△FPC 关于PC 对称，∠BC=CF ，∠B=∠PFC=90°．∠∠EFC=90°．∠∠EFC=∠D=90°，CF=CD ．∠CE=CE，∠Rt△EFC∠Rt△DFC（HL）．∠EF=ED．（2）如图2，连接BG、BF、BD，作CH∠DF，垂足为H．∠四边形ABCD是正方形，∠BC=CD．∠CH∠DF，∠∠HCF=12DCF ∠，∠∠PBC和△FPC关于PC对称，∠BC=CF，∠FCG=∠BCG．∠EB∠CG．又∠CG=CG，∠∠CFG∠∠CBG．∠GF=GB．∠∠HCF=12DCF∠，∠FCG=∠BCG=12BCF∠，∠∠HCK=12BCD∠=45°．∠∠PFH=135°．∠∠GFB=45°．∠∠GBF=45°．∠∠GBF是等腰直角三角形．∠BF=．∠∠ABD=45°，∠∠GBA=∠FBD．∠BG BF AB BD=， ∠∠BGA∠∠FBD ．∠DF BF AG BG== 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，全等三角形以及相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例得出结论．21．（1）10cm ；（2）2204=-S t t ；（3）t ＝3或t ＝4011 【分析】（1）在Rt∠CPQ 中，当t=3秒，可知CP 、CQ 的长，运用勾股定理可将PQ 的长求出；（2）由点P ，点Q 的运动速度和运动时间，又知AC ，BC 的长，可将CP 、CQ 用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式CPQ S =12CP×CQ 求解；（3）应分两种情况：当Rt∠CPQ∠Rt∠CAB 时，根据CP CQ CA CB=，可将时间t 求出；当Rt∠CPQ∠Rt∠CBA 时，根据CP CQ CB CA =，可求出时间t ．解：由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm ，CQ=2t=6cm ，由勾股定理得10cm =；（2）由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，因此Rt∠CPQ 的面积为S=()21204t 22042t t t -⨯=-；（3）分两种情况：∠当Rt∠CPQ∠Rt∠CAB 时，CP CQ CA CB =，即204t 2t 2015-=，解得：t=3秒；∠当Rt∠CPQ∠Rt∠CBA 时，CP CQ CB CA=，即204t 2t 1520-=，解得：t=4011秒．因此t=3秒或t=4011秒时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与∠ABC 相似【点拨】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．22．（1）见解析；（2；（3）见解析【分析】（1）由矩形的形及已知证得∠EAF∠∠DAB ，则有∠E=∠ADB ，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；（2）设AE=x ，利用矩形性质知AF∠BC ，则有EA AF EB BC=，进而得到x 的方程，解之即可；（3）在EF 上截取EH=DG ，进而证明∠EHA∠∠DGA ，得到∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，则证得∠HAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，∠∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC ，AD∠BC ，在∠EAF 和∠DAB ， AE AD EAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAF∠∠DAB(SAS)，∠∠E=∠BDA ，∠∠BDA+∠ABD=90º，∠∠E+∠ABD=90º，∠∠EGB=90º，∠BG∠EC ；（2）设AE=x ，则EB=1+x ，BC=AD=AE=x ，∠AF∠BC ，∠E=∠E ，∠∠EAF∠∠EBC ， ∠EA AF EB BC =，又AF=AB=1， ∠11x x x=+即210x x --=，解得：x =x =（舍去）即；（3）在EG 上截取EH=DG ，连接AH ，在∠EAH 和∠DAG ，AE AD HEA GDA EH DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAH∠∠DAG(SAS)，∠∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，∠∠EAH+∠DAH=90º，∠∠DAG+∠DAH=90º，∠∠HAG=90º，∠∠GAH 是等腰直角三角形，∠222AH AG GH +=即222AG GH =，，∠GH=EG -EH=EG -DG ，∠EG DG -=．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．23．(1)见解析；(2)38；(3)见解析【分析】(1)由旋转知∠PBQ 为等腰直角三角形，得到PB=QB ，∠PBQ=90°，进而证明∠APB∠∠CQB 即可；(2)设AP=x ，则AC=4x ，PC=3x ，由(1)知CQ=AP=x ，又∠ABC 为等腰直角三角形，所以BC=2AC ，，再证明∠BQE∠∠BCQ ，由此求出BE ，进而求出CE:BC 的值；(3)在CE 上截取CG ，并使CG=FA ，证明∠PFA∠∠QGC ，进而得到PF=QG ，然后再证明∠QGE=∠QEG 即可得到QG=EQ ，进而求解．解：∠四边形ABCD 为正方形，∠AB=BC ，∠ABC=90°，∠BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，∠BP=BQ ，∠PBQ=90°，∠∠ABC -∠PBC=∠PBQ -∠PBC,∠∠ABP=∠CBQ ，在∠APB 和∠CQB 中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB BC ABP CBQ BP QB ，∠∠APB∠∠CQB(SAS)，∠AP=CQ ．(2) 设AP=x ，则AC=4x ，PC=3x ，由(1)知CQ=AP=x ，∠ABC 为等腰直角三角形，AC ，在Rt∠PCQ中，由勾股定理有：=PQ ，且∠PBQ 为等腰直角三角形，∠==BQ ，又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，∠∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ ，∠∠BQE∠∠BCQ ， ∠=BQ BE BC BQ，x ，∠CE=BC -，∠3:8=CE BC ，故答案为：38．(3) 在CE 上截取CG ，并使CG=FA ，如图所示：∠∠FAP=∠GCQ=45°，且由(1)知AP=CQ ，且截取CG=FA ，故有∠PFA∠∠QGC(SAS)，∠PF=QG ，∠PFA=∠CGQ ，又∠∠DFP=180°-∠PFA ，∠QGE=180°-∠CGQ ，∠∠DFP=∠QGE ，∠DA //BC ，∠∠DFP=∠CEQ ，∠∠QGE=∠CEQ ，∠∠QGE 为等腰三角形，∠GQ=QE ，故PF=QE ．【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在CE 上截取CG ，并使CG=FA 这条辅助线．24．（1）6；（2）222EF BE FD =+，见解析；（3）2【分析】(1)根据旋转的性质证明∠ABE∠∠ADM 得到BE=DM ，又由∠ABE=∠D=90°，AE=AM ，∠BAE=∠DAM ，证出∠EAM=90°，得出∠MAN=∠EAN ，再证明∠AMN∠∠EAN （SAS ），得出MN=EN 最后证出MN=BN+DM ．在Rt∠CMN 中，由勾股定理计算即可得到正方形的边长；(2 )先根据旋转的性质证明∠AEG ∠∠AEF （SAS ），再证明∠GBE=90°，再根据勾股定理即可得到；(3)在AB 上截取AP ，在BC 上截取BQ ，使AP ＝AB=BQ ＝3，连结PQ 交AM 于点R ，得到ABQP 为正方形，再根据操作发现以及勾股定理即可得到答案；（1）解：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB=CD=AD ，∠BAD=∠C=∠D=90°，由旋转得：∠ABE∠∠ADM ，∠BE=DM ，∠ABE=∠D=90°，AE=AM ，∠BAE=∠DAM ，∠∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，即∠EAM=90°，∠∠MAN=45°，∠∠EAN=90°-45°=45°，∠∠MAN=∠EAN ，在∠AMN 和∠EAN 中，AM AE MAN EAN AN AN ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝∠∠AMN∠∠EAN （SAS ），∠MN=EN ．∠EN=BE+BN=DM+BN ，∠MN=BN+DM ．在Rt∠CMN 中，5MN = ，则BN+DM=5，设正方形ABCD 的边长为x ，则BN=BC -CN=x -3，DM=CD -CM=x -4，∠x -3+x -4=5，解得：x=6，即正方形ABCD 的边长是6；故答案为：6；（2）数量关系为：222EF BE FD =+，证明如下：将∠AFD 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到∠ABG ，连结EG ．由旋转的性质得到：AF=AG ，DAF BAG ∠=∠又∠∠EAF ＝45°，∴904545GAE ∠=︒-︒=︒,且AE=AE ，∠∠AEG ∠∠AEF （SAS ），从而得EG ＝EF ．（全等三角形对应边相等），又∠BN ＝DM ，BN∠DM ，∠四边形DMBN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∠DN∠BM ，∠AND ABM ∠=∠ （两直线平行，同位角相等），∠90AND ADN ∠+∠=︒,∠90ABG ABM ∠+∠=︒（等量替换），即：∠GBE=90°，则222EG BE GB =+，∠222EF BE FD =+；（3）在AD 上截取AP ，在BC 上截取BQ ，使AP ＝AB=BQ ＝3，连结PQ 交AM 于点R ，易证ABQP 为正方形，由操作与发现知：PR +BN ＝RN ．设PR ＝x ，则RQ ＝3﹣x ，RN =1+x ，QN =3-1=2在Rt∠QRN 中，由勾股定理得：222RN NQ RQ =+，即222(1)2(3)x x +=+-解得：x ＝32， ∠PR =32∠PQ ∠DC ，∠∠APR ∠∠ADM ， ∠PR AP DM AD= （相似三角形对应边成比例） ∠3234DM = ∠DM ＝2；【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键．。

