椭圆中的伸缩变换
椭圆中的仿射变换(伸缩变换)
y2 b2
1交于 M , N
两点，试求| MN
|
解：过右焦点作 MN 的平行线
易知： FM
b2
，
a c cos
yM M x
AF
FN b2 a c cos
N N
M N 2ab2 a2 c2 cos2
作仿射变换
x y
X bY
a
，
椭圆变为圆： X 2 Y 2 a2
直线 lMN 变为： akX bY akm 0
a2 m2 k 2 b2 2ab2 1 k 2
b2k2 b2
a2k2 b2
利用仿射变化解决椭圆问题
x2
椭圆
a2
y2 b2
1,
(a
b
0)
经变换
x y
X b a
Y
后变成圆 X 2
Y2
a2 ，在此变换下有
以下一些性质：
a
○1 点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
b
a
○2 直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的 倍
b
○3 平行线经变换后仍平行
○4 区域
D 变换后成为 D ，则面积 SD
a b
SD
○5 两平行线段的比是不变量
○6 线段 PQ 经变换后变为 PQ ，则：| PQ || PQ | cos2 a2 b2 sin 2 来自1.求证：直线 l :
Ax
By C
0 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0) 相切的充要条件是：
(aA)2 (bB)2 C 2
x X
证明：作仿射变换：
直线 lM N 变为： akX bY akc 0
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是描述椭圆在平面上进行伸缩变换的数学
公式。
伸缩变换是一种线性变换，可以将椭圆按照一定比例同时沿着两个方向进行拉伸或压缩，从而得到一个新的椭圆。
椭圆的伸缩变换公式可以表示为矩阵形式，即：
【a b】【x'】【h】
【c d】 X 【y'】 = 【k】
其中，a、b、c、d是矩阵的四个元素，x'和y'是变换前的椭圆上的一点的坐标，h和k是变换后椭圆上对应点的坐标。
椭圆的伸缩变换公式还可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
如果椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，则其伸缩变换的特征值为a和b，对应的特征向量为椭圆上的两个不同的点。
椭圆的伸缩变换公式是计算机图形学、计算机动画等领域的重要数学工具，在各种图形处理和图形生成算法中都有广泛的应用。
- 1 -。
椭圆中的伸缩变换
1利用仿射变化解决椭圆问题椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 经变换⎪⎩⎪⎨⎧==Y a b y Xx 后变成圆222a Y X =+，在此变换下有以下一些性质：○1点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的ba倍 ○2直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的ba倍 ○3平行线经变换后仍平行 ○4区域D 变换后成为D '，则面积D D S ba S '= ○5两平行线段的比是不变量 ○6线段PQ 经变换后变为Q P ''，则：αα2222sin cos ||||b a PQ Q P +='' 1.求证：直线0:=++C By Ax l 与椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 相切的充要条件是：222)()(C bB aA =+证明：作仿射变换：⎪⎩⎪⎨⎧==Y a b y X x椭圆变为圆：222a Y X =+直线l 变为0:=++'C Y abBAX l直线l '与圆相切的充要条件是2直线)(m x k y -=与椭圆：12222=+by a x 交于N M ,两点，试求||MN2解：过右焦点作MN 的平行线易知：θcos 2c a b M F +='，θcos 2c a b N F -='θρ2222cos 2c a ab N M -=''=作仿射变换⎪⎩⎪⎨⎧==a bYy X x ，椭圆变为圆：222a Y X =+ 直线MN l 变为：0=--akm bY akX 直线N M l ''变为：0=--akc bY akX 圆心到两直线的距离分别为221)(||bak akm d +=，222)(||bak akc d +=。
高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
龙源期刊网
利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
利用伸缩变换巧解椭圆问题
杜盛伙
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容．椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆．笔者在文[1]中利用伸缩变换探究了椭圆有以下三个性质：
【总页数】1页(P35-35)
【作者】杜盛伙
【作者单位】福建宁化第一中学,365400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.活用伸缩变换巧解椭圆问题
2.利用坐标变换巧解解析几何椭圆问题
3.利用伸缩变换巧解椭圆最值问题
4.活用伸缩变换巧解椭圆问题
5.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例
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利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题
２
４
３
变为圆ꎬ借助圆幂定理从几何角度便利解决ꎬ避免了代数
解法的繁杂计算. 同时ꎬ借助伸缩变换ꎬ还可以将前 ３ 个
例题向一般情形作推广.
