中职数列复习最新ppt课件
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2024版中职数学教学课件第6章数列
中职数学教学课件第6章数列目录•数列基本概念与性质•等差数列深入探究•等比数列深入探究•数列求和技巧与方法•数列极限初步认识•章节复习与总结PART01数列基本概念与性质数列定义及表示方法数列定义按照一定顺序排列的一列数。
数列表示方法通常用带下标的字母表示，如$a_n$，其中$n$为正整数，表示数列的第$n$项。
等差数列性质任意两项之差为常数。
等差数列的通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$为公差。
中项性质：若$m+n=p+q$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。
等差数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。
等比数列性质任意两项之比为常数。
中项性质：若$m+n=p+q$，则$a_ma_n=a_pa_q$。
等比数列的通项公式：$a_n=a_1 times q^{(n-1)}$，其中$q$为公比。
数列通项公式与求和公式数列通项公式表示数列第$n$项与$n$之间关系的公式，如等差数列和等比数列的通项公式。
数列求和公式用于计算数列前$n$项和的公式。
对于等差数列，求和公式为$S_n=frac{n}{2}(a_1+a_n)$；对于等比数列，当公比$q neq1$时，求和公式为$S_n=a_1 times frac{q^n-1}{q-1}$。
PART02等差数列深入探究03等差中项的求法已知等差数列的两项，可以通过它们的算术平均数求出等差中项。
01等差中项的定义在等差数列中，任意两项的算术平均数等于它们的等差中项。
02等差中项与等差数列的关系等差中项是等差数列的重要性质之一，通过等差中项可以判断一个数列是否为等差数列，也可以求出等差数列的公差。
等差中项与等差数列关系1 2 3等差数列前n项和是指等差数列前n项的和。
等差数列前n项和的定义通过倒序相加法或错位相减法等方法，可以推导出等差数列前n项和的公式。
中职高考数学复习《数列》课件
走多少里。这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决。
高
考
真
题
（2021年真题）
27.（本小题8分）在数列{ }中， > 0，1 = 1，2+1 − = 0.
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）若， = log 2 ，求数列{ }的前90项和90
高
考
真
题
（2015年真题）
5.在等比数列{ }中， 2 = 1， 4 = 3，则6 的值是
A.-5
B.5
C.-9
（ ）
D.9
26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，没排比
前一排多3名，求第一排应安排多少名演员？
高
考
真
题
（2016年真题）
6.已知数列{ }是等比数列，其中3 = 2， 6 = 16，则该等比数列的公比q等于
14
A. 3
B.2
C. 4
D.8
27.（本小题8分）已知数列{ }的前n项和 = 22 − 3，求：
（1）第二项2
（2）通项公式
（ ）
高
考
真
题
（2017年真题）
5.在等差数列{ }中，1 = −5， 3 是4和49的等比中项，且3 <0,则 5 等于 （ ）
A.-18
B.-32
高
考
真
题
（2022年真题）
4. 在等差数列{ }中，已知1 = 2，2 + 3 = 10，则该数列的公差是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
高
考
真
题
（2022年真题）
高
考
真
题
（2021年真题）
27.（本小题8分）在数列{ }中， > 0，1 = 1，2+1 − = 0.
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）若， = log 2 ，求数列{ }的前90项和90
高
考
真
题
（2015年真题）
5.在等比数列{ }中， 2 = 1， 4 = 3，则6 的值是
A.-5
B.5
C.-9
（ ）
D.9
26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，没排比
前一排多3名，求第一排应安排多少名演员？
高
考
真
题
（2016年真题）
6.已知数列{ }是等比数列，其中3 = 2， 6 = 16，则该等比数列的公比q等于
14
A. 3
B.2
C. 4
D.8
27.（本小题8分）已知数列{ }的前n项和 = 22 − 3，求：
（1）第二项2
（2）通项公式
（ ）
高
考
真
题
（2017年真题）
5.在等差数列{ }中，1 = −5， 3 是4和49的等比中项，且3 <0,则 5 等于 （ ）
A.-18
B.-32
高
考
真
题
（2022年真题）
4. 在等差数列{ }中，已知1 = 2，2 + 3 = 10，则该数列的公差是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
高
考
真
题
（2022年真题）
《数列复习课中职》课件
值和公差。
5
应用题
通过一些应用题来加深对等差数列 的理解和运用。
三、等比数列
定义和公式
介绍等比数列的概念，以及 如何使用通项公式来找到等 比数列的任意项。
等比数列的通项公式
学习等比数列的通项公式， 并了解其在财务领域的应用。
等比数列的前n项和公 式
了解如何计算等比数列的前n 项和，包括复利问题的应用。
斐波那契数 列求和公式
总结斐波那契数列 的求和公式和特点。
总结
对数列求和公式进 行总结并回顾重要 内容。
七、总结和展望
1 数列的重要性
总结数列在数学和实 际应用中的重要性。
2 下一步的学习动向 3 课程回顾和总结
推荐学习数学中其他 相关的主题和概念。
回顾本次课程的重点 内容和你的学习成果。
等比数列的性质
探索等比数列的性质和规律， 如比值和公比。
应用题
通过一些实际应用题来加深 对等比数列的理解和运用。
四、斐波那契数列
1 定义和公式
介绍斐波那契数列的 定义和递推公式。
2 斐波那契数列的
性质
探索斐波那契数列的 一些特性和规律，如 黄金分割。
3 应用题
通过一些实际问题来 理解和应用斐波那契 数列。
《数列复习课中职》PPT 课件
欢迎来到《数列复习课中职》PPT课件！在这次复习中，我们将深入探讨数列 的定义、性质、分类以及重要的求和公式。让我们开始吧！
一、数列的定义和概念
什么是数列
了解数列的基本定义以及它在数学中的重要性。
数列的性质
探索数列的一些重要性质，包括有界性、递增性和递减性。
数列的分类
介绍不同类型的数列，如等差数列、等比数列和斐波那契数列。
数列模型综合问题(课件)中职数学对口升学考试专题复习精讲课件(全国通用)_PPT模板
专题31
数列模型综合问题
专题31——数列模型综合问题
【知识要点】
1．数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1.