专题27.10一线三等角型相似三角形综合问题(重难点培优)-2022-2023学年九年级数学下册尖子

2021-2022学年九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】专题27.10一线三等角型相似三角形综合问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共22题，选择10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•鹿邑县月考）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝18，BD＝6，则CF＝（）A．4B．3C．2D．12．（2022•昆明一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若，则CE＝（）A．B．C．D．3．（2022•齐齐哈尔模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，则AF的最小值是（）A．5B．C．D．34．（2022•唐河县二模）如图，平面直角坐标系中，A（4，0），点B为y轴上一点，连接AB，tan∠BAO＝2，点C，D为OB，AB的中点，点E为射线CD上一个动点．当△AEB为直角三角形时，点E的坐标为（）A．（4，4）或（2+2，4）B．（4，4）或（2﹣2，4）C．（12，4）或（2+2，4）D．（12，4）或（2﹣2，4）5．（2021秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）A．4B．C．D．56．（2021秋•蕉城区校级月考）如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D 的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当BF＝1，AE＝时，则AD的长是（）A．B．C．2D．7．（2021•鄂温克族自治旗一模）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为（）A．6B．2C．3D．48．（2021•烟台模拟）如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD＝45°，PD交AB于点D．设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．（2021秋•温州校级期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F，H分别在边AB，BC，AD上，四边形EFGH 由两个正方形组成，若BF＝AH＝2，则线段BC的长为（）A．4B．4.5C．5D．5.510．（2021秋•铁东区月考）如图，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝2，以对角线BD为直角边作直角三角形DBF，若∠DBF＝90°，∠BDF＝30°，DF与BC交于点E，则DE：EF的比是（）A．B．3：2C．2：1D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022•太原二模）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为．12．（2022秋•二道区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD的长为．13．（2022•孟村县二模）如图，在等边三角形ABC中，点D、点E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°．（1）写出和∠CDE相等的角：；（2）若AB＝3，BD＝1，则CE长为．14．（2022•红花岗区二模）在数学探究活动中，小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，点M为BC边上一动点，连接AM，过点M作MN⊥AM交CD于点N．将△MCN沿MN翻折，点C恰好落在线段EF上，已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝6，那么BM的长为．15．（2021秋•定海区期末）如图，矩形ABCD中，AD＝6，CD＝7，E为AD上一点，且AE＝2，点F、H 分别在边AB、CD上，四边形EFGH为矩形，则当△HGC为直角三角形时，AF的值是．16．（2022•桐柏县一模）如图1，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝6．第一步，如图2，在CD边上找一点E，将矩形沿AE折叠，点D落在AB边上点F处；第二步，如图3，在AB上找一点M，将△CMB沿CM 折叠，得到△CMN，点N落在AE上，则MN的长为．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋•丰城市期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝3．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）求AB的边长．18．（2022秋•皇姑区校级月考）已知，如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD沿直线AE翻折，点B落在点F处．（1）若点F恰好落在CD边上，如图1，求线段BE的长；（2）若BE＝1，如图2，直接写出点F到BC边的距离；（3）若△CEF为直角三角形，直接写出CE所有值．19．（2022•安徽三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．（1）求证：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的长．20．（2022•砀山县模拟）如图1，在四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC．F是BC边上一动点，连接AF，DF，DF交AC于点E，其中∠DAF＝90°，∠AFD＝∠B．（1）求证：AC•EC＝BF•CF；（2）若AB＝AC＝10，BC＝16．①如图2，若DF∥AB，求的值；②如图3，若DF＝DC，求△DCF的面积．21．（2022•静安区二模）如图①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，联结BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．（1）求∠ADC的度数；（2）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；（3）设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．22．（2022•齐齐哈尔三模）综合与实践数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．（1）原型题：如图1，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，AP＝PC，AP⊥PC，则△ABP≌△，请你说明理由．（2）利用结论，直接应用：如图2，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a、b、c，A、B、N、E、F五点在同一条直线上，则△CBN≌△，c＝（用含a、b的式子表示）．如图3，四边形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2，CD＝4，以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离为．（3）弱化条件，变化引申：如图4，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G，连接FG，则△AMF与△BGM的关系为：，若，AF＝3，则FG＝．。

史上最全!!!!相似三角形难题精选

相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC 向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

相似三角形求值问题难点突破经典培优好题(供参考)

相似三角形求值问题难点突破题一：（2012•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC=2，则AD 的长是（）A ．B ．C ．﹣1D ．+1题二：（2012年四川省德阳市）如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）.以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP //BE （点P 、E在直线AB 的同侧），如果AB BD 41，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为（） A.41 B.53 C.51 D.43 PG FE D C BA题三：如图所示，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF ．题四：如图所示．△ABC 中，E ，D 是BC 边上的两个三等分点，AF=2CF ，BF=12厘米．求：FM ，MN ，BN 的长．题五：如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD ＝3AB ，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（）A B E FD CA. 2B. 32C. 512+D. 512-题六：（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3=EF AF ，求CD CG的值. （1）尝试探究在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是，CG 和EH 的数量关系是，CD CG 的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若)0( m m EF AF =则CD CG的值是（用含m 的代数式表示），试写出解答过程.（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若,(0,0)AB BC a b a b CD BE==>>，则AF EF 的值是（用含,a b 的代数式表示）.题七：（2010 武汉）已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD 交于P 点．（1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求PC AP 的值；（2）如图2，当OA=OB ，AO AD =41时，求tan ∠BPC ；（3）如图3，当AD ∶AO ∶OB=1∶n ∶n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．（图1）（图2）（图3）题八：（2010湖北咸宁）问题背景（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S = ，△EFC 的面积1S = ，△ADE 的面积2S = ．探究发现（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =．拓展迁移（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积．题九：（2012•铁岭）已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为E ．（1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）求线段AE 的长．题十：（2012山东泰安）如图，E 是矩形ABCE 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H.（1）求证：△ABE ∽△ECF ；（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 中点，BC=2AB ，AB=2，求EM 的长.题十一：（2012•日照）在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FD BF 的值是( ) (A) 21 (B) 31 (C) 41 (D) 51题十二：（2012•贵港）如图，在□ABCD 中，延长CD 到E ，使DE=CD ，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．（1）求证：AF=DF ；（2）若BC=2AB ，DE=1，∠ABC=60°，求FG 的长．题十三：（第11届“希望杯”邀请赛试题）如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是____________厘米2。

相似三角形的性质专项提升训练(重难点培优)-九年级数学下册尖子生培优题典(原卷版)【人教版】

九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】相似三角形的性质专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共22题，选择10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•南安市期中）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，若AD＝5，A′D′＝3，则△ABC与A'B'C′的面积比是（）A．25：9B．9：25C．5：3D．3：52．（2022秋•苏州期中）如图，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，则AB的长度为（）A．1B．2C．8D．163．（2022秋•济南期中）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（）A．B．C．D．64．（2022秋•长安区校级月考）如图，在ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（）甲：若CP＝4，则有3种不同的剪法；乙：若CP＝2，则有4种不同的剪法；丙：若CP＝1，则有3种不同的剪法．A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．6．（2022•泗阳县一模）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（）A．x2+h2＝c²B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+7．（2022•兴庆区校级一模）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（）A．3B．4C．2D．38．（2021秋•锦江区期末）如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（）A．B．C．3或5D．或9．（2021秋•渭滨区期末）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P 为AB边上一动点，连接PC、PE，若△P AE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（2022•石家庄三模）如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y，则y与x之间的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•鄞州区校级月考）D、E分别是△ABC中AB、AC边上两点，且AD＝4，BD＝2，AC＝8，若△ABC与△AED相似，则AE的长为．12．（2022春•惠山区期末）如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝．13．（2022•乳山市模拟）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，若△AQD与△BCP相似，则AQ的长是．14．（2022春•普陀区校级期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为．15．（2022秋•西湖区校级月考）如图Rt△AOB∽△DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA ＝6，OB＝8，直线AD，CB交于P点，连接MP，△AOB保持不动，将△COD绕O点旋转，则MP的最大值是．16．（2022•郫都区模拟）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的华丽分割线．如图，AC是△OAB的华丽分割线，OA＝2AB且OC＝AC，若点C的坐标为（2，0），则点A的坐标为．三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•成武县期末）如图在△ABC中，D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．（1）求∠ADC度数；（2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．18．（2022春•肇源县期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB ＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．19．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD 并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）若∠ADP＝32°，求∠FPB；（2）若AP＝，求BE；（3）若△PFD∽△BFP，求．20．（2021秋•南安市月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与直线AB交于点E，我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．（1）当∠CPD＝30°时，求AE的长．（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．21．（2021秋•砀山县月考）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，AB＝AD，AD∥BC，求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BAD+∠BCD＝180°，求证：对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．22．（2022秋•灞桥区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD＝2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，其中一部分与△ABC相似，设运动时间为t．（1）当P在线段BC上运动时，BP＝，当P在线段AB上运动时，BP＝（请用含t的代数式表示）；（2）求出满足条件的所有t值．。

数学相似的专项培优易错难题练习题(含答案)含答案解析

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．（1）求证：AF⊥BE；（2）求证：AD=3DI．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=BD=CD，∠ACB=45°，∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC，∴AE=CE，∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF，∴△CDE≌△CDF，∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°，∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，在△ABE与△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE=∠FAC，∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE（2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°∴四边形DECF是正方形，∴EC∥DF，EC=DF，∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，在△AEH与△FDH中，∴△AEH≌△FDH（AAS），∴EH=DH，∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE，∵M是IC的中点，E是AC的中点，∴EM∥AI，∴，∴DI=IM，∴CD=DI+IM+MC=3DI，∴AD=3DI【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。

（2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。

相似三角形专题练习(培优)附答案

相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(完整版)相似三角形经典解答题难题含答案个人精心整理,推荐文档

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．2.如图，在△ABC 中，ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．3.如图1，在Rt △ABC 中，ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

相似三角形培优难题集锦(含答案)

