等腰三角形和直角三角形(共83张PPT)
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等腰三角形与直角三角形PPT课件
B组 2015—202X年全国中考题组
考点一 等腰三角形
1.(202X内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
答案
A
由根与系数的关系可得
a b ab
m
12, 2,
当a=4时,b=8;
当b=4时,a=8.
这两种情况都不能构成三角形,
∴a=b=6,∴m=34,故选A.
易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.
2.(202X吉林,5,2分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°, ∠C=36°,则∠DAC的度数是 ( )
中考数学
（安徽专用）
第四章 图形的认识
§ 4.(202X安徽,10,4分)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠ PBC.则线段CP长的最小值为 ( )
A. 3
2
C. 8 13
13
B.2 D.12 13
13
答案 B ∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.取AB的中点O,则P在以
AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,
∵OB= 1 AB=3,BC=4,∴OC= 32 42 =5,又OP= 1 AB=3,∴线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.
A.70° B.44° C.34° D.24° 答案 C 由作图知BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=70°,∵∠BDA=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠BDA-∠C=34°,故 选C.
等腰与直角三角形PPT课件
1．性质 (1)直角三角形的两个锐角互余 ；
(2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)；
(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的 一半
直角边等于斜边的
；
(4)在直角三角30形° 中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这
条直角边所对的锐角为
；
斜边
(5)直角三角形
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等腰三角形与直角三角形 训练时间：60分钟 分值：100分
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一、选择题(每小题4分，共44分)
1．(2012中考预测题)等腰三角形的一条边长等于6，另一 条边长等于3，则此等腰三角形的周长是( )
A．9
B．12
C．15
D．12或15
【解析】当6为腰，3为底时，6＋3>6，此时周长为15；当 6为底，3为腰时，3＋3＝6，不能组成三角形．
＋
S ≥S △CDE
△ACE
，
故
②
正
确
．
连
接
MC ， 则
△MCD≌△MED，所以∠MDC＝∠MDE＝45°，同理∠MBC＝∠MBA＝45°，
∴BM⊥DM，BM＝DM，故③④正确．故选 D.
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方法总结： （1）等腰三角形与直角三角形是常见的图形，其性质在研究平 行四边形、等腰梯形、圆、三角函数等时应用非常广泛，因此应熟练、 准确掌握其性质并灵活应用. （2）“等边对等角”或“等角对等边”仅限于在一个三角形中. 在两个三角形中，如果两边相等，这两条边所对的角不一定相等.
【答案】C
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二、填空题(每小题4分，共16分)
12．(2010中考变式题)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的 中点，CD＝4 cm，则AB＝________cm.
等腰三角形与直角三角形ppt 人教版
等腰三角形与直角三角形ppt 人教版等腰三角形与直角三角形 PPT 人教版一、等腰三角形（一）等腰三角形的定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（二）等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
例如，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，那么∠B ＝∠C。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
我们来看一个例子，已知等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，AD 是顶角∠BAC 的平分线，那么 AD 也是底边 BC 上的中线和高。
（三）等腰三角形的判定1、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
比如，在三角形 ABC 中，∠B ＝∠C，那么 AB ＝ AC。
2、三边相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，其三个内角均为 60°。
（四）等腰三角形中的重要线段1、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
2、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
（五）等腰三角形的周长和面积1、周长＝腰长×2 ＋底边长度。
2、面积＝底×高÷2 ，这里的高可以通过勾股定理求得。
二、直角三角形（一）直角三角形的定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余的两条边称为直角边。
（二）直角三角形的性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，则有 a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边）。
2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
3、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
（三）直角三角形的判定1、有一个角为 90°的三角形是直角三角形。
【中考备战策略】2014中考数学总复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形课件 新人教版
解析： 分两种情况： (1)等腰三角形的腰长为 6 cm， 则它的周长为 6×2＋3＝15(cm)； (2)等腰三角形的腰长 为 3 cm，三角形的三边长分别 6 cm,3 cm,3 cm，不可 能．故选 D.
