1二重积分的概念
二重积分的定义求极限
二重积分的定义求极限（原创实用版）目录1.二重积分的定义概述2.二重积分与定积分的相似性3.二重积分的计算方法4.二重积分的应用举例5.求极限与二重积分的关系正文一、二重积分的定义概述二重积分是一种在二维空间中的积分形式，它是对一个二元函数在空间上的积分。
与定积分类似，二重积分也是求某种特定形式的和的极限。
二重积分的定义可以概括为：设 zf(x,y) 为有界闭区域 () 上的有界函数，将区域 () 任意划分成 n 个子域 (k)，其面积记作 k(k1,2,3,,n)，在每一个子域 (k) 上，函数 zf(x,y) 被分割成 m 个矩形，每个矩形的面积为ΔxΔy，则二重积分可以表示为：∫∫zf(x,y) dm(x,y)其中，dm(x,y) 表示子域 (k) 上的面积元素。
二、二重积分与定积分的相似性二重积分与定积分在形式上存在相似性，它们都是求和的极限。
然而，二重积分是对一个二元函数在空间上的积分，而定积分是对一个一元函数在区间上的积分。
此外，在计算过程中，二重积分需要将区域划分成子域，并在每个子域上考虑函数值与面积元素的乘积，而定积分则只需对函数值进行求和。
三、二重积分的计算方法计算二重积分的方法可以概括为以下几个步骤：1.将区域划分成子域，并确定每个子域的面积；2.在每个子域上，将函数值与面积元素相乘，并求和；3.对求和结果进行极限运算，得到二重积分的值。
具体的计算方法可以根据不同的函数和区域进行调整，如利用换元法、极坐标法等。
四、二重积分的应用举例二重积分在实际应用中具有广泛的应用，例如：1.计算曲面的面积：通过二重积分可以求解曲面在某一特定区域内的面积；2.计算平面薄片的重心：通过二重积分可以求解平面薄片在某一特定区域内的重心位置；3.计算有向曲面上的曲面积分：将二重积分推广到高维空间中的有向曲面上进行积分，称为曲面积分。
五、求极限与二重积分的关系求极限是二重积分计算过程中的一个关键步骤。
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解一、什么是二重积分？1.1 定义二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。
它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。
1.2 符号表示一般来说，用符号∬来表示二重积分。
对于一个函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬fD(x,y) dx dy,其中D表示一个有界闭区域，dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。
二、二重积分的计算方法2.1 直角坐标系中的二重积分计算在直角坐标系中，我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。
对于一个小矩形R i，其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i，其中Δx i和Δy i分别为矩形的宽度和高度。
然后，我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗)，计算函数在该点的值f(x i∗,y i∗)，并乘以该矩形的面积ΔA i。
将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。
当矩形的宽度和高度趋近于零时，即Δx i和Δy i趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。
用极限的形式表示为：∬f D (x,y) dx dy=limΔx i→0Δy i→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i.2.2 极坐标系中的二重积分计算在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。
对于一个区域D，我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。
其中r表示极径，θ表示极角，dr和dθ分别表示极径和极角的微小增量。
则二重积分的计算公式为：$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)r\,dr\,d\theta.$$这种方法适用于具有旋转对称性的问题，通过转换到极坐标系可以简化计算过程。
三、二重积分的应用3.1 几何意义二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。
对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况，可以通过以下公式计算曲面的面积S：S=∬√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2D dx dy.3.2 质心的计算另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分概念
？
o
x
z z R2 x 2 y 2
R
y
例1. 设由锥面 解: 所求体积可以看成 是两个曲顶柱体的 体积之差.
和球面
所围成 , 请用二重积分表示的体积.
z 2
V 4 x y d
2 2 D
D
x y d
2 2
D
o x
y
直角坐标系下的面积元素 如果 f ( x , y ) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域D , 这时 记作： d xd y 则面积元素为： d 二重积分记作：
的点集是平ห้องสมุดไป่ตู้上的有界点集,即存在一矩形R ，使得P R .
设 P 是一平面有界图形, 用平行于坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点;
y
P
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
所以也有 S K (T ) . 由上述推论, P 的边界K 的面积 为零.
定理21.3 若曲线 K 为定义在 [a , b] 上的连续函数
f ( x ) 的图象, 则曲线 K 的面积为零.
推论1 参量方程 x ( t ), y ( t ) ( t ) 所表 示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零. 推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面 图形都是可求面积的.
曲顶柱体的体积
( i ,i )
i
f ( i , i ) i . V lim 0
i 1
为各小闭区域的直径的最大者.
２．求平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M . (常数) 设D 的面积为 , 则M 若 非常数 , 仍可用 “大化小,常代变,近似和, o 求极限” 解决.