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

相似三角形培优精彩试题

1.2 2.5
37
y
6 30 30 ， 7 35 37
A
C
GH F
x2 y2，
图２
甲同学设计的方案较好
7、答案：（1）用边角边证明△AOE’和△BOF’全等，即可证得 AE’=BF’ (2)取 OE’的中点 G,得到等边△AOG，等到∠AGO=60°，又由 AG=E’G 得到
∠AE’O＝30°，从而得到∠OAE’是 90°，即为直角三角形。
∴ AE⊥AD
在 Rt△ADE 中，DE= AD2 AE 2 (3 3)2 32 6
∵△ADF∽△DEC
∴ AD AF DE CD
3
∴
3 AF
64
AF= 2 3
4、
（1）证明： ABCD为正方形，
AD AB DC BC，A D 90°． 1 分
AE ED， AE 1．
3分
留分数）
Ｃ
D
E
Ｂ
D
Ｅ
A
Ｂ
Ａ F
G
F
C
图１
图２
第 6 题图
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7、如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA、OD 到点 F、E，使 OF=2OA， OE=2OD，连接 EF．将△EOF 绕点 O 逆时针旋转α 角得到△E1OF1（如图 2）．（1）探究 AE1 与 BF1 的数量关系，并给予证明；（2）当α =30°时，求证：△AOE1 为直角三角形．
(2) 若 AB＝4,AD＝3 3 ,AE＝3,求 AF 的长.
4 、如图（ 4 ），在正方形 ABCD 中， E、F 分别是边 A D、 C D上的点，
A E E，D DF1 ，D连结C EF 并延长交 BC 的延长线于点 G． 4