专题31——数列模型综合问题
(3)推导等比数列前n项和方法：错位相减法． 在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则等比数列的前n项 和Sn＝a1＋a2＋···＋an， 当q≠1时，根据等比数列的通项公式， Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋···＋a1qn－1，① 将①式两边同时乘以公比q，得 qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋···＋a1qn，②
4×3＋4×32＝53.
b1＝1×4＋4×(4×
12)＝12，b2＝1×4＋4×(4×
1 2
)＋
4×3×[4×( 1)2]＝24， 2
b3＝1×4＋4×(4×12
)＋4×3×[4×(1 2
)2]＋4×32×[4×(
1)3]＝42. 2
专题31——数列模型综合问题
（2）：∵a1＝5，a2＝a1＋4×3，a3＝a2＋4×32，···，an＝ an－1＋4×3n－1，∴a2－a1＝4×3， a3－a2＝4×32，a4－a3＝4×33，···，an－an－1＝4×3n－1，把
专题31——数列模型综合问题
【解析】：2013年该员工的月工资收入为5 000×(1＋7%)＝5 350(元)，由题意知，该员工自2013年至2023年每年的月工资收 入构成等比数列{an}，且首项a1＝5 350，公比q＝1.07， ∴自2013年至2023年该员工的工资总收入为
S11
5 350 1.0711 1
【解析】购买时首付了300万元，则欠款2 000万元，分n次付 清，则每次交付欠款的数额依次构成数列{an}． a1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， ··· an＝100＋[2 000－(n－1)×100]×0.01＝121－n(万元)(1≤n≤20 ，n∈N*)，
数列模型综合问题
专题31——数列模型综合问题
【知识要点】
1．数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1.
专题31——数列模型综合问题
(3)推导等比数列前n项和方法：错位相减法． 在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则等比数列的前n项 和Sn＝a1＋a2＋···＋an， 当q≠1时，根据等比数列的通项公式， Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋···＋a1qn－1，① 将①式两边同时乘以公比q，得 qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋···＋a1qn，②
4×3＋4×32＝53.
b1＝1×4＋4×(4×
12)＝12，b2＝1×4＋4×(4×
1 2
)＋
4×3×[4×( 1)2]＝24， 2
b3＝1×4＋4×(4×12
)＋4×3×[4×(1 2
)2]＋4×32×[4×(
1)3]＝42. 2
专题31——数列模型综合问题
（2）：∵a1＝5，a2＝a1＋4×3，a3＝a2＋4×32，···，an＝ an－1＋4×3n－1，∴a2－a1＝4×3， a3－a2＝4×32，a4－a3＝4×33，···，an－an－1＝4×3n－1，把
专题31——数列模型综合问题
【解析】：2013年该员工的月工资收入为5 000×(1＋7%)＝5 350(元)，由题意知，该员工自2013年至2023年每年的月工资收 入构成等比数列{an}，且首项a1＝5 350，公比q＝1.07， ∴自2013年至2023年该员工的工资总收入为
S11
5 350 1.0711 1
【解析】购买时首付了300万元，则欠款2 000万元，分n次付 清，则每次交付欠款的数额依次构成数列{an}． a1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， ··· an＝100＋[2 000－(n－1)×100]×0.01＝121－n(万元)(1≤n≤20 ，n∈N*)，
中职数学数列的基本知识ppt课件
中职数学数列的基本知识ppt课件目录•数列基本概念与性质•数列求和与通项公式•数列递推关系与性质•数列极限与收敛性判断•数列在实际问题中应用举例PART01数列基本概念与性质数列定义数列表示方法数列的项通常用带下标的字母来表示数列，如{an}。
数列中的每一个数都叫做数列的项。
0302 01数列定义及表示方法按照一定顺序排列的一列数。
等差数列性质任意两项之差为常数。
从第一项开始，依次成等差数列的若干个数的和等于项数乘以中间项。
中间项等于首尾两项和的一半。
等差数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。
等比数列性质任意两项之比为常数。
中间项的平方等于首尾两项的乘积。
从第一项开始，依次成等比数列的若干个数的积等于首项乘以末项再乘以公比的次幂。
算术数列几何数列调和数列混合数列常见数列类型及特点01020304每一项与前一项的差为常数，如1, 3, 5, 7,...每一项与前一项的比为常数，如2, 4, 8, 16,...每一项的倒数成等差数列，如1, 1/2, 1/3, 1/4,...不具有明显规律的数列，需要通过其他方法进行分析和处理。
PART02数列求和与通项公式等差数列求和公式推导通过倒序相加法或错位相减法推导等差数列求和公式。
等差数列求和公式应用利用等差数列求和公式解决与等差数列相关的问题，如计算前n项和、求某一项的值等。
等比数列求和公式推导通过错位相减法或等比数列的性质推导等比数列求和公式。
等比数列求和公式应用利用等比数列求和公式解决与等比数列相关的问题，如计算前n 项和、求某一项的值等。
通过观察数列的前几项，找出数列的通项公式。
观察法根据已知的递推关系式，逐步推导出数列的通项公式。
递推法通过设定未知数，建立方程组，求解得到数列的通项公式。
待定系数法通项公式求解方法典型例题解析已知等差数列的前n项和为Sn，且S10=100，S20=300，求S30。
中职数学数列的基本知识课件
中职数学数列的基本 知识课件
目录
