曲面立体投影及表面上求点PPT(14张)
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曲面立体曲面立体及表面上点的三视图解析课件
可见，则点A必在后半个圆柱面
上；A点在左半个圆柱面上，故a”
可见。
a
§4-1 曲面立体及表面上点的三视图
作图：
(1)过(a’ )作投影线，找到直
线与圆周的交点;
(2)根据投影规律求出a”。
三、回转体及其表面上的点和线
1、圆柱体
例2 已知圆柱面上线段的水平投影，求其余两面投影。
d' c' f'
a'
(b')
(3)在sm和s”m”上求得a和a”。
§4-1 曲面立体及表面上点的三视图
三、回转体及其表面上的点和线
2、圆锥体
锥体作辅助 线方法之二：
平切法
例4 已知圆锥面上的点A的水平投影，求其余两面投影。
s'
s”
分析：
PV m'
a'
A在圆锥面上，则过A必存在圆
(a”)
PW
锥面内的一个纬圆;A在前半个圆锥面 上，则a’ 可见；A点在右半个圆锥面
最后素线投影
X 前后分界线
Y 左右分界线
§4-1 曲面立体及表面上点的三视图
各面投影特点：
(1)圆锥面：一个 圆与两个等腰三角形；
(2)底面：一个圆 与两条直线。
一、曲面立体的三视图
3、圆球体
空间分析：
圆球面平行V面 的圆素线投影
前后分界线
Z
圆球面平行W面 的圆素线投影
三个圆都需要用 细点画线画出对
一、曲面立体的三视图
在工程上，回转体是应用广泛的曲面立体。常见的回转体 包括：
圆柱体
圆锥体
圆球体
圆环体
回转面——由母线绕固定轴线旋转得到的一类曲面 回转体——表面是回转面或回转面和平面的立体
曲面 立体
例1、求圆柱体截交线
2' 5'（6'）
3'（4'）
7'（8） 1'
4 86
1
2
75
3
2"
解题步骤：
6"
5" 1.进行线面
4"
3" 分析，判断
截交线的形
状和特点.
8"
7" 1"
2.作特殊位
置点的投影.
3.作一般位 置点的投影.
4.画截交线.
5.整理轮廓.
§7-2 平面和曲面立体相交
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。
nd f
a lc
b e
§7-2 平面和曲面立体相交
[例题5]：求作侧平面Q与圆锥的截交线。
分析： 因截平面Q与圆锥轴线平 行，可知截交线是双曲线(一叶)。它 的正面投影和水平投影均由于Q面的 积聚性而落在QV上和QH上；它的侧 面投影，因Q面与W面平行而具有显 实性。
第二节 平面和曲面立体相交
学习内容：
学
➢ 平面和圆锥的相交形式及截交线画法
习
内
➢ 平面和圆柱的相交形式及截交线画法
容
及 学
➢ 平面和球的相交形式及截交线画法
习 重
学习重点：
点
➢ 平面和曲面立体相交截交线的画法
➢ 辅助平面法
§7-2 平面和曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线性质 截交线形状
§7-1 曲面立体的投影
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
侧面投影的左、 右边线分别是圆柱 最前、最后的两条 轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱 分为左、右两半， 它们在V面上的投 影与回转轴的投影 重合。
2' 5'（6'）
3'（4'）
7'（8） 1'
4 86
1
2
75
3
2"
解题步骤：
6"
5" 1.进行线面
4"
3" 分析，判断
截交线的形
状和特点.
8"
7" 1"
2.作特殊位
置点的投影.
3.作一般位 置点的投影.
4.画截交线.
5.整理轮廓.
