一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合
一元二次方程公共根
一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 2∆=⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围．(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab b a b a a a --++的值6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简2)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
第1讲一元二次方程的根与解法学生版
初中数学联赛体系第1讲 一元二次方程的根与解法【知识要点与基本方法】 一、一元二次方程基本概念1、概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的形式的方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程必须满足的三大条件 （1）整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数为2 3、一元二次方程的一般形式形如关于x 的一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax 的形式，（它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零）二、一元二次方程的根与解法1、一元二次方程的根0x x =是方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的根的充要条件是0020=++c bx ax . 2、直接开平方法解一元二次方程：（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成)0()(2≥=±a a b x 的形式（2）直接开平方，解得a b x a b x -=+= 21,3、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.【注】、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02=++c bx ax 中a 不等于1，必须两边同时除以a ，使得二次项系数为1.（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根. 4、公式法解一元二次方程（1）对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(aacb a b x -=+， ①当042≥-ac b 时，得aacb b x 242-±-=；②当042<-ac b 时，一元二次方程无实数解.（2）公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法.（3）运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：①必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； ②再计算ac b 42-的值：当04Δ2≥-=ac b 时，方程有实数解，其解为：aacb b x 242-±-=；当04Δ2<-=ac b 时，方程无实数解. 5、因式分解解一元二次方程（1）分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法.（2）分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b （3）用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解.6、含字母系数一元二次方程的解法解关于含字母系数的方程，要求对每个参数允许值回答：方程是否有解？若有解，写出解集.特别地，当二次项系数含有字母系数时，如果题目本身没有指明时一元二次方程，则必须对二次项系数讨论是否为零.【例1】 1、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． 2、若方程()112=⋅+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 . 【例2】1、用分解因式法解下列方程（1）01032=--x x （2）01762=+-x x （3）0625412=-+x x （4）021)1(4)1(2=----x x ． 2、利用求根公式求解下列方程（1） 0222=--x x （2）010342=+-x x（3）()()()()5211313+-=+-x x x x （4）061054422=--++-p x p px x【对应训练】：1、用公式法解下列方程（1）0232=+-x x （2）2212x x -=- （3）x x 3)1(2-=+（4）1(61)432(2)2x x x x ++-=+ （5）023222=--+-n mn m mx x【例3】解下列方程（1）42200x x --=；（2）06)13(2)32(2=----x x ；（3）.02)23()21(2=++-+x x【例4】解下列方程 （1）4122+-=x x（2）112432--=-+x x x【例5】解关于x 的方程 （1）；0)(222=++-ab x b a abx（2）.)1()1()232(22222b x x ab a x x -=+---【例6】1、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 .2、设b a 、是整数，方程02=++b ax x 有一个根是347-，则=+b a .3、已知02=++c bx ax )0(≠ac 有一个根是3，则方程02=++a bx cx 一定有一个根是 ，方程02=+-a bx cx 一定有一个根是 .4、已知两数积1≠ab ，且03123456789022=++a a ，02123456789032=++b b ，则=ba【例7】已知方程p x x =--)97)(19(有实根21,r r ，试求方程p r x r x -=--))((21的最小实根.【例8】求k 的值，使得两个一元二次方程0)2(,0122=-++=-+k x x kx x 有公共根，并分别求出这两个方程的解集.【例9】对于任意实数,k 方程04)(2)1(2222=++++-+b k k x k a x k 都有实根1，试求另一个根的最大值与最小值.【例10】已知方程)0(2>=++a x c bx ax 的两根21x x 、满足ax x 1021<<<.当10x x <<时，证明：12x c bx ax x <++<.【例11】已知首项系数不相等的两个一元二次方程0)2()2()1(,0)2()2()1(222222=+++--=+++--b b x b x b a a x a x a 有公共根.（1）求证：.2++=b a ab（2）若b a ,为正整数，求ab ab ba b a --++的值. （3）设0x 为公共根，求证：.048403040>++-x x x【课后强化训练】A 组1、下列方程中，是一元二次方程的序号是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2； ⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ； ⑨22=-x x ； ⑩)0(2≠=a bx ax2、已知方程3ax 2－bx －1=0和ax 2+2bx －5=0，有共同的根1-，则a = ，b = .3、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 4、在实数范围内分解因式：=--12x x ；=++-223y xy x5、等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形周长为 6、已知042=+-b x x 的一根的相反数为042=-+b x x 的根，则042=-+bx x 的根是 7、已知0132=+-a a ，那么=++--2219294a a a ___________. 