• 数列基本概念与性质 • 数列求和与通项公式 • 数列在生活中的应用 • 数列极限初步认识 • 数列在职业领域中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 数列基本概念与性质
数列定义及表示方法
数列定义
按照一定顺序排列的一列数。
数列表示方法
通常用带下标的字母表示，如$a_n$，其中$n$为自然数，表示数列的第$n$项 。
易错难点剖析及注意事项
等差数列与等比数列的判定
在判断一个数列是否为等差或等比数列时，需要注意公差或公比 是否恒定，以及首项是否符合定义。
公式应用中的细节问题
在使用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式时，需要注意公 式中各项的对应关系，以及是否满足公式的使用条件。
极限概念的理解
在理解数列极限的概念时，需要注意极限的严格定义，以及极限的 唯一性、保号性等性质。
等比数列及其性质
等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比值等 于同一个常数的一种数列。 等比数列性质
任意两项之比为常数。
中项性质：在等比数列中，如果$m+n=p+q$，则$a_m times a_n = a_p times a_q$。 等比中项：如果在$a$与$b$中间插入一个数$G$，使$a$， $G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项 。
解答1
根据等差数列的性质和已知条件，可以列出方程组求解 得到公差d=2，进而得到通项公式an=2n-1和前n项和公 式Sn=n^2。
例题2
已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，且b1=2，T3=26 ，求bn和Tn。
解答2
根据等比数列的性质和已知条件，可以列出方程组求解 得到公比q=3，进而得到通项公式bn=2*3^(n-1)和前 n项和公式Tn=(3^n-1)/2。
目录
• 数列基本概念与性质 • 数列求和与通项公式 • 数列在生活中的应用 • 数列极限初步认识 • 数列在职业领域中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 数列基本概念与性质
数列定义及表示方法
数列定义
按照一定顺序排列的一列数。
数列表示方法
通常用带下标的字母表示，如$a_n$，其中$n$为自然数，表示数列的第$n$项 。
易错难点剖析及注意事项
等差数列与等比数列的判定
在判断一个数列是否为等差或等比数列时，需要注意公差或公比 是否恒定，以及首项是否符合定义。
公式应用中的细节问题
在使用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式时，需要注意公 式中各项的对应关系，以及是否满足公式的使用条件。
极限概念的理解
在理解数列极限的概念时，需要注意极限的严格定义，以及极限的 唯一性、保号性等性质。
等比数列及其性质
等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比值等 于同一个常数的一种数列。 等比数列性质
任意两项之比为常数。
中项性质：在等比数列中，如果$m+n=p+q$，则$a_m times a_n = a_p times a_q$。 等比中项：如果在$a$与$b$中间插入一个数$G$，使$a$， $G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项 。
解答1
根据等差数列的性质和已知条件，可以列出方程组求解 得到公差d=2，进而得到通项公式an=2n-1和前n项和公 式Sn=n^2。
例题2
已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，且b1=2，T3=26 ，求bn和Tn。
解答2
根据等比数列的性质和已知条件，可以列出方程组求解 得到公比q=3，进而得到通项公式bn=2*3^(n-1)和前 n项和公式Tn=(3^n-1)/2。
高教版中职数学基础模块《数列的概念》总复习课件
③常数列：an=A(A为常数)；
④摆动数列：每项数值大小无规则.
一课一案 高效复习
典型例题
题型1
按规律写出数列的项
【例1】已知数列
， ， ，…，
，…，则下列各数中是此数列的
× × ×
×(+)
项的是( B
A.
)
B.
C.
D.
【举一反三】
35
1.数列0，3，8，15，24，x，48，63，…中，x的值是__________；
an+1
【举一反三】
4.根据公式，求数列{an}的前4项.
(1)an=10+2n ;
(2) a1=0，an=an-1 +
cos
.
一课一案 高效复习
题型4
Sn与an 的关系
【例4】已知数列前n项和，求数列的通项公式.
(1) Sn=2n-1 ;
Sn=n2-7n-8
;
(3) Sn=n2+2n
[分析]已知Sn，求an，步骤：
5、数列的分类
(1)按数列中项的个数分类：
有穷数列
①项数有限的数列叫做____________________；
无穷数列
②项数无限的数列叫做____________________.
(2)按数列中项的大小关系排列分类：
①递增数列：an+1>an(n∈N*)； ②递减数列：an+1<an(n∈N*)；
项
叫做这个数列的_____.
记作： a1 ,
a2 , a3 ，…， an ，简记为： {an}
最新语文版中职数学基础模块下册7.1数列的概念1课件PPT.pptx
项数有限的数列叫做有穷数列
项数无限的数列叫做无穷数列
二、 数列的分类
从第2项起，每一项都大于它的前一项 的数列叫做递增数列.例如
1，2，3，4，5，···n， ···.（1）
从第2项起，每一项都小于它的前一项 的数列叫做递减数列.例如
1，1 ，1 ，1 ，1 ，···1 ，···. （2）
2 34 5 n 各项相等的数列叫做常数列.例如
(3).若数列有通项公式,形式未必唯一.
例如-1, 1, -1, 1, -1,……
an
1n
(1)(n2)
1, n (2k 1, n 2k.
1), k
N*.
五、数列的通项公式的应用 例2 写出数列的一个通项公式，
使它的前4项分别是下列各数：
（1）3，5，7，9；
2 5,5,5,5, ; 3 1, 0,1, 2,3, ; 4 1 , 1 , 1, 1 , .
2 4 8 16
2 an 5;
3 an n 2;
4
an
1 2
n
.
