山路引理在二阶椭圆型方程组中的应用

4 在二阶椭圆型方程组中的应用

接下来我们应用山路引理来证明变系数二阶椭圆型方程组边值问题的非平凡解的存在性。

问题 考虑变系数二阶椭圆型方程组

⎪⎩

⎪

⎨⎧Ω∂∈==Ω∈-=+∇-Ω∈-=+∇-x v u x v u x h v x g v x b v a div x v u x h u x f u x b u a div ,0),,,(),()())x ((),,,(),()())x ((222111λλ )6( 的非平凡解的存在性。

其中Ω是)3(≥N R N 中的有界区域，且具有光滑的边界Ω∂。0)(),(21>x a x a ；

0)(),(21≥x b x b ；11:,R R g f →⨯Ω,1121:,R R h h ⨯⨯Ω是Caratheodory 方程，并且存

在方程11:R R H ⨯⨯Ω满足

)),,(),,,(()),,(),,,((),,(21v u x h v u x h v u x H v v u x H u v u x H =∂∂

∂∂=∇

不失一般性，我们设

⎰

+=)

,()

0,0(21)),,(),,((),,(v u dv v u x h du v u x h v u x H

现在我们考虑问题(6)的非平凡解的存在性，亦即考虑求泛函

⎰⎰⎰⎰⎰Ω

ΩΩ

ΩΩ

+-+∇+

-+∇=

dx

v u x H dx v x G dx v x b v x a dx u x F dx u x b u x a v u ),,(),(|)(||)(|21

),(|)(||)(|21

),(22222121λϕλ

在)()(1

010Ω⨯ΩH H 的临界点。

其中

⎰⎰==v

u

ds

s x g v x G ds

s x f u x F 0

0),(),(),(),(

和

⎰

+=)

,()

0,0(21),,(),,(),,(v u dw w s x h ds w s x h v u x H

接下来我们需要f(x,u)和F(x,u)分别满足以下假设条件：

)(1f ),(R R C f ⨯Ω∈，对于某个0,220*1><

)|||(||),(|101-+≤p u u c u x f ；

)(2f 存在0,211>>R α，使得对于任意的Ω∈>x R u ,||1

),(),(01u x uf u x F ≤<α

)(3f ελ-≤→10

|/),(|lim u u x f u ， 对Ω∈x 一致；

)(4f ||/),(u u x f 是一个关于})0{\(R u u ∈的增函数；

其中 ε 是一个很小的常数，1λ是算子∙⋅+∙⋅-)())((11x b x a div 在Dirichlet 零边界条件下的主特征值。

同样g(x,v)和G(x,v)满足以下条件：

)(1g ),(R R C g ⨯Ω∈，对于某个0,220*2><

)|||(||),(|102-+≤p v v c v x g ；

)(2g 存在0,221>>R β，使得对于任意的Ω∈>x R v ,||2

),(),(01v x vg v x G ≤<β

)(3g ελ-≤→20

|/),(|lim v v x g v ， 对Ω∈x 一致；

)(4g ||/),(v v x g 是一个关于})0{\(R v v ∈的增函数；其中ε是一个很小的常数，

2λ是算子∙⋅+∙⋅-)())((22x b x a div 在Dirichlet 零边界条件下的主特征值。

对于H(x,u,v),h 1(x,u,v)和h 2(x,u,v)，我们需要以下的假设：

)(1h )(1R R C H ⨯⨯Ω∈，并且对于任意的)(,1

Ω∈H v u ， ;0)0,,(),0,(),0,()0,,(2211====u x h v x h v x h u x h

)(2h k v u x H ≥),,(，k 是一个非正的常数；

)(3h 存在0,1,11111><<<0使得当R v u ≥+||||时，

)|||(|1121βαv u d vh uh +≤+.

我们首先定义在)()(1

010Ω⨯ΩH H 空间中的范数为：

2

121||||||||||),(||v u v u +=

其中

⎰⎰Ω

Ω

+∇=

+∇=dx

v x b v x a dx

u x b u x a u ])(|

|)([||v ||])(|

|)([||||2

22

2

2212

11

下面我们来证明它是一个范数。

证： 首先由于||),(||v u 的定义，可以知道||),(||∙∙是一个非负函数。接下来验证其满足范数的条件。

(a) 已知0||),(||≥v u 同时由||),(||v u 的构造我们可以得到

)0,0(),(0||),(||=⇔=v u v u 。

(b) )()(),(),,(1

0102211Ω⨯Ω∈∀H H v u v u

⎰⎰⎰⎰Ω

Ω

Ω

Ω

+∇∇++++∇∇++=+++=++∇+∇+++∇+∇=+dx

v v x b v v x a v v dx

u u x b u u x a u u v v u u dx

v v x b v v x a dx

u u x b u u x a v u v u ])()([2||||||||])()([2||||||||||||||||]))((||)([]))((||)([||),(),(||21221222222121121121221122

212

121221222122211221122211

另一方面

)

||||||)(||||||||(||2||||||||||||||||||)),(||||),((||22

221

222

121

122

222

121

221

12

2211v u v u v v u u v u v u ++++++=+

由柯西不等式可得

)

])(||)([])(||)([()])(||)([])(||)([()])()([])()([(2

222222212212112122112112

212212211211⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

+∇++∇⋅+∇++∇≤+∇∇++∇∇dx v x b v x a dx u x b u x a dx v x b v x a dx u x b u x a dx v v x b v v x a dx u u x b u u x a

所以可以得出||),(||||),(||||),(),(||22112211v u v u v u v u +≤+。

(c) )()(),(,1

0100Ω⨯Ω∈∀K ∈∀H H v u α

||

),(||])(||)([])(||)([]))((||)([]))((||)([||),(||022*******

2022022012010v u dx

v x b v x a dx u x b u x a dx

v x b v x a dx u x b u x a v u ααααααα=+∇++∇=+∇++∇=⎰⎰

⎰⎰

Ω

Ω

Ω

Ω

故上述定义的||),(||v u 是一个范数。