双八字形相似三角形综合问题(重难点培优)九年级数学下册尖子生培优题典(解析版)【人教版】

九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】双八字形相似三角形综合问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共22题，选择10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•昌平区期中）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A．2：1B．1：3C．1：2D．3：1【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，AB＝CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴BE＝CD，∴＝＝，∴＝＝，故选：C．2．（2022•南岗区三模）如图，点E在菱形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于点F，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用菱形的性质可得AB＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，然后利用平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定与性质，逐一判断即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，A、∵AD∥BC，∴＝，故A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADE，∠ABF＝∠E，∴△BAF∽△EDF，∴＝，故B不符合题意；C、∵＝，AB＝AD，∴＝，故C符合题意；D、∵AD∥BC，∴＝，故D不符合题意；故选：C．3．（2022春•莱州市期末）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C在x轴上，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点A的纵坐标是a，则点A1的纵坐标是（）A．﹣a B．a C．﹣2a D．2a【分析】根据位似比是1：2直接求解即可．【解答】解：根据题意知，△ABC与△A1B1C的位似比是1：2．若设点A的纵坐标是a，则点A1的纵坐标是|2a|．因为点A位于第二象限，所以a＞0．因为点A1的位于第四象限，所以点A1的纵坐标是﹣2a．故选：C．4．（2022春•碑林区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，BE平分∠ABC，交AD于E，CF⊥BE交BE于点N，交AD于点F，作MN∥CD交AD于点M，则MN＝（）A．B．C．1D．【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，由角平分线的性质和平行线的性质可得△ABE与△CDF为等腰三角形，可得AE＝AB＝CD＝DF＝6，从而可得EF＝3，由AD∥BC可得△EFN∽△BCN，可推出＝，从而可得＝，由MN∥CD可得△MNF∽△DCF，可得＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，AD＝9，∴AD∥BC，CD＝AB＝6，BC＝AD＝9，∴∠CBE＝∠AEB，∠BCF＝∠CFD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝6，∵CF⊥BE，∴∠BCF+∠CBE＝90°，∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCF＝90°，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠BCF＝∠DCF，∴∠DCF＝∠CFD，∴DF＝CD＝6，∵AD＝AE+DE＝9，AE+DF＝AE+DE+EF＝12，∴EF＝3，∵AD∥BC，∴△EFN∽△BCN，∴＝＝＝，∴＝，∵MN∥CD，∴△MNF∽△DCF，∴＝＝，∴MN＝CD＝×6＝，故选：D．5．（2022•南岗区校级二模）如图，在▱ABCD中，点E在CD边上，连接AE、BE，AE交BD于点F，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴．∴．故选项A正确，符合题意；选项B错误，不符合题意；由AB∥CD可得，，∵AB＝DC，∴，∵点E在CD边上，∴CE≠DC，∴选项C错误，不符合题意；如果AD∥BE，那么，∵AD与BE不平行，∴，故选项D错误，不符合题意．故选：A．6．（2022秋•碑林区校级月考）如图，在菱形ABCD中，EF⊥AC于点H，分别交AD于点E，CB的延长线于点F，且AE：FB＝1：3．则GB：CD的值为（）A．B．C．D．【分析】根据菱形的性质可得AB＝CD，AE∥BF，从而利用平行线的性质可得∠EAB＝∠ABF，∠AEF ＝∠F，然后证明8字模型相似三角形△EAG∽△FBG，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∠AEF＝∠F，∴△EAG∽△FBG，∴＝＝，∴＝，∴＝，故选：D．7．（2022•新河县二模）数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度（如图），点O为沙坑底面所在圆的圆心，为其顶点，甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，当他位于B时，其视线恰好经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S 三点共线），为了求得圆锥形坑的深度（圆锥的高），该同学列出了如下表达式，其中不正确的是（）A．B．C．D．【分析】延长SA到C，连接BC，证△ABC∽△AOS得出比例关系，作出判断即可．【解答】解：延长SA到C，连接BC，如图：由题知，∠CBA＝∠SOA＝90°，∠CAB＝∠SAO，∴△ABC∽△AOS，∴，，，故A、B、C三项结论正确不符合题意，D选项结论错误，符合题意，故选：D．8．（2022春•鄞州区期末）如图，点C是线段AB上一点，且AC＞BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连结EF交GD于H，设正方形ACDE的周长和面积分别为C1，S1，正方形CBFG的周长和面积分别为C2，S2，下列一定能求出△DEH与△GFH面积差的条件是（）A．S1﹣S2B．S1+S2C．C1﹣C2D．C1+C2【分析】设正方形ACDE的边长为a，正方形CBFG的边长为b，则DE＝CD＝a，FG＝CG＝b，由正方形的性质可得DE∥FG，推出△EDH∽△FGH，可得＝＝，设DH＝ax，GH＝bx，则DG＝DH+GH ＝CD﹣CG，即（a+b）x＝a﹣b，可得x＝，S△DEH＝DE•DH＝a•ax＝a2x，S△FGH＝FG•GH ＝b•bx＝b2x，可得S△DEH﹣S△FGH＝a2x﹣b2x＝x（a2﹣b2）＝××（a+b）（a﹣b）＝（a ﹣b）2，由为C1＝4a，C2＝4b可得C1﹣C2＝4（a﹣b），即可求解．【解答】解：设正方形ACDE的边长为a，正方形CBFG的边长为b，则DE＝CD＝a，FG＝CG＝b，∵点A，B，C在同一线段上，∴DE∥FG，∴△EDH∽△FGH，∴＝＝，设DH＝ax，GH＝bx，则DG＝DH+GH＝CD﹣CG，即（a+b）x＝a﹣b，∴x＝，∵S△DEH＝DE•DH＝a•ax＝a2x，S△FGH＝FG•GH＝b•bx＝b2x，∴S△DEH﹣S△FGH＝a2x﹣b2x＝x（a2﹣b2）＝××（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）2，∵C1＝4a，C2＝4b，∴C1﹣C2＝4（a﹣b），∴a﹣b＝，∴S△DEH﹣S△FGH＝（）2，故选：C．9．（2022•北仑区二模）将矩形ABCD和矩形CEFG分割成5块图形（如图中①②③④⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形BEHN．若AM＝1，DE＝4，EF＝3，那么矩形BEHN的面积为（）A．20B．24C．30D．45【分析】先判定△BCE≌△EDP（AAS），即可得出PD＝EC；设HM＝EC＝PD＝x，则MP＝3﹣x，再根据△HPM∽△EPD，即可得到＝，即＝，进而得到EC＝2，DC＝6，最后根据S矩形BEHN＝S矩形ABCD+S矩形CEFG进行计算，即可得到矩形BEHN的面积．【解答】解：由题意知AN＝EF＝3，BC＝AD＝MN＝AN+AM＝4，∴MD＝AD﹣AM＝4﹣1＝3，∵∠BEH＝90°，∴∠PED+∠BEC＝∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠PED＝∠EBC，∵BC＝DE＝4，∴△BCE≌△EDP（AAS），∴PD＝EC，设HM＝EC＝PD＝x，则MP＝3﹣x，∵∠HMP＝∠EDP＝90°，∠HPM＝∠EPD，∴△HPM∽△EPD，∴＝，即＝，解得x＝2，∴EC＝2，DC＝2+4＝6，∴S矩形BEHN＝S矩形ABCD+S矩形CEFG＝BC×DC+EC×EF＝4×6+2×3＝30．故选：C．10．（2022•市中区校级模拟）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝2，则＝．A．1B．2C．3D．4【分析】过点E作EM∥BC，交AC于点M，根据菱形的性质可得AB＝BC，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC ＝∠BAD＝60°，从而可得△ABC是等边三角形，然后得出BC＝AC，∠ACB＝∠B＝60°，从而利用SAS证明△BEC≌△AFC即可判断①，利用①的结论可得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，从而可得∠BCA＝∠ECF＝60°，即可判断②，根据三角形的外角可得∠AGE＝60°+∠AFG，即可判断③，根据平行线的性质可证△AEM是等边三角形，最后证明8字模型相似三角形△AGF∽△MGE，利用相似三角形的性质即可判断④．【解答】解：过点E作EM∥BC，交AC于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠B＝60°，∵BE＝AF，∠B＝∠DAC，∴△BEC≌△AFC（SAS）；故①正确；∵△BEC≌△AFC；∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，∴∠BCA＝∠ECF＝60°，∴△ECF是等边三角形，故②正确；∵△ECF是等边三角形，∴∠EFC＝60°，∵∠AGE是△AGF的一个外角，∴∠AGE＝∠AFG+∠DAC＝60°+∠AFG，∵∠AFC＝∠AFG+∠CFE＝60°+∠AFG，∴∠AGE＝∠AFC，故③正确；∵△BEC≌△AFC，∴AF＝BE＝2，∵AB＝5，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3，∵EM∥BC，∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝3，∵∠DAC＝∠AME＝60°，∠AGF＝∠EGM，∴△AGF∽△MGE，∴＝＝，故④正确；所以，上列结论正确的有4个，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•鹿城区校级月考）如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝8，E为AD延长线上一点，且DE＝4，连接BE交CD于点F，则CF＝6．【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝8，AB＝DC＝9，AD∥BC，证明△BCF∽△EDF，由相似三角形的性质得出＝，则可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，AB＝DC＝9，AD∥BC，∵BC∥DE，∴△BCF∽△EDF，∴＝，设CF＝x，则DF＝9﹣x，∴＝，∴x＝6，∴CF＝6．故答案为：6．12．（2022•静安区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，AO：OC＝1：4，设＝，那么＝．（用含向量的式子表示）【分析】由相似三角形性质可得＝4＝4，再根据梯形中位线定理即可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝＝，∴＝4＝4，∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴＝（+）＝（+4）＝，故答案为：．13．（2022•朝阳区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝8，AD＝6，则AF的长为．【分析】根据矩形的性质可得AB＝CD＝8，∠ADC＝90°，AB∥CD，从而在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC的长，然后证明8字模型相似三角形△CDF∽△AEF，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，∠ADC＝90°，AB∥CD，∵AD＝6，∴AC＝＝＝10，∵点E是AB的中点，∴AE＝AB＝4，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠DEA，∠DCF＝∠CAE，∴△CDF∽△AEF，∴＝＝＝2，∴AF＝AC＝，故答案为：．14．（2022•上城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．连结AD，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F．已知AC＝3，BC＝4，若△DEF为直角三角形，则△DEF的面积为或．【分析】当∠EDF＝90°时，延长ED，交AB于点G．由翻折可得，∠EAD＝∠BAD，∠B＝∠D，BD ＝DE，由于∠E+∠DAE＝∠ADG，∠B+∠BAD＝ADC，可得∠ADG＝∠ADC，进而可得△ACD为等腰直角三角形，则AC＝CD＝3，BD＝DE＝BC﹣CD＝1，设DF＝x，则CF＝3﹣x，利用△ACF∽△EDF 可建立方程，求出x的值，进而可求出答案；当∠DFE＝90°时，可得AB＝AE＝＝5，EF＝2，设DF＝x，则DE＝DB＝4﹣x，由勾股定理可得（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，利用三角形的面积公式可得出答案．【解答】解：当∠EDF＝90°时，延长ED，交AB于点G．由翻折可得，∠EAD＝∠BAD，∠B＝∠D，BD＝DE，∵∠E+∠DAE＝∠ADG，∠B+∠BAD＝ADC，∴∠ADG＝∠ADC，∵△DEF为直角三角形，即∠EDF＝90°，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠ADC＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，则AC＝CD＝3，BD＝DE＝BC﹣CD＝1，设DF＝x，则CF＝3﹣x，∵∠C＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴，即，解得x＝，经检验，x＝是原方程的解，∴＝．当∠DFE＝90°时，如图，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝AE＝＝5，∴EF＝2，设DF＝x，则DE＝DB＝4﹣x，∴（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，∴S△DEF＝＝＝．故答案为：或．15．（2022秋•二道区校级期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，则阴影部分图形的面积为．