思考： an 与 an 有什么不同？
an 表示数列a1, a2 , a3, an , 而不是集合；
an
n
12 1
n 1
nn 2
n 1
五、数列的通项公式的应用
例2 写出数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数：
（3）
1 , 1 , 1 , 1 . 12 23 34 45
解：此数列的前4项的绝对值都等于
序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为 负，偶数项为正，所以通项公式是：
解：此数列的前四项3，5，7，9都是序 号的2倍加上1，所以通项公式是：
项数无限的数列叫做无穷数列
二、 数列的分类
从第2项起，每一项都大于它的前一项 的数列叫做递增数列.例如
1，2，3，4，5，···n， ···.（1）
从第2项起，每一项都小于它的前一项 的数列叫做递减数列.例如
1，1 ，1 ，1 ，1 ，···1 ，···. （2）
2 34 5 n 各项相等的数列叫做常数列.例如
(3).若数列有通项公式,形式未必唯一.
例如-1, 1, -1, 1, -1,……
an
1n
(1)(n2)
1, n (2k 1, n 2k.
1), k
N*.
五、数列的通项公式的应用 例2 写出数列的一个通项公式，
使它的前4项分别是下列各数：
（1）3，5，7，9；
2 5,5,5,5, ; 3 1, 0,1, 2,3, ; 4 1 , 1 , 1, 1 , .
2 4 8 16
2 an 5;
3 an n 2;
4
an
1 2
n
.
思考： an 与 an 有什么不同？
an 表示数列a1, a2 , a3, an , 而不是集合；
an
n
12 1
n 1
nn 2
n 1
五、数列的通项公式的应用
例2 写出数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数：
（3）
1 , 1 , 1 , 1 . 12 23 34 45
解：此数列的前4项的绝对值都等于
序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为 负，偶数项为正，所以通项公式是：
解：此数列的前四项3，5，7，9都是序 号的2倍加上1，所以通项公式是：
最新人教版中职数学基础模块下册6.1数列的概念1课件PPT.pptx
导 入
排成一列数为
3，3.1，3.14，3.141，…．
(4)
6.1 数列的概念
按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每
动
一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右排
脑
思
序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），
考
第2项，第3项， …，第n项，…，其中反映各项在数列中
探
索
位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做对应的项的项数．
6.1 数列的概念
自 我 判断22是否为数列 {n2 n 20} 中的项，如果是,请指出是第几项． 反 思
目
标
是，是第7项．
检
测
6.1 数列的概念
自 我 反 思
学习方法
目 标 检 测
学习行为
学习效果
6.1 数列的概念
读书部分：阅读教材相关章节
继 续
书面作业：教材习题6.1A组（必做）
探
（1) an 3n 2；
知
（2） an (1)n n．
识 2. 根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
强
(1)－1，1，3，5，…；
化
(2)
1，1 ， 36
1，1 ， 9 12
；
练 习
(3)
1 ，3，5，7， ． 24 6 8
3. 判断12和56是否为数列{n2 n}中的项，如果是，请指出是第几项．
1.说出生活中的一个数列实例．
用
知
识Байду номын сангаас
2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？
强
中职数列复习最新ppt课件
( 3 ) a n l o g 2 b n 2 4 2 n ， b n 2 2 4 2 n ，
2 4 2(n 1)
b b n n 12 22 4 2n1 4, 数 . 列 b n是 等 比 数 列
【题型1】等差（比）数列的基本运算
练习：等差数列{an}中，已知a 1=
1 3
方案2：若在2001年初向银行贷款50 万先购房，银行贷款的
年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到 2010年要分10
年还清，每年年底等额归还且每年1次，他每年至少要还多少钱
呢？
.
例2解: ⑴按复利计算存10年本息和（即从银行里取到钱）为：
3×(11.98%)10 +3×(11.98%)9 +…+3×(11.98%)1
但常数列不一定是等比数列， 只有非零的常数列才是等比数列
.
正确理解等比数列的定义需掌握 以下几点：
1.等比数列的项an、公比q均不能为0
2.q>0时，数列的各项与首项同号 3.q<0时，数列的各项符号正负相间 4.q=1时，数列是常数列：a，a，a，
a，…（a≠0）但常数列不一定是等比 数列，只有非零的常数列才是等比数 列
.
【题型5】数列的应用
例某人，公元2000年参加工作，打算购一套 50万元商品房，
请你帮他解决下列问题：
方案 1：从 2001 年开始每年年初到银行存入 3万元，银行的
年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下
年的本金生息），在2010 年年底，可以从银行里取到多少钱？
若想在 2010 年年底能够存足 50万，他每年年初至少要存多少钱？
3(11.98%)[1(11.98%)10 =
2 4 2(n 1)
b b n n 12 22 4 2n1 4, 数 . 列 b n是 等 比 数 列
【题型1】等差（比）数列的基本运算
练习：等差数列{an}中，已知a 1=
1 3
方案2：若在2001年初向银行贷款50 万先购房，银行贷款的
年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到 2010年要分10
年还清，每年年底等额归还且每年1次，他每年至少要还多少钱
呢？
.
例2解: ⑴按复利计算存10年本息和（即从银行里取到钱）为：
3×(11.98%)10 +3×(11.98%)9 +…+3×(11.98%)1
但常数列不一定是等比数列， 只有非零的常数列才是等比数列
.
正确理解等比数列的定义需掌握 以下几点：
1.等比数列的项an、公比q均不能为0
2.q>0时，数列的各项与首项同号 3.q<0时，数列的各项符号正负相间 4.q=1时，数列是常数列：a，a，a，
a，…（a≠0）但常数列不一定是等比 数列，只有非零的常数列才是等比数 列
.