相关练习
１. 直线 ｌ:ｘ － ２ｙ ＋ ４ ２ ＝ ０ 与椭圆 Ｃ:
在过点 Ｐ(２ꎬ１) 的直线 ｌꎬｌ 与椭圆 Ｃ 交于不同两点 ＡꎬＢꎬ
满足 ｜ ＰＡ ｜ ｜ ＰＢ ｜ ＝ ｜ ＰＭ ｜ ２ ? 若存在ꎬ求出直线 ｌ 的方程ꎻ
例 １ 已知椭圆 Ｅ:
２
ｘ
＋ ｙ２ ＝ １ꎬ设不过原点 Ｏ 且斜率
４
１
为 的直线 ｌ 与椭圆 Ｅ 交于不同的两点 ＡꎬＢꎬ线段 ＡＢ 的
２
中 点 为 Ｍꎬ 直 线 ＯＭ 与 椭 圆 Ｅ 交 于 Ｃꎬ Ｄꎬ 证 明:
｜ ＭＡ ｜ ｜ ＭＢ ｜ ＝ ｜ ＭＣ ｜ ｜ ＭＤ ｜ .
Ｘ ＝ ｘꎬ
证明 作伸缩变换
设圆 Ｃ′与 Ｘ 轴 的 另 一 交 点 为 Ｂ′ꎬ 由 于 ∠Ｂ′ Ｏ′ － ４ｋ ｜
４ｋ２ ＋ ３
１
ꎬ方程为
２
∠Ｂ′Ｑ′Ｒ′ ＝ ９０°ꎬ从而 Ｂ′ꎬＯ′ꎬＱ′ꎬＲ′四点共圆. 由圆幂定
ｙ＝
２ ｜ Ｏ′Ｐ′ ｜ ２ ꎬ其中 Ｒ 为圆 Ｃ′半径.
线与椭圆相切时的 ｜ ＰＴ ｜ ２ 问题ꎬ可借助伸缩变换ꎬ将椭圆
参考文献:
[１] 贺航飞ꎬ李宁. 借助伸缩变换解决椭圆中的一些
问题[ Ｊ] . 数学通讯( 上半月刊) ꎬ２０１８(１１) :１２ － １３ꎬ５６.
[ 责任编辑:李 璟]
１
１
１
１
１
ｋ ｋ ＝ － . 又 ｋ ＡＢ ＝ ꎬ则 ｋ ＯＭ ＝ ｋ ＣＤ ＝ － .
