高考数学专题：独立事件及随机变量的概率分布

研题型 ·技法通关
课堂导学 目标 1 独立事件概率的计算 (2016· 苏州期末改编)一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后， 3 对该店铺中的 A，B，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买 A 种商品的概率为4， 2 1 购买 B 种商品的概率为3，购买 C 种商品的概率为2.假设该网民是否购买这三种商品 相互独立． (1) 求该网民至少购买 2 种商品的概率； (2) 用随机变量 η 表示该网民购买商品的种数，求 η＝1 的概率．
k n k (3) 二项分布 X～B(n，p)，记为 Ck p ＝B(k；n，p). n q
－
X
0
Baidu Nhomakorabea
1
…
k
…
n
1 1 n－1 k k n－k 0 n n 0 C p q … C … Cn p q P C0 n np q n np q
5. 求概率分布的步骤 (1) 明确随机变量 X 取哪些值； (2) 求 X 取每一个值的概率； (3) 列成表格.
3. 离散型随机变量的概率分布及其性质 (1) 一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
概率分布列 ，简称为 X 的__________ 概率分布 ，有时为了表 称为离散型随机变量 X 的_____________
1 5 1 2 1 【解析】P 2<X<2 ＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝15＋15＝5.
4. (选修 2－3P60 例 2 改编)如图所示的电路，有 a，b，c 三个开关，每个开关开 1 1 8 或关的概率都是2，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率是________ ．
【解析】设“a 闭合”为事件 A，“b 闭合”为事件 B， “c 闭合”为事件 C，则灯泡甲亮应为事件 AC B .由题设知 A， 1 C，B 之间彼此独立， 且 P(A)＝P( B )＝P(C)＝2， 所以 P(A B C) 1 ＝P(A)P( B )P(C)＝8.
2 3 1 4 0 C2 C C C C C 103 12 10 12 10 12 10 ＋ C4 ＋ C4 ＝133. 4 C22 22 22
知识梳理 1. 事件的相互独立性
P(A)P(B) (1) 定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝_____________ ，那么称事件 A 与
事件 B 相互独立． (2) 性质：
P(A)P(B) ①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(AB)＝_____________. ②如果事件 A 与 B 相互
独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也相互独立． (3) 独立重复试验：在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，在
( 第 4 题)
5. (选修 2－3P54 例 1 改编)某班级有男生 12 人、 女生 10 人， 现选举 4 名学生分 别担任班长、副班长、团支部书记和体育委员，则至少有 2 名男生当选的概率为 103 ________ 133 ．
【解析】把选出的 4 人中男生的人数记为 X，显然随机变量 X 满足超几何分布， 所求事件的概率可以表示为 P(X≥2)，则 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝
P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n 达简单，也用等式______________________________ 表示 X 的概率分布．
(2) 离散型随机变量概率分布的性质 pi≥0(i＝1,2，…，n) ①_______________________ ；
p1＋p2＋…＋pn＝1 ②______________________ .
X 1 2 3 4 1 1 1 P p 6 3 6
1 1 1 1 【解析】由6＋3＋6＋p＝1，得 p＝3.
k 3. ( 选修 2 － 3P55 习题 5 改编 ) 若随机变量 X 的分布列为 P(X ＝ k) ＝ 15 (k ＝ 1 1 5 5 1,2,3,4,5)，则 P2<X<2＝________.
n－r Cr C M N－M min{M，n} ， 发生的概率为 P(X＝r)＝ Cn ， r＝0,1,2， …， m， 其中 m＝___________ 且 n≤N， N
M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布. X 0 1 … m
n 1 n －1 n －m C0 Cm MCN－M CMCN－M MCN－M … P n n n CN CN CN
4. 常见离散型随机变量的概率分布 (1) 两点分布： 若随机变量 X 服从两点分布，即其概率分布为 1 p 1－p ____ P ______ X 0
P(X＝1) 称为成功概率． 其中 p＝_____________
(2) 超几何分布： 在含有 M 件次品的 N 件产品中， 任取 n 件， 其中恰有 X 件次品， 则事件“X＝r”
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第十三章
算法、统计与概率
独立事件及随机变量的概率分布
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激活思维 1. (选修 2－3P45 知识改编)一袋中装有 5 只完全相同的白球，编号为 1,2,3,4,5.
3,4,5 现从该袋内随机取出 3 只球，被取出的球的最大号码数的可能取值为____________ ． 1 3 2. (选修 2－3P48 练习 3 改编)若随机变量 X 的概率分布如下表， 则 p＝________.
k n －k n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Ck p (1 － p ) (k＝0， n
1,2，…，n)．
2. 离散型随机变量
随机变量 ，常用字母 X，Y，ξ，η，… 随着试验结果变化而变化的变量称为_____________ 离散型随机变量 表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为___________________.