第6章 储能元件 (1)

di Leq dt
u L di dt
i Leq ＋ u-
Leq L1 L2 Ln
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电感的并联
i
＋
u
-
i1 i2
i i1 i2 in
in
i Leq
＋
u
-
1
i i(t0 ) L
t
ud
t0
1
i1(t0 ) L1
t t0
ud
i2(t0 )
1 L2
t t0
释放功率
0
1
2 t /s
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若已知电流求电容电压，有
0
i(t
)
1
1
0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
i /A 1
-1
1
2 t /s
当0t 1s 当 1 t 2s
当 2t
10
1t
uC (t) C
0dξ
C
1dξ 0 2t 2t
0
1
uC (t) u(1) 0.5
(3) 实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，则电容电压u
必定是时间的连续函数。
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u(t) 1
t id 1
t0 id 1
t
id
C
C
C t0
1
u(t0 ) C
t
id
t0
电容元件VCR 的积分形式
表明: 电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件
注 （1）当 u，i 为非关联方向时，上述微分和积分表达
t
(1)d
1
4 2t
uC
(t
)
u(2)
1 0.5
t
0d
2
0
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电感器
1.定义
6.2 电感元件 (Inductor)
把金属导线绕在一 骨架上构成一实际
i (t)＋
u (t)
－
电感器，当电流通 (t)
过线圈时，将产生 (t)
磁通，是一种储存
磁场能量的部件。
(t)＝N (t)
电感元件
电容的串联
i C1 C2
＋ ＋u1-＋u2- u
Cn
＋un-
i Ceq
- ＋u -
u u1 u2 un
1
u u(t0 ) C
t
id
t0
1
u1(t0 ) C1
t t0
id
u2 (t0
)
1 C2
t
id
t0
un (t0 )
1 Cn
t
id
t0
u1(t0 )
u2(t0 )
式前要冠以负号 ;
（2）上式中 i(t0) 称为电感电流的初始值，它反映电 感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
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3. 电感的功率和储能
功率
p ui L di i
dt
u、 i 取关
联参考方向
电感的储能
WL
t
pdξ
t
L
di
idξ
1
t
Li2( )
dξ
2
பைடு நூலகம்
1
Li2(t)
1
若i ( ) 0
Li2()
1
Li 2 (t )
0
2
2
2
表明
（1）电感的储能只与当时的电流值有关，电感 电流不能跃变，反映了储能不能跃变；
（2）电感储存的能量一定大于或等于零。
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从t0到 t 电感储能的变化量：
WL
1 2
Li 2 (t )
1 2
Li2(t0 )
1
2L
2(t)
1
2L
2(t0 )
当电流 i(t) 增加时，WL (t) 0，元件吸收能量 当电流 i(t) 减少时，WL (t) 0，元件释放能量
( Henry，亨利)，常用 H，mH表示。
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线性电感的电压、电流关系
iL
电感元件VCR 的微分关系
+ u (t) －
表明
u、i 取关
联参考方向
u(t)
d
di (t ) L
dt dt
(1) 电感电压u 的大小取决于i 的变化率, 与i 的大小无 关，电感是动态元件；
(2) 当i为常数(直流)时，u =0。电感相当于短路；
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例 求电流i、功率P (t)和储能W (t)
解 uS (t)的函数表示式为:
0
us
(t
)
2t 2t
4
0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
＋
i
us (t) C
0.5F
－
u/V 2
电源波形
解得电流
0
i(t)
C
dus dt
1 1
0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
储存磁能的元件。其特
性可用～i 平面上的一
条曲线来描述。
i
f ( , i) 0
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2. 线性电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链 成正比。
~ i 特性是过原点的直线。
(t) Li(t) or L tan
i
电路符号
iL
+ u (t) －
Oi
单位
L 称为电感器的自感系数, L的单位：H (亨)
1 un (t0 ) (C1
1 C2
1 )
Cn
t
id
t0
u(t0
)
1 C eq
t
id
t0
1 11
1
Ceq C1 C2
Cn
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电容的并联
i
＋
u
i1
i2
in
- C1 C2
Cn
i Ceq
＋u -
i i1 i2 in
du du
du
C1 dt C2 dt Cn dt
ud
in(t0 )
1 Ln
t
ud
t0
i1(t0 ) i2(t0 )
1 in (t0 ) ( L1
1 L2
1 )
Ln
t
ud
t0
i(t0)
1 Leq
t
ud
t0
1 11