8、方程019991997199822=⋅++x x 的解是 . 9、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=ba. 10、已知方程(2011x)2－2010·2012x －1＝0的较大根为a ，方程x2＋2010x －2011＝0的较小根为b ，则a －b ＝__________．11、方程0672=+-x x ，各根的和是 .12、若31028-是方程02=++b ax x 的一个根（其中b a 、是有理数），则ab 的值是 . 13、用公式法解下列各方程（1）x 2+6x +9=7 （2）017122=++x x（3）08242=+-x x （4）4)3)(12(=--x x（5）02)82(42=++-y y （6）02322=--x x（7）)3)(21()12(5+-=-x x x14、用因式分解法解下列方程：（1）t (2t －1)＝3(2t －1)； （2）y 2＋7y ＋6＝0；（3）y 2－15＝2y （4）(2x －1)(x －1)＝1．（5）)3)(21()12(5+-=-x x x （6）10x 2－x －3＝015、解下列方程（1）0)34()45(22=---x x ； （2）06)23(2=++-x x ；（3）0154)35(222=----x x ； （4）02)32()347(2=----x x ；（5）629332+=-+++x x x x .16、已知两个二次方程02=++b ax x ，02=++d cx x 有一个公共根1，求证：二次方程0222=++++db xc a x 也有一个根为1.17、求方程072=--kx x 与()0162=+--k x x 的公共根.B 组1、已知c b 、为方程02=++c bx x 的两个根，且0≠c ，c b ≠.则c b 、的值分别是 、2、已知正实数a b c ，，满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，则a b c ++的值是3、关于x 的方程1)12(62++-=m x m x 有一根α，满足不等式：19981998≤≤-α，且使得α53为整数，则m 可取 个值.4、已知02=++c bx ax 的两根和为1S ，两根平方和为2S ，两根立方根为3S ，则123cS bS aS ++的值是5、已知1=x 是方程02=++c bx ax 的根，0≠abc .则)111(32333222cb ac b a c b a +++++++的值是 .6、（2012湖北随州）设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012≠-ab ，52213⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+a a b ab 的值是 .7、解下列关于x 的方程（1）03222=-+m x m x ； （2）0))()((=+++++++abc b a x a c x c b x ；（3）)0(0)(33442≠=++-ab b a x b a abx ；（4）0)3(2)1(2=+--+m x m x m ；（5）02)5(522=--+-x m x m ）（.8、已知下面三个方程有公共根.02=++c bx ax ，02=++a cx bx ， 02=++b ax cx .求证：abc c b a 3333=++.9、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a 的取值范围.10、若21q q 、是方程02=++b ax x 的两个实根，且0,21≠≠b q q .又21c c 、是任意两个实数，则n n n q c q c x 2211+=是方程021=++--n n n bx ax x 的解.11、设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .初中数学联赛体系第2讲 可化为一元二次方程的方程（组）模块一、特殊高次方程的解法次数超过2的整式方程称为高次方程.一般地高次方程没有统一的求解方法.对于一些特殊的高次方程，可通过降次，转化为一元二次方程或一元一次方程求解.转化的方法有因式分解法、换元法、变换主元法等.【例1】解下列方程（1）13322)132(222+-=+-x x x x（2）222222)143()352()2(+-=+-+-+x x x x x x（3）.3123=--x x x（4）.022224223=-+++x x x（5）062536506650362562345678=+-+-+-+-x x x x x x x x【例2】解方程.02)65(2)11(2102234=++++---a a x a x a x x 其中a 是常数.【例3】方程02=++b ax x 有两个不同的实数根.求证：方程01)2(234=+--++ax x b ax x 有4个不同的实数根.模块二、特殊分式方程的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程，求解分式方程总的原则是通过去分母或换元，时期转化为整式方程，然后再求解.在这个过程中离不开分式的恒等变形，如通分、约分及降低分子的次数等等，这就有可能使未知数的范围扩大（或缩小），从而使方程产生增根（或遗根），因此，当未知数的范围扩大时，需验根。
为什么一元二次方程有有理根,得塔为完全平方数
为什么一元二次方程有有理根，得塔为完全平方数一元二次方程是数学中的一个重要概念，它描述了一个方程中只有一个未知数，未知数的最高次数为二次的方程形式。
一元二次方程在数学中具有非常重要的地位，因为它是一元三次方程和更高次方程的基础。
在现实生活中，一元二次方程的应用也非常广泛，例如在物理学、经济学、工程学等领域都有应用。
为什么一元二次方程有有理根呢？这是因为一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
当满足一定的条件时，这个方程的根可以通过解方程得到。
这些条件包括：b^2-4ac≥0，且c为有理数。
因此，一元二次方程可以有一个或多个有理根。
那么，为什么一元二次方程的“得塔”（delta）为完全平方数呢？得塔是一个数学术语，表示一元二次方程的判别式，即b^2-4ac。
判别式的值决定了方程的解的情况。
当判别式是完全平方数时，方程有两个实数解或一个实数解。
首先，我们需要了解判别式的性质。
判别式可以分解为两部分：正数部分和负数部分。
正数部分表示方程的近似解的范围，负数部分表示方程没有实数解。
因此，当判别式为完全平方数时，正数部分和负数部分可以相互抵消，方程的解就可以得到比较准确的数值了。
另一方面，如果一个数的平方是另一个数，那么这个数必定是完全平方数。
换句话说，一个数的平方根可以是另一个数的根是完全平方数的必要条件。
所以一元二次方程有有理根的可能性进一步解释为一元二次型的所有根（无论是实数还是复数）都具有这个性质。
通过这些分析，我们可以得出结论：一元二次方程有有理根和得塔为完全平方数的性质是由判别式的性质和完全平方数的性质共同决定的。
在数学中，这些性质是非常常见的现象，也是数学理论的重要基础。
总之，一元二次方程是一元三次方程和更高次方程的基础，它在数学中具有非常重要的地位。
同时，它的有理根和完全平方数的判别式的性质也为我们提供了许多有趣的数学问题和应用场景。
通过深入了解这些性质，我们可以更好地理解和应用一元二次方程，进一步推动数学的发展和应用。
方程的公共根、有理数根、整数根(含答案)-