§7-2 平面和曲面立体相交
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。
nd f
a lc
b e
§7-2 平面和曲面立体相交
[例题5]：求作侧平面Q与圆锥的截交线。
分析： 因截平面Q与圆锥轴线平 行，可知截交线是双曲线(一叶)。它 的正面投影和水平投影均由于Q面的 积聚性而落在QV上和QH上；它的侧 面投影，因Q面与W面平行而具有显 实性。
第二节 平面和曲面立体相交
学习内容：
学
➢ 平面和圆锥的相交形式及截交线画法
习
内
➢ 平面和圆柱的相交形式及截交线画法
容
及 学
➢ 平面和球的相交形式及截交线画法
习 重
学习重点：
点
➢ 平面和曲面立体相交截交线的画法
➢ 辅助平面法
§7-2 平面和曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线性质 截交线形状
§7-1 曲面立体的投影
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
侧面投影的左、 右边线分别是圆柱 最前、最后的两条 轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱 分为左、右两半， 它们在V面上的投 影与回转轴的投影 重合。
最新土木第4章-基本立体投影及表面取点课件PPT
一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球，形成的回转 面称为圆球面。平面与球面的交线为一个圆，称为纬圆。
圆母线
纬圆
轴线
点击图片播放视频 圆球的形成
4.2 曲面立体投影、表面取点
1、投影分析
➢ 轮➢廓球素的线三（个圆投周影A均EC为F圆），平
行于其正直立径投与影圆面球，的把球圆面球直分径为 前半相球等可。见这，三后个半圆球是不圆可球见上； ➢行于轮三 的水廓个投平素不影投线同。影（方面圆向，周的把A轮B圆C廓球D纬）分圆平为 上半球可见，下半球不可见； ➢ 轮廓素线（圆周BEDF）平 行于侧立投影面，把圆球分为 左半球可见，右半球不可见。
公司法所设置的义务应承担 的法律后果， 包括民事责任、行政责任、刑事责任。
1、民事责任——私法责任 主要基于保护公司、股东以及相关主 体的利益不受侵害的目的，是对违法行为 损害的利益关系进行的恢复，反映的是责 任人和相对人的关系，具有救济性和事后 补偿的功能。
法律责任概述
2、行政责任和刑事责任——公法责任 公司法设置行政责任和刑事责任，主要基
n m
4.2 曲面立体投影、表面取点
曲面立体：形体的表面都由曲面或曲面与平面组成 的立体，包括圆柱、圆锥、圆球和圆环。
4.2 曲面立体投影、表面取点
① 圆柱的投影及表面取点
➢ 圆柱由一平行于轴线的母线绕轴线旋转一周形成。 ➢ 圆柱有两个底面和一个回转面。 ➢ 圆柱面的素线都与轴线平行，所有纬圆的直径相同。
形。
4.2 曲面立体投影、表面取点
绘图步骤：
s
●
●s
(1) 绘制轴线和圆的对称中心线
的投影 ；
(2) 绘制圆锥的水平投影（圆） ；
(3) 绘制圆锥的正面和侧面投影
圆母线
纬圆
轴线
点击图片播放视频 圆球的形成
4.2 曲面立体投影、表面取点
1、投影分析
➢ 轮➢廓球素的线三（个圆投周影A均EC为F圆），平
行于其正直立径投与影圆面球，的把球圆面球直分径为 前半相球等可。见这，三后个半圆球是不圆可球见上； ➢行于轮三 的水廓个投平素不影投线同。影（方面圆向，周的把A轮B圆C廓球D纬）分圆平为 上半球可见，下半球不可见； ➢ 轮廓素线（圆周BEDF）平 行于侧立投影面，把圆球分为 左半球可见，右半球不可见。
公司法所设置的义务应承担 的法律后果， 包括民事责任、行政责任、刑事责任。
1、民事责任——私法责任 主要基于保护公司、股东以及相关主 体的利益不受侵害的目的，是对违法行为 损害的利益关系进行的恢复，反映的是责 任人和相对人的关系，具有救济性和事后 补偿的功能。
法律责任概述
2、行政责任和刑事责任——公法责任 公司法设置行政责任和刑事责任，主要基
n m
4.2 曲面立体投影、表面取点
曲面立体：形体的表面都由曲面或曲面与平面组成 的立体，包括圆柱、圆锥、圆球和圆环。
4.2 曲面立体投影、表面取点
① 圆柱的投影及表面取点
➢ 圆柱由一平行于轴线的母线绕轴线旋转一周形成。 ➢ 圆柱有两个底面和一个回转面。 ➢ 圆柱面的素线都与轴线平行，所有纬圆的直径相同。
形。
4.2 曲面立体投影、表面取点
绘图步骤：
s
●
●s
(1) 绘制轴线和圆的对称中心线
的投影 ；
(2) 绘制圆锥的水平投影（圆） ；
(3) 绘制圆锥的正面和侧面投影
第三章-立体的投影PPT课件
1″ 7″
9″
4(2)
6(8)
3(1) 5(7)
10(9)
可编辑课件PPT
35
可编辑课件PPT
36
可编辑课件PPT
37
可编辑课件PPT
38
3.3 曲面立体
曲面立体：所有表面都是由曲面或曲面和平面 所围成的立体称为曲面立体。它们通常被称为 回转体。
一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回 转面。不动线称为回转轴，动线称为母线，母 线在回转面上的任意位置称为素线。
4(8) 3(7) 2(6)
1(5)
可编辑课件PPT
68
二、 平面与圆锥相交
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状 2. 例题
可编辑课件PPT
69
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
过锥顶的两直线
小小规定
可编辑课件PPT
5
一、 棱柱
1. 棱柱的组成
正面投影
由两个底面和几个侧 面组成。侧面与侧面 的交线叫侧棱，侧棱 相互平行。
2. 棱柱的投影
侧面投影
水平投影
可编辑课件PPT
在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面， 在水平投影中反映实 形。前后两侧面是正 平面，其余四个侧面 是铅垂面，它们的水 平投影都积聚成直线， 与六边形的边重合。
s
1
4 2 ●
●
●
解题步骤
1.空间分析：截平面与 四条侧棱均相交，因此 截交线是一个四边形。
3