二重积分的几何意义上下限
二重积分的几何意义上下限摘要：一、二重积分的概念1.二重积分的定义2.二重积分的性质二、二重积分的几何意义1.坐标系中的二重积分2.极坐标系中的二重积分3.柱面坐标系中的二重积分4.球面坐标系中的二重积分三、二重积分的上下限1.上下限的确定2.上下限对结果的影响正文：二重积分是数学中的一种积分方法，用于求解多元函数的定积分。
在二重积分中，我们需要对一个二元函数在某个区域内的值进行积分。
为了更好地理解二重积分，我们首先需要了解它的几何意义以及上下限的概念。
一、二重积分的概念1.二重积分的定义：给定一个二元函数f(x, y)，在定义域D = {(x, y) | 约束条件}内，求解以下积分：∫∫_D f(x, y) dx dy2.二重积分的性质：二重积分满足交换律、结合律、分配律等性质，与一元积分类似。
二、二重积分的几何意义1.坐标系中的二重积分：在直角坐标系中，二重积分表示区域D内的函数f(x, y)与x轴、y轴所围成的曲面的有向面积。
2.极坐标系中的二重积分：在极坐标系中，二重积分表示以极径r和极角θ为变量，区域D在极坐标系中的有向面积。
3.柱面坐标系中的二重积分：在柱面坐标系中，二重积分表示以柱面半径r 和柱面角θ为变量，区域D在柱面坐标系中的有向面积。
4.球面坐标系中的二重积分：在球面坐标系中，二重积分表示以球面半径r 和球面角θ为变量，区域D在球面坐标系中的有向面积。
三、二重积分的上下限1.上下限的确定：在求解二重积分时，我们需要确定积分区域的上下限。
通常情况下，我们可以根据区域的边界来确定上下限。
例如，在直角坐标系中，我们可以根据x轴和y轴的截距来确定上下限。
2.上下限对结果的影响：二重积分的上下限对积分结果有直接影响。
当上下限发生变化时，积分结果也会相应地发生变化。
因此，在求解二重积分时，我们需要仔细确定上下限，以保证结果的准确性。
总之，二重积分是一种重要的积分方法，它具有丰富的几何意义。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分与累次积分
二重积分与累次积分在微积分中，二重积分与累次积分是重要的概念和计算工具。
它们在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍二重积分与累次积分的概念和计算方法，并探讨它们之间的关系。
一、二重积分的概念和计算方法1. 二重积分的概念二重积分是对二元函数在某个区域上的积分。
设二元函数为f(x, y)，被积区域为D，那么在D上的二重积分可以表示为：∬Df(x, y)dA其中dA表示面积元素。
2. 二重积分的计算方法计算二重积分时，可根据积分区域的不同选择适合的计算方法，如直角坐标系下的矩形坐标系法和极坐标系法，或者采用参数方程表示等。
计算时，需要将被积区域D划分成小区域，然后求和逼近。
二、累次积分的概念和计算方法1. 累次积分的概念累次积分是一种通过多次积分来求解多元函数的方法。
对于二元函数f(x, y)，首先对其中一个变量进行积分，然后再将结果作为另一个变量的函数进行积分。
2. 累次积分的计算方法计算累次积分时，需要按照一定次序进行积分。
对于二元函数f(x, y)，首先对其中一个变量进行积分得到一个函数，再对该函数另一个变量进行积分。
计算时可利用基本微积分知识和积分换元法、分部积分法等方法。
三、二重积分与累次积分的关系二重积分与累次积分是密切相关的。
在一些情况下，二重积分可以通过累次积分来计算，而累次积分也可以通过二重积分来计算。
1. 二重积分通过累次积分计算当被积函数在积分区域上具有一定的连续性条件时，可以通过累次积分来计算二重积分。
即先对其中一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
2. 累次积分通过二重积分计算当累次积分无法直接计算时，可以通过二重积分来计算。
先将累次积分转化为二重积分形式，然后利用二重积分的计算方法进行求解。
四、应用举例二重积分和累次积分在实际问题中有广泛的应用。
以下举例说明。
1. 计算曲线与坐标轴围成的面积通过累次积分计算曲线与坐标轴围成的面积时，可以将其转化为二重积分，然后利用二重积分的计算方法来求解。
被积函数为1的二重积分的几何意义
被积函数为1的二重积分的几何意义
二重积分是数学中的一个重要概念，它是对二元函数在一个有限区域
上的积分。
在实际应用中，我们经常会遇到被积函数为1的二重积分，那么这种情况下的二重积分有什么几何意义呢？
首先，我们需要了解一下什么是被积函数为1的二重积分。
当被积函
数为1时，二重积分可以表示为：
∬D 1 dxdy
其中D表示定义域。
接下来，我们来看一下被积函数为1的二重积分的几何意义。
首先，我们可以将被积区域D看作是平面上的一个有限区域。
此时，
被积函数为1表示每个小面元dxdy所代表的面积都是1。
因此，整个被积区域D所代表的面积就等于二重积分∬D 1 dxdy。
其次，在物理学中，被积函数为1的二重积分可以表示某个平面区域
内质量均匀分布的物体总质量。
这是因为每个小面元dxdy所代表的质量都相等，并且等于单位质量。
此外，在统计学中，被积函数为1的二重积分也有着重要的应用。
例如，我们可以将被积区域D看作是某个随机变量的取值范围，在这个范围内，被积函数为1表示每个小面元dxdy所代表的概率密度都是相等的。
因此，整个被积区域D所代表的概率就等于二重积分∬D 1 dxdy。
最后，在计算机图形学中，被积函数为1的二重积分可以表示某个平面区域内像素点的总数。
这是因为每个小面元dxdy所代表的像素点数都相等，并且等于单位像素点数。
综上所述，被积函数为1的二重积分有着广泛而重要的几何意义。
它可以表示被积区域D的面积、物体总质量、概率和像素点总数等。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的几何意义来理解和应用二重积分。
二重积分
s 1 ds ds
D D
这个性质的几何意义是:高为1的平顶柱体的体积在数 值上就等于柱体的底面积．
9
性质5
如果在 D 上，f ( x , y ) ( x , y ) ，则有不等式
f ( x , y )ds ( x , y )ds
D D
特殊的，由于
f ( x, y)ds
D
b
a
b
2 ( x ) f ( x, y )dydx . 1 ( x )
dx
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x, y )ds
D
a
f ( x , y )dy
计算时，先把x看作常量,把 f(x,y) 只看作y的函数,并对y计 算从 1 ( x ) 到 2 ( x ) 的定积分,然后把算得的结果再对x计算在区 间[a,b]上的定积分.这种连续的积分计算称为：累次积分
y (x, 1) 1 y=x