方程的公共根、有理数根、整数根知识要点：本节内容是竞赛中的常见问题,除需掌握方程的基本知识外,更需了解整除的性质、奇偶性的分析、完全平方数等方面的知识.这类问题思维性强,方法灵活多变,难度也较大,需要较强的综合分析能力和解决问题的能力.解题方法：此类问题通常解决以下两个基本问题：一是求系数中所含参数的取值或取值范围；二是求出符合要求的根（公共根、有理根、整数根）.其常用方法有：（1） 先出方程的根，再确定参数的取值；（2）利用根的判别式；（3）利用韦达定理，特别是判别式不是或难以判定是否为完全平方数时；（4）参数交换法.试题精选：例1（1989年全国初中数学联赛题）已知首项系数不相等的两个方程：(a-1)x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0①和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0② (其中a,b 为正整数) 有一个公共根. 求a,b 的值.[思路分析]当方程易求出其根时,不妨先求出方程的根,再比较哪个解是公共根,进而确定求出a,b 的方案.[解题过程]解：用因式分解法求得：方程①的两个根是a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . ∵由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－.解得⎩⎨⎧=42b a ＝或⎩⎨⎧==24b a .[解题点评]探求方程的公共根问题,常见有两种思考途径：一是求根后对比确定出公共根；二是设公共根代入方程后再对比.例2（1993年苏州市初中数学竞赛题）若m 为给定的有理数,k 为何值时,方程0423)1(422=+-+-+k m m x m x 的根总为有理数？[思路分析]要使方程有有理根,只需方程的判别式为完全平方数,这又要使此“判别式的判别式为0”.[解题过程]解：∵)446(4)423(4)]1(4[222+--=+---=∆k m m k m m M .要使原方程有有理根,只需∆为完全平方式，只需)446(2+--k m m 为完全平方式,从而只需 Δ/=01620)44(4)6(2=+=---k k ∴45-=k . 故当45-=k 时，原方程的根总为有理数. [解题点评]对于一元二次方程为有理数,要使方程根为有理数（或整数）根,则Δ应为完全平方数,即所得的Δ的二次三项式的/∆=0.例3(2002年全国初中数学联赛)试确定一切有理数r,使得关于x 的方程023)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.[思路分析]在0≠r 的前提下,由韦达定理可得两根21x x +及21x x 的关系式,消去r 后转化为不定方程5)1)(1(21=--x x 的整数根问题.[解题过程]解：（1）当0=r 时，方程化为022=-x ,方程有整数根1=x ；（2）当0≠r 时,设方程两整数根为1x ，2x （21x x ≤）,则⎩⎨⎧--=+-=+-=-=rrr x x r r r x x 21223232121.两式相减，得4)(2121=+-x x x x 即5)1)(1(21=--x x又21x x ≤，且1x ，2x 为整数，∴ ⎩⎨⎧=-=-511121x x ； ⎩⎨⎧-=--=-115121x x 。
一元二次方程的根
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）练习题参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。
初中数学-一元二次方程的整数根
一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。
这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解.2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 q p ,为质数且是方程0132=+-m x x 的根，那么q p p q +的值是（ ）A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22127 解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系【例3】 关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ）A ．2组B ．3组C ．4组D ．无穷多组解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2，即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根.解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练A 级1．已知方程019992=+-a x x 有两个质数根，则._______=a2．已知一元二次方程012=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pk k p k+的值等于______________.5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212=+-t x x 的两个根，则ba ab +等于（ ） A ．2213 B ．2158 C ．492402 D ．38365 6．若062=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．以上结论都不对7．方程019972=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)1)(1(21++x x p 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．21-D ．21 8．若b a ,都是整数，方程020082=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（） A ．100 B ．400 C ．700 D ．10009．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数.10．已知关于x 的方程23842=--n nx x 和022)3(22=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由.11．若关于x 的方程0)2()3(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，求整数a 的值.。
初中数学一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。
因此成为近年来各种自招考试的热点。
下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。
一、根与系数之间的关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则1212,,b c x x x x a a+=-=反之，若两数12,x x 满足1212,b cx x x x a a+=-=，则这两数是方程20ax bx c ++=的两根。
利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下：(1)0ca <时，方程的两根必然一正一负； (2)0ba -≥时，方程的正根不小于负根的绝对值；(3)0ba -<时，方程的正根小于负根的绝对值；(4)0ca>时，方程的两根同正或同负.1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。
然后利用其根是整数的要求来解不定方程。
2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。
故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类： （1）先求参数范围。