【分析】根据题意得：AB＝1，CD＝2，AB∥CD，从而利用平行线的性质可得∠BAE＝∠ECD，∠ABE ＝∠CDE，进而可得△ABE∽△CDE，然后利用相似三角形的性质可得＝，从而可得S△CDE＝S△BCD，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：AB＝1，CD＝2，AB∥CD，∴∠BAE＝∠ECD，∠ABE＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴＝＝，∴＝，∴S△CDE＝S△BCD＝×•CD•BC＝×2×2＝，∴阴影部分图形的面积为，故答案为：．16．（2022•兴城市一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD∥BC，连接BD交AC于点E，AF ⊥BD，垂足为点G，交BC的延长线于点F，连接CG，若AD＝CE＝1，则下列结论：①CF＝1；②BG ﹣AG＝CG；③△ECG∽△GCA；④AC＝．其中正确的序号是①②④．【分析】根据已知可得∠ACB＝∠ACF＝90°，再利用同角的余角相等可得∠BEC＝∠F，从而证明△BCE ≌△ACF，然后利用全等三角形的性质即可判断①；过点C作CH⊥GC，交AF的延长线于点H，可得∠BCG＝∠ACH，再利用（1）的结论可得∠GBC＝∠HAC，从而可证△BCG≌△ACH，进而可得BG＝AH，CG＝CH，然后再根据GH＝CG，即可判断②；根据BC≠CG，从而可得∠GBC≠∠BGC，进而可得∠HAC≠∠BGC，即可判断③；设AE＝x，则BC＝AC＝1+x，然后证明8字模型相似三角形△BEC ∽△DEA，再利用相似三角形的性质可求出AE的长，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ACF，∵AF⊥BD，∴∠BGF＝90°，∴∠GBF+∠F＝90°，∵∠GBF+∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠F，∵AC＝BC，∴△BCE≌△ACF（AAS），∴CE＝CF＝1，故①正确；过点C作CH⊥GC，交AF的延长线于点H，∴∠GCH＝90°，∴∠BCA+∠ACG＝∠GCH+∠ACG，∴∠BCG＝∠ACH，∵△BCE≌△ACF，∴∠GBC＝∠HAC，∵BC＝AC，∴△BCG≌△ACH（ASA），∴BG＝AH，CG＝CH，∴GH＝CG，∵AH﹣AG＝GH，∴BG﹣AG＝CG，故②正确；∵BC≠CG，∴∠GBC≠∠BGC，∵∠GBC＝∠HAC，∴∠HAC≠∠BGC，∴△ECG与△GCA不相似，故③不正确；设AE＝x，则BC＝AC＝AE+CE＝1+x，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝90°，∵∠BEC＝∠AED，∴△BEC∽△DEA，∴＝，∴＝，∴x＝或x＝（舍去），∴AE＝，∴AC＝AE+EC＝，故④正确；所以，上列结论中，正确的序号是①②④，故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022•永嘉县三模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE，BF交于点P．（1）求证：AP＝4PE．（2）若∠BPE＝∠BFD，且AD＝8，求四边形PFCE的面积．【分析】（1）取BF的中点G，连接EG，然后利用三角形的中位线定理可得FC＝2GE，再根据矩形的性质可得∠ABE＝90°，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD，从而可得EG∥AB，再根据线段中点的定义可得AB＝CD＝2CF，最后证明8字模型相似三角形△ABP∽△EGP，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答；（2）根据等角的补角相等可得∠1＝∠2，从而可得∠1＝∠3，进而可得AB＝AP＝4PE，然后设PE＝a，则AB＝AP＝4a，AE＝5a，由勾股定理得BE＝3a，从而求出a的值，进而求出，再求出S△BCF＝，最后利用等式的性质可得S四边形PFCE＝S△ABP，即可解答．【解答】（1）证明：如图：取BF的中点G，连接EG，∵E是BC的中点，∴EG是△BCF的中位线，∴EG∥CD，FC＝2GE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝90°，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD，∴EG∥AB，∵F是CD的中点，∴CD＝2CF，∴AB＝CD＝2FC＝4GE，∵EG∥AB，∴∠BAE＝∠AEG，∠ABP＝∠BGE，∴△ABP∽△EGP，∴＝＝，∴AP＝4PE；（2）解：∵∠BPE＝∠BFD，∠BFD+∠2＝180°，∠BPE+∠1＝180°，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝AP＝4PE，设PE＝a，则AB＝AP＝4a，AE＝AP+PE＝5a，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝3a，∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝6a，∴AD＝BC＝2BE＝6a，∵AD＝8，∴6a＝8，∴，∴，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2a，∴S△BCF＝＝＝6a2＝．∴S△ABE＝S△BCF，∴S△ABE＝﹣S△BPE＝S△BCF﹣S△BPE，∴S四边形PFCE＝S△ABP，∵AP＝4PE，∴，∴四边形PFCE的面积为．18．（2022•淮北模拟）如图，在同一平面上的四个点A，B，C，D为某县四个乡镇的中心点，连接这四个乡镇之间的公路AB＝40km，AC＝BD＝20km．“美丽乡村”建设项目规划在C，D两个乡镇之间修一条公路CD．已知∠CAB＝36.8°，∠ABD＝53.2°．求CD的长．（参考数据：sin36.8°＝cos53.2°≈0.6，sin53.2°＝cos36.8°≈0.8，≈7.6．）【分析】设AB与CD相交于点E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点D作DP⊥AB，垂足为P，在Rt △AFC中，利用锐角三角函数的定义求出AF，CF的长，再在Rt△DBP中，利用锐角三角函数的定义求出BP，DP的长，从而求出FP的长，然后证明8字模型相似三角形△CFE∽△DPE，再利用相似三角形的性质可求出EF，EP的长，最后分别在Rt△CEF和Rt△DPE中，利用勾股定理可求出CE，DE的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：设AB与CD相交于点E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点D作DP⊥AB，垂足为P，在Rt△AFC中，∠CAB＝36.8°，AC＝20km，∴CF＝AC•sin36.8°≈20×0.6＝12（km），AF＝AC•cos36.8°≈20×0.8＝16（km），在Rt△DBP中，∠ABD＝53.2°，BD＝20km，∴DP＝BD•sin53.2°≈20×0.6＝12（km），DP＝BD•cos53.2°≈20×0.8＝16（km），∵AB＝40km，∴FP＝AB﹣AF﹣BP＝40﹣16﹣12＝12（km），∵∠CFE＝∠DPE＝90°，∠CEF＝∠DEP，∴△CFE∽△DPE，∴＝＝＝，∴EF＝FP＝（km），EP＝FP＝（km），∴CE＝＝＝（km），DE＝＝＝（km），∴CD＝CE+DE＝＝4≈30.4（km），∴CD的长约为30.4km．19．（2022•凤山县模拟）如图，以AB为直径的⊙O是△ACD的外接圆，连接OC，OD，AC＝CD，AB交CD于点E，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：∠P＝∠P AD；（2）若⊙O的半径为3，OE＝2，求CE的长．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDC+∠ADC＝90°，再利用切线的性质可得∠ABP＝90°，进而可得∠P+∠BAP＝90°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠BAP ＝∠BDC，从而可得∠P＝∠ADC，最后利用等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC，即可解答；（2）根据已知可得△AOC≌△DOC，从而可得∠ACO＝∠DCO，∠CAO＝∠CDO，再利用等腰三角形的性质可得∠ACO＝∠CAO＝∠OCD＝∠ODC，然后利用（1）的结论可得∠OCD＝∠BDC，从而证明OC∥BD，进而利用平行线分线段成比例可得，即可得出DE＝CE，最后证明8字模型相似三角形△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC+∠ADC＝90°，∵PB与⊙O相切于点B，∴∠ABP＝90°，∴∠P+∠BAP＝90°，∵∠BAP＝∠BDC，∴∠P＝∠ADC，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，∴∠P＝∠P AD；（2）解：∵AC＝CD，OC＝OC，OA＝OD，∴△AOC≌△DOC（SSS），∴∠ACO＝∠DCO，∠CAO＝∠CDO，∵OA＝OC，OC＝OD，∴∠ACO＝∠CAO，∠OCD＝∠ODC，∴∠ACO＝∠CAO＝∠OCD＝∠ODC，∵∠CAO＝∠CDB，∴∠OCD＝∠BDC，∴OC∥BD，∴，∴，∴，∵∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB，∴，∴，∴CE⋅DE＝5，∴，∴CE＝或CE＝﹣（舍去），∴CE的长为．20．（2022•房山区二模）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．（1）求证：△ABH≌△EAF；（2）如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求的值．【分析】（1）由∠ABC＝∠BCD和AE∥DC可得AB＝AE，由EF∥AB可得∠BAH＝∠AEF，由AE∥DC，CH∥AF可得四边形AHCF为平行四边形，从而可得AH＝CF，再由EF∥AB可得∠ABC＝∠CEF，从而可得EF＝CF，即可得出EF＝AH，即可证明；（2）延长BM，EF交于点G，由EF∥AB可得∠ABE＝∠FEC，由AE∥CF可得∠AEB＝∠FCE，从而可得△ABE∽△FEC，设EF＝CF＝a，AB＝AE＝ax，由点M为AF中点可得AM＝FM，由EF∥AB可得∠ABM＝∠FGM，可证△ABM≌△FGM（AAS），则FG＝AB＝ax，则EG＝EF+FG＝a+ax，由（1）可知四边形AHCF为平行四边形，可得AH＝CF＝a，则EH＝AE﹣AH＝ax﹣a，由AB∥EG可得△ABH∽△EGH，从而可得＝，即＝，解得x＝1±，由x＞0可得x＝1+，即＝x＝1+．【解答】（1）证明：∵AE∥DC，∵∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠AEB＝∠ABC，∴AB＝AE，∵EF∥AB，∴∠BAH＝∠AEF，∵AE∥DC，CH∥AF，∴四边形AHCF为平行四边形，∴AH＝CF，∵EF∥AB，∴∠ABC＝∠CEF，∵AE∥CF，∴∠ECF＝∠AEB＝∠ABC，∴∠ECF＝∠CEF，∴EF＝CF，∴EF＝AH，∴△ABH≌△EAF（SAS）；（2）如图，延长BM，EF交于点G，∵EF∥AB，∴∠ABE＝∠FEC，∵AE∥CF，∴∠AEB＝∠FCE，∴△ABE∽△FEC，设EF＝CF＝a，AB＝AE＝ax，∵点M为AF中点∴AM＝FM，∵EF∥AB∴∠ABM＝∠FGM，∴△ABM≌△FGM（AAS），FG＝AB＝ax，∴EG＝EF+FG＝a+ax，由（1）可知四边形AHCF为平行四边形，∴AH＝CF＝a，∴EH＝AE﹣AH＝ax﹣a，∵AB∥EG∴△ABH∽△EGH，∴＝，即＝，解得x＝1±，∵x＞0，∴x＝1+，即＝x＝1+．21．（2022•金平区一模）如图，AB、CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为上一点，点F为EC延长线上一点，∠F AC＝∠AEF．连接ED，交AB于点G．（1）证明：AF为⊙O的切线；（2）证明：AF＝AG；（3）若⊙O的半径为2，G为OB的中点，AE的长．【分析】（1）根据垂直定义可得∠AOC＝90°，从而利用圆周角定理可得∠AEF＝∠AOC＝45°，进而可得∠F AC＝45°，然后根据△AOC是等腰直角三角形可得∠OAC＝45°，从而求出∠OAF＝90°，即可解答；（2）根据圆内接四边形对角互补，以及平角定义可得∠ACF＝∠ADG，再根据已知AB⊥CD，可证AD＝AC，∠F AC＝∠DAB＝45°，从而证明△ADG≌△ACF，即可解答；（3）连接BE，AD，分别在Rt△OAD和Rt△ODG中，根据勾股定理求出AD，DG的长，然后证明△ADG∽△EBG，利用相似三角形的性质求出BE的长，最后在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长，即可解答．【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，∴∠AOC＝90°，∴∠AEF＝∠AOC＝45°，∵∠F AC＝∠AEF，∴∠F AC＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠OAF＝∠OAC+∠F AC＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AF为⊙O的切线；（2）证明：∵四边形ADEC是圆内接四边形，∴∠ADG+∠ACE＝180°，∵∠ACE+∠ACF＝180°，∴∠ACF＝∠ADG，∵AB⊥CD，∴∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°，∴AD＝AC，∠DAB＝∠BOD＝45°，∴∠F AC＝∠DAB＝45°，∴△ADG≌△ACF（ASA），∴AG＝AF；（3）解：连接BE，AD，∵G为OB的中点，OB＝2，∴OG＝GB＝OB＝1，∵OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，∴AD＝OA＝2，∵∠BOD＝90°，∴BD＝＝＝，∵∠DAB＝∠DEB，∠AGD＝∠BGE，∴△ADG∽△EBG，∴＝，∴＝，∴EB＝，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝，∴AE的长为．22．（2022•甘井子区校级模拟）如图1，在△ABC中，BC＝3，∠ACB＝90°，点D在线段BA上运动，以线段DB为直角边构造等腰Rt△BDE，BE是斜边，当点D运动到点A时（如图2），△BCF的面积为是，若BD的长为x，△BED与△ABC重叠部分的面积为S．（1）求AC的长；（2）求S关于x的函数解析式并直接写出自变量x的取值范围．【分析】（1）根据△BCF的面积先求出CF，证明△ABC≌△EAH，得到AH＝BC＝3，EH＝AC，设AC ＝EH＝a，证明△EFH∽△BFC列出关于a的方程求解即可；（2）分当0＜x和时两种情况分别求解．【解答】解：（1）当点D与点A重合时，如图1，过点E作EH⊥AF于点H，∵△BCF的面积为，BC＝3，∴，∴CF＝，∵△BDE是等腰直角三角形，∴BA＝AE，∠BAE＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝90°，∵∠ACB＝90°，EH⊥AF，∴∠ACB＝∠AHE＝90°，∴∠CAE+∠AEH＝9，∴∠BAC＝∠AEH，∴△ABC≌△EAH，∴AH＝BC＝3，EH＝AC，设AC＝EH＝a，则HF＝AC﹣AH﹣CF＝a﹣3﹣＝a﹣，∵∠FHE＝∠ACB＝90°，∠BFC＝∠EFH，∴△EFH∽△BFC，∴，解得，a＝4，∴AC＝4．（2）如图2，当0＜x时，S＝，如图3，当时，设DE交AC于点M，过点F作FN⊥DE于点N．∵BD＝DE＝x，∴AD＝5﹣x，DM＝（5﹣x）．∴ME＝DE﹣DM＝，设FN＝h，则MN＝，NE＝h，∵ME＝MN+NE，∴，解得h＝∴，∴S＝，综上所述，S＝．。

