专题2.3 函数的奇偶性 (学生版)

第三讲函数的奇偶性

【套路秘籍】

函数的奇偶性

【套路修炼】

考向一奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)＝(1－x) 1＋x

1－x

； (2)f(x)＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧－x2＋2x＋1，x>0，

x2＋2x－1，x<0；

(3)f(x)＝4－x2

|x＋3|－3

. （4）f(x)＝3－x2＋x2－3；

【举一反三】

1.判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝36－x 2

＋x 2

－36；(2)f (x )＝ln (1－x 2

)

|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

＋x ，x <0，－x 2

＋x ，x >0.

2.下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是________．(填序号)

①f (x )＝x ＋sin 2x; ②f (x )＝x 2－cos x ；③f (x )＝3x －13

x ； ④f (x )＝x 2

＋tan x .

【套路总结】

一、判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－

x )＝0(偶函数)是否成立．

二、判断函数奇偶性的方法

1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：

f (－x )

f (x )

＝±1(f (x )≠0)判断函数的奇偶性． 2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性． 3．验证法：即判断f (x )±f (－x )是否为0.

4．性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：

考向二 奇偶性运用一---求解析式

【例2】（1）已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e

－x －1

－x ，则f (x )＝________.

（2）已知函数f (x )是定义在(−∞ , +∞)上的奇函数，当x ∈[0 , +∞)时，f (x )=x 2−4x ，则当x ∈(−∞ , 0)时，f (x )=______. 【举一反三】

1．已知函数f(x)是奇函数，当x >0时f(x)=2x −1

x ，则f(−1)=______．

2.已知函数f(x)是定义在( −∞, +∞ )上的偶函数. 当x ∈( −∞, 0 )时，f(x)=x −x 4，则当x ∈( 0, +∞ )时，f(x)=_________________.

3．已知f (x )是偶函数，当x <0时，f (x )=x(x +1)，则当x >0时，f (x )= 。

考向三 奇偶性运用二--求值

【例3】已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3

＋x 2

＋1，则f (1)＋g (1)＝( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 【举一反三】

1．已知f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(x)−g(x)=2x +x 2+1，则f(1)+g(1)=。 2.．已知函数f(x)=log 2(√1+x 2−x)+2，f (a )=4则 f(−a)的值 。 3．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）=2x 2

-x ，则f （1）= 。

考向四 奇偶性运用二---求参数

【例4】（1）函数f (x )＝(x ＋2)(x ＋a )x

是奇函数，则实数a ＝________.

(2)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2

)为偶函数，则a ＝__________.

(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2

＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________．

（4）已知函数f (x )=x 3+ax 2+x 是定义在[−1+b,2b +7]上的奇函数，则a +b =_________.

【举一反三】

1.若f (x )＝ln(e 3x

＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.

2．若函数f(x)=log 3(9x +1)+kx （k ∈R ）为偶函数，则k 的值为________ 3．已知f (x )=(a −1)x 3+bx 2是定义在[b ，2+b]上的偶函数，则a +b 等于______．

考向五 单调性与奇偶性综合运用

【例4】 (1)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (ln x )

(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1

1＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为______________．

（3）已知函数f(x)=ax 2+(a +2)x +a 2为偶函数，则不等式(x −2)f(x)<0的解集为 。

【举一反三】

1．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为________．

2．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为__________． 3．函数f(x)是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，f(−3)=0，则不等式xf(x)<0的解集为 。

【套路运用】

1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝1

x

2

C ．f (x )＝2x

＋2－x

D ．f (x )＝－cos x

2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x

＋m ，则f (－2)等于( ) A ．－3 B ．－54 C.5

4

D ．3

3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1x C ．y ＝2x ＋12

x D ．y ＝x ＋e x

4．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为________．

5．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是________．(填序号) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x .

6．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x

＋m ，则f (－2)＝________.