2．已知等腰三角形的一个内角为 40° ，则这个等 腰三角形的顶角为 ( A． 40° C． 40° 或 100° C ) B． 100° D． 70° 或 50°
考点二 等腰三角形的判定 例 2 (2013· 厦门 )如图，已知 A，B，C，D 是⊙ O 上 的四点，延长 DC， AB 相交于点 E.若 BC＝ BE. 求证：△ ADE 是等腰三角形．
【点拨】 本题考查圆内接四边形的性质与等腰三角 形的判定． 证明：∵ A， B， C， D 四点共圆， ∴∠ A＝∠ BCE. ∵ BC＝ BE， ∴∠ BCE＝∠ E，∴∠ A＝∠ E. ∴ AD＝ DE，即△ ADE 是等腰三角形．
考点二 等腰三角形的性质和判定 1．性质
(1) 等腰三角形的两个 底角 相等 ( 简称： 等边对等 角 )； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高线互相重合 ； (3)等腰三角形是轴对称 图形，有一 条对称轴，顶 角的平分线 (底边上的中线、 底边上的高线)所在的直线 是它的对称轴．
【点拨】 ∵ AB＝ BC， ∠ ACB＝ 35° ， ∴∠ A＝ ∠ ACB ＝ 35° .∵ AB∥ DC， ∴∠ OCD＝ ∠ A＝ 35° .∵∠ D＝ 40° ， ∠ AOD 是 △ OCD 的外角， ∴∠ AOD＝ ∠ OCD＋ ∠ D＝ 35° ＋ 40° ＝ 75° . 【答案】 75°
∵ BE⊥ CE， ∴∠ BCE＝ 60° ， ∠ EBC＝ 30° . ∴ BC＝ 2CE. ∵ EA＝ EC， ∴ BC＝ AC. ∴△ ABC 是等边三角形．
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(1)求∠F 的度数； (2)若 CD＝2，求 DF 的长． 【点拨】本题考查等边三角形的性质，由性质得 出角的度数是解本题的关键．
解：(1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60° . ∵DE∥AB， ∴∠EDF＝∠B＝60° ，∠DEC＝∠A＝60° . ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90° . ∴∠F＝90° －∠EDF＝30° .
2．判定 (1)定义法； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成：等角对等边)．
温馨提示： 等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的 重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的 相等关系的重要依据.
考点三 1．性质
等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角 都等于 60° . 2．判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
温馨提示： 由判定2可知，在等腰三角形中，只要有一个角 是60° ，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就 是等边三角形.
考点四 1．性质
直角三角形的性质和判定
(1)直角三角形的两个锐角互余； (2)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30° ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半； (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (4)勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和 等于斜边cCB. ∴∠EBO＋∠OBC ＝∠DCO＋∠OCB. 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形．
考点三
等边三角形的性质与判定
例 3(2014· 温州)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
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（3）以Ｍ为圆心，ＥＦ长为半径画弧，
交EM的延长线于N （4）连结FN （5）延长FN交CD于K
由例1中方法二的证明可知FN⊥AB。
Ａ
D
E
M
F B
NK C
五、作业 1．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A BD是AC边上的高 求∠DBC的度数
A
B
DC
2．如图在△ABC中，已知AB=AC， ∠BAC=90°。D是BC上一点，EC⊥BC， EC=BD，DF=FE。 求证：AF⊥DE
折一个轴对称图形；
画一个轴对称图形；
形，
用笔尖扎纸孔扎一个轴对称图
用水彩涂染一个轴对称图形；
以上任选两项完成。
2、课后上网查找关于轴对称图形的有关资 料，写写你的感受寄给老师 （liaolijie1@）记得要写上你的
谢谢指导！
B
C
（折半法） 证法三：如图，作AE⊥BC于E
∵AB=AC
∴∠1= 1 BAC
2
∵BD⊥AC于D
且∠1+∠C=90°
Ａ
∴∠DBC+∠C=90°
1
∴∠1=∠DBC
即∠DBC= 1 A
2
D
Ｂ
E
C
证法二：（加倍法） 如图
作∠C′BD=∠CBD，交AC于C′ ∴C′B=CB
∵BD⊥AC ∴∠C′BC=2∠DBC=180°-2∠C
B １２
Ｄ
３
Ｃ
等腰直角三角形为我们证明三角形全等提供了条件。
四、问题探究 现在有一块长方形木板的残留部分，它
的两条对边AB、CD整齐且平行，但另两条对 边参差不齐，现在没有直角尺，请你在毛边 附近画出一条与AB、CD都垂直的边来。
第18讲 等腰三角形与直角三角形
4．如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一 半，那么这个三角形是直角三角形．
考点五 线段垂直平分线的性质和判定 1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做线段的垂直平分线． 2．性质 (1)线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点 的距离相等； (2)与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条 线段的 垂直平分线 上．
2
2
∴ME＝MD，
∴△MED 为等腰三角形．
(2)∵ ME＝1AB＝ MA， ∴∠ MAE＝∠ MEA， 2
∴∠BME＝2∠MAE.同理 MD＝1AB＝MA， 2
∴∠ MAD＝∠ MDA，∴∠ BMD＝ 2∠ MAD， ∴ ∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝ 2∠ DAC．
