立体几何存在性问题

立体几何中的存在性问题

1、如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=o ，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点 ，2==BC AC ，41=AA .

（Ⅰ）求证：CF ⊥平面1ABB ；

（Ⅱ）当E 是棱1CC 中点时，求证：CF ∥平面1AEB ；

（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --

的大小是45o ，若存在，求CE 的长，若不存在，请 说明理由.

2、如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F

是PC 中点，G 为AC 上一点。 （Ⅰ）求证：BD ⊥FG ；

（Ⅱ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由；

(Ⅲ)当二面角B-PC-D 的大小为

23

π

时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值。

G

F

E A

P

3、在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=o ，1AB AD PD ===，2CD =.

（Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；

（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=u u u r u u u r

，试确定λ的值，使得二面角

Q BD P --为45o

4、如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，11

2,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1A O ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；

（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若

存在，确定点E 的位置.

A

B

C

D E

P

1

A B

C

O

A

1

B 1

5、如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =

2

2.

（Ⅰ）求证：

BD PAC ⊥平面； （Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；

（III ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为9

6

2，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.

6、如图，四棱锥,,P ABCD AB AD CD AD PA ABCD -⊥⊥⊥中,底面，

22PA AD CD AB ====，M PC 为的中点.

（1）求证：BM PAD 平面P ;

（2）在侧面PAD 内找一点N

，使MN PBD ⊥平面

D

P

A

B

C

7、如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.

（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；

（Ⅱ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得

CP⊥面BDC1？并证明你的结论.

8、如图，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA = AD = CD = 2AB = 2，M为PC的中点.

（1）求证：BM∥平面PAD；

（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？

若存在，确定N的位置，若不存在，说明理由；

9、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的三视图如图所示，D 、E 分别为棱CC 1和B 1C 1的中点。 （1）求点B 到平面A 1C 1CA 的距离；

（2）在AC 上是否存在一点F ，使EF ⊥平面A 1BD ，若存在确定其位置，若不存在，说明

理由

.

10、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，

90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若1

2

PA AB BC AD ===

. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面证明，若不存在，请说明理由；

A B

P

C

D

A

B

C A 1

B 1

C 1

11、如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,4,5,4,31====AA AB BC AC .

(Ⅰ)求证:1BC AC ⊥;(Ⅱ)在AB 上是否存在点D ,使得1AC ∥平面1CDB ,若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由.

12、如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，

11

2,AA AC AC AB BC ====,且AB BC ⊥,O 为AC 中点. ①

证明：1A O ⊥平面ABC ；

（2）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.

1

A B

C

O

A

1

B 1

C

C1

B1

A

13、已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(I)证明：BN⊥平面C1B1N；

(II)M为AB中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1，若存在，求出BP的长;若不存在，请说明理由.

14、如图：在四棱锥P ABCD

-中，底面ABCD是菱形，

60,

ABC PA

∠=︒⊥平面ABCD，点,

M N分别为,

BC PA的中点，且2

=

=AB

PA. （1）证明：BC⊥平面AMN；（2）求三棱锥AMC

N-的体积；

（3）在线段PD上是否存在一点E，使得//

NM平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.

左视图

D