● 3
2.投影分析：截平面为
正垂面，截交线的正面
投影已知，水平投影和
侧面投影未知；
4 ●
3
1
●
s●
2●
画法几何制图—曲面立体PPT课件
一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回转面。形成回 转面的动线称为母线，定线称为轴线, 母线在回转面上的任意 位置都称为素线。
常见的回转曲面立体,简称回转体。如圆柱、圆锥、球、环。
素线
直母线
3
第3页/共51页
一、圆柱
1、圆柱形成：圆柱面可看成是由直母线绕与它平 行的轴线旋转而成。
圆柱由圆柱面和上、下两底面组成。圆柱面上与 轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。
切口（现代）
34
第34页/共51页
二、平面与圆锥的相交
根据截平面与圆锥轴线的相对位 置不同，截交线有五种形状。
θ PV
PV φ
PV θ
PV φ
θ
PV φ
垂直轴线 过锥顶
圆
两相交直线
过所有素线
θ> φ
椭圆
平行一条素线 平行两条素线
θ=φ
θ=0或<φ
抛物线
双曲线
35
第35页/共51页
例1: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成水平及 侧面投影。
7
3
5
6
2
平面与圆柱相交
4
6
2 81 5
第21页/共51页
求截交线的步骤
一）、空间及投影分析
1.空间形状：柱3种，锥5种，球1种。 2.投影分析：截平面与回转体、投影面的相对位置。
二）、作图
1.逐个截平面求截交线： 1）特殊点（控制截交线形状的极限点—最高、低、上、下、 左、右，控制可见性的点—转向轮廓线上的点）； 2）一般点； 3）判断可见性，光滑连接。 2.求截平面之间的交线。 3.整理回转体轮廓线的投影并加深。
积聚线中点 为短轴端点
5’6’
常见的回转曲面立体,简称回转体。如圆柱、圆锥、球、环。
素线
直母线
3
第3页/共51页
一、圆柱
1、圆柱形成：圆柱面可看成是由直母线绕与它平 行的轴线旋转而成。
圆柱由圆柱面和上、下两底面组成。圆柱面上与 轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。
切口（现代）
34
第34页/共51页
二、平面与圆锥的相交
根据截平面与圆锥轴线的相对位 置不同，截交线有五种形状。
θ PV
PV φ
PV θ
PV φ
θ
PV φ
垂直轴线 过锥顶
圆
两相交直线
过所有素线
θ> φ
椭圆
平行一条素线 平行两条素线
θ=φ
θ=0或<φ
抛物线
双曲线
35
第35页/共51页
例1: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成水平及 侧面投影。
7
3
5
6
2
平面与圆柱相交
4
6
2 81 5
第21页/共51页
求截交线的步骤
一）、空间及投影分析
1.空间形状：柱3种，锥5种，球1种。 2.投影分析：截平面与回转体、投影面的相对位置。
二）、作图
1.逐个截平面求截交线： 1）特殊点（控制截交线形状的极限点—最高、低、上、下、 左、右，控制可见性的点—转向轮廓线上的点）； 2）一般点； 3）判断可见性，光滑连接。 2.求截平面之间的交线。 3.整理回转体轮廓线的投影并加深。
积聚线中点 为短轴端点
5’6’
曲面立体及其表面上点和线的投影
水平投影和侧面投影均可见；N点的正面投影不 可见，且在点画线的右侧，由此可判定N点在右、
（a）已知条件
后半圆柱面上，其水平投影可见，侧面投影不可
见。
作图步骤（参见图4-8（b））：
（1）过m′点向下作铅垂线交圆周的前半部分
于一点，则该点为m；由m′点和m点，即可求出m′′
点，m′′点为可见点。
（2）采用同样的方法，先求出N点的水平投
曲面立体及其轴测投影
4．圆环面上点的投影
圆环表面上的点，可使用纬圆法绘制。例如， 已知环面上K点的正面投影k′，求该点的水平投影的 作图方法如图4-13所示。
第 17 页
图4-13 求环面上点的投影
土木工程制图
（b）作图方法 图4-9 利用“辅助线法”求圆柱表面上线的投影
曲面立体及其轴测投影
第 13 页
2．圆锥表面上点的投影
圆锥底面具有积聚性，其上的点可以直接求出。 圆锥面没有积聚性，其上的点需要用辅助线法才能 求出。按辅助线的类型不同，辅助线法可分为素线 法和纬圆法两种。
【例4-3】已知圆锥面上点A的正面 投影a′，如图4-10（a）所示，求其另 外两面投影。
形，同时也是圆锥面的投影。 ➢ V面和W面投影：均为等腰三角形，且三
角形的底边为圆锥底面的积聚投影。V面 投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥 面最左素线SA和最右素线SB的投影（素线 也是转向轮廓线）；W面投影中，三角形 的左、右两边分别是圆锥面最前素线SC和 最后素线SD的投影。
（a）立体图
（b）投影图
圆柱体的侧面投影积聚在圆周上。 ➢ V面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线
分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两 边线分别是圆柱最左、最右处素线的投影。 ➢ W面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线 分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两 边线分别是圆柱最后、最前处素线的投影。
曲面立体的投影.
【例4-6】 如下图所示，已知圆锥面上一点A的正面投影a′，求a、a″。
解：（1）分析
（2）作图
方法二：纬圆法。 【例4-7】 如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影a′，求a、a″。
解：（1）分析 （2）作图
2．圆锥表面上线的投影 作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点 等特殊位置的点及适当数量的一般点，并依次连接各点的同面投影。 【例4-8】 如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。