高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题作者：赵呈海天津市第一〇二中学指导教师：马萍天津市第一〇二中学严虹天津市第一〇二中学纪洪伟天津市第一〇二中学张倩天津市第一〇二中学利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题赵呈海天津市第一〇二中学摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。
这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。
在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。
这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。
在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。
坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。
计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。
圆的性质——椭圆问题伸缩变换
—
７ ０＝０上 的点 Ｐ作椭 圆５ ． － ， ４
‘
一
２
＝
ｌ的切 线 Ｐ Ｐ 切点 分 Ｍ、 Ⅳ，
７
２
．
２
别为 肘、 连结 ＭＮ． １ Ⅳ， （ ）当点 Ｐ 在直线 ｆ 运动 时 ， 明 ： 线 上 证 直 ＭＮ恒过定点 Ｑ；２ （ ）当 ＭＮ／ ／ｌ 时， 定点 Ｑ平分线段 ＭＮ．
涉及到指定 区间上 一元 二次不 等式 的恒成 立 问题 时 ， 应
根据“ 三个二 次”的辨证统一关 系 ， 二次 函数 图象的对称 轴 对
，
四、 结语
化为 ｙ ５ 。—了 代 入直 线 删 方 程 ， ０＝ ２ 得 。 ＋（ ５ 。 ． ２ ５ ０
，
当然 ， 我们这里不对伸缩变换作 进一 步深入 研究 ， 只是 它
一
高等几何 中的仿射 变换 的一种 特殊情 况 ， 有仿 射变 换 的共 既 性特征 ， 也有其 个性特点． 而在这里 的有 关 阐述 ， 体是用 以 主
点（ 其坐标与 ｍ无关 ） ．
，
…
…
…
…
下
．
２
．
ｊ
解 通 伸 变 ｛ ， 把 圆 析 过 缩 换 一 可 椭 等 ｝ Ｌ ３ 以 一
‘ ＾， ‘
过 直线 ｌ ｘ一 ： ５
１１
一７ ０＝０上的 ｐ．２ ＝１ ． ＋ ｘ 的切线
变换成圆 ＋ｙ ２＝９ 设 ＭＮ与 Ａ ． 曰交 于点 日（ ，） 由有关 圆 ｈＯ ， 的一个性质 ： 圆内接 四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ，Ｄ与 Ｂ Ｃ交 于点 Ｐ，Ｃ与 Ａ
解析
的 问题 ：
图３
系 中，知 圆 々 ＝ 的 顶 为 、， 点 已 椭 等＋ １ 左右 点 Ｂ右焦 为
用坐标伸缩变换解决椭圆问题
解 得 一５一
所 以 当 ｍ ＞ １＋ 时， 椭 圆 ① 内含于椭 圆 ②．
评析 用两 圆的位 置关系来 代 替两椭 圆的位 置
所以当 一５一√１ ３ ＜ｍ ＜一５＋￣ ／ １ ３时已知直
线与椭 圆相交 ．
２ ２
关 系显 然 问题容 易解决 ， 而坐标 伸缩 变换恰 好 沟通 了 两者 之间 的关 系 ， 化繁为 简 ， 安全可靠．
相应的圆 ＋ Ｙ ＝１ 和直线 ２ ｋ ｘ 一 √ ｍｙ 一１ ： ０ ， 要
使 已知 的直线 与椭 圆有且仅 有一个 公 共 点 ， 只要相 应
的直 线与 圆相切． Ｐ（ ｍ， ） 变 为 相 应 的 圆 ， ＋ｙ ， ２：１和 定 点 Ｐ （ ，
解 令 ， ： ，ｙ 车， 则已 知椭圆 和定点
