椭圆中的伸缩变换

利用仿射变化解决椭圆问题

椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 经变换⎪⎩

⎪⎨⎧==Y a b y X

x 后变成圆2

22a Y X =+，在此变换下有

以下一些性质：

○

1点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的b

a

倍 ○

2直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的b

a

倍 ○

3平行线经变换后仍平行 ○4区域D 变换后成为D '，则面积D D S b

a S '= ○

5两平行线段的比是不变量 ○6线段PQ 经变换后变为Q P ''，则：α

α2

22

2

sin cos ||||b a PQ Q P +='' 1.求证：直线0:=++C By Ax l 与椭圆)0(,122

22>>=+b a b

y a x 相切的充要条件是：

2

22)()(C bB aA =+

证明：作仿射变换：⎪⎩⎪

⎨⎧==Y a b y X x

椭圆变为圆：2

22a Y X =+

直线l 变为0:=++'C Y a

bB

AX l 直线l '与圆相切的充要条件是

圆心到直线l '的距离 a a B b A C d =+

=

22

2

2||

整理得：2

22)()(C bB aA =+ ∴原命题得证。

2直线)(m x k y -=与椭圆：122

22=+b

y a x 交于N M ,两点，试求||MN

解：过右焦点作MN 的平行线 易知：θ

cos 2

c a b

M F +=

'，

θ

cos 2

c a b N F -='

θ

ρ2

222

cos 2c a ab N M -=''= 作仿射变换⎪⎩

⎪⎨⎧==a bY

y X x ，

椭圆变为圆：2

2

2

a Y X =+ 直线MN l 变为：0=--akm bY akX 直线N M l ''变为：0=--akc bY akX 圆心到两直线的距离分别为

2

2

1)(||b

ak akm d +=

，2

2

2)(||b

ak akc d +=

x

y

M

F

N

A M 'N '

弦长分别为：2

222

2221)(2b k a b k m a a L ++-=

2

2

22)(12b

ak k ab L ++=

，

长度之比是仿射不变量

()

ρ⋅++-=

∴2

22222

2

b k b b k m a

MN

()()

2222

22

22222

122b

k a k ab b k b b k m a

++⋅++-=