17第二章--向量的加法

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《向量的加法》教案完美版

《向量的加法》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义：向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

1.2 向量的表示方法：在坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。

1.3 向量的模：向量的模是指向量的大小，可以用|v|表示，计算公式为|v| = √(x^2 + y^2)。

第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义：两个向量a和b的加法运算，记作a + b，结果是一个新的向量，其大小等于a和b大小的和，方向等于a和b方向的矢量和。

2.2 向量加法的表示方法：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的坐标分别相加得到结果向量的坐标。

2.3 向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

第三章：向量加法的几何解释3.1 向量加法的几何图形：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的箭头首尾相接，得到结果向量的箭头。

3.2 平行向量的加法：当两个向量平行时，它们的加法运算结果是它们的模的和（或差，取决于它们的方向是否相同）。

3.3 非平行向量的加法：当两个向量不平行时，它们的加法运算结果是一个新的向量，其大小和方向由平行四边形法则确定。

第四章：向量加法的应用4.1 力的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算两个力的合力，即力的合成。

4.2 位移的计算：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的位移，即起点到终点的位移向量。

4.3 速度和加速度的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的速度和加速度的合成。

第五章：向量加法的练习题第六章：向量加法在坐标系中的运算规则6.1 直角坐标系：在直角坐标系中，向量的加法可以通过对应坐标轴上的坐标值进行运算。

6.2 斜坐标系：在斜坐标系中，向量的加法需要考虑角度和半径的变化。

6.3 空间坐标系：在空间坐标系中，向量的加法涉及到三个坐标轴的运算规则。

第七章：向量加法在实际问题中的应用7.1 力学问题：在力学中，向量加法可以用来计算物体所受多力的合力。

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是从数学和物理学中引入的概念，具有大小和方向。

向量通常用字母表示，如\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 等，也可以用箭头表示。

1.2 向量的表示方法向量可以用坐标形式表示，如\(\vec{a} = (a_x, a_y)\)。

向量还可以用图形表示，在坐标系中表示向量的起点和终点。

第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义向量加法是将两个向量相加得到一个新的向量。

如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的和\(\vec{c}\) 可以表示为\(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\)。

2.2 向量加法的几何意义向量加法可以直观地理解为在坐标系中将两个向量的终点相连，得到一个新的向量。

几何上，向量加法表示的是两个向量的位移合成。

第三章：平行向量的加法3.1 平行向量的定义平行向量是指方向相同或相反的向量。

如果两个向量平行，它们的坐标成比例。

3.2 平行向量的加法规则平行向量相加时，可以直接将它们的大小相加，方向不变。

如果\(\vec{a}\) 和\(\vec{b}\) 是平行向量，\(\vec{a} + \vec{b} = (a + b, c)\)，其中\(a\) 和\(b\) 是向量的大小，\(c\) 是它们的方向。

第四章：向量的减法运算4.1 向量减法的定义向量减法是将一个向量从另一个向量中减去。

如果\(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和\(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，它们的差\(\vec{d}\) 可以表示为\(\vec{d} = \vec{a} \vec{b} = (a_x b_x, a_y b_y)\)。

4.2 向量减法的几何意义向量减法可以理解为从起点到终点的位移减去从起点到另一个终点的位移。

【课件】向量的加法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

E
C
B
c
b
D
a＋b
O
乙
法二：平行四边形法则
a
A
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
多维探究
变式1 在本例(1)条件下，求＋.
1 2 ＋2 3 ＋3 4 ＋…＋−1
= 1
[例1]
(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F
为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么
(在横线上只填一个向量)：

①＋＝________；
＋＝＋＝

②＋＝________；
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋＋等于(
A.
C)
B.
C.
D.
(1) ＋；
＋=
(2) ＋；
= = =
＋ =+ =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点
时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照
行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．