ｆ １ 的距 离小 于半 径 １ ， 即 ｌ ２×１—３×（ 一１ ）＋， ｎ ｌ ，，
、
、 ／ ／ （ １ —０ ） ＋（ 一１— ０ ） ＜ ｌ ， ｎ一１ ｌ （ ， ｎ＞０ ） ，
解得 ｍ ＞ １＋ ， 或 ｍ ＜ １一 （ 舍去） ，
恩
＜ ｍ ＜一５＋
ｎ Ｚ
椭 圆方 程变为
所 在 直线的 方 程为ｙ ， 一 旱＝ 一 （ ， 一 ） ．
所 以以 Ｐ （ ｍ， ｎ ）为 中点 的弦 所在 的直 线 方程 为
ｙ
一
＋ Ｙ ＝１ Ｄ Ｄ 即 ＋ 午 １ ＝ ２ ｂ ，
，
２
令 ， ＿ ， Ｙ √ ２ ｙ ，
７ ３ ０ ０ ７ ０
宋
波
解 得 一 了 １ ＜ ＜ ÷ ．
评析 以上 两例也可 以用一 元二 次方 程 的判别
伸缩变换2
伸缩变换——非均匀伸缩手中有一个圆盘，放在平行光下，会在地上形成一个影子。
如果光线不是垂直地面的，同时圆盘下不是垂直于光线的。
我们将在地上看到一个椭圆的形状。
另外，把一个圆柱体斜着截一下，则截面也是一个椭圆。
更有意思的是，在一个橡皮膜上画一个圆，然后在膜的两侧施加均匀的拉力，圆将被拉伸为一个椭圆，这是均匀拉伸的结果。
在刚接触正余弦函数图象的时候，我产生了这样的想法：正弦函数二分之一周期的图象是椭圆的一半吗？但马上又否定了这相想法，因为随圆是不带尖的，而将正弦函数两个二分之一周期图象拼在一起后是带尖的。
虽然如此，我觉得圆、椭圆、正余弦函数的图象间一定存在着一些必然的联系。
既然椭圆可以通过圆的均匀拉伸而得到，那么正余弦函数的图象可不可以通过某种变换由圆得到呢？高中数学用单位圆来定义三角函数。
如果所示，一个角的正弦用横轴上对应的点到单位圆上的有向线段表示，方向与y 轴正方向相同的为正数，方向与y 轴正方向相反的记为负数。
我们知道，若角用弧度来表示，在单位圆中，角的数值等于角所对应的弧的长度，这正是上面图中三角函数的横坐标。
圆上的点的纵坐标等于三角函数的纵坐标的数值。
这样一来，等于我们构造了这样的一个参数方程：()[]()[]()⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰φφφφφy Y d y x X 022'' 我们只需要找到了上半圆与三角函数π~0之间对应关系。
根据圆的参数方程⎩⎨⎧==φφsin cos y x 可知：椭圆 正弦函数图象()[]()[]φφφφφ=+=⎰22'sin 'cos d Xφsin ==y Y上面两式消去参数φ有：X Y sin =这说明上面所构造的确实为正弦函数。
下面我们进一步找正弦函数的图象与圆之间的联系，为了更好地找到相似性，我们把圆心移平移到（1,0）。
如下图所示进行操作：（1）作一些垂直于横轴、起点在横轴，终点在圆上的有向线段。
（2）将有向线段向上平移，使其起点位于圆上。
伸缩变换下的椭圆
A Q
B
的斜率为-ax1/by1,由变换保持曲线的 相切关系不变得直线AQ和BQ为原椭 圆切线且弦AB斜率为
-(x1/a^2)/(y1/b^2)
A' Q'
B'
结论7 过点Q(x1,y1)的动直线l交椭圆于A、B两点， 则弦AB的中点M的轨迹是曲线
x(x a2
x1
)
y( y y1) b2
0
证明：在笛卡尔坐标系中，不共线的三点P1(x1,y1),
P2(x2,y2),P3(x3,y3)经过伸缩变换变换为不共线的三点
P1'(x1',y1'),P2'(x2',y2'),P3'(x3',y3'),于是
S P1P2 P3
1 2
x1 x2
y1 1
y2 1 的绝对值
(1)
x3 y3 1
1 x1' y1' 1
特别的，在平面 上选取直角坐标系后用方程
组
x y
ax' by'
,
ab
0
给出的变换叫做平面
的伸缩变
换。
从直观上看，伸缩变换就是分别在x轴和y轴两个
方向进行伸缩。下面依次从线、角、面三个角度来看