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 1．(2016·泰安)如图，在△PAB 中，PA＝PB，M， N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM＝BK，BN ＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为( )
【点拨】∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD． ∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠ABD＝∠BDE， ∴BE＝DE，△AED 的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE
＋AD＝AB＋AD，∵AB＝3，AD＝1，∴△AED 的周
长＝3＋1＝4.故选 C． 【答案】 C
方法总结： 等腰三角形有两个性质：(1)“等边对等角”，利 用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大 小；(2)“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相 等、角相等、一个角等于 90°、计算线段长度和角的 大小等．
( D) A．2 个 C．4 个
B．3 个 D．5 个
3．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为
25°，则该三角形的一个底角为( C )
考点五 线段垂直平分线的性质和判定 1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做线段的垂直平分线． 2．性质 (1)线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点 的距离相等； (2)与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条 线段的 垂直平分线 上．
2
2
∴ME＝MD，
∴△MED 为等腰三角形．
(2)∵ ME＝1AB＝ MA， ∴∠ MAE＝∠ MEA， 2
∴∠BME＝2∠MAE.同理 MD＝1AB＝MA， 2
∴∠ MAD＝∠ MDA，∴∠ BMD＝ 2∠ MAD， ∴ ∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝ 2∠ DAC．
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 1．(2016·泰安)如图，在△PAB 中，PA＝PB，M， N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM＝BK，BN ＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为( )
【点拨】∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD． ∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠ABD＝∠BDE， ∴BE＝DE，△AED 的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE
＋AD＝AB＋AD，∵AB＝3，AD＝1，∴△AED 的周
长＝3＋1＝4.故选 C． 【答案】 C
方法总结： 等腰三角形有两个性质：(1)“等边对等角”，利 用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大 小；(2)“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相 等、角相等、一个角等于 90°、计算线段长度和角的 大小等．
( D) A．2 个 C．4 个
B．3 个 D．5 个
3．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为
25°，则该三角形的一个底角为( C )
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温馨提示： 1.三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三 角形三个顶点的距离相等. 2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内 部，直角三角形三边垂直平分线的交点是斜边的中点， 钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.
考点一 等腰三角形的性质 例 1(2014·南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数 为( )
∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD，
∴△BOE≌△COD.
∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠EBO＋∠OBC ＝∠DCO＋∠OCB. 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形．
考点三 等边三角形的性质与判定 例 3(2014·温州)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
答案： C
5．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系 式 c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC 是等腰直角三角 形．
解析：∵ c2－a2－b2＋|a－b|＝0， c2－a2－b2 ≥0，|a－b|≥0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，∴△ABC 是等 腰直角三角形．
6．如图，△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC.如果 AD＝2， BD＝6，那么△ADC 的周长为 .
(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝30°＝∠F. ∴CE＝CF. 又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°， ∴△CDE 为等边三角形， ∴CD＝CE＝2. ∴DF＝2CE＝4.
方法总结： 等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三 个角都等于60°，中线、高、角平分线三线合一.根据 以上性质可以进行相关的计算与证明.