专题02 相似三角形(难点)(解析版)

专题02 相似三角形（难点）一、单选题1．下列说法不正确的是（）A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2C．若线段AB，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC2．下列说法正确的是（）A．两个直角三角形相似B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似【答案】D【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．【解析】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，故选项B不合题意；C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3．点P是线段AB的黄金分割点，且AP PB>，下列命题：()()()()222=×=×=×=，中正确的有（）1AB AP PB2AP PB AB3BP AP AB4AP:AB PB:AP4．下列关于向量的说法中，不正确的个数是（）①()()3330a b a b ---=r r r r ；②若3a b =r r ，则3a b =-r r ；③若m 、n 是实数，则()()m na mn a =r r ；④如果非零向量b r 与非零向量a r 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b ma =r r ；⑤如果非零向量a mb =r r ，则a r 与b r 所在的直线平行；⑥如果0a ®与0b ®分别是a r 与b r 的单位向量，则00//a b ®®5．如图，在中，，，下列结论正确的是（）A．AM AMNC AB=B．AD DNDM MC=C．AM ANMB AC=D．DN MNMC BC=BE=1，则EC=（）A．32B．2C．3D．4OE DF ∥7．如图是一架梯子的示意图，其中1111∥∥∥AA BB CC DD ，且AB BC CD ==．为使其更稳固，将A ，1D 间加一条安全绳（线段1AD ），1AD 分别交1BB ，1CC 于点E ，F ，量得0.4m =AE ．则1AD 的长为（）接DE ．将△BDE 沿DE 折叠，得到△B ′DE ，点B 恰好落在AC 的中点处，设DE 与BB 交于点F ，则EF ＝（）A ．12B ．53C D ∴△AHB ′是等腰直角三角形，∴AH ＝B ′H 22=AB ′，∵AB ′12=AC 2=，9．如图，正方形ABCD 由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF 交DE 于点M ．若12AH AE =，则HM MF 的值为（）A ．49B ．12C ．47D ．23∵正方形ABCD 由四个全等的直角三角形拼接而成，AEH BFE CGF DHG @@@V V V V 设3,AB a =10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在C¢处，EC¢与AB交于点F，连接BC¢．当43FAEA=时，BC’的长为（）A B．C D．【答案】D【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．【解析】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D 作DM⊥EC于M．∵∠FAE=∠CAB=90°，FA EA=∴EF：AF：AE=5：4：3，∵C′H∥AF，∴△EAF∽△EHC′，∴EC′：C′H：EH=EF：AF：设EH=3k，C′H=4k，EC′=二、填空题11．已知235a b c ==，且a+b+c≠0，则232a b c a b c +-++=_____．13．如图，在△ABC 中，AD 为边BC 上的中线，DE ∥AB ，已知ED a =，BC b =，那么用a ，b 表示AD ＝_____．14．如图，ABC V 的中线AD 、CE 交于点G ，点F 在边AC 上，GF BC P ，那么GF BC的值是__________.15．如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果CF ∶CA=a ∶b ，那么BE ∶AE 的值为______．（用含a 、b 的式子表示）过点B 作BG ∥AC 交EF 于点∴∠1=∠C∵点D 是边BC 的中点∴BD=CD在△BDG 和△CDF 中1=C BD CD ÐÐìï=í线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=AF=2BF，那么GB=______．形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为________．【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义是解决本题的关键．18．如图，梯形ABCD 中，4//,90,tan ,3AD BC B C AB BC Ð===o ，点E 在边CD 上，把BCE V 绕点B 逆时针旋转90°，点E 的对应点是点F ，点C 的对应点是点M ，如果//EF BC ，那么:DE CE 的值是_______．三、解答题19．已知，x：y：z＝2：3：4，求：（1）x yz+的值；（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．(1)求证：AH⊥BC；（1）求EC的值；CD ．(1)求证：DE ∥CF ；(2)联结DF ，设AD 、CF 的交点为M ，如果2DF ＝FM •FC ，求证：DF∥AC ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ACD ≌△CBF ，得出∠CAD ＝∠BCF ，由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出∠BDE ＝∠CAD ，进而得出∠BDE ＝∠BCF ，即可证明DE ∥CF ；（2）先证明△DFM ∽△CFD ，得出∠FDM ＝∠FCD ，由∠CAD ＝∠BCF ，得出∠FDM ＝∠CAD ，即可证明DF ∥AC ．（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ，∠ACB ＝∠B ＝60°，在△ACD 和△CBF 中，AC CB ACD B CD BF =ìïÐ=Ðíï=î，223．如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求证：22AB BD BD DE-=×；DA EF AB CE AF=，AE延长线交DC延长线于点P．(1)证明：四边形ACEG 是等腰梯形；(2)若点E 是BC 的黄金分割点，且CE BE <，证明：2CP CE AD =×．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据正方形的性质可得四边形AFEC 是平行四边形，进一步可得CE AG =，根据平行四边形的性质可得GE AC ¹，且GE AC ∥，即可得证；（2）根据正方形的性质易得ABE △∽PCE V ，根据相似三角形的性质以及黄金分割比可得CP BE =，进一步即可得证．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD BC ∥，BC BA =，90ABC BAC Ð=Ð=°，45BAC BCA \Ð=Ð=°，又CE AF =Q ，\四边形AFEC 是平行四边形，45F BCA \Ð=Ð=°，AC FE ∥，AC FE =，90FAG Ð=°Q ，45AGF F \Ð=Ð=°，AG AF \=，CE AG \=，GE AC ¹Q ，且GE AC ∥，\四边形ACEG 是等腰梯形；（2）证明：在正方形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC AD ==，ABC BCP \Ð=Ð，AEB PEC Ð=ÐQ ，ABE \V ∽PCE V ，BE \：AB CE =：PC ，E Q 是BC 的黄金分割点，且CE BE <，BE \∶BC CE =∶BE ，AB BC =Q ，CP BE \=，CP \∶AB CE =∶PC ，AB AD =Q ，2\=×．CP CE AD【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．V中，点D、点E分别在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点25．如图，在ABCÐ=Ð=Ð．F，且A EPB ECB×=×；(1)求证：BE BA BP BD(1)如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．求证：点B是线段DC′的黄金分割点；(2)如图2，连接AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N．求证：MN2＝PN•DN．MN PN DN=×==．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．5DE DF（1）求证：BG CH =；（2）设AD x =，ADN △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；与性质、分类讨论思想的运用等知识点．28．如图，在矩形ABCD 中，:3:2AB BC =，点F 、G 分别在边AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形EFGP ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．(1)若BC ＝8，E 是BC 中点，求BF 的长；(2)试探究GF 与AE 之间的位置关系与数量关系，并说明理由；(3)连接CP ，若34BE BF =，GF =，求线段BE 和CP 的长．。

相似三角形有难度有答案

1、已知△ABC是等边三角形，点P是AC上一点，PE⊥BC于点E，交AB于点F，在CB的延长线上截取BD=PA，PD交AB于点I，.（1）如图1，若，则= ，= ；（2）如图2，若∠EPD=60º，试求和的值；（3）如图3，若点P在AC边的延长线上，且，其他条件不变，则= .(只写答案不写过程)2、△ABC是锐角三角形，BC=6，面积为12.点P在AB上，点Q在AC上.如图9-33，正方形PQRS（RS与A在PQ的异侧）的边长为x，正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积为y.图9-33（1）当RS落在BC上时，求x；（2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式；（3）求公共部分面积的最大值.3、如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长．4、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）图（1），当t为何值时，AP=2AQ；（2）图（2），当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）图（3），作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？图（1）图（2）图（3）5、阅读理解如图，在中，AD平分，求证：.小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点B作BE//AC交AD的延长线于点E，构造∽，则.于是小明得出结论：在中，AD平分，则.（1）请完成小明的证明过程。

应用结论（2）如图，在中，AD平分线段BD的长度为：‚求线段CD的长度和的值6、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0＜t＜10）．（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．8、如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。