向量的加减公式

向量的加减公式向量的加减公式是向量运算中最基本的公式之一。

在向量的加减运算中，我们需要用到向量的加法和减法公式，这些公式可以帮助我们更好地理解向量的运算规律。

向量的加法公式：对于两个向量a和b，它们的加法公式为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)其中，a1、a2、a3分别表示向量a在x、y、z三个方向上的分量，b1、b2、b3分别表示向量b在x、y、z三个方向上的分量。

这个公式的意义是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

例如，如果有向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，那么它们的和为：a +b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)向量的减法公式：对于两个向量a和b，它们的减法公式为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)其中，a1、a2、a3分别表示向量a在x、y、z三个方向上的分量，b1、b2、b3分别表示向量b在x、y、z三个方向上的分量。

这个公式的意义是将两个向量的对应分量相减，得到一个新的向量。

例如，如果有向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，那么它们的差为： a - b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)通过向量的加减公式，我们可以更好地理解向量的运算规律。

在实际应用中，向量的加减运算常常用于计算物体的位移、速度、加速度等物理量。

例如，在机器人控制中，我们可以通过向量的加减运算来计算机器人的运动轨迹和速度，从而实现精确的控制。

向量的加减公式是向量运算中最基本的公式之一，它们可以帮助我们更好地理解向量的运算规律，也可以应用于各种实际问题中。

第二章向量加法运算精讲精练

4 某人在静水中游泳，速度为 4 3千米/时，他在水流速度为 4 千米/时的河中游泳．如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
解：如图所示，水流速度|v1|＝4 km/h，游泳速度|v2|＝4 3 4 3 km/h，设合速度 v 与 v1 所成角为 θ，∴tanθ＝＝ 3.∴θ 4 ＝60° ，|v|＝ |v1|2＋|v2|2＝ 42＋4 32＝8 (km/h)．所以如果他垂直游向对岸，那么他的实际方向是与水流方向成 60° 角，实际前进的速度为 8 km/h.
O 为正六边形 ABCDEF 的中心，作出下列向量： → → → → → → (1)OA＋OC；(2)BC＋FE；(3)OA＋FE. 1
解：(1)因四边形 OABC 是以 OA、OC 为邻边的平行四 → → → 边形，OB 为其对角线，故OA＋OC＝OB. → → → → → → (2)因BC＝FE，故BC＋FE与BC方向相同，长度为BC的 → → → 2 倍，故BC＋FE＝AD. → → → → → → (3)因OA＝EF，故OA＋FE＝EF＋FE＝0. 作图，如图所示．
→ → → 解：设AB表示水流的速度，表示船的航行速度，表 AD AC → 示船的实际航行速度，连接 BC，作 AD 綊 BC，则AD为所求 → → → 船的航速，且AD＋AB＝AC. 4 3 3 → → ∵|AB|＝4 3，|AC|＝12，tan∠ACB＝＝ . 12 3 → → ∴∠ACB＝30° ＝∠CAD，|AD|＝|BC|＝8 3，∠BAD＝ 120° . ∴船的航行速度的大小为 8 3 km/h，方向与水流方向成 120° 角．
2．向量求和的平行四边形法则 → → 已知两个不共线向量 a，b，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、 → → D 三点不共线，以AB，AD为邻边作平行四边形 ABCD，则对 → 角线上的向量AC＝a＋b，如图，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义1.2 向量的表示方法1.3 向量的长度和方向第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的几何意义2.3 向量加法的三角形法则2.4 向量加法的平行四边形法则第三章：向量加法的性质3.1 交换律3.2 结合律3.3 存在零向量3.4 存在相反向量第四章：向量的减法运算4.1 向量减法的定义4.2 向量减法的几何意义4.3 向量减法的三角形法则4.4 向量减法的平行四边形法则第五章：向量减法的性质5.1 减去一个向量等于加上它的相反向量5.2 减去两个向量等于减去它们的和5.3 减法运算与加法运算的关系第六章：向量的数乘运算6.1 向量的数乘定义6.2 向量的数乘几何意义6.3 向量的数乘与向量长度的关系6.4 向量的数乘与向量方向的关系第七章：向量的数乘运算性质7.1 数乘运算的分配律7.2 数乘运算的结合律7.3 数乘运算的单位元7.4 数乘运算的逆元第八章：向量的点积运算8.1 向量点积的定义8.2 向量点积的几何意义8.3 向量点积的计算公式8.4 向量点积的性质第九章：向量的叉积运算9.1 向量叉积的定义9.2 向量叉积的几何意义9.3 向量叉积的计算公式9.4 向量叉积的性质第十章：向量的应用10.1 向量在几何中的应用10.2 向量在物理中的应用10.3 向量在其他领域中的应用10.4 向量的进一步研究第六章：向量的线性组合与基底6.1 向量的线性组合定义6.2 向量的线性组合的几何意义6.3 基底的概念6.4 基底的选取方法第七章：向量空间与线性相关性7.1 向量空间的概念7.2 线性相关的定义7.3 线性无关的定义7.4 线性相关性与线性无关性的判断方法第八章：向量的坐标表示8.1 坐标系的概念8.2 向量的坐标表示方法8.3 坐标变换与向量的关系8.4 坐标表示在几何中的应用第九章：向量组的线性表示9.1 向量组的线性表示概念9.2 矩阵与向量组的关系9.3 矩阵的基本运算9.4 矩阵的逆与向量组的线性表示第十章：向量的进一步研究10.1 向量范数的概念10.2 向量范数的性质10.3 向量内积的概念10.4 向量内积的性质10.5 向量组的内积空间重点和难点解析一、向量的概念回顾：重点关注向量的定义、表示方法、长度和方向，为学生奠定扎实的向量基础。