曲线 线、抛物线等）。 空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。
（二）曲面
曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。
曲面
直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。 曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。
回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因 此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。
圆柱曲面是一条直线 围绕一条轴线始终保 持平行和等距旋转而 成。
母线
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
（三）素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
第三章 曲面立体的投影
在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物（如：房屋、水塔） 及其构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细 分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或 相交等形式组合而成。
解：（1）分析
（2）作图
方法二：纬圆法。 【例4-7】 如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影a′，求a、a″。
解：（1）分析 （2）作图
2．圆锥表面上线的投影 作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点 等特殊位置的点及适当数量的一般点，并依次连接各点的同面投影。 【例4-8】 如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。
曲线 线、抛物线等）。 空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。
（二）曲面
曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。
曲面
直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。 曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。
回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因 此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。
圆柱曲面是一条直线 围绕一条轴线始终保 持平行和等距旋转而 成。
母线
圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。
母线
球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。
（三）素线与轮廓线
形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓 线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重 合，这种素线称为轮廓素线。 在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、 最后边素线、最左边素线和最右边素线。
第三章 曲面立体的投影
在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物（如：房屋、水塔） 及其构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细 分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或 相交等形式组合而成。
第三章曲线曲面和立体的投影
曲线的投影
曲线是动点运动的轨迹，也可以说是一系列连续点的集合。 因此，绘制曲线的投影时，只要能作出曲线上一系列点的投 影，并把它们的同面投影依次光滑地连接起来，即得曲线的 投影。这是绘制曲线投影的一般方法。 但是，如能根据曲线的投影特性，预先对曲线投影的形状或 特点作出判断，则可以使图形准确作图简化。现将曲线的主 要投影特性分述如下：
在图示位置时，六棱柱的两 点的可见性规定： 底面为水平面，在俯视图中反映 由于棱柱的表面都是平 若点所在的平面的投影 实形。前后两侧棱面是正平面， 面，所以在棱柱的表面上取 可见，点的投影也可见；若 其余四个侧棱面是铅垂面，它们 点与在平面上取点的方法相 平面的投影积聚成直线，点 的水平投影都积聚成直线，与六 同。 的投影也可见。 边形的边重合。
截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出截平面与棱面的交 的投影特性 线，并连接成多边形。
环面投影可见性的判别
由上向下看，此部分可见
由前向后看，此部分可见
（三）非回转直线面 1、柱面
（1）柱面的形成 由直母线AA1沿着一曲导线A1B1C1A1，且平行于另一直导 线MN运动而形成的曲面。 （2）柱面的投影 画出直母线、曲导线以及外形 轮廓素线和其它必要的素线 （3）柱面的种类
柱面投影种类
纬圆、赤道圆与径圆
回转面按旋转运动的 特性，母线上任意一点 的旋转轨迹都是一个垂 直于轴线的圆，称为纬 圆，纬圆的半径等于该 点到轴线的距离。其中 比相邻两侧的纬圆都大 的，称为赤道圆；比相 邻两侧的纬圆都小的， 称为径圆或喉圆。
《机械制图》课程课件4.1 立体的投影及表面上的点与线
平面内找一条投 影面平行线变成 垂直线
a
V X H
b
d
c
a b d H
.