【题型5】数列的应用
例某人，公元2000年参加工作，打算购一套 50万元商品房，
请你帮他解决下列问题：
方案 1：从 2001 年开始每年年初到银行存入 3万元，银行的
年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下
年的本金生息），在2010 年年底，可以从银行里取到多少钱？
若想在 2010 年年底能够存足 50万，他每年年初至少要存多少钱？
3(11.98%)[1(11.98%)10 =
中职数学：数列的基本知识课件
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式是 a_n=a_1×q^(n-1)，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是第一项的值，q 是公比 ，n 是项数。
等比数列的求和公式
总结词
等比数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学表达式。
多个不同的极限值。
收敛数列具有有界性，即存在一 个正数M，使得数列的项都满足
$|x_n| leq M$。
收敛数列具有保序性，即如果 $x_n leq y_n$，且$lim x_n = lim y_n$，则可以推出$x_n geq
y_n$。
收敛数列的应用
在数学分析中，收敛数列是研究函数极限、连续性、可微性等概念的基础。
04
CATALOGUE
数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限是数列的一种特性，表示 数列从某一项开始，无限接近 于一个常数。
极限的定义包括两种形式：数 列的极限和子数列的极限。
数列的极限定义是数学分析中 的基本概念之一，是研究数列 的单调性、有界性以及数列求 和等问题的关键。
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛数 列只能收敛到一个点，不会出现
数列与实际问题的综合应用
总结词
数列在解决实际问题中具有广泛的应用，如人口增长、 银行利率、股票价格等都可以用数列进行描述和预测。
详细描述
数列作为一种数学工具，在解决实际问题中具有广泛的 应用。例如，人口增长可以用等差数列或等比数列进行 描述和预测；银行利率和股票价格可以用等比数列进行 计算和分析。通过建立数学模型，可以将这些实际问题 转化为数列问题，从而为决策提供科学的依据。
中职数学数列复习课课件
洛必达法则
对于某些复杂的分式数列 ，可以通过求导的方式简 化计算过程，得到极限值 。
极限性质在数列中应用
有界性
存在某个正数M，使得数列的绝对值 始终小于等于M。
极限的四则运算法则
对于两个收敛的数列，它们的和、差 、积、商（分母不为0）的极限等于 各自极限的和、差、积、商。
保号性
若数列的极限大于0，则存在某一项 开始，数列的所有后续项都大于0； 反之亦然。
备考策略
在掌握基础知识的同时，加强数列与其他知识点的联系和综合运用能力。多做真题和模 拟题，提高解题速度和准确性。
针对不同层次学生个性化辅导建议
基础薄弱学生
重点复习数列的基本概念和性质 ，掌握等差、等比数列的通项公 式和求和公式。通过大量练习提
高熟练度。
中等水平学生
在巩固基础知识的同时，加强数 列在实际问题中的应用能力。尝 试解决一些综合性较强的题目， 提高分析问题和解决问题的能力
例题2
已知等比数列${ a_n }$中，$a_3=4$， $a_6=32$，求$a_9$。
解答
根据等差数列前$n$项和公式 $S_n=frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$，代入 $a_1=1$，$d=2$，$n=10$，得 $S_{10}=frac{10}{2}[2times1+(101)times2]=100$。
等差数列性质及应用举例
性质
等差数列具有许多重要的性质，如任 意两项的和等于首尾两项的和、任意 一项的值等于其前后两项的平均值等 。这些性质在解题过程中具有重要的 应用价值。
应用举例
等差数列在实际生活中有着广泛的应 用，如计算储蓄存款的利息、求解某 些物理问题等。通过具体的应用举例 ，可以帮助学生更好地理解和掌握等 差数列的知识。
《数列复习课中职》课件
02
等差数列知识点梳理
等差数列定义及通项公式
等差数列定义
一个数列，从第二项起，每一项与 它的前一项的差等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列。
等差数列通项公式
an=a1+(n-1)d，其中an为第n项， a1为首项，d为公差，n为项数。
等差中项与等差数列关系
等差中项定义
在三个数中，如果第一个数与第三个数的和等于第二个数的两倍，那么这三个数就 构成等差数列，其中第二个数叫做等差中项。
案例分析
举例说明分期付款问题的求解 过程，帮助学生理解并掌握解
题方法。
储蓄问题建模与求解
储蓄问题描述
阐述储蓄问题的基本概念，如本 金、利率、存款期限等。
数学模型建立
通过等比数列求和公式，建立储 蓄问题的数学模型。
求解方法与步骤
介绍如何利用数学模型求解储蓄 问题，包括计算到期本金与利息 总额、每期存入金额等。
等差中项与等差数列关系
如果三个数a、G、b依次组成等差数列，则G叫做的等差中项，且2G=a+b（等差中 项的二倍等于前项与后项之和）。
等差数列求Leabharlann 公式及应用等差数列求和公式
Sn=n/2*(a1+an)，其中Sn为前n项和，a1为首项，an为第n项，n为项数。
等差数列求和公式的应用
利用等差数列求和公式可以方便地求出等差数列的前n项和，进而解决一些实际问题，如计算存款利息、计算工 程总量等。
典型例题解析与思路拓展
典型例题解析
通过解析典型例题，帮助学生掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的应用。
思路拓展
在解析典型例题的基础上，引导学生拓展思路，探索更多的解题方法和技巧，提高学生的思维能力和创新 能力。例如，可以通过构造新数列、利用数学归纳法等方法来求解一些复杂的等差数列问题。
中职数学数列PPT课件
解答
根据等差数列的求和公式$S_n = na_1 + frac{n(n1)}{2}d$，代入$n = 10$，$a_1 = 1$，$d = 2$， 得到$S_{10} = 10 times 1 + frac{10 times 9}{2} times 2 = 100$。
解答
根据等差数列的性质一，有$a_3 + a_8 = a_1 + a_{10} = 2a_6$，代入已知条件$a_3 + a_8 = 10$， 得到$2a_6 = 10$，解得$a_6 = 5$。