向量的加法法则

向量的加法法则
向量的加法法则是指两个向量在空间中进行相加的规则。

例如，将两个相同方向的向量相加可以得到一个更长的向量，相反方向的向量相加则会得到一个更短的向量。

向量的加法有以下几种情况：
①平行向量的加法
如果两个向量方向相同，那它们就是平行向量，它们可以直接相加。

其结果等于两个向量相加的模长值的向量。

例如，向量a和向量b都指向右方（平行），向量a的模长为3，向量b的模长为4，那么它们的和向量c的模长为7，并指向右方。

②反平行向量的加法
如果两个向量方向相反，那它们就是反平行向量，它们在相加前需要先取反其一。

其结果等于两个向量模长的差值向量。

例如，向量a和向量b方向相反，向量a的模长为3，向量b的模长为4，那么反平行向量a+b的模长为1（|3-4|=1），并指向a的反方向。

③垂直向量的加法
如果两个向量互相垂直，那它们的和向量等于它们之间组成的直角三角形的斜边长。

可以用勾股定理求出。

即：向量c²=向量a²+向量b²。

例如，向量a垂直于向量b，且向量a的模长为3，向量b的模长为4，那么它们的和向量c的模长等于根号(3²+4²)=5，同时c的方向和第一象限的y轴正方向夹角45°。

总之，向量的加法法则虽然简单，但也需要在实际问题中加以注意，需要根据向量所处的情况而进行不同的运算处理，才能得到正确的结果。

向量的加法公式

向量的加法公式向量是数学中的一种重要抽象概念。

它是泛函数的一种抽象，它的概念包括向量空间、向量运算、向量函数等。

它不仅在几何中受到广泛应用，而且在微分学、计算机科学、物理学、工程分析等方面也有着广泛的应用。

向量的加法公式定义了两个n维向量的加法。

简单地说，两个向量的加法是将两个向量的每一个分量相加之和。

若a=(a1,a2,...,an)，b=(b1,b2,...bn)，它们的和被定义为：a+b=(a1+b1,a2+b2,...,an+bn)如果向量a和b都是n维向量，它们的加法满足结合律和交换律。

