05机械优化设计第五章(哈工大—孙靖民)
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甲 乙 丙
钢材
260 210 180
铝材
300 250 400
铜材
400 550 350
Page 8
2020年8月30日7时41分
建模例2： 某工厂生产A、B、C三种产品，现根据订货合同以及生产 状况制定5月份的生产计划，已知合同甲为：A产品1000件，单件价 格为500元，违约金为100元/件；合同乙为：B产品500件，单件价格 为400元，违约金为120元/件；合同丙为：B产品600件，单件价格为 420元，违约金为130元/件；C产品600件，单件价格为400元，违约 金为90元/件；有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况见下 表。试以利润为目标，建立该工厂的生产计划线性规划模型 。
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例5-3：某厂生产甲、乙两种产品，已知：①两种产品分别由两 条生产线生产。第一条生产甲，每天最多生产9件，第二条生产 乙，每天最多生产7件；②该厂仅有工人24名，生产甲每件用2工 日，生产乙每件用3工日；③产品甲、乙的单件利润分别为40元 和80元。问工厂如何组织生产才能获得最大利润？
建模例1： 某公司有钢材、铝材、铜材1200t，800t和650t，拟调往 物资紧张的地区甲、乙、丙。已知甲、乙、丙对上述物资的总需求分 别为：900t，800t和1000t。各种物资在各地销售每吨的获利如下表 所示。试问公司应如何安排调运计划，才能获利最大？建立该问题的 数学模型。
获利 物资 地区
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解: 设甲、乙两种产品的日产件数分别为 x1, x2.
max F ( X ) 40x1 80x2 X D R2 s.t. x1 9 x2 7 2x1 3x2 24 x1, x2 0
日利润最大
生产能力限制 劳动力限制 变量非负
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x2 0
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例5-2：生产甲种产品每件需使用材料9kg、3个工时、4kw电，获 利润60元。生产乙种产品每件需用材料4kg、10个工时、5kw电， 可获利120元。若每天能供应材料360kg，有300个工时，能供 200kw电。试确定两种产品每天的产量，使每天可能获得的利润 最大？
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§5-1 线性规划的标准形式与基本性质
一、线性规划实例
解：设生产A、B两产品分别
例每生5-1产：一某台工产厂品要A生可产获A产、值B2两万种元产；品，为数x学1,模x型2台为，：则该问题的优化
需占用一车间工作日3天，二车间工 作日6天；每生产一台产品B 可获产
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二、线性规划的标准形式
线性规划数学模型的一般形式：求 x [x1x2 xn ]T
使 且满足
说明： 1）m=n,唯一解 2）m>n,无解 3）m<n,无穷解
f (x) c1x1 c2 x2 cn xn min
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 am1x1 am2 x2 amn xn bm
max z 2x1 x2
值1万元；需占用一车间工作日5天， 二车间工作日2天。现一车间可用于
s.t. 3 x1 5x2 15
生产A、B产品的时间15天，二车间 可用于生产A、B产品的时间24天。 试求出生产组织者安排A、B两种产
6 x1 2x2 24 x1 0
品的合理投资产数，以获得最大的总 产值。
可能有很大差别。如：某种产品要求较多的车床加工时间，另 一种产品的劳动量可能集中在铣床和其他机床上。因此，企业 在按月分配年度计划任务时，应考虑到各种设备的均衡且最大 负荷。
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在年度计划按月分配时一般要考虑:1）从数量和品 种上保证年度计划的完成；2）成批的产品尽可能在各个 月内均衡生产或集中在几个月内生产；3）由于生产技术 准备等方面原因，某些产品要在某个月后才能投产；4） 根据合同要求，某些产品要求在年初交货；5）批量小的 产品尽可能集中在一个月或几个月内生产出来，以便减少 各个月的品种数量等等。如何在满足上述条件的基础上， 使设备均衡负荷且最大负荷。
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将其化成线性规划标准形式：
求 x [x1x2 ]T 使 min f (x) 60x1 120x2 且满足 9x1 4x2 x3 360
3x1 10x2 x4 300
4x1 5x2 x5 200
xi 0(i 1, 2,3, 4,5)
Page 5
工序1 工序2 工序3 原材料1 原材料2 其他成本
产品A /件
2
3
2
3
4
10
产品B /件
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1
3
2
3
10
产品C /件
2
1
2
4
2
10
总工时或原材料 4600 4000 6000 10000 8000
工时或原材料成本
（元）
15 10 10
20
40
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2020年8月30日7时41分
建模例3： 成批生产企业年度生产计划的按月分配 。 在成批生产的机械制造企业中，不同产品劳动量的结构上
第五章 线性规划
5-1 线性规划的标准形式与基本性质 5-2 基本可行解的转换 5-3 单纯形方法及应用举例
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第五章 线性规划
目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束 函数和目标函数都是为线性函数的优化问题，称作 线性规划问题。它的解法在理论和方法上都很成熟， 实际应用也很广泛。虽然大多数工程设计是非线性 的，但是也有采用线性逼近方法求解非线性问题的。 此外，线性规划方法还常被用作解决非线性问题的 子问题的工具，如在可行方向法中可行方向的寻求 就是采用线性规划方法。当然，对于真正的线性优 化问题，线性规划方法就更有用了。
分析：每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1, x2 件
f (x1, x2 ) 60x1 120x2 max (利润最大) g1( X ) 9x1 4x2 360 （材料约束）
g2 ( X ) 3x1 10x2 300
g3( X ) 4x1 5x2 200
（工时约束） （电力约束）
钢材
260 210 180
铝材
300 250 400
铜材
400 550 350
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建模例2： 某工厂生产A、B、C三种产品，现根据订货合同以及生产 状况制定5月份的生产计划，已知合同甲为：A产品1000件，单件价 格为500元，违约金为100元/件；合同乙为：B产品500件，单件价格 为400元，违约金为120元/件；合同丙为：B产品600件，单件价格为 420元，违约金为130元/件；C产品600件，单件价格为400元，违约 金为90元/件；有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况见下 表。试以利润为目标，建立该工厂的生产计划线性规划模型 。
2020年8月30日7时41分
例5-3：某厂生产甲、乙两种产品，已知：①两种产品分别由两 条生产线生产。第一条生产甲，每天最多生产9件，第二条生产 乙，每天最多生产7件；②该厂仅有工人24名，生产甲每件用2工 日，生产乙每件用3工日；③产品甲、乙的单件利润分别为40元 和80元。问工厂如何组织生产才能获得最大利润？
建模例1： 某公司有钢材、铝材、铜材1200t，800t和650t，拟调往 物资紧张的地区甲、乙、丙。已知甲、乙、丙对上述物资的总需求分 别为：900t，800t和1000t。各种物资在各地销售每吨的获利如下表 所示。试问公司应如何安排调运计划，才能获利最大？建立该问题的 数学模型。
获利 物资 地区
Page 6
2020年8月30日7时41分
解: 设甲、乙两种产品的日产件数分别为 x1, x2.