可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。
（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。
当2k =∆为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k =∆为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。
一元二次方程的整数根与有理根-初中数学知识点
一元二次方程的整数根与有理根一元二次方程的整数根与有理根例谈一元二次方程整 数根的求解 选自《初中数学竞赛》辅导丛书对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠ 的实数根问题，可以用根的判别式2=4b ac ∆- 来判别，但对于它的有理根、整数根情况就没有统一的方法来判别，常用到的方法有: (1 )直接求解， (2 )根的判别式法， (3 )根与系数的关系， (4 ) 巧设主元， (5 )构造函数等方法，另对公式1212x x x x ++ 的恒等变形也是解诀整数根常用到的一种变形技巧，整除理论在求整数根中占据十分重要的地位，务必熟练掌握，灵活运用。
下面笔者从近几年全国各地初中数学竞赛试题中选取有关一元二次方程整根的试题，供同行参考借鉴。
1. 直接求解例1 . m 是什么整数时方程()()221631720m x m x ---+= 有两个不相等的正整数根? 2 .利用判别式0∆≥例2. 已知方程()2320ax a x a --+-= 至少有一 个整数根，求整数a 的值例3. 求满足方程442214y x x y ++= 的所有整数对 (),x y3 .利用判别式∆ 是完全平方式例4. 设m 为整数且440m << ,方程()2222341480x m x m m --+-+= 有两个整数根，求m 的值和方程的根。
例5. x 为何有理数时代数式29+232x x -的值恰为两个连续正偶数的乘积?4 .利用韦达定理例6. 方程20x px q ++=的两个根都是正整数并且1992p q += ，求方程较大根与较小根之比。
例7. 求所有实数k 使方程()()2110kx k x k +++-= 的根都是整数5 .常元互换例8. 求出所有这样的正整数a 使得二次方程()()2221430ax a x a =-+-= 至少有一个整数根例9 . 使方程222170a x ax a ++-= 两根都是整数根的所有正数a 的和0 是多少?6 .利用整数性质例10 . 如果方程210x ax b -++= 的两 根12,x x 都为自然数，试证:22a b + 必为合数例11. 已知,m n 为整数，方程2+10530x mx n ++= 有实数，问方程有无整数根?7 .利用二次函数例12 .已知,b c 为整数， 方程250x bx c ++= 的两个根都大于1- 且小于0，求b 和c8 .综合应用例13 .已知关于x 的方程24832x nx n --= -- ---- ①和()22-3220x n x n +-+= ---- -②问是否存在这样的n 值， 使第一 个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根?如存在，求出这样的n 值;如不存在，说明理由。
中考数学一元二次方程的整数根与公共根问题小结精编
特殊根问题题型 对应题目题型目标整数根问题 例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；公共根问题 例5，例6，练习4，练习5．题型一：整数根问题解决整数根问题的思路： 1.先看方程二次项系数，确定二次项系数是否能为0； 2.确定是一元二次方程后，看能否因式分解求出根的取值； 3.不能因式分解的：⑴判别式是完全平方数；⑵b -∆2a 的整数倍． 以上两个条件需同时满足，缺一不可，如果只满足⑴，则只能保证方程有有理根．【引例】 已知m 为整数，求证关于x 的一元二次方程2220x mx m +-=有根且都是整数． 【解析】 法1：将原方程直接因式分解求出两根 ()()20x m x m -+=，即1x m =，22x m =-，故符合题意． 法2：不用因式分解，利用根的判别式是完全平方数 ()()222242930m m m m ∆=-⨯-==≥，且29m m -2的倍数，故符合题意. 【例1】 已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=． ⑴讨论此方程根的情况； ⑵若方程有两个整数根，求正整数k 的值．【例2】 已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根．⑴求k 的取值范围；⑵若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【例3】 当m 为何整数时，关于x 的一元二次方程 2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例4】 当整数m 取何值时，关于x 的方程()21(21)10m x m x --++=有整数根．题型二：公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题． 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：⑴设公共根为a ，则a 同时满足这两个一元二次方程；⑵用加减法消去a 2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；⑶把公共根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．【引例】 已知两方程20x mx n ++=，20x nx m ++=有且仅有一个公共根，求m ，n 关系．【解析】 设a 为两方程公共根，则2200a ma n a na m ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①② ①-②得()()0m n a n m -+-=()()10m n a --=∵有且只有一个公共根，则0m n -≠∴1,a =即1x =将1x =代入，1m n +=-且m n ≠．【例5】 已知2a >，2b >，试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与2()0x abx a b -++=有没有公共根，请说明理由．【例6】 已知关于x 的一元二次方程()2200ax bx c a ++=>①．⑴ 若方程①有一个正实根c ，且20ac b +<．求b 的取值范围；⑵ 当1a =时，方程①与关于x 的方程2440x bx c ++=②有一个相同的非零实根， 求2288b c b c-+的值．题型一 整数根问题 巩固练习【练习1】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根是整数，求符合条件的a 的整数值.【练习2】 当k 为何正整数时，关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有两个非零整数根．【练习3】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．题型二 公共根问题 巩固练习【练习4】 已知m 为非负实数，当m 取什么值时，关于x 的方程21=0x mx +-与22=0x x m ++-仅有一个相同的实根？【练习5】 设关于x 的方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.。
奥数新讲义-一元二次方程-整数根公共根4学