3
等差数列与等比数列的通项公式 an=a1+(n-1)d（等差数列），an=a1*q^(n-1) （等比数列）。
其他类型数列简介
递推数列
由递推公式确定的数列，如斐波那契 数列。
复合数列
由两种或两种以上类型数列组合而成 的数列。
周期数列
具有周期性规律的数列，如三角函数 值数列。
数列在实际问题中应用
等差数列性质探讨
性质一
等差数列中任意两项之和等于它们前后两项之和，即$a_i + a_j = a_{i+1} + a_{ j-1}$（$i,j$为正整数，且$i neq j$）。
性质二
等差数列中任意一项的值都等于其前后两项值的平均数，即$a_i = frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{2}$（$i$为正整数，且$i neq 1, n$）。
查找等问题。
数列在生物学中的应用，如利 用数列的模型描述生物种群的
增长、衰减等问题。
THANKS
感谢观看
实际问题中的数列模型
01
将实际问题抽象为数列模型，如人口增长模型、贷款还款模型
中职数学数列的基本知识ppt课件
如果两个数列的极限存在 且相等，那么这两个数列 之间的任意数列的极限也 存在且等于这两个数列的 极限。
如果数列单调增加（或减 少）且有上（下）界，那 么该数列的极限存在。
利用无穷小与无穷大的性 质求解数列的极限，如无 穷小与有界函数的乘积仍 为无穷小等。
THANKS
感谢观看
递推数列周期性判断
周期性的定义
递推数列中，如果存在某个正整 数p，使得数列中任意一项与它 前面第p项相等，则称该数列具 有周期性，p为该数列的周期。
周期性判断方法
通过观察、分析数列中各项之间 的变化规律，找出可能存在的周 期p，再验证数列中任意一项是
否与它前面第p项相等。
周期性应用
利用数列的周期性，可以简化数 列的求解过程，如求数列中某项
数列表示方法
数列可以用通项公式或递推公式表示，其中通项公式表示数列中任意一项与项 数n的关系，而递推公式表示数列中相邻项之间的关系。
数列分类及特点
有穷数列和无穷数列
根据项数是否有限，数列可分为有穷 数列和无穷数列。有穷数列项数有限， 无穷数列项数无限。
单调数列和摆动数列
根据数列的增减性，数列可分为单调 数列和摆动数列。单调数列单调递增 或递减，摆动数列则不具备单调性。
性质
等比数列中，任意两项的比值相等，且等于公比；等比数列的 每一项都不为零；等比数列的公比可以是正数、负数或零（除 数列首项外）。
等比数列通项公式推导
公式形式
an=a1×qn-1，其中an表示第n项， a1表示首项，q表示公比，n表示 项数。
推导过程
根据等比数列的定义，可以得到 an/a(n-1)=q，通过递推关系，可 以得到an=a1×q×q×...×q（n-1个 q）=a1×qn-1。
数列的概念(中职数学)ppt课件
通过通项公式可以快速求出等差数列 中任意一项的值。
等差数列的求和公式
公式
Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]，其中Sn为前n项和，a1为首项，d为 公差，n为项数。
应用
通过求和公式可以快速求出等差数列前n项的和，解决与等差 数列和相关的问题。
03
等比数列
等比数列的定义与性质
定义
等比数列是指从第二项起，每一项与它 的前一项的比值等于同一个常数的一种 数列。
数列的极限与收敛性
数列极限的定义与性质
数列极限的定义
对于数列{an}，如果存在 常数A，对于任意给定的 正数ε（不论它多么小） ，总存在正整数N，使得 当n>N时，不等式|anA|<ε都成立，那么称常数 A是数列{an}的极限。
唯一性
如果数列{an}收敛，那么 它的极限唯一。
有界性
如果数列{an}收敛，那么 数列{an}一定有界。
等比数列的求和公式
求和公式
Sₙ=a₁(1-q^n)/(1-q)（q≠1），其中Sₙ是前n项和，a₁是首项，q是公比，n是项数。
推导过程
根据等比数列的通项公式，可以得到Sₙ=a₁+a₁×q+a₁×q²+...+a₁×q^(n-1)，通过错位相减法可以得到求和公式 。当q=1时，Sₙ=n×a₁。
04
极限的加法运算法则
lim(an+bn)=lim an+lim bn。
极限的减法运算法则
lim(an-bn)=lim an-lim bn。
极限的乘法运算法则
lim(an×bn)=lim an×lim bn。
极限的除法运算法则
lim(an/bn)=lim an/lim bn（ bn的极限不等于0）。
等差数列的求和公式
公式
Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]，其中Sn为前n项和，a1为首项，d为 公差，n为项数。
应用
通过求和公式可以快速求出等差数列前n项的和，解决与等差 数列和相关的问题。
03
等比数列
等比数列的定义与性质
定义
等比数列是指从第二项起，每一项与它 的前一项的比值等于同一个常数的一种 数列。
数列的极限与收敛性
数列极限的定义与性质
数列极限的定义
对于数列{an}，如果存在 常数A，对于任意给定的 正数ε（不论它多么小） ，总存在正整数N，使得 当n>N时，不等式|anA|<ε都成立，那么称常数 A是数列{an}的极限。
唯一性
如果数列{an}收敛，那么 它的极限唯一。
有界性
如果数列{an}收敛，那么 数列{an}一定有界。
等比数列的求和公式
求和公式
Sₙ=a₁(1-q^n)/(1-q)（q≠1），其中Sₙ是前n项和，a₁是首项，q是公比，n是项数。
推导过程
根据等比数列的通项公式，可以得到Sₙ=a₁+a₁×q+a₁×q²+...+a₁×q^(n-1)，通过错位相减法可以得到求和公式 。当q=1时，Sₙ=n×a₁。
04
极限的加法运算法则
lim(an+bn)=lim an+lim bn。
极限的减法运算法则
lim(an-bn)=lim an-lim bn。
极限的乘法运算法则
lim(an×bn)=lim an×lim bn。
极限的除法运算法则
lim(an/bn)=lim an/lim bn（ bn的极限不等于0）。
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S2008 a1a2a3a2008 (a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6) (a1999a2000a2004)a2005a2006a2007a2008 a2005a2006a2007a2008 a6k1a6k2a6k3a6k4=5
.