max F ( X ) 40x1 80x2 X D R2 s.t. x1 9 x2 7 2x1 3x2 24 x1, x2 0
日利润最大
生产能力限制 劳动力限制 变量非负
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x2 0
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例5-2：生产甲种产品每件需使用材料9kg、3个工时、4kw电，获 利润60元。生产乙种产品每件需用材料4kg、10个工时、5kw电， 可获利120元。若每天能供应材料360kg，有300个工时，能供 200kw电。试确定两种产品每天的产量，使每天可能获得的利润 最大？
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2020年8月30日7时41分
§5-1 线性规划的标准形式与基本性质
一、线性规划实例
解：设生产A、B两产品分别
例每生5-1产：一某台工产厂品要A生可产获A产、值B2两万种元产；品，为数x学1,模x型2台为，：则该问题的优化
需占用一车间工作日3天，二车间工 作日6天；每生产一台产品B 可获产
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2020年8月30日7时41分
二、线性规划的标准形式
线性规划数学模型的一般形式：求 x [x1x2 xn ]T
使 且满足
说明： 1）m=n,唯一解 2）m>n,无解 3）m<n,无穷解
f (x) c1x1 c2 x2 cn xn min
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 am1x1 am2 x2 amn xn bm
max z 2x1 x2
值1万元；需占用一车间工作日5天， 二车间工作日2天。现一车间可用于
s.t. 3 x1 5x2 15
生产A、B产品的时间15天，二车间 可用于生产A、B产品的时间24天。 试求出生产组织者安排A、B两种产
6 x1 2x2 24 x1 0
品的合理投资产数，以获得最大的总 产值。
可能有很大差别。如：某种产品要求较多的车床加工时间，另 一种产品的劳动量可能集中在铣床和其他机床上。因此，企业 在按月分配年度计划任务时，应考虑到各种设备的均衡且最大 负荷。
Page 10
2020年8月30日7时41分
在年度计划按月分配时一般要考虑:1）从数量和品 种上保证年度计划的完成；2）成批的产品尽可能在各个 月内均衡生产或集中在几个月内生产；3）由于生产技术 准备等方面原因，某些产品要在某个月后才能投产；4） 根据合同要求，某些产品要求在年初交货；5）批量小的 产品尽可能集中在一个月或几个月内生产出来，以便减少 各个月的品种数量等等。如何在满足上述条件的基础上， 使设备均衡负荷且最大负荷。
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2020年8月30日7时41分
将其化成线性规划标准形式：
求 x [x1x2 ]T 使 min f (x) 60x1 120x2 且满足 9x1 4x2 x3 360
3x1 10x2 x4 300
4x1 5x2 x5 200
xi 0(i 1, 2,3, 4,5)
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工序1 工序2 工序3 原材料1 原材料2 其他成本
产品A /件
2
3
2
3
4
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产品B /件
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1
3
2
3
10
产品C /件
2
1
2
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总工时或原材料 4600 4000 6000 10000 8000
工时或原材料成本
（元）
15 10 10
20
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2020年8月30日7时41分
建模例3： 成批生产企业年度生产计划的按月分配 。 在成批生产的机械制造企业中，不同产品劳动量的结构上
第五章 线性规划
5-1 线性规划的标准形式与基本性质 5-2 基本可行解的转换 5-3 单纯形方法及应用举例
2020年8月30日7时41分
第五章 线性规划
目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束 函数和目标函数都是为线性函数的优化问题，称作 线性规划问题。它的解法在理论和方法上都很成熟， 实际应用也很广泛。虽然大多数工程设计是非线性 的，但是也有采用线性逼近方法求解非线性问题的。 此外，线性规划方法还常被用作解决非线性问题的 子问题的工具，如在可行方向法中可行方向的寻求 就是采用线性规划方法。当然，对于真正的线性优 化问题，线性规划方法就更有用了。
分析：每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1, x2 件
f (x1, x2 ) 60x1 120x2 max (利润最大) g1( X ) 9x1 4x2 360 （材料约束）
g2 ( X ) 3x1 10x2 300
g3( X ) 4x1 5x2 200
（工时约束） （电力约束）