伸缩变换的性质。
线
• 伸缩变换将点映射到点，直线对应直线。(同素 性)。
• 点A、B、C在直线n上，伸缩变换后其对应点A'、 B'、C'在对应直线n'上。(结合性)
则原椭圆的弦中点轨迹为一条过
椭圆中心的斜率为-b^2/ka^2的直径
椭圆问题使用伸缩变换的条件
关，则可使用伸缩变换解题；否则，就不能使用．
例谈三角函数问题中隐含条件的挖掘
时英雄 安徽省合肥市第一中学（230601）
三角函数问题中经常遇到一些求值求角问题， 很多学生在解题的过程中没有仔细挖掘题目中隐含 的条件，没有避开命题设计的“陷阱”，加上三角函数 中常用的同角的平方关系，倍角关系到最后都要面 临着角或值的取舍问题，稍不注意最后就会导致出 现错解或增解，下面例析之．
之比”有关．所以，可以使用伸缩变换解题．
解 假设存在平行四边形 OPRQ（如图 2），椭圆
40
福建中学数学
2014 年第 10 期
C
:
x2 2
+
y2
= 1 经伸缩变换 T
=
⎛1 ⎜⎜⎝ 0
0⎞ 2 ⎟⎟⎠ 的作用后，变为
圆 C′ : x′2 + y′2 = 2 ．
根据伸缩变换性质可知：直线 l : y = kx + m 将变
可以使用伸缩变换．事实上，只有一小部分的题目
适用．那么，我们如何在“审题”之时，就知道伸缩变
换是否适用该题？
为此，我们需要从几个方面来认识“伸缩变换”：
①什么是伸缩变换；
②伸缩变换如何使得椭圆与圆相互转换；
③伸缩变换具有哪些性质；
④伸缩变换的使用条件．
1 什么是伸缩变换
1.1 定义
线性变换 f 将 R2 空间上的向量沿 x 轴拉伸(或
分析 本题的条件“ | AF2 | ， | AB | ， | BF2 | 成等差 数列”，其中线段 AF2 ， AB ， BF2 不共线、不平行， 所以，无法使用伸缩变换将椭圆转换为圆来解题．
通过上述的例题和伸缩变换的性质可知：若题
目的条件与所求的问题只与“位置关系”、“共线（平
巧用伸缩变换解答椭圆问题
=4探索探索与与研研究究所以△O'M'F'∽△O'D'M',∠O'D'M'=∠O'M'F'，同理可得△O'N'F'∽△O'D'N',∠O'D'N'=∠O'N'F',故O'D'可平分∠M ′D ′N ′，即D ′M ′，D ′N 关于x 轴对称.解答本题，需对椭圆作伸缩变换，将问题转化为圆的问题，根据圆的等角定理和全等三角形的性质进行求解，即可快速求得问题的答案.利用我们熟悉的圆的几何性质进行求解，能大大简化计算.例3.已知椭圆E :x 22+y 2=1，O 为坐标原点，直线l 与E 交于A 、C 两点，以OA 、OC 为邻边作平行四边形OABC ，点B 恰好在E 上，试问：平行四边形OABC 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.图5解：作伸缩变换：ìíîx ′=x,y ′=2y,椭圆x 22+y 2=1变换为圆：x ′2+y ′2=2，如图5、6.由伸缩变换图形的性质可知，O'A'B'C'仍为平行四边形，但此时OA =OC ，则O'A'B'C'为菱形，所以S △ABC =2S O'A'B'C'，显然△O′A ′B ′是正三角形，则S O'A'B'C'=2S △O ′A ′B ′=2)2=3，故S △ABC =12S O'A'B'C'作伸缩变换，可将椭圆化为圆，但平行四边形仍为平行四边形.而平行四边形O'A'B'C'的邻边为圆的半径，即可判定O'A'B'C'为菱形，进而根据菱形的对称性以及三角形的面积公式，求得平行四边形OABC 的面积.例4.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，P 、Q 是椭圆C 上的两点，且直线OP 与OQ 的斜率之积为-34（O 为坐标原点），点D 为射线OP 上一点，且 OP =PD ，若直线DQ 与椭圆C交于点E ，设 QC =λED (λ>0).