第三讲一元二次方程4：整数根、公共根一、基础知识1.一元二次方程的根为有理数对于有理系数的一元二次方程ax2+bx + c = o（«^0）,在△=夕_4心二0时，方程有实根，且：方程有有理根匸二△ = /一仏为完全平方数（有理数平方）2.一元二次方程的根为整数（1）对于整系数的一元二次方程+ ° = °（dH（））,如果有整数根，则必须满足以下两个条件：△ =，-4心为完全平方数（自然数平方）；"土一4皿是加的整数倍;（2）在首项系数为1的整系数方程x2 + px + e/ = O （p、q为整数）的判别式△==，-4必为一个完全平方数，则方程的根为整数，反之，亦成立；（3）对于整系数的一元二次方程川+加+ “。
《工°）,若“ b是偶数，c是奇数，则该方程无整数根；⑷ 整系数的一元二次方程局+加+2° （心0）,若a、匕c都是奇数，且△ = /异一心。
＞0, 则方程+hx + © = °⑺工°）无整数根.3.一元二次方程公共根：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程（两个或以上），然后通过恒等变形求出参数的值和公共根.二、整数根问题例1已知方程»-4（加-l）x + 3〃『-2〃? + 4k= 0对任意有理数m都有有理根，求k的值.1.整数根讨论：利用判别式例2不解方程，判定下列各方程的实数根是否是整数根：① / +3.K-18 = 0；② F +8x-59 = 0；（3）2x2 +4x-5 = 0；④ 3/ + 23x-87 = 0例3已知45加＜20,当m为何值时，方程x2 -2(2/n-3)x + 4m2 - 14/H + 8 = 0有两个整数根?例4整数a取何值时，方程%2 - (" - 6)x + " = 0有两个整数根?例5设a n为整数，证明方程疋+ 10〃沈-5允+ 3 =()没有整数根;例6当m为什么整数时,关于x的一元二次方程〃用一4兀+ 4 = 0与十一4mx + 4m2一4也一5 = 0的根都是整数？2.整数根讨论：利用求根公式例7若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程"用—2x-加+ 1 = 0的根，m为整数，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长，若不存在，请说明理由.例8设关于x的二次方程伙2一6«+8)疋+(2疋-6k-4)x + I= 4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.3.整数根讨论：利用韦达定理例9求所有正实数m使得方程疋一似+ 4" = 0仅有整数根;例10当m为什么整数时，关于x的方程.V2+(/»-!)%+ /» + ! = 0的两根都是整数?例11求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程2+伙+小+比-1 = 0的根都是整数;例12试确定所有的有理数“使得关于x的方程/-x2+(r + 2)x + 3r-2 = 0有且只有整数根;4.整数根讨论：变换主元例13试求所有这样的正整数/使方程心2+2“(2a-l)x + 4(a-3) = 0至少有一个整数根.例14设方程+俶+ 1_7/ = 0的两根都是整数，求所有正数a；5.整数根讨论：综合运用例15求所有的正整数a、b、c,使得关于x的方程疋_3心+ ” = 0 ； F —3bx + 2c = 0； x2-3cx + 2ci =0的所有根都是正整数•例16若方程疋-〃皿+川+和=0有整数根，且a n为自然数，则m、n可以分别为多少?三、公共根问题【例1】求£的值，使得一元二次方程F+也-1 = 0, F+x +伙-2) = 0有相同的根■并求两个方程的根•【例2】设a.b.c为A4BC的三边，且二次三项式疋+2心+，与十+2小-，有一次公因式，证明: AABC—定是直角三角形.【例3】三个二次方程cix2 +bx + c = O 9 bx2 +cx + a = O 9 ex2 + or + b = 0有公共根.(1)求证：a + b + c = Q；⑵求—的值.abc【例4】试求满足方程/ _总_ 7 = 0与疋- 6x -伙+1) = 0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根.【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a-\)x2-(a2+2)x + (a2+2“) = 0和(―(“2)Z")訓其和，方为正整数)有-个公共根，求得的值.练习题1.b、C是整数，如果一元二次方程x2-2bx-c = 0有整数根，那么，必有()A. b = c = 0B. b2 +c = 0c.戸+c是整数的平方 D. b2+c是偶数的平方2.若・0+〃技_6 = 0的两根都是整数，则m可以取值的个数是()A. 2B. 4C. 6D.以上都不对3.设二次方程疋+2风+ 2§ = 0有实根，其中a q都是奇数，那么它的根一定是()A.奇数B.偶数C.分数D.无理数4己知关于x的一元二次方程x2 + p.x + q = 0有两个不相等的整数根，p、q是自然数，且是质数，这个方程的根为_______ :5.方程x2 + px + q = O的两根都是正整数，且p+ @ = 1992,则方程较大根与较小根的比等于_________ ；6.已知p为质数，且方程x2 + /7X-444p = 0有两个整数根，则戸= ________ ；7.已知方程(/一1庆一2(5o + l)x + 24 = 0有两个不等的负整数根，则a的值是多少？&方程(x_a)(x_8)_l= 0有两个整数根，求a的值;9.若关于工的方程(67)(9 7)川-(117-15灯“54 = 0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.10.已知关于x的方程(°-1)，+2—1 = 0的根都是整数，那么符合条件的整数d有_________ 个.11.当加为整数时，关于兀的方程⑵〃-1)/-(加+ 1)乂 + 1 = 0是否有有理根？如果有，求出加的值；如果没有，请说明理由.。
一元二次方程的整数根
所有可能的 p 值为 p = 3 或 p = 7 . 说明 :利用判别式是完全平方数 , 进而解 一个不定方程是求解一元二次方程整数根的 常用方法 . 例2 已知 a 、 b、 c 都是整数 , 且对一切 实数 x , 都有 ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c) 成立 . 求所有这样的有序数组 ( a , b , c) . 分析 : ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c ) 恒成立 , 即 x 2 - ( a + 2 005 ) x + ・ 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 这说明 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 解 :由题设知 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 故 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 所以 , Δ = ( a + 2 005) 2 - 4 ( 2 005 a - 2) = ( a - 2 005) 2 + 8 是完全平方数 . 令其为 n 2 , n 是正整数 , 则 ( n - a + 2 005) ( n + a - 2 005) = 8 . 由于 n - a + 2 005 与 n + a - 2 005 奇 偶性相同 , 且均大于 0 , 所以 , n - a + 2 005 = 2 , n - a + 2 005 = 4 , 或 n + a - 2 005 = 4 n + a - 2 005 = 2. 解得
初中数学联赛题型解读四：一元二次方程
2001~2016年联赛二次方程考察分值
50
45
45
45 39
40 35
34
32
39 32
30
27
27
x2
c a
b a
（4） 一元二次方程的四种解法：开方；配方；公式法；因式分解.