1 1 2 (1 x y ) dx 3 1 x 3 1 1 ( x 1)dx 1 3 1 2 1 3 ( x 1)dx 3 0 1 2
3 2 2
1
O ( x, x) 1
1
x
25
解法(2) 画出区域D， 可把D看成是Y型区域：
16
d
d y
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dx
3. 计算公式及方法：
当 D 为X型区域时： y
y=2(x)
y=1(x)
y
y=2(x) y=1(x)
O a
b
x
O a
b
8(1)二重积分的概念
根据二重积分的几何意义,确定积分值 根据二重积分的几何意义 确定积分值
( b x 2 + y 2 )dσ , 其中 D为x 2 + y 2 ≤ a 2 ∫∫
2 3 = πa b πa 3
2
D
b>a >0
19
二重积分的概念
性质2 将区域D分为两个子域 性质 将区域 分为两个子域 D1 , D2 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x, y )dσ D D
1
D2
对积分区域的可加性质. 对积分区域的可加性质 性质3 性质 若σ 为D的面积 的面积
y
D1 D
D2
σ = ∫∫ 1 dσ = ∫∫ dσ
D D
o x D1与D2除分界线 外无公共点. 外无公共点
则
性质5(估值性质) 设m ≤ f ( x , y ) ≤ M , 性质5(估值性质) 5(估值性质 σ为D的面积 则 的面积, 为 的面积
∫∫ f ( x , y )dσ D
≤
∫∫ g( x , y )dσ D
m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ
设f ( x , y ) ≥ 0, ( x , y ) ∈ D , 则曲顶柱体 为高和以M为高的两个 为高和以 的体积介于以D为底 为底, 的体积介于以 为底 以m为高和以 为高的两个 平顶柱体体积之间. 平顶柱体体积之间以D为底 既可看成是以 为底, 以1为高的 为底 为高的
柱体体积. 又可看成是D的面积 的面积. 柱体体积 又可看成是 的面积
20
二重积分的概念
若f ( x , y )在有界闭区域 1上可积 且 D1 D2 , 在有界闭区域D 上可积,且
二重积分第一类曲面积分第二类曲线
二重积分第一类曲面积分第二类曲线
二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）是数学中的两个重要概念，分别与曲线和曲面上的函数相关。
1. 二重积分（第一类）：
二重积分是对平面上的函数进行积分的一种方法。
它用于计算平面区域内函数在该区域上的总体积、质量、重心等物理量。
第一类表示积分变量是平面上的面积元素，通常用两个变量表示。
例如，对于函数f(x, y)，在平面区域D 上的二重积分可以表示为∬D f(x, y) dA。
2. 曲面积分（第二类）：
曲面积分是对曲面上的函数进行积分的一种方法。
它用于计算曲面上的流量、电荷、质量等物理量。
第二类表示积分变量是曲面上的面积元素，通常用参数方程表示。
例如，对于函数f(x, y, z)，在曲面S 上的曲面积分可以表示为∬S f(x, y, z) dS。
3. 第一类曲线积分：
第一类曲线积分是对曲线上的函数进行积分的一种方法。
它用于计算曲线上的长度、质量、功等物理量。
第一类表示积分变量是曲线上的弧长元素，通常用参数方程表示。
例如，对于函数f(x, y, z)，在曲线C 上的第一类曲线积分可以表示为∮C f(x, y, z) ds。
总之，二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）分别应用于平面和曲面上的函数积分，而第一类曲线积分用于曲线上的函数积分。
它们在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
[理学]第八章二重积分_OK
![[理学]第八章二重积分_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/0c543dfc7cd184254a353530.png)
2
0
2sin
I
0
ydy dx 2
d 0
r sin rdr
矩形域 半圆域
2
2 2
2
s
i
nd
[
r3 3
2sin
]
0
4
2
s i n
8si n3 3
d
令 t
4 8
2
s
i
n4
tdt
4
8
3
1
4
30
342 2
2 27
例5.计算I e y2 dxdy,其中D由y x, y 1和y轴
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
0 x 1
x
2
y
x
x y2
yy xx22
22
( x2
y)dxdy
1[ 0
x x2
(
x
2
y)dy]dx
D
1
[
x
2
(
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx
0
2
33 . 140
先对x后对y:
0 y 1
y
2
x
y
x y2 y x2
D
D
(9) f (x, y)d g(x, y)d,( f (x, y) g(x, y))
D
D
8
1 若D对称于x 轴，关于变量y被积函数 是奇函数，
其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于y>0
的区域上的积分；
2 若D对称于y 轴，关于变量x被积函数 是奇函数，
其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于x>0
二重积分的概念和计算
二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。
所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。
二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。
此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。
Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。
二重积分
2 1
8
y x2
x
(1,1)
20
例5 计 算 xy d , 其 中D是 由 抛 物 线y2 x及
D
y x 2所 围 成 的 闭 区 域 。y
解 两曲线的交点 (4,2) (1,1)
y2 x
(4, 2)
若选择先 y 后 x ,
xy d
1
dx
x
xy dy
o
0
x
D
4
dx
x
xy dy ,
x
y 1( x)
12
一般地，积分区域为：
1( x) y 2( x)，a x b .