专题03 相似三角形中的最值问题专练(一)(解析版)九下数学专题培优训练

专题03 相似三角形中的最值问题专练（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.一个四边形的各边之比为1：2：3：4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为()A. 10cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm【答案】C【分析】根据相似四边形的性质列式计算即可．本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边比的比相等是解题的关键．【解答】解：设它的最大边长为xcm，∵两个四边形相似，∴15=4x，解得，x=20，2.在如图所示的5×5方格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在如图所示的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形的最小面积和最大面积分别为()A. 0.5，2.5B. 0.5，5C. 1，2.5D. 1，5【答案】B【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，勾股定理的有关知识，作出面积最小和面积最大的格点三角形，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以此题只要求得两三角形的一组对应边的比即可．根据格点三角形边长的求解方法，易得AB，DE与GH的长．即可得出问题的解．【解答】解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．因为△DEF ，△GHI 和△ABC 都相似，AB =√2，DE =1，GH =√10，所以它们的相似比为DE ：AB =1：√2，GH ：AB =√10：√2，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC 的面积为12×2×1=1， ∴△DEF 的面积为12×1=0.5，△GHI 的面积为(√10√2)2×1=5，3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【分析】设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，MN 最小值为OP −OF =53，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 最大值=103+1=133，由此不难解决问题．本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点MN 取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．【解答】解：如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP −OF ，∵AC =4，BC =3，∴AB =5∵∠OPB =90°，∴OP//AC∵点O 是AB 的三等分点，∴OB=23×5=103，OPAC=OBAB=23，∴OP=83，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD//BC，∴ODBC =OQAB=13，∴OD=1，∴MN最小值为OP−OF=83−1=53，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值=103+1=133，∴MN长的最大值与最小值的和是6．4.如图，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分别为(13,1)，(3,1)，(3,0)，点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为(0,b)，则b的取值范围是()A. −14≤b≤1 B. −54≤b≤1 C. −94≤b≤12D. −214≤b≤1【答案】B本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y 与x 之间的函数解析式是解题的关键．延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN.证明△PAB∽△NCA ，得出PB NA =PA NC ，设PA =x ，则NA =PN −PA =3−x ，设PB =y ，代入整理得到y =3x −x 2=−(x −32)2+94，根据二次函数的性质以及12≤x ≤3，求出y 的最大与最小值，进而求出b 的取值范围．【解答】解：如图，延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．在△PAB 与△NCA 中，{∠APB =∠CNA =90∘∠PAB =∠NCA =90∘−∠CAN， ∴△PAB∽△NCA ，∴PB NA =PA NC ，设PA =x ，则NA =PN −PA =3−x ，设PB =y ，∴y 3−x =x 1，∴y =3x −x 2=−(x −32)2+94， ∵−1<0，12≤x ≤3，∴x =32时，y 有最大值94，此时b =1−94=−54， x =3时，y 有最小值0，此时b =1，∴b 的取值范围是−54≤b ≤1．5. 如图，已知边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF =2，BF =1，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( ) A. 10B. 8C. 252D. 12【答案】D本题考查了二次函数的最值的运用．关键是设线段的长，利用相似的性质表示矩形的面积，用二次函数解题．延长NP 交EF 于G 点，设PG =x ，则PN =4−x ，利用平行线构造相似三角形，得出线段的比相等，从而表示矩形PNDM 的长、宽，再表示矩形的面积，利用配方法求函数的对称轴，根据x 的取值范围求最大值．【解答】解：延长NP 交EF 于G 点，设PG =x ，则PN =4−x ，∵PG//BF ，∴△APG∽△ABF ， ∴AG AF =PG FB ，即AG 2=x 1，解得AG =2x ，∴MP =EG =EA +AG =2+2x ，∴S 矩形PNDM =PM ⋅PN =(2+2x)(4−x)=−2x 2+6x +8=−2(x −32)2+252(0≤x ≤1)，∵−2<0，对称轴为x =32∴抛物线开口向下，且当x <32时，S 随x 的增大而增大，又PG =x ≤BF =1，∴当x =1时，函数有最大值为12，即当PG =1时，矩形PNDM 的面积最大，最大值为12．6. 如图，定点C 、动点D 在⊙O 上，并且位于直径AB 的两侧，AB =5，AC =3，过点C 在作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，则线段CE 长度的最大值为( )A. 5B. 8C. 325D. 203【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理的应用，确定CE什么时候取最大值是解题的关键．当CD是直径时，CE最长，由AB是直径，得到∠ACB=90°，利用勾股定理得出BC的长度，又因为∠A=∠D，∠ABC=∠ACE=90°，推出△ABC∽△DCE，根据相似三角形的性质列方程求解．【解答】解：当CD是直径时，CE最长，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴BC=√ AB2−AC2=√ 52−32=4，∵∠A=∠D，∠ABC=∠ACE=90°，∴△ABC∽△DCE，∴ AC CD =BC CE，即 3 5=4CE，∴CE=203，二、填空题7.若△ABC的三条边长的比为3:5:6，与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12cm，那么△A′B′C′的最大边长是__________．【答案】24cm【分析】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形的对应边成比例．根据相似三角形的性质，依题意设△A′B′C′三边为3x，5x，6x，其中最小边是12cm，求出x，可求得最长边．【解答】解：三角形三边之比等于与他相似的三角形的三边之比，即3：5：6，与△ABC相似的△A′B′C′最小边为12cm，设△A′B′C′三边为3x，5x，6x，则3x=12cm时，解得x=4，则最长边为4×6=24cm.8.如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形DEFG，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为．【答案】12√1313【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，设GF=(4−x)，由PQ=x，则AP=4−x，证△ADG∽△ABC得比例式，据此知EF=DG=32勾股定理求得EG，进一步可求得答案．【解答】解：如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，∵四边形DEFG是矩形，∴AQ⊥DG，GF=PQ，设GF=PQ=x，则AP=4−x，由DG//BC知△ADG∽△ABC，∴APAQ =DGBC，即4−x4=DG6，则EF=DG=32(4−x)，∴EG=√EF2+GF2=√94(4−x)2+x2=√134x2−18x+36=√134(x−3613)2+14413，∴当x=3613时，EG取得最小值，最小值为12√1313．9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=6√2，D、E分别是边BC、AC上的动点，则DA+DE的最小值为．【答案】163【分析】本题考查轴对称−最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，如图，作A关于BC的对称点A′，连接AA′，交BC于F，过A′作A′E⊥AC于E，交BC于D，则AD=A′D，此时AD+DE的值最小，就是A′E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．【解答】解：作A关于BC的对称点A′，连接AA′，交BC于F，过A′作A′E⊥AC于E，交BC于D，则AD=A′D，此时AD+DE的值最小，就是A′E的长；Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6√2，∴BC=√32+(6√2)2=9，S△ABC=12AB·AC=12BC·AF=3×6√2=9AF，∴AF=2√2，∴AA′=2AF=4√2，∵∠A′FD=∠DEC=90°，∠A′DF=∠CDE，∴∠A′=∠C，∵∠AEA′=∠BAC=90°，∴△AEA′∽△BAC，∴AA′A′E =BCAC，∴4√2A′E =96√2，∴A′E=163，10.如图，已知Rt△ABC中，∠B=90∘，有三个正方形内接于△ABC，最大正方形的边长BD=16，另一个正方形的边长DE=12，则最小正方形的边长GF=．【答案】9【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，根据正方形的性质和∠B=90∘，得到HG//FJ//DK//AB，然后利用平行线分线段成比例进行求解即可．【解答】解：如图∵Rt△ABC中，∠B=90∘，四边形BDMK，四边形DFEJ，四边形FGHI均为正方形，最大正方形的边长BD=16，另一个正方形的边长DE=12，∴HG//FJ//DK//AB，∴CDBC =DKAB，FJAB=CFBC，∴CDDK =FCJF=BCAB，∴12+CF16=CF12，解得：CF=36，∴CD=12+36=48，∴BCAB =CDDK=4816=3，∵HG//AB，∴HGAB =CGBC，∴CGHG =BCAB=3，∴CF−FGHG=3，∴36−FGFG=3，解得：GF=9．11.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为______，线段DH长度的最小值为______．【答案】3√2；√13−√2【分析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD 于N.首先利用相似三角形的性质证明EM=2FN，推出EM=2，FN=1，当点P与A 重合时，PQ的值最大，由勾股定理和直角三角形的性质求出OD，OH即可解决问题．本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，梯形的中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O 作ON⊥CD于N．∵四边形ABCD是矩形，DF=CF，AE=EB，∴四边形ADFE是矩形，∴EF=AD=3，∵FQ//PE，∴△MFQ∽△MEP，∴MFME =FQPE，∵PE=2FQ，∴EM=2MF，∴EM=2，FM=1，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=√AE2+ME2=√22+22=2√2，MQ=√FQ2+MF2=√12+12=√2，∴PQ=3√2，∵MF//ON//BC，MO=OB，∴FN=CN=1，DN=DF+FN=3，ON=12(FM+BC)=2，∴OD=√DN2+ON2=√32+22=√13，∵BH⊥PQ，∴∠BHM=90°，∵OM=OB，∴OH=12BM=12×√22+22=√2，∵DH≥OD−OH，∴DH≥√13−√2，∴DH的最小值为√13−√2，故答案为3√2，√13−√2．三、解答题12.折纸的思考．[操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD(AB>BC)(如图 ①)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展开(如图 ②).第二步，如图 ③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．(1)说明△PBC是等边三角形．[数学思考](2)如图 ④，小明画出了图 ③的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图 ⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程．(3)已知矩形一边长为3cm，其邻边长为acm.对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．[问题解决](4)用一张正方形铁片剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．【答案】(1)证明：由折叠的性质得直线EF是线段BC的垂直平分线，直线BG是PC的垂直平分线，∴PB=PC，PB=CB，∴PB=PC=CB，∴△PBC是等边三角形．(2)解：本题答案不唯一．例如.以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC绕点B逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1，再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2．(3)解：当等边三角形的边长为3cm，高为acm时，则a=3√3，2当等边三角形的边长为acm，高为3cm时，则a=2√3． ①当0<a≤3√3时，如图．2 ②当3√2<a<2√3时，如图．2 ③当a≥2√3时，如图．(4)解：165．【分析】本题是几何变换综合题，主要考查轴对称的性质，相等垂直平分线的性质，旋转的性质，位似变换的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；(2)由旋转的性质和位似的性质即可得出答案；(3)由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可；(4)证明△AEF∽△DCE，得出AEDC =EFCE=14，设AE=x，则AD=CD=4x，DE=AD−AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：(2)如图，△CEF是直角三角形，∠CEF=90∘，CE=4，EF=1，∴∠AEF+∠CED=90∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90∘，AD=CD，∴∠DCE+∠CED=90∘，∴∠AEF=∠DCE，∴△AEF∽△DCE，∴AEDC =EFCE=14.设AE=x，则AD=CD=4x，∴DE=AD−AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得(3x)2+(4x)2=42，解得x=45，∴AD=4×45=165．故答案为165．13.如图，一张正三角形的纸片的边长为2cm，D、E、F分别是边AB、BC、CA(含端点)上的点，设BD=CE=AF=x(cm)，ΔDEF的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；(2)求ΔDEF的面积y的最大值和最小值．【分析】(1)根据题意可知△AEG≌△BEF≌△CFG三个三角形全等，且在△AEG中，AE= x，AG=2−x；可得△AEG的面积y与x的关系；(2)利用二次函数的性质解决问题即可．本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出y与x的函数关系式，另外要求能根据函数解析式判断函数图象的形状．【解答】解：(1)∵AF=BD=CE=x，且等边△ABC的边长为2，∴BE=CF=AD=2−x，∵∠A=∠B=∠C，∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)．在△ADF中，AF=x，AD=2−x，∵S△ADF=12AD×AF×sinA=√34x(2−x)；∴y=S△ABC−3S△ADF=√3−3×√34x(2−x)=3√34x2−3√32x+√3(0≤x≤2)．(2)∵y=3√34x2−3√32x+√3∴其图象为二次函数，且开口向上，∵0≤x≤2，∴√3≤y≤√3，4∴△DEF的面积的最大值为√3，最小值为√3．414.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．(1)AC=______cm，BC=______cm；(2)当t=5(s)时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值；(3)设点P的运动时间为t(s)，△PBQ的面积为y(cm2)，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(4)探求(3)中得到的函数y有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．【答案】(1)8；6；(2)如图1：∵点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，∴当t=5时，AP=5，∵点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，∴CQ=4，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ垂直平分AC，∴CM=AM，CP=AP，∴△BCM的周长是：BC+CM+BM=6+CM+BM，∴当点M在点P处时，CM+BM=AP+BP=AB为最短，此时，△BCM的周长最小，最小值为：6+10=16；(3)如图2：当Q在BC上运动时，过Q作QH⊥AB于H，∵AP=t，BQ=2t，∴PB=10−t，∵△BQH∽△BAC，∴2t10=QH8，∴QH=85t，∴y=12⋅(10−t)⋅85t=45t2+8t(0<t≤3)；如图3：当Q在CA上运动时，过Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=t，BQ=2t，∴PB=10−t，AQ=14−2t，∵△AQH′∽△ABC，∴14−2t10=QH′6，∴QH′=35(14−2t)，∴y=12⋅(10−t)⋅35(14−2t)=35t2−515t+42(3<t<7)，(4)当0<t≤3时，y=−45t2+8t=−45t2+8t，则当t=3时，y max=845，当3<t<7时，y=35t2−515t+42=35(t−172)2−2720无最大值，则当t=3时，y max=845．【分析】(1)由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；(2)根据所给的条件求出AP和CQ的长，得出PQ垂直平分AC，再根据三角形的面积公式求出当点M在点P处时，CM+BM=AP+BP=AB为最短，从而得出△BCM周长的最小值；(3)分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；(4)分两种情况讨论，当0<t≤3时和3<t<7时，根据(3)求出的y与t的函数关系式，分别进行整理，即可得出答案．此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．解：(1)设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：(4x)2+(3x)2=102，解得：x=2，则AC=8cm，BC=6cm；故答案为：8，6；(2)如图1：∵点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，∴当t=5时，AP=5，∵点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，∴CQ=4，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ垂直平分AC，∴CM=AM，CP=AP，∴△BCM的周长是：BC+CM+BM=6+CM+BM，∴当点M在点P处时，CM+BM=AP+BP=AB为最短，此时，△BCM的周长最小，最小值为：6+10=16；(3)如图2：当Q在BC上运动时，过Q作QH⊥AB于H，∵AP=t，BQ=2t，∴PB =10−t ，∵△BQH∽△BAC ， ∴2t 10=QH 8， ∴QH =85t ， ∴y =12⋅(10−t)⋅85t =45t 2+8t(0<t ≤3)；如图3：当Q 在CA 上运动时，过Q 作QH′⊥AB 于H′，∵AP =t ，BQ =2t ，∴PB =10−t ，AQ =14−2t ，∵△AQH′∽△ABC ，∴14−2t10=QH′6， ∴QH′=35(14−2t)，∴y =12⋅(10−t)⋅35(14−2t)=35t 2−515t +42(3<t <7)，(4)当0<t ≤3时，y =−45t 2+8t =−45t 2+8t ，则当t =3时，y max =845，当3<t <7时，y =35t 2−515t +42=35(t −172)2−2720无最大值，则当t =3时，y max =845．15. 【阅读资料】同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值．(1)求4x 2+16x +19的最小值．解：4x 2+16x +19=4x 2+16x +16+3=4(x +2)2+3因(x +2)2大于等于0，所以4x 2+16x +19大于等于3，即4x 2+16x +19的最小值是3.此时，x =−2(2)求−m 2−m +2的最大值解：−m 2−m +2=−(m 2+m)+2=−(m 2+m +14−14)+2=−(m +12)2+94 因(m +12)2大于等于0，所以−(m +12)2小于等于0，所以−(m +12)2+94小于等于94，即−m 2−m +2的最大值是94，此时，m =−12．【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，AB=8，BC=6，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值．解：在AC上任取点E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF.设EF=x易证△AEF∽△ACB，则AFAB =AEAC=EFBC，AF8=AE10=x6，AF=43x,AE=53x，S矩形BDEF=EF⋅BF=x(8−43x)=8x−43x2…请你写出剩余部分【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=ℎ，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为______.(用含a，h的代数式表示)【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，该矩形的面积为______.(直接写出答案)【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=70cm，BC=108cm，CD=76cm，且∠B=∠C=60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，该矩形的面积为______.(直接写出答案)【答案】aℎ4720 1458√3cm2【分析】【探索发现】利用配方法解决问题即可．【拓展应用】利用相似三角形构建二次三项式，再利用配方法解决问题即可．【灵活应用】如图③，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD 交于点H，取BF中点I，FG的中点K，转化为图②中模型解决问题即可．【实际应用】如图④，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，转化为图②中模型解决问题即可．本题主要考查相似形的综合问题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键．【解答】解：【探索发现】S矩形BDEF =EF⋅BF=x(8−43x)=8x−43x2=−43(x−3)2+12，∵−43(x−3)2≤0，∴S矩形BDEF =EF⋅BF=x(8−43x)=8x−43x2=−43(x−3)2+12=−43(x−3)2+12≤12，∴矩形BDEF的面积的最大值为12．【拓展应用】设PN=b，∵PN//BC，∴△APN∽△ABC，∴AEAD =PNBC，∵BC=a，BC边上的高AD=ℎ，∴ℎ−PQℎ=ba，PQ=aℎ−bℎa，∴S=b⋅PQ=abℎ−ℎb2a =−ℎab2+bℎ=−ℎa(x−a2)2+aℎ4≥aℎ4∴S的最大值为：aℎ4；则矩形PQMN面积的最大值为aℎ4；故答案为：aℎ4．【灵活应用】如图③，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD 交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵{∠FAE=∠DHE AE=AH∠AEF=∠HED，∴△AEF≌△HED(ASA)，∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI=AB+AF2=24，∵BI=24<32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为12×BG⋅12BF=12×(40+20)×12(32+16)=720，故答案为720．【实际应用】如图④，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵∠B=∠C=60°，∴EB=EC，∵EH⊥BC，∴BH=HC，∵EHHC=tan60°=√3设CH=BH=x，Z则EH=√3x，∵BC=BH+CH=108=2x，x=54，∴BH=CH=54，EH=54√3，∴EBEC=2BH=108，∵AB=70，∴AE=38，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=76，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为14BC⋅EH=14×108×54√3=1458√3cm2，故答案为1458√3cm2．。