X1轴的位置? X1与其垂直
c
c 1 X1 V1
●
α
a1d1
●
●
b1
求α，H面不动；求β，V面不动。
4
2.投影面垂直面换成投影面平行面一次换面
新轴X1//积聚性投影
c a c a
● ●
b b b’1 平面的实形
d′ 1′
D
d″
c″
2′ e′
b″
e″
B(C)
(E)
c
1 b 2
1.画棱台:先求上下底面的顶点,再对应点相连.
2.棱面求点:作辅助线. #
27
平面立体的小结
1.画棱柱的投影：先画上、下底面，再画棱线。 2.画棱锥的投影：先画底面多边形，再画锥顶点S的投影， 连顶点S和多边形的顶点（即连棱线）。 3.画棱台的投影：先画上下底面多边形，再求上下多边形顶 点的投影，分别对应连上下多边形的顶点（即连棱线）。 4.表面取点： 1）判断点的位置 2）三种情况：棱线和特殊位置平面上的点直接求； 一般位置平面上的点作辅助线求。 5.表面取线： 先求出端点和棱线上的点，再同一棱面上的点连线。 6.可见性
过点的辅助线？ (c) a a b (b) a 圆的半径？
(c)
c 假如已知a或者a”呢? 已知a ： 方法1.可先作水平圆 的H面圆，求出转向 线的点，再倒回去。 方法2.可在H面或者W 面上作正平圆。
37
三个圆
b
圆球表面求点（作正平圆）
a
a
a
三、切球
38
*求锥面上的线SK、AB的两面投影.
a
V X H
b
d
c
a b d H
.
X1轴的位置? X1与其垂直
c
c 1 X1 V1
●
α
a1d1
●
●
b1
求α，H面不动；求β，V面不动。
4
2.投影面垂直面换成投影面平行面一次换面
新轴X1//积聚性投影
c a c a
● ●
b b b’1 平面的实形
d′ 1′
D
d″
c″
2′ e′
b″
e″
B(C)
(E)
c
1 b 2
1.画棱台:先求上下底面的顶点,再对应点相连.
2.棱面求点:作辅助线. #
27
平面立体的小结
1.画棱柱的投影：先画上、下底面，再画棱线。 2.画棱锥的投影：先画底面多边形，再画锥顶点S的投影， 连顶点S和多边形的顶点（即连棱线）。 3.画棱台的投影：先画上下底面多边形，再求上下多边形顶 点的投影，分别对应连上下多边形的顶点（即连棱线）。 4.表面取点： 1）判断点的位置 2）三种情况：棱线和特殊位置平面上的点直接求； 一般位置平面上的点作辅助线求。 5.表面取线： 先求出端点和棱线上的点，再同一棱面上的点连线。 6.可见性
过点的辅助线？ (c) a a b (b) a 圆的半径？
(c)
c 假如已知a或者a”呢? 已知a ： 方法1.可先作水平圆 的H面圆，求出转向 线的点，再倒回去。 方法2.可在H面或者W 面上作正平圆。
37
三个圆
b
圆球表面求点（作正平圆）
a
a
a
三、切球
38
*求锥面上的线SK、AB的两面投影.