2. 一元二次方程的常见问题
简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法
（1） 可转化为一元二次方程
绝对值方程；分式方程；根式方程；
（2） 判别式
利用判别式的非负性
（3） 根系关系
通过根的性质或方程，找到系数之间的关系或方程
二、一元二次方程的基础知识与常见问题
1. 一次方程组的概念与解法
对于一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
（1） 判别式: b2 4ac
1
（2）
求根公式: x1,2 b
b2 4ac , 0
2a
（3）
根系关系：
x1 x1 x2
【例3】
（2012
年竞赛）如果关于
x
的方程
x2
kx
3 4
k2
3k
9 2
0
的两个实数根分别为
x1
，
x2 ，那么
x 2011 1
x 2012 2
的值为_________．
【解析】
(完整版)一元二次方程讲义——绝对经典实用(2)
一元二次方程基础知识1、 一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数.如:24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（）,2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。
注:如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2. 一元二次方程求根方法 (1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解,这种解法称为直接开平方法。
（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时,原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。
2)计算式子b ac 24-的值.3)当b ac 240-≥时,把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4)因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解,就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=,显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a +=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ,b ,c 为有理数,且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时,0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时,0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个 不相等的实数根,有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时,方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围; ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题;（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题,最值问题．6、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ,2x ,则12b x x a +=-，12cx x a =．（隐含的条件:0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时,设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-,12x x q ⋅=．7、韦达定理的逆定理以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a =，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a -<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是:若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时,一般地:① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>,2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论:⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ,b 为有理数）．⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >,方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征;⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根,以便利用韦达定理;⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中,往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况,可以用判别式24b ac ∆=-来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然,经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 2b ak -=或2b ak -，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中a 、b 、c 均为有理数）11、一元二次方程的应用1．求代数式的值;2。
一元二次方程_公共根_有理根_整数根_解题技巧
因式的乘积. 在实数范围内 , 次数大于或等于 3 的多
项式总是可约的 , 这就是说 , 在实数范围内 , 除一次式是既约以外 , 可能有的二次式也是 既约的 ,一个关于 x的二次多项式 ax2 + bx + c ( a ≠0) 是既约的充分必要条件是判别式 b2 - 4ac < 0,但是不存在次数大于等于 3的既 约多项式.
7 ,因为 x和 a都是整数 ,所以 x = - 2, x +1
8, 0, 6,此时 a = 16或 0 (舍去 ) . 故 a = 16.
②韦达定理法 (根与系数的关系 ) :设方
程的两根为 x1 , x2 ( x1 ≥ x2 ) , 则 x1 + x2 = 6 - a ① x1 ·x2 = a ② ① + ②得 x1 + x2 + x1 x2 = 6,所以 ( x1 +
在有理数范围内 ,情况比较复杂 ,除一次 式是既约的以外 ,次数高于 1的多项式 ,都可 能是既约的 , 也有一些判定多项式的是否可 约的定理. 例如一个称为艾森斯坦因既约性 判定法 ,就是如下的定理 :
设 f ( x) 是一个整系数多项式 ,如果它的 次数最高的项的系数以外的所有各项的系数
,
也就是
M
的判别式
Δ M
=
0,
所以
Δ M
= 36 - 4 ( 4 - 4k)
= 20 + 16k = 0,
解得 k = -
5 4
,
所以当
k
=-
5 4
时
, 原方
程的根总为有理数.
小结 ①Δ = b2 - 4ac是完全平方数 Ζ
方程有有理根 ; ②一个字母系数的问题 , 常
(完整版)一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合
一元二次方程的有理根总结求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系，也就是说，常常利用根的判别式为完全平方数来讨论.1、 如果()112++-x m x 是完全平方式，求m 的值 2、 若20052+a 是整数，求所有满足条件的正整数a 的值3、关于x ,y 的方程29222=++y xy x 有整数解，求满足条件的()y x ,的值4、设k 为整数，且0≠k ，方程()0112=+--x k kx 有有理根，求k 的值。
5、当q 是什么实数时,对于任意有理数p ，方程()()0431222=+--++q p p x p x 有有理根？ 6、已知关于x 的方程()01212=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有_________个。
7、已知a 是正整数，且使得关于x 方程()()0341222=-+-+a x a ax 至少有一个整数根.求a 的值. 8、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程()02322=-+++r x r rx 有根且只有整数根。
9、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx2+（r+2)x+r —1=0有根且只有整数根．10、已知p 为质数，使一元二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值。
11、已知198=+q p ,求方程02=++q px x 的整数根.12、设关于x 的二次方程()()4462862222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数。
求满足条件的所有实数k 的值。
13、已知关于x 的方程()01122=-+--m x m x 的两个根都是正整数，求m 的值.一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程（两个或以上),然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．求有整数根的二次方程中，参数问题，要根据方程的结构特点，设法将二次方程转化为两个一次式，再根据整数根确定其解.其转化途径:或直接分解因式；或利用根与系数的关系；或利用求根公式.求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类讨论，但在运用时，要具体问题具体分析.方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件:⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 2b ak -=或2b ak -，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足,缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数）三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围． 例题一、一元二次方程的公共根例1求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根． 例2设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明:ABC ∆一定是直角三角形．例3三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=;⑵ 求333a b c abc++的值． 例4试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根． 例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=（其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b a b a a b a b --++的值． 二、一元二次方程的整数根例6：k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数? 例7：若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．例8：已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数,求a 的值及方程的整数根．练习1、若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值． 练/2、关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．练/3、当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．