应力应变状态分析

切向平衡
Ft 0
A
A cos
-t A + ( A cos) sin
At sin
x
+t ( A cos) cos
t
xy
-t ( A sin) sin
x
yx
t xy
- ( A sin) cos 0
t yx
t
( x
y
-
y )sin
cos
+t x (cos2
- sin
2)
y
注：三角公式
sin 2 2sin cos
2 x
由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应 力和最小主应力。
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x
- y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
应力状态的分类：
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零； 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零；
三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零
二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
§8-2 平面应力状态下的应力分析
一.应力单元体
y y
t yx t xy x
x
y
y ty tx
x x
2
若
x - y
2
0
时，能使
d d
0
sin 2 0 + t x cos2
0
0
该面上恰好切应力等于零t x 0
tan 2 0
-
2t x x -
y
0、0 + 900确定了两个正交平面，其中一个是最大
正应力作用面，另一个是最小正应力作用面。
max x + y
min
2
x
-
2
y
2
+t
- y )cos 2
+t x sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t -t + 2
§8-3.主应力
和tt都是 xx -+22的函yy s+数in2。x-2利+ty用xcco上oss2式2便-t可x si确n 2定 正应力和
剪应力的极值
d d
-2 x
-
2
y
sin 2
+
t
x
cos
第 八章 应力应变状态分析
§8-1 引言
一.研究应力状态的意义
（1）同一点各个方向的应力不同； (2)相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与 低碳钢的压缩破坏。
P
P
应力与应变分析
二、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
三、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
y z
Z z
应力与应变分析
tzy tzx
txy
tyx
tyz
txz
O
txy
x
tzy
tzx
x
txz tyz tyx
dz y
Y
dx
X O
y
x
dy z
2.单元体上的应力分量
Fn 0 ，
Ft 0
x
t
t xy A
t yx
y
法向的平衡
A
Fn 0
A cos
A sin
A
-
( A cos) cos
x
+t
x
xy(
A
cos) sin
+tyx ( A sin) cos
t xy
- ( A sin) sin 0
y
t n
t yx y
x cos2 + y sin 2 - 2t x sin cos
低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。
低碳钢
铸铁
m
t
m
t
CL10TU2
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
tan 2 1
x - 2t x
y
1、 1 + 90, 它们确定两个互相垂直的
平面，分别作用着最大和最小剪应力
t max
t min
x
-
2
y
2
+
t
2 x
由：
tan 2 0
- 2t x x -
y
tan 2 1
x - 2t x
y
tan 2 1
1 -
tan 2 0
-ctg 2 0
2 1 2 0 + 90 即 1 0 + 45
即：最大和最小剪应力所在平面与 主平面的夹角为45
§8-4 应力分析的图解法—应力圆
-x
+ y
2
x
- y
2
cos2
- t x sin 2
(1)
t
x
Fra Baidu bibliotek
- y
2
sin 2
+ t x cos2
(2)
(1)2 + (2)2 , 得 (x - x0 )2 + ( y - y0 )2 R2
-x
+
y
2
2
+
t
2
CL10TU8
二. 应力分析的解析法
（1）斜截面应力
y
y ty
n
tx
x
txx x
ty
y
n
x
tx
A
t Acos
ty
A sin
y
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α：逆时针转动为正
2.斜面上的应力——微元体的平衡方程
平衡对象——用斜截
面截取的微元局部
参加平衡的量——应 力乘以其作用的面积
平衡方程
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
（2）面的方位用其法线方向表示
t yz t zy，t zx t xz，t xy t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
x
-
y
2
2
+
t
2 x
1.莫尔(Mohr)圆
-
x
+ 2
y
2
+
t
2
x
- 2
y
2
+
t
2 x
t
圆心坐标为
x
+
2
y
，0
半径为
x
2
y
2
+t
2 x
2.应力圆的画法
y
t
t yx
D
t xy
sin 2 1- cos 2
2
cos2 1+ cos 2
2
x
+ y
2
+x
- y
2
cos 2
-t x
sin 2
t
x
-
2
y
sin 2
+t x
cos 2
讨论：
1) + 2
1 2
( x
+
y)+
1 2
( x
- y )cos 2(
+
2
)
-t
x
sin
2(
+)
2
+
2
1 2
(
x
+ y) -
1 2
(
x
②单元体各个面上的应力已知或可求；
③几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
A P/A
B tMe/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面 P
Me
b) 横截面，周向面，直径面各一对
C Me
c) 同b)，但从 上表面截取
C
t
P A
B C
A
A
A
B
tB
tC
C
C
C
为什么要研究一点的应力状态？
t [t ]； [ ]？