y
y 2(x)
D
f (x, y)d
D
y 1(x)
b a
2 ( x) 1( x)
f
(
x
,
y
)
dy
dx
ao
bx
记为
b
dx
2 ( x) f ( x, y) dy .
a
1( x)
—— 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分
D2
y
1
0 y 2 x,
D2 :
1
x2
.
D1 D2
o
1
2x
y2 x
24
设 D D1 D2
将 D 向 y 轴投影,
D:
1
1 y2 x 2 y,
0 y 1.
y
1
D1 D2
o
1
2x
y2 x
原式 f ( x, y) d
D
1 2 y
dy
f ( x, y)dx .
0
1 1 y2
二重积分的概念
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例1 比较积分大小： ln( x y )d 与
D
2 [ln( x y )] d D
其中D是顶点为(1,0), (1,1), (2,0) 的三角形区域. y 解 在D上， x y 1 2 (1,1)
D D D
3. 若 f ( x , y ) 在 D1 和 D2上都可积, 且 D1与 D2无公共
内点, 则 f ( x , y ) 在 D1 D2 上也可积, 且D1 Fra bibliotek D2
f ( x , y )d f ( x , y )d f ( x , y )d .
D1 D2
则
v lim f (i ,i ) i f ( x, y )d
0
i 1
D
n
x
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2）任取点 (i ,i ) i ,
n n
引例2 非均匀平面薄片的质量 1）将区域D任意分割成n个小区域： 1, 2 ,, n . i 也表第i块小区域的面积
y
( x, y )
(i ,i )
mi (i ,i ) i (i 1,2,, n)
i 1 i 1
x
3）作和 m mi ( i ,i ) i
{ i的直径 } 4）取极限 令 max 1i n
m lim (i ,i ) i ( x, y )d
也可积, 且
f ( x , y )d
D D
f ( x , y ) d .
6. 若 f ( x , y ) 在 D 上可积, 且
m f ( x , y) M , ( x , y) D ,
二重积分的概念及几何意义
二重积分是对平面上的函数在一个有界区域上进行累加的操作。它的定义、 运算法则以及几何意义都非常重要。
二重积分的定义
二重积分是将一个二元函数在一个有界的平面区域上分割成无数个微小的面积元，然后对每个面积元进 行加权求和的过程。
二重积分的运算法则
对于二重积分，我们可以使用积分的线性性质、交换积分次序等法则来简化计算过程。
二重积分与平面区域的几何意义
通过对二重积分的计算，我们可以求得平面上某个区域的面积、质心、惯性矩等几何特性。
二重积分在工程和物理中的应用
工程
二重积分可以用于计算建筑物的稳定性、材料的密度分布等。
物理
二重积分可以描述流体的质量、电场的势能分布等物理现象。
通过实例理解二重积分
1
Example 1
计算平面上一个有界区域的面积。
2
Example 2
计算平面内一个复杂形状的重心位置。
3
Example 3
计算平面上一颗星星的惯性矩。
计算二重积分的方法
我们可以使用直接计算法、坐标变换法等方法来求解二重积分。
二重积分的性质和定理
1 性质 1
二重积分与积分次序无关。
2 性质 2
二重积分的值与积分路径无关。
3 定理 1
如果被积函数在区域上连续，那么二重积分与紧致子区域的积分是一致的。
数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 1二重积分的概念一、平面图形的面积引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集， 即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点；(2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点.将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来， 记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)；将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来， 记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知，对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界， 记Tp I sup ={s p (T)} ,Tp I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I .p I 称为内面积，p I 称为外面积.定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积.定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε.证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)<I p +2ε, 记T 为由T 1与T 2合并所成的直线网，则 s p (T 1)≤s p (T), S p (T 2)≥S p (T)，∴s p (T)>I p -2ε, S p (T)<I p +2ε, 从而S p (T)-s p (T)<ε. [充分性]设对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知，p I =p I ，∴平面图形P 可求面积.推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或 平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖.定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0.证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ， 使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε， 由推论知，P 的边界K 的面积为0.定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零.