练习/4已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在,请求出这样的n 值；若不存在,请说明理由． 练习/5求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．练习6/已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数,求a 的值．练习7、已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值． 练/8、已知p 为质数,二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值． 练/9已知1240m <<,且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ． 练习10、若一直角三角形两直角边的长,a 、b ()a b ≠均为整数，且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩．试求这个直角三角形的三边长．练习11、关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解,且a 是整数，求a 的/1． 练习12、已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=（a 是非负整数)至少有一个整数根,那么a = ． 练/13、当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．练/14、设m 为整数，且440m <<,方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根,求m 的值及方程的根．练/15、当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．练/16、已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=（a 是非负整数)至少有一个整数根,那么a = ． 练/17、若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．/18设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解． 19已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值． 20已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根,求a 的值． 21已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值． 22已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．23已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x ''，且120x x >，120x x ''>． ⑴ 求证：10x <，20x <,10x '<，20x '<；⑵ 求证:11b c b -+≤≤；⑶ 求,b c 所有可能的值．24设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．25试证不论n 是什么整数,方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数． 26求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解．27已知a 为整数,关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a x xy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解，求a 的值． 28求方程2237x y x xy y +=-+的所有正整数解． 29求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++．30设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根,求m 的值． 31当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数． 32a 是正整数，关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根． 33已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组32y x ax bx y ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式． 34已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值． 35设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．36b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？ 37已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个． 38求所有正实数a ,使得方程240x ax a -+=仅有整数根．39方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值．40求所有的正整数a ，b ，c 使得关于x 的方程222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数．41n 为正整数，方程21)60x x -++-=有一个整数根,则n =__________．42求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．43已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则整数a 的值是__________． 44不解方程，证明方程2199719970x x -+=无整数根45已知方程219990x x a -+=有两个质数根，则常数a =________．46已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．47当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？48设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解． 49已知a 是正整数,如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．50若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．51设a 为质数，b c ，为正整数，且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值．。
初中数学：一元二次方程的有理根与整数根
初中数学：一元二次方程的有理根与整数根整系数一元二次方程有有理根的充要条件是：为一有理数的平方。
而有整数根，△必为一完全平方式。
这里a、b、c皆为整数，前者△是有理数的平方，而非一般认为的完全平方式。
而后者△为一完全平方式只是必要条件，不是充分条件。
一、与有理根有关的问题例1、m为有理数，问k为何值时，方程的根为有理数？解：原方程即：如若有有理根，则应是某一有理数的平方，可知，从而。
本题也可这样解：原方程化为如有有理根，则得二、与整数根有关的问题例2、若方程有整数根，且m、n为自然数，则m、n的值有__________个。
解：有整数根，则为一完全平方式，设为，于是即视<1>为m的一元二次方程，它应有整数解，由可见（1）令，则<1>式为（2）若要有整数解，则应为完全平方式。
令，则因为所以有如下两种情形。
无整数解，舍去。
代入<2>式得：所以或（舍去）将代入（*）式得：所以满足条件。
由对称性（方程系数是对称的）知也是所求。
（2）令，则<1>式为<3>若有整数解，则应为某一完全平方式，故令，则因为所以又有两种情形。
代入<3>式得：或（舍去）将代入（*）得：所以为所求。
代入<3>式得：或（舍去）将代入（*）式得：，有整数解，故为所求。
由对称性知也为所求。
故符合题意的整数对m、n有（5，1）、（1，5）、（3，2）、（2，3）、（2，2）共5个。
三、与因式分解有关的问题例3、m是什么整数时，能分解成两个连续自然数的积？解：设（n为自然数），则原问题即m为何值时关于n的一元二次方程<1>有正整数解，所以应为某整数的平方，设为。
则化为因为m是整数，故再次利用有整数解的条件，应有是某一整数的平方，也即为一完全平方数，又设为，于是，即或因为所以又因是偶数，故与有相同的奇偶性，故<3>式只对划线部分有解。
①②③④由①解得：，此时<2>式为：或（舍去）由②解得：，此时<2>式为：或（舍去）由③解得：，此时<2>式为：或（舍去）由④解得：，此时<2>式为：或（舍去）经检验，均为所求值，所以时，能分解成两个连续的自然数的积。
一元二次方程的整数根和有理根
一元二次方程的整数根和有理根
【知识要点】
对于整系数一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a
1．方程有有理根的充要条件是△=ac b 42-为一有理数的平方；
2．若c b a ,,为奇数，则方程无整数根。
【例题】
例1设a 为任意的有理数，b 为何值时有理系数方程0)43()1(222=+--++b a a x a x 的根是有理数？
例2 如果n k p ,,为有理数，求证：方程0)()(2)(2=-+++-++n k p x k p x n k p 的根总是有理数。
例3 若12<m<60（m 为整数），且方程0)1(222=++-m x m x 的两根都为整数，求方程的根。
例4 k 是什么整数值时，方程018)13(3)1(22=+---x k x k 有两个不相等的正整数根。
例5 求所有实数k ，使二次方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的两根都是整数。
例6 若k 为正整数，一元二次方程0)1(2=+--k px x k 有两个正整数根，求)(k p kp k p k +的值。
例7 一直角三角形的两直角边均为整数，且满足方程04)2(2=++-m x m x 。
试求m 的值及此直角三角形的边长。
例8 设方程012=-+qx x 的二根分别是方程012=-+px x 的两个根的五次方，其中p 和q 都是整数，试证明：p 、q 决不可能是质数。
中考实验班一元二次方程的整数根和有理根问题
一、 实系数一元二次方程整数根问题（一） 利用“有理数+有理数×无理数=0”等价于“有理数=有理数=0”.例1、 已知关于x 的一元二次方程21)60x x --=有整数根，求整数a 的值。
（二） 利用“主元变换法”例2、 已知关于x 的一元二次方程222(1)(1)20a x a a x a a --++++=。
（1） 有整数根，求实数a 的值；（2） 有两个整数根，求实数a 的值；（3） 恰有一个整数根，求实数a 的值。
例3、 已知关于x 的一元二次方程22210x kx k ---=。
（1） 当k 为何实数时，有整数根；（2） 当k 为何整数时，有整数根。
（三）利用“韦达定理”例4、 已知关于x 的方程2(1)10kx k x k +++-=的根都是整数，求实数k 值。
二、整系数一元二次方程整数根问题（一）利用判别式例5、设440m <<且m 是整数，且关于x 的方程222(23)41480x m x m m --+-+=的根都是整数，求m 值。
例6、求方程211134x y xy +-=的整数解。
(二） 利用“韦达定理”例7、求一切实数k ，使得关于x 的方程2556610x kx k -+-=的两根都是正整数。
例8、已知,a b 为整数，a b >，方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式 (1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++，试求所有的整数对(,)a b 。
三、 自主练习：1、 求正整数a ，使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根。
2、 若存在整数,b c 使得关于x 的一元二次方程()(15)25()()x a x x b x c +--=++成立，求整数a 。
3、已知关于x 的一元二次方程2(6)0x a x a +-+=有整数根，求整数a 的值，并求出相应的方程的根。
谈一元二次方程的有理根与整数根的条件
谈一元二次方程的有理根与整数根的条件一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。