求λ的值以及求四边形OPEQ 的面积.图7解：作伸缩变换：ìíîïïx ′=x,y ′=23y,椭圆x 242+y 232=1变换为圆：x ′2+y ′2=4，如图7、8，因为k OP ·k OQ =-34，由伸缩变换图形的性质得k O ′P ′·k O ′Q ′=-1，得O'P'⊥O'Q'，由伸缩变换图形的性质可知，P'仍为O'D'的中点，延长D'O'交圆O'于G'，连接G'O'，P'E'，如图8，D'图8由圆的割线定理可得D'P'⋅D'G'=D'E'⋅D'Q'，即D'E'=35D'Q'，而 QE =23 ED ，则λ=23，所以S O'P'E'Q'=S△D'O'Q'-S △D'P'E'=710S △P'O'Q ′=710×12×4×2=145，故S OPEQ O'P'E'Q'=735.作伸缩变换后，由k OP ·k OQ =-b 2a2可得OP ⊥OQ ，即可根据三角形的面积公式求得S △D'O'Q'.由圆的割线定理，可得出D'P'⋅D'G'=D'E'⋅D'Q'，从而求得λ的值.通过伸缩变换，将椭圆化为圆，就能将复杂的椭圆问题转化为简单的圆的问题.这也说明了数学知识之间是有联系的，并不是孤立的.在解题时，同学们要善于把握问题的本质，将所学的知识融会贯通起来，进行合理的转化.这样就能有效地避免繁琐的计算，达到事半功倍的效果.（作者单位:江苏省扬中高级中学）探索探索与与研研究究51。
伸缩变换之椭圆与圆
＝
｛ Ｌ ： 一 。 ＋ ｏ ｓ （ ｔ 为 参 数 ） ，
吼删 ’
＝
将 它 代 人 一 若 ＝ １ 得
ｆ ０ ｓ ｉ ｎ 。 ０ 一ｂ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 ０ ） ｔ ＋２ ａ ｂ ２ ｃ ｏ ｓ ０ ． ｔ ：０
Ｊ ＡＰ Ｉ
ａ
Ｉ Ｏ ＡＩ ． ’
注 在性质 ２和性质 ３中， 若 Ｍ Ｎ 是过焦点的弦， 则其 中 ： ｅ为椭 圆 、 双曲线 的离心率．
２
一 …
中学 数 学研 究
证 明 作伸缩变换
２ ０ １ ６年第 １ ２期 （ 上）
ｎ。
，
因为 ｋ ｏ Ｍ， ． ｋ Ａ ， Ｂ ，： 一１ ， 所以 ｉ ａ ｏ Ｍ． ａ 后 Ａ ｔ ３： 一１ 即
箬 ．
图３ ， 由 圆的 切割 线走 理： Ｉ Ｐ Ｔ 个 ＝Ｉ Ｆ Ａ Ｌ Ｉ Ｐ Ｂ Ｉ 又 ：１ ，
；＝
１ （ 。＞
：
孚 ， 所 以
±
ｌ ＝ ：一 ３
ｚ ２： ： ２ 于点 Ｅ， 若ｋ ｌ 七 ｌ ：一 ５ ２
，
证 明 为 ＣＤ 的中点．
直线 ＯＭ 和 ＡＢ的斜率都存在， 则ｋ ｏ Ｍ． ｋ Ａ Ｂ： 一１ ．
在椭圆中， 已知椭圆 竺
０， ２
＋ ｙ２
＝
Ｄ
１ （ 。＞６＞０ ） ， ＡＢ为
我们很容 易证 明在伸缩变换 下直线还是 直线， 斜 率之间 的关 系为 七 ： ， 我们常常将椭 圆 ｘ ２＋ ｙ ２ １ （ 。＞６ ＞。 ） 在 “ ａ ‘ Ｏ‘
：
弦， Ｍ 为 ＡＢ 的 中点， 若直线 ＯＭ 和 ＡＢ 的斜率都 存在， 则
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是指，对于一个椭圆，如果我们对它进行伸缩变换，那么它的面积和周长会如何变化。
具体来说，设椭圆的长轴和短轴分别为a和b，而伸缩因子分别为k1和k2，那么经过伸缩变换后，椭圆的面积和周长分别变为：
面积：S' = πabk1k2
周长：L' = 2πb√((k1^2 + k2^2)/2)
其中，π是圆周率。
这个公式对于许多涉及到椭圆的问题都有很大的用处，例如在图像处理中，对椭圆进行伸缩变换可以实现图像的拉伸或压缩，从而达到改变图像尺寸和形状的目的。
此外，在数学教学和研究中，椭圆的伸缩变换公式也是一个重要的基础知识，它可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的相关概念和定理。