证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而一致连续. ∴∀ε>0, ∃δ>0, 当把区间[a,b]分成n 个小区间[x i-1,x i ] (i=1,2,…,n, x 0=a,x n =b)并满足 max{△x i =x i -x i-1 |i=1,2,…,n }<δ时，可使f(x)在每个小区间[x i-1,x i ]上的振幅都有ωi <ab -ε.把曲线K 按自变量x=x 0,x 1,…,x n 分成n 个小段，则 每一个小段都能被以△x i 为宽, ωi 为高的小矩形所覆盖，又 这n 个小矩形面积的总和为i ni i x ∆∑=1ω<ab -ε∑=∆ni ix1<ε，由定理21.1的推论即得曲线K 的面积为零.推论1：参数方程x=φ(t), y=ψ(t), t ∈[α,β]所表示的光滑曲线K 的面积为零.证：由光滑曲线的定义，φ’(t),ψ’(t)在[α,β]上连续且不同时为0. 对任意t 0∈[α,β]，不妨设φ’(t 0)≠0，则存在t ’的某邻域U(t 0), 使得 x=φ(t)在此邻域上严格单调，从而存在反函数t=φ-1(x). 又 由有限覆盖定理，可把[α,β]分成有限段：α=t 0<t 1<…<t n =β， 在每一小区间段上，y=ψ(φ-1(x))或x=ψ(φ-1(y))，由定理21.3知， 每小段的曲线面积为0，∴整条曲线面积为零.推论2：由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的.注：并非平面中所有的点集都是可求面积的.如D={(x,y)|x,y ∈Q ∩[0,1]}. 易知0=D I ≤D I =1, 所以D 是不可求面积的.二、二重积分的定义及其存在性 引例：求曲顶柱体的体积(如图1).设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数. 求以曲面z=f(x,y)为顶，以D 为底的柱体体积V.用一组平行于坐标轴的直线网T 把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). ∵f(x,y)在D 上连续，∴当每个σi 都很小时， f(x,y)在σi 上各点的函数值近似相等； 可在σi 上任取一点(ξi ,ηi )，用以f(ξi ,ηi )为高， σi 为底的小平顶柱体的体积f(ξi ,ηi )△σi 作为V i 的体积△V i ，即△V i ≈f(ξi ,ηi )△σi .把这些小平顶柱体的体积加起来， 就得到曲顶柱体体积V 的近似值： V=∑=∆n i i V 1≈i ni i i f σηξ∆∑=1),(.当直线网T 的网眼越来越细密，即分割T 的细度T =di ni ≤≤1max →0(di 为σi 的直径)时，i ni i i f σηξ∆∑=1),(→V.概念：设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，f(x,y)为定义在D 上的函数. 用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 以△σi 表示小区域△σi 的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ， 以d i 表示小区域△σi 的直径，称T =di ni ≤≤1max 为分割T 的细度.在每个σi 上任取一点(ξi ,ηi )，作和式ini iif σηξ∆∑=1),(，称为函数f(x,y)在D 上属于分割T 的一个积分和.定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有J f ini ii-∆∑=σηξ1),(<ε，则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作：J=⎰⎰Dd y x f σ),(.注：1、函数f(x,y)在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是f 在D 上有界.2、设函数f(x,y)在D 上有界，T 为D 的一个分割，把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 令M i =iy x σ∈),(sup f(x,y), m i =iy x σ∈),(inf f(x,y), i=1,2,…,n.作和式S(T)=i n i i M σ∆∑=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1. 它们分别称为函数f(x,y)关于分割T 的上和与下和.定理21.4：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：0lim →T S(T)=0lim →T s(T).定理21.5：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε.定理21.6：有界闭区域D 上的连续函数必可积.定理21.7：设f(x,y)在有界闭域D 上有界，且不连续点集E 是零面积集，则f(x,y)在D 上可积.证：对任意ε>0, 存在有限个矩形(不含边界)覆盖了E ，而 这些矩形面积之和小于ε. 记这些矩形的并集为K ，则 D\K 是有界闭域(也可能是有限多个不交的有界闭域的并集). 设K ∩D 的面积为△k ，则△k <ε. 由于f(x,y)在D\K 上连续， 由定理21.6和定理21.5，存在D\K 上的分割T 1={σ1, σ2,…, σn }, 使得S(T 1)-s(T 1)<ε. 令T={σ1, σ2,…, σn , K ∩D}，则T 是D 的一个分割，且 S(T)-s(T)=S(T 1)-s(T 1)+ωK △k <ε+ωε, 其中ωK 是f(x,y)在K ∩D 上的振幅，ω的是f(x,y)在D 上的振幅. 由定理21.5可知f(x,y)在D 上可积.