方程形式：通常形式使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
变小形式解题方法：公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式十字二者乘法解法因式分解法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法求解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边水解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）求解这两个一元一次方程，它们的求解就是原方程的求解.十字相乘法公式公式法（可解全部一元二次方程）求根公式去求出方程的木配方法（可以求解全部一元二次方程）开方法（可以求解部分一元二次方程）均值代换法（可以求解部分一元二次方程）设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。
再求出x1, x2。
简单解法1．看看与否能够用因式分解法求解（因式分解的数学分析中，先考量加公因式法，再考虑平方公式法，最后考量十字相加法）2．看是否可以直接开方解3．采用公式法解4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）如果要参加竞赛，可按如下顺序：a.因式分解；b.韦达定理；c.判别式； d.公式法；e.配方法；f.开平方；g.求根公式；h.表示法。
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一元二次方程的有理根总结求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系，也就是说，常常利用根的判别式为完全平方数来讨论。
1、 如果()112++-x m x 是完全平方式，求m 的值 2、 若20052+a 是整数，求所有满足条件的正整数a 的值3、关于x ，y 的方程29222=++y xy x 有整数解，求满足条件的()y x ,的值 4、设k 为整数，且0≠k ，方程()0112=+--x k kx 有有理根，求k 的值。
5、当q 是什么实数时，对于任意有理数p ，方程()()0431222=+--++q p p x p x 有有理根？ 6、已知关于x 的方程()01212=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有_________个。
7、已知a 是正整数，且使得关于x 方程()()0341222=-+-+a x a ax 至少有一个整数根。
求a 的值。
8、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程()02322=-+++r x r rx 有根且只有整数根。
9、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx2+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．10、已知p 为质数，使一元二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值。
11、已知198=+q p ，求方程02=++q px x 的整数根。
12、设关于x 的二次方程()()4462862222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数。
求满足条件的所有实数k 的值。
13、已知关于x 的方程()01122=-+--m x m x 的两个根都是正整数，求m 的值。
一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．求有整数根的二次方程中，参数问题，要根据方程的结构特点，设法将二次方程转化为两个一次式，再根据整数根确定其解。
其转化途径：或直接分解因式；或利用根与系数的关系；或利用求根公式。
求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类讨论，但在运用时，要具体问题具体分析。
方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 2b ak -+或2b ak -=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围． 例题一、一元二次方程的公共根例1求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．例2设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC ∆一定是直角三角形．例3三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求333a b c abc++的值．例4试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值．二、一元二次方程的整数根例6：k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？例7：若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．例8：已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．练习1、若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．练/2、关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．练/3、当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．练习/4已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．练习/5求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．练习6/已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．练习7、已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．练/8、已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值．练/9已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．练习10、若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ≠均为整数，且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩．试求这个直角三角形的三边长．练习11、关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的/1．练习12、已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．练/13、当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．练/14、设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．练/15、当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．练/16、已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．练/17、若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．/18设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．19已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．20已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求a 的值．21已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．22已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．23已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x ''，且120x x >，120x x ''>． ⑴ 求证：10x <，20x <，10x '<，20x '<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤；⑶ 求,b c 所有可能的值．24设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．25试证不论n 是什么整数，方程21670s x nx -+=没有整数解，方程中的s 是任何正的奇数．26求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解．27已知a 为整数，关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a xxy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解，求a 的值．28求方程2237x y x xy y+=-+的所有正整数解．29求所有的整数对(,)x y ，使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++．30设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根，求m 的值．31当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．32a 是正整数，关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．33已知,a b 是实数，关于,x y 的方程组32y x ax bxy ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ，求,a b 满足的关系式．34已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值．35设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．36b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？37已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个．38求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根．39方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值．40求所有的正整数a ，b ，c 使得关于x 的方程222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数．41n 为正整数，方程21)60x x -++-=有一个整数根，则n =__________．42求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．43已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则整数a 的值是__________．44不解方程，证明方程2199719970x x -+=无整数根45已知方程219990x x a -+=有两个质数根，则常数a =________．46已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．47当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？48设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．49已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．50若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．51设a 为质数，b c ，为正整数，且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值．。