复习第十七讲等腰三角形和直角三角形-完整版PPT课件
考点五 命题、定理及逆定理
【示范题5】2020·玉林中考下列两直线平行,同位角相等
C全等三角形的对应角相等
D正方形的四个角都相等
【答题关键指导】判断命题真假的方法 只有对一件事情做出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命 题是假命题对于命题的真假正误判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、 性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与 计算才能进一步确定真与假
三、线段的垂直平分线 1性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离____相__等___ 2判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的____垂__直__平__分__线___上
四、直角三角形的性质与判定
性质
(1)直角三角形的两个锐角_________
互余
(2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的_________
【自我诊断】
1一个等腰三角形两边的长分别为4和9,那么这个三角形的周长是 C
A13
B17
C22
D17或22
2已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1, ,23 分别以每组数据中的三个数为三角
形的三边长,构成直角三角形的有
D
A②
B①②
C①③
D②③
3等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是
B
A20°
的周长 的周长
【答题关键指导】等边三角形的性质 1三条边相等 2三个角相等,并且都等于60° 3是轴对称图形,并且有三条对称轴 4具有“等边对等角”及“三线合一”的性质
【跟踪训练】 12020·嘉兴中考如图,正三角形ABC的边长为3,将△ABC绕它的外心O逆时针 旋转60°得到△A′B′C′,则它们重叠部分的面积是 C
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(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由. (2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC. 【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定SAS可证明 △ABE≌△ACD,然后可得证.(2)根据(1)的结论和等腰三 角形的性质,可由线段垂直平分线的判定得证.
【自主解答】(1)∠ABE=∠ACD. 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD. 所以∠ABE=∠ACD.
_____3_____个．
图 4－2－27
6.已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个 等腰三角形的周长为20或16. ( × ) 7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为5.
( √)
8.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD, AB=BD,则∠B的度数为36°. ( √ )
图1
第 30 页
图2
考点 2 直角三角形的性质和判定
5．(2011 年广东肇庆)在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°， BC＝12，AC＝9，则 AB＝1_5_______.
6．(2010 年广东汕头)如图 4－2－29，把等腰直角三角形 △ABC 沿 BD 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 E 处．下面结论
【变式训练】 1.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上 一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为 ( )
A.40° B.36° C.80° D.25°
【解析】选B.设∠C=x°,由于DA=DC,可得∠DAC=∠C =x°,由AB=AC可得∠B=∠C=x°.∴∠ADB=∠C+∠DAC =2x°,由于BD=BA,所以∠BAD=∠ADB=2x°,根据三角形 内角和定理,得x°+x°+3x°=180°,解得x=36.所以 ∠B=36°.
【变式】等腰三角形的一个内角是120°，则两外两个内角的度
数分别为
30°、30°；
方法：研究等腰三角形的角，分类讨论，用内角和验证
三、等腰三角形腰上的高问题
【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这条高与
底边的夹角的度数为+ 高在外部
A
D
A
A．10 B．
C5
D2.5
五、勾股定理及逆定理 1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边长为c,那么_a_2_+_b_2=_c_2_. 2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满 足_a_2_+_b_2=_c_2_,那么这个三角形是直角三角形.
24．(2014·凉山中考)已知直角三角形的两边的长分别是 3和4，则第三边长为_5__或___7____.
2.(2017·黄冈中考)已知:如图,在正方形ABCD的外侧, 作等边三角形ADE,则∠BED=________度.
【解析】由题意得AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED= 60°.所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED= ∠AED∠AEB=60°-15°=45°. 答案:45
直角三角形
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD
=
.
【答案】3
【解析】∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB= 62 82 =10. ∴过D点作DE⊥AB，则DE=CD，AC=AE，
在Rt△DEB中，设DE=x，则BD=8－x，BE=AB－AE=4， 由勾股定理得(8－x)2=x2+42，解得x=3，即CD=3.
EF∥OB，EC⊥OB，若 EC＝1，则 EF＝____2__.