三、二重积分的性质1、若f(x,y)在区域D 上可积，k 为常数，则kf(x,y)在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x kf σ),(=k ⎰⎰Dd y x f σ),(.2、若f(x,y), g(x,y)在D 上都可积，则f(x,y)±g(x,y)在D 上也可积，且[]⎰⎰±Dd y x g d y x f σσ),(),(=⎰⎰Dd y x f σ),(±⎰⎰Dd y x g σ),(.3、若f(x,y)在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则⎰⎰21),(D D d y x f σ=⎰⎰1),(D d y x f σ+⎰⎰2),(D d y x f σ.4、若f(x,y)与g(x,y)在D 上可积，且f(x,y)≤g(x,y), (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x g σ),(.5、若f(x,y)在D 上可积，则函数|f(x,y)|在D 上也可积，且⎰⎰Dd y x f σ),(≤⎰⎰Dd y x f σ),(.6、若f(x,y)在D 上都可积，且m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈D ，则 mS D ≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤MS D , 其中S D 是积分区域D 的面积.7、(中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ， 使得⎰⎰Dd y x f σ),(=f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.注：中值定理的几何意义：以D 为底，z=f(x,y) (f(x,y)≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于f(x,y)在区域D 中某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η).习题1、把重积分⎰⎰Dxydxd σ作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=[0,1]×[0,1]，并用直线网x=n i, y=nj , (i,j=1,2,…,n-1)分割D 为许多小正方形，每个小正方形取其右顶点作为其节点.解：⎰⎰Dxydxd σ=2111lim n n j n i nj ni n ⋅⋅∑∑==∞→=21121lim n n j n nj n ⋅⋅+∑=∞→=224)1(lim n n n +∞→=41.2、证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D 上可积，则f(x,y)在D 上有界. 证：若f 在D 上可积，但在D 上无界，则对D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, f 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时，任取p i ∈σi ，令G=∑≠nki i i p f σ)(, I=⎰⎰Ddxdy y x f ),(.∵f 在σk 上无界，∴存在p k ∈σk ，使得|f(p k )|>kG I σ∆++1, 从而∑=ni iip f 1)(σ=∑≠∆+nki k k i i p f p f σσ)()(≥|f(p k )·△σk |-∑≠nki i i p f σ)(>|I|+1.又f 在D 上可积，∴存在δ>0，对任一D 的分割T={σ1, σ2,…, σn }, 当T <δ时，T 的任一积分和∑=nk k k p f 1)(σ都满足∑=-nk k k I p f 1)(σ<1,即∑=nk k k p f 1)(σ<|I|+1，矛盾！∴f 在D 上可积，则f 在D 上有界.3、证明二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积.证：∵f 在有界闭区域D 上连续,∴f 在D 上有最大值M 和最小值m, 对D 中一切点有m ≤f ≤M ，∴mS D ≤⎰⎰Df ≤MS D , 即m ≤⎰⎰DDf S 1≤M.由介值性定理知，存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Df =f(ξ,η)S D .4、证明：若f(x,y)为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则⎰⎰Dd y x f σ),(>0.证：由题设知存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使f(p 0)>0，令δ=f(p 0)，由连续函数的局部保号性知：∃η>0使得对一切p ∈D 1(D 1=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>2δ. 又f(x,y)≥0且连续，∴⎰⎰Df =⎰⎰1D f +⎰⎰-1D D f ≥2δ·△D 1>0.5、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域D ’⊂D 上有⎰⎰'D d y x f σ),(=0，则在D 上f(x,y)≡0.证：假设存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使得f(p 0)≠0, 不妨设f(p 0)>0. 由连续函数的保号性知，∃η>0使得对一切p ∈D ’(D ’=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>0，由第4题知⎰⎰'D f >0，矛盾！ ∴在D 上f(x,y)≡0.6、设D=[0,1]×[0,1]，证明： 函数f(x,y)=⎩⎨⎧内非有理点为皆为有理数即内有理点为D y x y x D y x ),(,0),(),(,1在D 上不可积.证： 设D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, 则每一个小区域σi 内必同时含有D 内有理点和非有理点，从而 M i =iy x σ∈),(sup f(x,y)=1, m i =iy x σ∈),(inf f(x,y)=0, i=1,2,…,n.∴S(T)=i n i i M σ∆∑=1=1, s(T)=i ni i m σ∆∑=1=0，由T 的任意性知：lim →T S(T)=1≠0=0lim →T s(T). ∴f 在D 上不可积.7、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，g(x,y)在D 上可积且不变号，则存在一点(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.证：不妨设g(x,y)≥0, (x,y)∈D ，则⎰⎰Dd y x g σ),(≥0. 令M,m 分别为f 在D 上的最大、最小值，则 m ⎰⎰Dd y x g σ),(≤⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(≤M ⎰⎰Dd y x g σ),(.