即，任意两个n维向量a和b，有a+(b+c) = (a+b)+c；a+(b+c) = b+(a+c)这说明向量的加法是一种可结合的运算，并且是具有交换性的。

另外，向量的加法还有绝对值的特性。

即，任意向量a，有a+(-a)=(0,0,...,0)。

可以用此表示一个向量的反向，及其反向的向量与本身的和为零向量。

向量的加法也可以推广到高维空间。

如果a，b，c三个向量都是m维向量，那么它们的和被定义为：a+b+c=(a1+b1+c1,a2+b2+c2,...,am+bm+cm)这种定义也满足结合律和交换律。

向量的加法也可以推广到更高的抽象概念，比如，定义几个m维的复数向量的和，可以定义a+b+c=(a1+b1+c1,a2+b2+c2,...,am+bm+cm)其中，a1，b1，c1分别为复数向量a，b，c的第一个分量的实部和虚部的和。

同样的，a2，b2，c2等也定义相同的意义。

以上就是向量的加法公式的定义。

通过上述定义，可以清楚地看到向量加法的性质，它可以满足结合律和交换律，具有绝对值的性质，并且可以推广到更高的抽象概念。

向量的加法是数学中常见的一种运算，它在很多数学问题中有重要的作用，对深入理解数学知识有很大的帮助。

数学-向量的加法运算

向量的加法运算高中数学　1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．导语　我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算．一、向量加法的三角形法则问题1　某质点从点A 经过点B 到点C ，这个质点的位移如何表示？提示　这个质点两次位移，的结果，与从点A 直接到点C 的位移的结果相同，因AB → BC → AC → 此位移可以看成是位移与合成的，即可以算作是与的和．AC → AB → BC → AC → AB → BC →知识梳理　已知非零向量a ，b ，在平面内取任意一点A ，作＝a ，＝b ，则向量叫做a 与b 的和，AB → BC → AC → 记作a ＋b ，即a ＋b ＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．AB → BC → AC →注意点：运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”．例1　如图所示，(1)a ＋b ＝________；(2)c ＋d ＝________；(3)a ＋b ＋d ＝________；(4)c ＋d ＋e ＝________.答案　(1)c (2)f (3)f (4)g反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即＋＋……＋＝.AA 1→ A 1A 2——→ An －1An ——→ AAn → 二、向量加法的平行四边形法则问题2　图(1)表示橡皮条ME 在两个力F 1和F 2的作用下，沿MC 方向伸长了EO ；图(2)表示橡皮条ME 在一个力F 的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO .从力学的观点分析，力F 与F 1，F 2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？提示　F ＝F 1＋F 2　平行四边形法则知识梳理　1.以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b ，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的向量(OC 是▱OACB 的对角线)就是向量a 与b 的和．把这种作两个向量和的方法叫做向OC → 量加法的平行四边形法则．2．从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的．3．对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a .注意点：运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同．例2　(1)如图①所示，求作向量a ＋b ；(2)如图②所示，求作向量a ＋b ＋c.解　(1)首先作向量＝a ，然后作向量＝b ，则向量＝a ＋b .如图③所示．OA → AB → OB →(2)方法一　(三角形法则)如图④所示，首先在平面内任取一点O ，作向量＝a ，再作向量＝b ，则得向量＝a ＋b ，然后作向OA → AB → OB → 量＝c ，则向量＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．BC → OC → 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示，首先在平面内任取一点O ，作向量＝a ，＝b ，＝c ，OA → OB → OC → 以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则＝＋＝a ＋b .OD → OA → OB → 再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则＝＋＝a ＋b ＋c 即为所求．OE → OD → OC → 反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何两个非零向量求和平行四边形法则(1)共起点(2)仅适用于不共线的两个向量求和当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半跟踪训练1　如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量．(1)＋＝____________；OA → OC → (2)＋＝____________；BC → FE → (3)＋＝____________.OA → FE → 答案　(1)　(2)　(3)0OB → AD → 解析　(1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 是其对角线，故＋＝.OA → OC → OB → (2)因为＝，故＋与方向相同，BC → FE → BC → FE → BC → 长度为的长度的2倍，BC → 故＋＝.BC → FE → AD → (3)因为＝，故＋＝＋＝0．OD → FE → OA → FE → OA → OD → 三、共线向量的加法与向量加法的运算律问题3　请结合例1，探索一下|a ＋b |与|a |，|b |之间的关系？