二、【题型剖析】
【题型3】求等差（比）数列的通项公式
( 3 ) a n l o g 2 b n 2 4 2 n ， b n 2 2 4 2 n ，
2 4 2(n 1)
b b n n 12 22 4 2n1 4, 数 . 列 b n是 等 比 数 列
【题型1】等差（比）数列的基本运算
练习：等差数列{an}中，已知a 1=
1 3
例 3 . 在 数 列 a n 中 , a 1 1 , a 2 3 , a 3 2 , a n 2 a n 1 a n 求 S 2 0 0 8
a 6 k 1 1 , a 6 k 2 3 , a 6 k 3 2 , a 6 k 4 1 , a 6 k 5 3 , a 6 k 6 2
，a 2 + a 5 =4
a n = 33，则n是（ C ）
A.48
B.49
C.50 D.51
a a a 练习：等比数列{an}中，若 2 = 2， 6 = 32， 求 14
.
【题型2】等差数列的前n项和
例题：在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？ 求它们的和。 解：在三位正整数的集合里，5的倍数中最小是100，然 后是105、110、115…即它们组成一个以100为首项，5为 公差的等差数列，最大的是995
但常数列不一定是等比数列， 只有非零的常数列才是等比数列
.
正确理解等比数列的定义需掌握 以下几点：
1.等比数列的项an、公比q均不能为0
2.q>0时，数列的各项与首项同号 3.q<0时，数列的各项符号正负相间 4.q=1时，数列是常数列：a，a，a，
a，…（a≠0）但常数列不一定是等比 数列，只有非零的常数列才是等比数 列
a a 设共有n项，即， 1 =100 ，d = 5 ， n =995
由 ana1(n1)d 得 995 =100 + 5（n-1） 即 n =180
S18018(100 2099)598550
所以在三位正整数的集合中5的倍数有180个，它们的 和是98550
.
【题型2】等差（比）数列的前n项和
a 练习：等差数列{ n}中, a 1 a 2 a 3 2 4 ,a 1 8 a 1 9 a 2 0 7 8
an1an q
an a1qn1 an amqnm
G2 ab anamapaq an am ap2
求和 公式
an、Sn
关系式
Snn(a12 an)n1a n(n2 1 )d
Sn
a1(11qqn)
a1anq 1q
na1
an SSn1 Sn1
n2 .n1
适用所有数列
q1 q1
一.知识要点 1.等差数列 （１）d＞０，递增数列， （２）d＜０，递减数列 （３）d＝０，常数列 ２.等比数列 （1）等比数列的项an、公比q均不能为0 （2）q>0时，数列的各项与首项同号 （3）q<0时，数列的各项符号正负相间摆动数列 （4）q=1时，数列是常数列：a，a，a，a，…（a≠0）
.
二、【题型剖析】
【题型1】等差(比)数列的基本运算
已知数列 a n 是等差数列， a3 1 8 ， a7 1 0 。
（1）求数列的通项 a n （2）求a10 （2）an log2bn ，求证：数列 b n 是等比数列。
.(1)设 公 差 为 d,则 a a 3 7 a a 1 1 2 6 d d 1 1 8 0 得 a d 1 2 2 2 , a n 2 2 ( n 1 ) d 2 n 2 4
} 中，a1
n(n1)
23 2
2
，an1
3nan
，
.
二、【题型剖析】
【题型4】等差（比）数列性质的灵活应用
例题：已知等差数列{an} , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ，求a 1+ a 12 及S12
解：由等差数列性质易知：
a2 + a11 = a3 + a10 = a1+ a12 ∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2（a1+ a12）=36 a a ∴ 1+ 12 =18， S12=108
.
【题型4】等差（比）数列性质的灵活应用
练习： 在等比数列{an}中，且an＞0，
a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _6 . 2.在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则a5+a6=__4_80__
数列
按一定次序排列的一列数。
数列的分类：
1.按项数分 有穷数列 无穷数列 2.按项的大小分 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列
.
一、知识要点
等差数列
等比数列
定义 通项 通项推广 中项
性质
an1an d ana1(n1)d
anam(nm)d
A(ab)2
anamapaq anam2ap
求 an
【题型3】求等差（比）数列的通项公式
a 练习1：设等差数列{ n}的前n项和公式是Sn 5n2 3n
求它的通项公式__a_n__1__0n___2
a 练习2：设等差数列{ n}的前n项和公式是 Sn 5n 1
求它的通项公式__a_n___4__5_n_1
练 求习通3项：公已式知a数na列。n{a n
则此数列前20项的和等于（ B ）
A.160
B.180
C.200
D.220
解：a1a2a324① a18a19a2078 ②
① + ② 得：(a 1 a 2)0 (a 2 a 1)9 (a 3 a 1)8 5
a 1 a2 0a2 a 1 9a3 a 18 3(a1a20)54
(a1a20)18 s2 0 2. (0 a1 2 a2)022 * 018 18
a 例题：已知数列{an}的前n项和 snn23 求 n
解：当 n2 时
a n s n sn 1 ( n 2 3 ) ( n 1 )2 3 2 n 1
当 n 1 时 a1 1 而 s1 4
所以上面的通式不适合 n 1 时
所以：
4 (n1) an2n1 (n2)
a 练习：已知数列{ n}的前n项. 和 s n 3n 2
.