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椭圆伸缩变换
椭圆伸缩变换
椭圆伸缩变换是指将一个二维椭圆进行伸缩变换，使得其形状、大小、位置发生改变
的变换。
该变换是图像变换中的一种，可以用于图像处理、计算机视觉、计算机图形学等
领域中。
椭圆的伸缩变换可以分为两种：整体伸缩变换和局部伸缩变换。
整体伸缩变换是将椭圆的长轴和短轴同时进行伸缩，使得椭圆的形状和大小发生改变，但椭圆的位置不变。
该变换可以通过对椭圆的参数（长轴、短轴、中心坐标、旋转角度）
进行线性变换得到。
在计算机视觉和计算机图形学等领域中，椭圆伸缩变换被广泛运用。
它可以用于物体
的形状分析、运动跟踪、目标检测、计算机动画等领域中。
例如，在目标检测中，可以利用椭圆伸缩变换对图像中的目标进行形状和大小的调整，以适应不同的成像条件和角度。
同时，椭圆伸缩变换还可以通过区分光源和物体的伸缩效应，进行对图像的弯曲校正等操作，从而提高图像的质量和可读性。
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利用仿射变化解决椭圆问题
椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 经变换⎪⎩
⎪⎨⎧==Y a b y X
x 后变成圆2
22a Y X =+，在此变换下有
以下一些性质：
○
1点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的b
a
倍 ○
2直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的b
a
倍 ○
3平行线经变换后仍平行 ○4区域D 变换后成为D '，则面积D D S b
a S '= ○
5两平行线段的比是不变量 ○6线段PQ 经变换后变为Q P ''，则：α
α2
22
2
sin cos ||||b a PQ Q P +='' 1.求证：直线0:=++C By Ax l 与椭圆)0(,122
22>>=+b a b
y a x 相切的充要条件是：
2
22)()(C bB aA =+
证明：作仿射变换：⎪⎩⎪
⎨⎧==Y a b y X x
椭圆变为圆：2
22a Y X =+
直线l 变为0:=++'C Y a
bB
AX l 直线l '与圆相切的充要条件是
圆心到直线l '的距离 a a B b A C d =+
=
22
2
2||
整理得：2
22)()(C bB aA =+ ∴原命题得证。
2直线)(m x k y -=与椭圆：122
22=+b
y a x 交于N M ,两点，试求||MN
解：过右焦点作MN 的平行线 易知：θ
cos 2
c a b
M F +=
'，
θ
cos 2
c a b N F -='
θ
ρ2
222
cos 2c a ab N M -=''= 作仿射变换⎪⎩
⎪⎨⎧==a bY
y X x ，
椭圆变为圆：2
2
2
a Y X =+ 直线MN l 变为：0=--akm bY akX 直线N M l ''变为：0=--akc bY akX 圆心到两直线的距离分别为
2
2
1)(||b
ak akm d +=
，2
2
2)(||b
ak akc d +=
x
y
M
F
N
A M 'N '
弦长分别为：2
222
2221)(2b k a b k m a a L ++-=
2
2
22)(12b
ak k ab L ++=
，
长度之比是仿射不变量
()
ρ⋅++-=
∴2
22222
2
b k b b k m a
MN
()()
2222
22
22222
122b
k a k ab b k b b k m a
++⋅++-=。