提示　(1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 方向不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.问题4　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？提示　作＝a ，＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，容易发现＝b ，＝a ，故＝AB → AD → BC → DC → AC → ＋＝a ＋b .又＝＋＝b ＋a ，所以a ＋b ＝b ＋a .AB → BC → AC → AD → DC →借助下图，不难证明满足结合律．知识梳理　1．一般地，我们有|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立．2．(加法交换律)a ＋b ＝b ＋a ；(加法结合律)a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c .例3　化简：(1)＋；BC → AB → (2)＋＋；DB → CD → BC → (3)＋＋＋＋.AB → DF → CD → BC → FA → 解　(1)＋＝＋＝.BC → AB → AB → BC → AC → (2)＋＋＝＋＋DB → CD → BC → BC → CD → DB →＝(＋)＋＝＋＝0．BC → CD → DB → BD → DB → (3)＋＋＋＋AB → DF → CD → BC → FA →＝＋＋＋＋AB → BC → CD → DF → FA →＝＋＋＋AC → CD → DF → FA →＝＋＋AD → DF → FA →＝＋＝0．AF → FA → 反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．跟踪训练2　已知正方形ABCD 的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.AB → AD → BC → DC → 答案　22解析　|＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.AB → AD → BC → DC → AB → BC → AD → DC → AC → AC → AC → 2四、向量加法的实际应用例4　(教材P9例2改编)河水自西向东流动的速度为10 km/h ，小船在静水中的速度为10 3km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度．解　设a ，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O 作＝a ，OA → ＝b ，以OA ，OB 为邻边作矩形OACB ，连接OC ，如图，则＝a ＋b ，并且即为小OB → OC → OC → 船的实际航行速度．∴||＝OC → |a ＋b |2＝＝20(km/h)，|a |2＋|b |2∵tan ∠AOC ＝＝，103103∴∠AOC ＝60°，∴小船的实际航行速度为20 km/h ，沿北偏东30°的方向航行．反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．跟踪训练3　如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)解　如图所示，设，分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用表示，则＋＝CE → CF → CG → CE → CF → .CG →由题意可得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴||＝||cos 30°CE → CG → ＝10×＝5(N)，323||＝||cos 60°CF → CG → ＝10×＝5(N)．12∴A 处所受的力为5 N ，B 处所受的力为5 N.31．知识清单：(1)向量加法的三角形法则．(2)向量加法的平行四边形法则．(3)向量三角不等式．(4)向量加法的运算律．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点．1．化简＋＋等于( )CB → AD → BA → A. B. C. D.DB → CA → CD → DC →答案　C解析　根据平面向量的加法运算，得＋＋＝(＋)＋＝＋＝.CB → AD → BA → CB → BA → AD → CA → AD → CD → 2．正方形ABCD 的边长为1，则|＋|为( )AB → AD → A ．1 B. C ．3 D ．222答案　B解析　在正方形ABCD 中，AB ＝1，易知AC ＝，所以|＋|＝||＝AC ＝.2AB → AD → AC → 23．(多选)下列等式不正确的是( )A ．a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋bB.＋＝0AB → BA → C.＝＋＋AC → DC → AB → BD →D ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案　BD解析　B 错误，＋＝0；D 错误，当a ，b 方向相同时成立，故选B ，D.AB → BA → 4．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则＋＋＋等于( )OA → BC → AB → DO →A. B. C. D.CD → DC → DA → DO →答案　B解析　＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.OA → BC → AB → DO → DO → OA → AB → BC → DA → AB → BC → DB → BC → DC → 课时对点练1.＋＋＋＋等于( )AB → MB → BO → BC → OM → A. B. C. D.BC → AB → AC → AM →答案　C解析　＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝(＋)AB → MB → BO → BC → OM → AB → BO → MB → BC → OM → AO → MC → OM → AO → OM → ＋＝＋＝.故选C.MC → AM → MC → AC → 2．