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相似三角形求值问题难点突破
题一：（2012•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC=2，则AD 的长是（）
A ．
B ．
C ．﹣1
D ．+1
题二：（2012年四川省德阳市）如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）.以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP //BE （点
P 、E 在直线AB 的同侧），如果AB BD 4
1
，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为（） A.41 B.53 C.51 D.43 P
G F
E D C B
A
题三：如图所示，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF ．
题四：如图所示．△ABC 中，E ，D 是BC 边上的两个三等分点，AF=2CF ，BF=12厘米．求：FM ，MN ，BN 的长．
题五：如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD ＝3AB ，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（）
A B
E F
D C
A. 2
B. 32
C. 512+
D. 512
- 题六：（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.
原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3=EF AF ，求CD CG
的值. （1）尝试探究
在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是，CG 和EH 的数量关系是，CD CG
的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若
)0( m m EF AF =则CD CG 的值是（用含m 的代数式表示），试写出解答过程.
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若
,(0,0)AB BC a b a b CD BE
==>>，则AF EF 的值是（用含,a b 的代数式表示）. 题七：（2010 武汉）已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD
交于P 点．
（1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求
PC AP 的值；（2）如图2，当OA=OB ，AO AD =4
1时，求tan ∠BPC ；（3）如图3，当AD ∶AO ∶OB=1∶n ∶n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．
（图1）（图2）（图3）
题八：（2010湖北咸宁）问题背景
（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S =，△EFC 的面积1S =，△ADE 的面积2S =．
探究发现
（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =．拓展迁移
（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．
求△ABC 的面积．题九：（2012•铁岭）已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为E ．
（1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）求线段AE 的长．题十：（2012山东泰安）如图，E 是矩形ABCE 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、
CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H.
（1）求证：△ABE ∽△ECF ；
（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；
（3）若E 是BC 中点，BC=2AB ，AB=2，求EM 的长.
题十一：（2012•日照）在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则
FD
BF 的值是( ) (A) 21 (B) 31 (C) 41 (D) 51
题十二：（2012•贵港）如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．
（1）求证：AF=DF；（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的长．
题十三：（第11届“希望杯”邀请赛试题）如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是____________厘米2。

题十四：（2012四川宜宾）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B 到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。

（1）求证：△ABE∽△ECM;
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。