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例3.4 已知点M属于圆锥表面，并知M点的正面投影m′，分别用辅助素线法和 辅助圆法求M点的其他两投影面的投影m，m″，如图3-12所示。
作图: ①用辅助素线法 根据m′的位置和可见性，可判定M点位于圆锥面，由于圆锥面的投影图没有 积聚性，利用辅助素线法，如图3-12（a）所示过锥顶S和点M作一条辅助素线SⅠ， 在图3.12（b）中连接s′m′，并延长到与底平面的正面投影相交于1′，求得s1 和s″1″;再根据点属于直线的判断依据，按长对正由m′求出m，按高平齐或宽相 等由m′或m求出m″。
7.曲面立体投影及表面上求点
• 目的：掌握圆柱、圆锥、球体的投影作图 方法及表面求点方法
• 重点：圆柱、圆锥的投影画法及表面求点 方法
• 难点：投影分析及表面求点方法
7.曲面立体投影及表面上求点
3.1.2 曲面立体
1.圆柱 （1）圆柱的形成 圆柱是由一条直母线绕平行于它的轴线回转一周围成的立体，其圆柱面上任意一 条平行于轴线的直线，称为圆柱表面的素线。如图3-9（a）所示。 （2）作图步骤 ①分析 如图3-9（b）所示，圆柱上、下底面H面的投影积聚在圆上，其主视图和左视图上的轮廓线为 圆柱表面上最左、最右、最后轮廓线的投影，是圆柱表面在主视图和左视图上可见性 的分界线。
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-12 求属于圆锥表面的点的投影的两种方法
②用辅助圆法 如图3-12（a）所示过M点作一个平行于底平面的圆，在投影图中求出该圆的正 面投影和水平投影，如图3-12（c）所示，M点的水平面上投影m由m′按长对正的 投影对应关系落在直径为23圆周上，M点的侧面投影m″，则由m、m′按宽相等、 高平齐的投影对应关系求出。因M点在圆锥的左前面上，所以三个投影都可见。
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-9 圆柱的结构特征及投影作图过程
7.曲面立体投影及表面上求点
②作图 • 首先画出圆的中心线和圆柱的轴线，以确定各投影图形的位置，如图3-9（c） 所示。 • 其次画出上下两个底面的三个投影，如图3-9（c）所示。 • 最后画出最左素线AA1 ，最右素线BB1 的V面投影a′a1 ′及b′b1 ′和最前、 最后素线的W面投影，如图3-9（d）所示。
7.曲面立体投影及表面上求点
由圆锥的投影图可知，其图形特征是:一个投影为圆，其他两个投影为两个相等 的等腰三角形。
（4）取属于圆锥表面的点的投影 根据圆锥表面的结构特点，求属于圆锥表面的点的投影时，要根据给定的条
件，分析清楚点是位于底平面，还是圆锥面。若点位于底平面，则要利用底平面是 特殊位置平面，其投影图形有积聚的特点去求得点的投影;若点位于圆锥面，由于圆 锥表面的投影图没有积聚性，则要用辅助素线法或者辅助圆法去求得点的投影。
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-13 圆球的结构特征及投影作图过程
7.曲面立体投影及表面上求点
例3.5 已知点M属于圆球表面，并知M点的水平投影m，求其他两投影面的投 影，如图3-13（e）所示。
作图: 根据m的位置和可见性，可以判定M点位于前半球左上部的表面，利用辅助圆 法，过M点在球表面做一平行于V面的辅助圆（也可以作平行于H面或W面的辅助 圆），则该辅助圆在水平投影的图形为过m点的平行于X轴的直线ef，其正面投影的 图形为直径等于 e′f′的圆，其侧面投影的图形为平行于Z轴的直线，则M点的其他 两面投影必属于该辅助圆的同面投影。最后根据M点的位置特点，判断M点的三个投 影都是可见的。
②作图 • 先画出圆锥的轴线、圆的中心线的三个投影，以确定圆锥各图形的位置，如图
3.11（c）所示。 • 其次画出底平面的三个投影图及锥顶的投影图，如图3.11（d）所示。 • 最后画出圆锥面各转向轮廓线的V面投影和W面投影，如图3-11（e）所示。
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-11 圆锥的结构特征及投影作图过程
7.曲面立体投影及表面上求点