若⎰⎰Dd y x g σ),(=0, 则⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=0，任取(ξ,η)∈D ，得证！若⎰⎰Dd y x g σ),(>0, 则m ≤⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),(≤M. 由介值性定理知，存在一点(ξ,η)∈D ，使得f(ξ,η)=⎰⎰⎰⎰DDd y x g d y x g y x f σσ),(),(),( ，即⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰Dd y x g σ),(.8、应用中值定理估计积分：I=⎰⎰++Dyx d 22cos cos 100σ的值, 其中D={(x,y)||x|+|y|≤10}. 解：∵f(x,y)=yx 22cos cos 1001++ 在D={(x,y)||x|+|y|≤10}上连续，根据中值定理知：存在(ξ,η)∈D ，使得I=ηξ22cos cos 100++∆D, 从而102D ∆≤I ≤100D ∆, △D 为D 的面积，∴51100≤I ≤2.9、证明：若平面曲线x=φ(t), y=ψ(t), α≤t ≤β光滑 (即φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数且φ’2(t)+ψ’2(t)≠0)，则 此曲线的面积为0.证法1：该平面曲线L 的长度为l=dt t t ⎰'+'βαψϕ)()(22为有限值.对∀ε>0, 将L 分成n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡εl +1段：L 1,L 2,…,L n , 在每段L i 上取一点P i , 使P i 与其一端点的弧长为nl 2，以P i 为中心作边长为的ε正方形△i ， 则L i ⊂△i (i=1,2,…,n), 从而L ⊂n i 1= △i ，记△=ni 1= △i ，则△为一多边形.设△的面积W ，则W ≤n ε2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1εlε=(1+ε)ε，∴L 的面积W L ≤W ≤(1+ε)ε. 即此曲线的面积为0.证法2：在曲线上任取参数t 的点M ，∵φ’2(t)+ψ’2(t)≠0， 由隐函数存在定理知，存在σ=(t-δ,t+δ)使曲线上对应的一段可以表示成显式方程.应用有限覆盖定理，[α,β]被开区间集{σ}有限覆盖，得出有限个区间， 使曲线分成有限部分，每一部分可以表示成显式方程y=f(x)或x=g(y)， 其中f,g 为连续函数，由定理21.3知光滑曲线的面积为0.。
二重积分变换积分次序
二重积分变换积分次序
摘要：
1.二重积分的概念
2.积分次序的重要性
3.变换积分次序的方法
4.实际应用案例
正文：
一、二重积分的概念
二重积分是多元函数积分的一种形式，它是对一个函数在空间中的某个区域上的累积效果进行度量。
二重积分的表达式通常为：
∫∫_D f(x, y) dxdy
其中，D 表示被积区域，f(x, y) 表示被积函数，x 和y 表示区域D 中的两个变量。
二、积分次序的重要性
在计算二重积分时，积分次序的选择对积分结果具有重要影响。
合适的积分次序可以使积分过程变得简化，从而提高计算效率。
三、变换积分次序的方法
变换积分次序的方法通常有以下两种：
1.直接积分法
直接积分法是根据被积函数的形式，直接选择合适的积分次序进行积分。
这种方法适用于被积函数较为简单，积分次序选择较为明显的情况。
2.坐标变换法
坐标变换法是利用坐标变换将复杂函数转化为简单函数，从而实现积分次序的变换。
这种方法适用于被积函数较为复杂，积分次序选择较为困难的情况。
四、实际应用案例
假设有一个二重积分问题：
∫∫_D (x^2 + y^2) dxdy
我们可以通过变换积分次序，先对x 进行积分，再对y 进行积分，即：∫_D ∫ (x^2 + y^2) dy dx
这样，我们可以将原问题分解为两个简单的一重积分问题，从而简化了积分过程。
总结：
在解决二重积分问题时，通过合理选择积分次序，可以简化积分过程，提高计算效率。
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因 此 ln x (y)d [lx n y) (2d ].
D
D
小结
二重积分的定义 （和式的极限） 二重积分的几何意义
（曲顶柱体的体积代数和） 二重积分的性质
（线性、区域可加性、估值不等式）
则面积元素为 ddxdy
o
故二重积分在直角坐标系中可 写为
dy D
x
dx
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
积分变量
四、二重积分可积的条件
什么样的函数可积? 类似于定积分
1 必要条件
定理21.2.5 设函f(数 x,y)在有界可求 D上 闭可 区 , 积 域
则f(x,y)在D上有. 界
设函 f(x,数 y)在有界可 D上 求有 闭 ,T为 界 区 D的域
侧面是柱面，
D
该柱面以D为准线，
母线平行于z轴。
还有其他类型的柱面。
采用类似于求曲边梯形面积方法
步骤如下：
z
先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域，
zf(x,y)
用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲
x
顶柱体的体积，
o
D
•
i
y
(i ,i )
(1) 分割
z
任意 D :i( 分 i 1 ,2 , 割 ,n )
一、平面图形的面积
为了研究定义在平面点集上二元函数的积分，
首先讨论平面有界图形的面积。y
设平面图形D有界,
i
则存在一个矩形R,使得
DR
D
为了考察D的面积，先用
一组平行于坐标轴的直线
网T分割D ，如图
T的网眼（小矩形）i可
o
x
以分为三类：(1) i上的点均是D内的点；
(2) i上的点均是D的外点；即 i D
定理21.1.6
f( x ,y ) 在 D 上 可 liS ( m T ) 积 lis ( T m )
T 0
T 0
定理21.1.7 f(x,y)在 D上可 积
0 , D 的一 T ,使 个 S (T 得 ) 分 s(T ) 割
2 可积的充分条件
定理21.1.8 有界D 闭 上区 的域 连 f(x,y 续 )在 D 上 函可 .数
例2 估 计 IDx2y2d 2x y1的 6值 ，
其 中 D：0x1, 0y2.
解
f(x,y)
1
, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
故2I 2 0 .4 I 0 .5 . 54
则有 f (x ,y )d g (x ,y )d .