1
Leq L1 L2
Ln
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(3) 实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电流 i 不
能跃变，必定是时间的连续函数。
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i(t) 1
t
ud
1
t0 ud 1
t
ud
L
L
L t0
1
i(t0) L
t
ud
t0
电感元件VCR 的积分形式
表明
电感元件有记忆电压的作用，故称电感为记忆元件。
注 （1）当 u，i 为非关联方向时，上述微分和积分表达
磁链
Li
u L di dt
WL
1 2
Li 2
1
2L
2
结论 (1) 元件方程的形式是相似的；
(2) 若把 u – i ，q – ，C – L 互换,可由电容元件
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件, 、q 等称为对偶元素。
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6.3 电容、电感元件的串联与并联
0
1
i /A
1
-1
1
2 t /s
2 t /s
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p(t) u(t)i(t)
0
2t 2t
4
0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
W (t) 1 Cu2(t)
C
2
0
t0
t 2 (t
2)2
0 t 1s 1 t 2s
0
t 2s
p/W 2
吸收功率
0
1
-2
WC /J 1
2 t /s
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线性电容的电压、电流关系 + q C －q
电容元件VCR 的微分形式
＋
表明:
u
－
u、i 取关联
参考方向
i dq C du dt dt
(1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大小无关， 电容 是动态元件；
(2) 当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路，电容 有隔断直流作用；
一条曲线来描述
f (u,q) 0
u q
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2. 线性电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压 u 成正比，q
~ u 特性是过原点的直线。
q
q Cu or C q tan
u
电路符号
+ q C －q
Ou
＋
u
－
单位
C 称为电容器的电容, 单位：F (法)
(Farad，法拉), 常用 F、p F、n F等表示。
式前要冠以负号 ;
（2）上式中 u(t0) 称为电容电压的初始值，它反映电 容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
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3. 电容的功率和储能
du
功率
p ui u C
dt
u、 i 取关
联参考方向
电容的储能
WC
t
u idξ
t u C du dξ 1 Cu2 ( ) t
dξ
2
1
Cu2 (t )
电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能 量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电 感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。
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电容元件与电感元件的比较
变量 关系式
电容 C
电感 L
电压 u 电荷 q
q Cu
i C du dt
WC
1 Cu2 2
1 2C
q2
电流 i
(C1
C2
C
n
)
du dt
Ceq
du dt
i C du dt
Ceq C1 C2 Cn
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电感的串联
i L1
L2
＋ u1 - ＋ u2 -
Ln
＋ un -
＋
u
-
u u1 u2 un
di di
di
L1 dt L2 dt Ln dt
di (L1 L2 Ln ) dt
第六章 储能元件
6.1 电容元件 6.2 电感元件 6.3 储能元件的串联和并联
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6.1 电容元件 (Capacitor)
电容器
在外电源作用下，两极板 上分别带上等量异号电荷
q
+
_q
，撤去电源，板上电荷仍
可长久地集聚下去，是一
种储存电能的部件。
1. 定义
电容元件
储存电能的元件。其特
性可用u～q 平面上的
q2(t1 )
充电时，有u(t2 ) u(t1 )，故WC (t2 ) WC (t1 )
放电时，有u(t2 ) u(t1 )，故WC (t2 ) WC (t1 )
电容能在一段时间内吸收外部供给的能量，转化为 电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电 路，因此电容元件是无源元件、是储能元件，它本身不 消耗能量。
1
若u( ) 0
Cu2()
1
Cu2 (t )
0
2
2
2
表 （1）电容的储能只与当时的电压值有关，电容
明
电压不能跃变，反映了储能不能跃变；
（2）电容储存的能量一定大于或等于零。
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从 t1 时刻到 t2时刻电容储能的变化量：
WC
1 2
Cu2
(t
2
)
1 2
Cu2
(t1
)
1 2C
q2(t2)
1 2C