2.圆锥 （1）圆锥的形成
圆锥是由一条与轴线斜交的直母线绕轴线回转一周而围成的立体，锥面上任意 位置的直母线，称为圆锥表面的素线，如图3-11（a）所示。
（2）作图步骤 ①分析 如图3-11（b）所示，圆锥底面是水平面，俯视图为圆，圆锥面俯视图投影重影
在圆锥底面画上，其主视图和左视图为等腰三角形，其两腰分别为圆锥表面上的最 左、最右、最前、最后一素线，是圆锥表面在主视图和左视图上可见性的分界线。
图3-10 求属于圆柱表面的点的投影
作图: 由给定的m′的位置和可见性，可以判定M点位于左前四分之一圆柱面上，所以 求M点的投影作图过程是:首先利用圆柱面在H面的投影的积聚性，按长对正的投影 对应关系求出积聚于圆周的m，然后分别由m及m′，按高平齐、宽相等的投影对应 关系求出m″。求N点的投影作图过程读者可参考上例自行分析。其投影的可见性如 图3-10所示。
（3）图形特征 由圆柱的投影可知，其图形特征是:一个投影为圆，其他两个投影为相等的矩 形。 （4）属于圆柱表面的点的投影 圆柱共有三个表面，至少有一个投影有积聚性，所以，求属于圆柱表面的点的 投影，无论其在哪个表面上，都可以利用积聚性去求得。
7.曲面立体投影及表面上求点
例3.3 已知点M和点N属于圆柱表面，并知点M在V面投影m′及点N在W面的投 影n″，求M点和N点的另两面投影，如图3-10所示。
7.曲面立体投影及表面上求点
3.圆球 （1）圆球的形成
圆球是由一圆母线绕其直径回转一周而围成的立体，如图3-13（a）所示。 （2）作图步骤
①分析 如图3-13（b）所示圆球表面只有一个面，其三视图均为大小相等的圆，H面投 影的圆将圆球分为上下两部分，V面投影的圆将圆球分为前后两部分，W面投影的圆 将圆球分为左右两部分。三个圆分别是圆球表面在主视图、俯视图和左视图投影可 见性的分界线。 ②作图 • 首先画出三个圆的中心线，用以确定投影图形的位置，如图3-13（c）所示。 • 再画出球的各分界圆的图形，如图3-13（d）所示。 • 明确各分界圆在其他两投影面的投影，均与圆图形相应的中心线重合，不必画 出。 （3）图形特征 圆球投影图的特征是:三个投影面的投影都是直径相等的圆。 （4）取属于圆球表面的点的投影 由圆球投影图形特征可知，圆球表面的三个投影图形都没有积聚性，可利用辅助 圆法求取属于其表面的点的投影。
作图: ①用辅助素线法 根据m′的位置和可见性，可判定M点位于圆锥面，由于圆锥面的投影图没有 积聚性，利用辅助素线法，如图3-12（a）所示过锥顶S和点M作一条辅助素线SⅠ， 在图3.12（b）中连接s′m′，并延长到与底平面的正面投影相交于1′，求得s1 和s″1″;再根据点属于直线的判断依据，按长对正由m′求出m，按高平齐或宽相 等由m′或m求出m″。
7.曲面立体投影及表面上求点
• 目的：掌握圆柱、圆锥、球体的投影作图 方法及表面求点方法
• 重点：圆柱、圆锥的投影画法及表面求点 方法
• 难点：投影分析及表面求点方法
7.曲面立体投影及表面上求点
3.1.2 曲面立体
1.圆柱 （1）圆柱的形成 圆柱是由一条直母线绕平行于它的轴线回转一周围成的立体，其圆柱面上任意一 条平行于轴线的直线，称为圆柱表面的素线。如图3-9（a）所示。 （2）作图步骤 ①分析 如图3-9（b）所示，圆柱上、下底面H面的投影积聚在圆上，其主视图和左视图上的轮廓线为 圆柱表面上最左、最右、最后轮廓线的投影，是圆柱表面在主视图和左视图上可见性 的分界线。
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-12 求属于圆锥表面的点的投影的两种方法
②用辅助圆法 如图3-12（a）所示过M点作一个平行于底平面的圆，在投影图中求出该圆的正 面投影和水平投影，如图3-12（c）所示，M点的水平面上投影m由m′按长对正的 投影对应关系落在直径为23圆周上，M点的侧面投影m″，则由m、m′按宽相等、 高平齐的投影对应关系求出。因M点在圆锥的左前面上，所以三个投影都可见。
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-9 圆柱的结构特征及投影作图过程
7.曲面立体投影及表面上求点