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
性质6 设M,m是f(x,y)在闭区 D上 域的最大值,、
是D的面,则 积
m f(x ,y)d M D
（二重积分估值不等式）
性质7 设函 f(x,y数 )在闭 D 上 区连 ,域 是 D 续 的面 , 则D 在 上至少 (,存 )使 , 在 得 一点
(3)
x
由确界原理可知：
对于平面图形D的所有直线网的分割T，
数 {sD 集 (T )有 } 上 ,{S D (T 确 )有 } 界 下 . 确界
记为
IDsu{spD(T)} T
IDiT n{S fD(T)}
于是有
0IDID
通I 常 D 为 D 的 称内 ,ID 为 D 面 的积 外 . 面积
定义1 若平D 面 的图 内 ID 形 等 面于 积其 ID , 外 则称D为可求面积，并将 IDIDID 值称 D 的为 .面 定理21.1.1 平面有界 D为 图可 形求 面积
被面 分
积积 表元 达素 式
划 细 度
积 分 和
定义2 设f (x, y)是定义在可求面积的有界闭域D上的 函数,J为一个常数,若>0,总>0,使得对于D的任意分 割T,当他的分割细度||T||<,属于T的所有积分和均有
n f(i,i)i J
i1
则称函数f (x, y)在D上可积,数J称为f (x, y)在D上的二重
(x,y)处的面密度为 (x,y) ，假定 (x,y)在D上连续，平
面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块， y
取典型小块，将其近似
•
看作均匀薄片，
所有小块质量之和
o
近似等于薄片总质量
n
Mlim0 i1(i,i)i.
(i,i )
i
x
三、二重积分的概念 简单的说
定义1 设f (x, y)在有界闭域D上有界，若对于D的任
(3) i上的点含有D的边界点。
y 将属于直线网T的第(1)类 小矩形的面积作和，记为
sD(T)
将属于直线网T的第(1)类 与第(3)类小矩形的面积作 和，记为 SD(T)
则有 s D (T ) S D (T ) R o
(3) (3) (1)
(1)
(1) (1) D
(1)
(3)
(2) (2)
(2)
D
D
的 大 小 , 其 中 D是 三 角 形 闭 区 域 , 三 顶 点
各 为 (1,0),(1,1), (2,0).
y
解 三 角 形 斜 边 方 程 xy2
1
在 D 内 有 1 x y 2 e ,
D
故 ln x ( y ) 1 ,
o 12x
于 是 lx n y ) l (x n y ) 2 ,(
意分割和在i上任意取 (i , i) ，作积、作和，
记T 的 分T 细 割 m i d i度 ,a d i为 xi的.直径
若极限
n
lTi m 0i 1f(ξi,ηi)Δ i
存在，则称其为f (x, y)在D上的二重积分，记为
f(x,
D
y)d
lTi m 0i n1f(i,i)i
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
D
D
性质2 [f(x,y)g(x,y)d ] f (x ,y )d g (x ,y )d
D
D
D
性质3 对区域具有可加性 (D D 1D 2)
f ( x ,y ) d f ( x ,y ) d f ( x ,y ) d .
D
D 1
D 2
性质4 若为D的面积, 1 dd.
D
D
性质5 若在D上 f(x ,y )g (x ,y ),
例3 判 断lnx2(y2)dx的 d符 y 号 .
rxy1
解 当 r x y 1 时 , 0 x 2 y 2 (x y )2 1 ,
故 ln x 2 ( y 2 ) 0 ;
又 当 xy 1 时 , lnx2(y2)0,
于 是 ln x 2 (y 2 )dx 0 .dy
r x y 1
例4 比 较 积 分 lnx(y)d与 [ln x(y)2]d
定理21.1.4 由参数方 xy程 ((tt))所表示的光滑曲线
按段光滑,曲 其线 面积一定. 为零
二、问题的提出
1. 曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积× 高 特点：平顶
zf(x,y)
D
柱体体积=？ 特点：曲顶
曲顶柱体
曲顶柱体： 以平面有界区域D为底，
zf(x,y)
以曲面∑：z=f(x,y)为顶， 一般z=f(x,y)在D上连续。
二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和。
曲顶柱体体积 Vf(x,y)d D
平面薄片的质量 Mf(x,y)d D
(3) 与定积分相似,若函数f (x, y)在D上可积,可采用特殊 的分割,特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重 积分值.
二重积分的具体形式
在直角坐标系下用平行 y 于坐标轴的直线网来划分区 域D，
任一,将 分 D分 割n 成 个可求面积 1,的 ,n,令 小
M i sup f(x,y),
(x,y)i
mi (xi,yn )iff(x,y), (i1,,n)
n
n
S (T属于分割T的上和
属于分割T的下和
上和、下和的性质类似于定积分
于是有
2 可积的充要条件
0,直线网T分 , 使 割 S D ( T ) 得 s D ( T )
证明过程完全类似于定积分.
推论 平面有 D 面界 ID 积 0 图 ID 形 0
定理21.1.2 平面有界 D为 图可 形求 面积
D的边D 界 的面积. 为零
定理21.1.3 若曲 K是 线定[a义 ,b]上 在的
连续f函 (x)的 数图 ,则 象 曲 K的 线面积 . 为
积分.
f
D
(x,
y)d
lTi m 0i n1f(i,i)i
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 分
积积 表元 达素 式
划 细 度
积 分 和
对二重积分定义的说明：
(1) 二重积分的定义中，对闭区域的划分和介点选取 是任意的。
(2) 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积; 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积 的负值. 若位于xoy面上方柱体的体积为正值； 位于xoy面下方柱体的体积为负值，
(2) 作近似 任 (i,取 i) i
Vi f(i,i)i
(i1, 2, ， n)
z =f (x, y)
•
(3) 求和 V n f(ξi,ηi)Δi i1
(4) 取极限
令 m 1ina x i直径 x
n
Vl i0m i 1f(ξi,ηi)Δi
y
D
i