二、【题型剖析】
【题型3】求等差（比）数列的通项公式
( 3 ) a n l o g 2 b n 2 4 2 n ， b n 2 2 4 2 n ，
2 4 2(n 1)
b b n n 12 22 4 2n1 4, 数 . 列 b n是 等 比 数 列
【题型1】等差（比）数列的基本运算
练习：等差数列{an}中，已知a 1=
1 3
例 3 . 在 数 列 a n 中 , a 1 1 , a 2 3 , a 3 2 , a n 2 a n 1 a n 求 S 2 0 0 8
a 6 k 1 1 , a 6 k 2 3 , a 6 k 3 2 , a 6 k 4 1 , a 6 k 5 3 , a 6 k 6 2
，a 2 + a 5 =4
a n = 33，则n是（ C ）
A.48
B.49
C.50 D.51
a a a 练习：等比数列{an}中，若 2 = 2， 6 = 32， 求 14
.
【题型2】等差数列的前n项和
例题：在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？ 求它们的和。 解：在三位正整数的集合里，5的倍数中最小是100，然 后是105、110、115…即它们组成一个以100为首项，5为 公差的等差数列，最大的是995
但常数列不一定是等比数列， 只有非零的常数列才是等比数列
.
正确理解等比数列的定义需掌握 以下几点：
1.等比数列的项an、公比q均不能为0
2.q>0时，数列的各项与首项同号 3.q<0时，数列的各项符号正负相间 4.q=1时，数列是常数列：a，a，a，
a，…（a≠0）但常数列不一定是等比 数列，只有非零的常数列才是等比数 列
a a 设共有n项，即， 1 =100 ，d = 5 ， n =995
由 ana1(n1)d 得 995 =100 + 5（n-1） 即 n =180
S18018(100 2099)598550
所以在三位正整数的集合中5的倍数有180个，它们的 和是98550
.
【题型2】等差（比）数列的前n项和
a 练习：等差数列{ n}中, a 1 a 2 a 3 2 4 ,a 1 8 a 1 9 a 2 0 7 8
an1an q
an a1qn1 an amqnm
G2 ab anamapaq an am ap2
求和 公式
an、Sn
关系式
Snn(a12 an)n1a n(n2 1 )d
Sn
a1(11qqn)
a1anq 1q
na1
an SSn1 Sn1
n2 .n1
适用所有数列
q1 q1
一.知识要点 1.等差数列 （１）d＞０，递增数列， （２）d＜０，递减数列 （３）d＝０，常数列 ２.等比数列 （1）等比数列的项an、公比q均不能为0 （2）q>0时，数列的各项与首项同号 （3）q<0时，数列的各项符号正负相间摆动数列 （4）q=1时，数列是常数列：a，a，a，a，…（a≠0）
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二、【题型剖析】
【题型1】等差(比)数列的基本运算
已知数列 a n 是等差数列， a3 1 8 ， a7 1 0 。
（1）求数列的通项 a n （2）求a10 （2）an log2bn ，求证：数列 b n 是等比数列。
.(1)设 公 差 为 d,则 a a 3 7 a a 1 1 2 6 d d 1 1 8 0 得 a d 1 2 2 2 , a n 2 2 ( n 1 ) d 2 n 2 4
} 中，a1
n(n1)
23 2
2
，an1
3nan
，
.
二、【题型剖析】
【题型4】等差（比）数列性质的灵活应用
例题：已知等差数列{an} , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ，求a 1+ a 12 及S12
解：由等差数列性质易知：
a2 + a11 = a3 + a10 = a1+ a12 ∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2（a1+ a12）=36 a a ∴ 1+ 12 =18， S12=108
.
【题型4】等差（比）数列性质的灵活应用
练习： 在等比数列{an}中，且an＞0，
a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _6 . 2.在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则a5+a6=__4_80__
数列
按一定次序排列的一列数。
数列的分类：
1.按项数分 有穷数列 无穷数列 2.按项的大小分 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列
.
一、知识要点
等差数列
等比数列
定义 通项 通项推广 中项
性质
an1an d ana1(n1)d
anam(nm)d
A(ab)2
anamapaq anam2ap
求 an
【题型3】求等差（比）数列的通项公式
a 练习1：设等差数列{ n}的前n项和公式是Sn 5n2 3n
求它的通项公式__a_n__1__0n___2
a 练习2：设等差数列{ n}的前n项和公式是 Sn 5n 1
求它的通项公式__a_n___4__5_n_1
练 求习通3项：公已式知a数na列。n{a n
则此数列前20项的和等于（ B ）
A.160
B.180
C.200
D.220
解：a1a2a324① a18a19a2078 ②
① + ② 得：(a 1 a 2)0 (a 2 a 1)9 (a 3 a 1)8 5
a 1 a2 0a2 a 1 9a3 a 18 3(a1a20)54
(a1a20)18 s2 0 2. (0 a1 2 a2)022 * 018 18
a 例题：已知数列{an}的前n项和 snn23 求 n
解：当 n2 时
a n s n sn 1 ( n 2 3 ) ( n 1 )2 3 2 n 1
当 n 1 时 a1 1 而 s1 4
所以上面的通式不适合 n 1 时
所以：
4 (n1) an2n1 (n2)
a 练习：已知数列{ n}的前n项. 和 s n 3n 2