图 4－2－30
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边 上的中线,则CD的长是5. ( √ )
5.以4,5,6为边长,可以构成直角三角形. ( × )
9．(吉林长春中考)如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解 《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的 示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形， △ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角 形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为____10______.
错误的是( B ) A．AB＝BE
B．AD＝DC
C．AD＝DE D．AD＝EC
图 4－2－29
四川中考真题精练
命题点一 等腰三角形的性质及计算
1．(2017·雅安中考)如图所示，底边 BC 为 2 3，顶角 A 为 120°的等腰△ABC 中，
DE 垂直平分 AB 于点 D，则△ACE 的周长为( A )
7．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ C）
A．1,2,3
B．2,3,4 C．3,4,5 D．4,5,6
8．(2012 年广东广州)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，
BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是( A)
A.356
B.1225
C.94
D.3 4 3
9．(2012 年广东梅州)如图 4－2－30，∠AOE＝∠BOE＝15°，
(2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以 FB=FC. 又因为AB=AC, 所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上, 即直线AF垂直平分线段BC.
【答题关键指导】 1.判定等腰三角形的两种方法 (1)运用定义从边的角度去判断. (2)运用判定定理从角的角度判断.
3.(2017·内江中考)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足 为点D,DE∥AC. 求证:△BDE是等腰三角形.
【证明】∵DE∥AC,∴∠1=∠3. ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3. ∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°. ∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.
A．2＋2 3
B．2＋ 3
C．4
D．3 3
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六、命题、定理 1.互逆命题:如果两个命题的_题__设__和_结__论__正好相反, 我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一 个叫做原命题,那么另一个叫做它的_逆__命__题__. 2.互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就 是这个定理的逆定理,称这两个定理为_互__逆__定理.
【变式训练】
1.(2017·无锡中考)对于命题“若a2>b2,则a>b.”
下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题
的是 ( )
A.a=3,b=2
B.a=-3,b=2
C.a=3,b=-1
D.a=-1,b=3
考点一 等腰三角形的性质与判定 【示范题1】(2017·连云港中考)如图,已知等腰三角 形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连 接BE,CD,交于点F.
1．有一个内角是 60°的等腰三角形是(B )
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．以上都不是
2．如图 4－2－25，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，BD
为∠ABC 的平分线，则∠BDC 为( C )
图 4－2－25 A．55° B．65° C．75° D．85°
1．等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则
这个等腰三角形的周长为(C )
A．16
B．18
C．20 D．16 或 20
2．(2011 年广东茂名)如图 4－2－26，已知△ABC 是等边三
角形，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 CG＝CD，DF＝DE，
则∠E＝___1_5__°__.
图 4－2－26
3．(2010 年广东广州)如图 4－2－27，BD 是△ABC 的角平 分 线 ， ∠ ABD ＝ 36°， ∠ C ＝ 72°， 则 图 中 的 等 腰 三 角 形 有
考点二 等边三角形的性质与判定 【示范题2】(2017·淄博中考)在边长为4的等边三角 形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________.
【思路点拨】作AG⊥BC于点G,根据等边三角形的性 质得出∠B=60°,解直角三角形求得AG=2 3,根据 S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2 .3
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_____4_____.
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四、直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形的两个锐角_互__余__ (2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于 性质 斜边的_一__半__ (3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的 _一__半__ (1)定义法:有一个角是_直__角__的三角形 判定 (2)两个内角_互__余__的三角形
5. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得
AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为（
）
A. 0.5 km B. 0.6 km C. 0.9 km D. 1.2 km
【答案】D
【解析】∵AC⊥BC，M是AB的中点，∴MC=1 AB=AM=1.2 km.
2
故选D.
定理 2.等腰三角形顶角_平__分__线__、底边上的中
线和底边上的_高__相互重合(简称“三线合
一”)
三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高互相____重__合___.如图2，如果AB＝AC，AD平分∠BAC， 那么可得AD___⊥_______BC，BD____＝_____CD；如果AB＝ AC，BD＝CD，那么可得AD______⊥___BC， ∠BAD____＝______∠CAD；如果AB＝AC，AD⊥BC，那么可 得BD______＝___CD，∠BAD______＝__∠CAD．