②作图 • 首先画出圆的中心线和圆柱的轴线，以确定各投影图形的位置，如图3-9（c） 所示。 • 其次画出上下两个底面的三个投影，如图3-9（c）所示。 • 最后画出最左素线AA1 ，最右素线BB1 的V面投影a′a1 ′及b′b1 ′和最前、 最后素线的W面投影，如图3-9（d）所示。
7.曲面立体投影及表面上求点
由圆锥的投影图可知，其图形特征是:一个投影为圆，其他两个投影为两个相等 的等腰三角形。
（4）取属于圆锥表面的点的投影 根据圆锥表面的结构特点，求属于圆锥表面的点的投影时，要根据给定的条
件，分析清楚点是位于底平面，还是圆锥面。若点位于底平面，则要利用底平面是 特殊位置平面，其投影图形有积聚的特点去求得点的投影;若点位于圆锥面，由于圆 锥表面的投影图没有积聚性，则要用辅助素线法或者辅助圆法去求得点的投影。
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-13 圆球的结构特征及投影作图过程
7.曲面立体投影及表面上求点
例3.5 已知点M属于圆球表面，并知M点的水平投影m，求其他两投影面的投 影，如图3-13（e）所示。
作图: 根据m的位置和可见性，可以判定M点位于前半球左上部的表面，利用辅助圆 法，过M点在球表面做一平行于V面的辅助圆（也可以作平行于H面或W面的辅助 圆），则该辅助圆在水平投影的图形为过m点的平行于X轴的直线ef，其正面投影的 图形为直径等于 e′f′的圆，其侧面投影的图形为平行于Z轴的直线，则M点的其他 两面投影必属于该辅助圆的同面投影。最后根据M点的位置特点，判断M点的三个投 影都是可见的。
②作图 • 先画出圆锥的轴线、圆的中心线的三个投影，以确定圆锥各图形的位置，如图
3.11（c）所示。 • 其次画出底平面的三个投影图及锥顶的投影图，如图3.11（d）所示。 • 最后画出圆锥面各转向轮廓线的V面投影和W面投影，如图3-11（e）所示。
7.曲面立体投影及表面上求点
图3-11 圆锥的结构特征及投影作图过程
7.曲面立体投影及表面上求点
2.圆锥 （1）圆锥的形成
圆锥是由一条与轴线斜交的直母线绕轴线回转一周而围成的立体，锥面上任意 位置的直母线，称为圆锥表面的素线，如图3-11（a）所示。
（2）作图步骤 ①分析 如图3-11（b）所示，圆锥底面是水平面，俯视图为圆，圆锥面俯视图投影重影
在圆锥底面画上，其主视图和左视图为等腰三角形，其两腰分别为圆锥表面上的最 左、最右、最前、最后一素线，是圆锥表面在主视图和左视图上可见性的分界线。
图3-10 求属于圆柱表面的点的投影
作图: 由给定的m′的位置和可见性，可以判定M点位于左前四分之一圆柱面上，所以 求M点的投影作图过程是:首先利用圆柱面在H面的投影的积聚性，按长对正的投影 对应关系求出积聚于圆周的m，然后分别由m及m′，按高平齐、宽相等的投影对应 关系求出m″。求N点的投影作图过程读者可参考上例自行分析。其投影的可见性如 图3-10所示。
（3）图形特征 由圆柱的投影可知，其图形特征是:一个投影为圆，其他两个投影为相等的矩 形。 （4）属于圆柱表面的点的投影 圆柱共有三个表面，至少有一个投影有积聚性，所以，求属于圆柱表面的点的 投影，无论其在哪个表面上，都可以利用积聚性去求得。
7.曲面立体投影及表面上求点
例3.3 已知点M和点N属于圆柱表面，并知点M在V面投影m′及点N在W面的投 影n″，求M点和N点的另两面投影，如图3-10所示。
7.曲面立体投影及表面上求点
3.圆球 （1）圆球的形成
圆球是由一圆母线绕其直径回转一周而围成的立体，如图3-13（a）所示。 （2）作图步骤
①分析 如图3-13（b）所示圆球表面只有一个面，其三视图均为大小相等的圆，H面投 影的圆将圆球分为上下两部分，V面投影的圆将圆球分为前后两部分，W面投影的圆 将圆球分为左右两部分。三个圆分别是圆球表面在主视图、俯视图和左视图投影可 见性的分界线。 ②作图 • 首先画出三个圆的中心线，用以确定投影图形的位置，如图3-13（c）所示。 • 再画出球的各分界圆的图形，如图3-13（d）所示。 • 明确各分界圆在其他两投影面的投影，均与圆图形相应的中心线重合，不必画 出。 （3）图形特征 圆球投影图的特征是:三个投影面的投影都是直径相等的圆。 （4）取属于圆球表面的点的投影 由圆球投影图形特征可知，圆球表面的三个投影图形都没有积聚性，可利用辅助 圆法求取属于其表面的点的投影。