若向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向北航行 km ”，则向量a ＋b 表示( )3A ．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋) km3答案　B解析　如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a ＋b 的方向是北偏东30°.13又|a ＋b |＝2 km ，故选B.3．如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于( )BA →CD →EF →A ．0 B. C. D.BE → AD → CF →答案　D解析　＋＋＝＋＋＝＋＝.BA → CD → EF → DE → CD →EF →CE →EF →CF →4．如图所示，在▱ABCD 中，＋＋等于( )BC →DC →BA →A. B. C. D.BD →DB →BC →CB →答案　C解析　＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.BC → DC → BA →BC →DC →BA →BC →BC →5．若在△ABC 中，＝a ，＝b ，且|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝，则△ABC 的形状是( )AB → BC →2A ．正三角形 B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形答案　D解析　由于||＝|a |＝1，||＝|b |＝1，||＝|a ＋b |＝，所以△ABC 为等腰直角三角AB → BC → AC →2形．故选D.6．(多选)在▱ABCD 中，设＝a ，＝b ，＝c ，＝d ，则下列等式中成立的是( )AB → AD → AC → BD → A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |答案　ABD解析　由向量加法的平行四边形法则，知a ＋b ＝c 成立，故|a ＋b |＝|c |也成立；由向量加法的三角形法则，知a ＋d ＝b 成立，b ＋d ＝a 不成立．7．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．则(1)＋＋＝________；AB → AD → CD → (2)＋＋＝________.AC → BA → DA → 答案　(1)　(2)0AD → 8．在边长为1的等边三角形ABC 中，|＋|＝____，|＋|＝________.AB → BC → AB → AC → 答案　1　3解析　易知|＋|＝||＝1，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，则AB → BC → AC → |＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝.AB → AC → AD → AB → 3239.如图所示，在△ABC 中，O 为重心，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，化简下列各式：(1)＋＋；BC → CE → EA → (2)＋＋；OE → AB → EA → (3)＋＋.AB → FE → DC → 解　(1)＋＋＝＋＝.BC → CE → EA → BE → EA → BA → (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.OE → AB → EA → OE → EA → AB → OA → AB → OB →(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.AB → FE → DC → AB → BD → DC → AD → DC → AC → 10．在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解　作出图形，如图所示．设船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，得四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中，||＝||＝|v 水|＝10 m/min ，CD → AB → ||＝|v 船|＝20 m/min ，AD → ∴cos α＝＝＝，|CD → ||AD → |102012∴α＝60°，从而船行进的方向与水流方向成120°角．∴船沿与水流方向成120°角的方向行进．11．(多选)下列说法错误的有( )A ．如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 或b 的方向相同B ．若向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向与向量a 的方向相同C ．若＋＋＝0，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点AB → BC → CA → D ．若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a |－|b |答案　ACD解析　A 错，若a ＋b ＝0，则a ＋b 的方向是任意的；B 正确，若a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同，若它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同；C 错，当A ，B ，C 三点共线时，也满足＋＋＝0；DAB → BC → CA → 错，|a ＋b |≤|a |＋|b |.12．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足＋＝，则下列结论中正PA → PB → PC → 确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P 在△ABC 的外部答案　D解析　＋＝，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P 在△ABC 外．故选D.PA → PB → PC →13．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )A.＋＝B.＋＋＝0FD → DA →FA →FD →DE →EF →C.＋＝D.＋＝DE → DA → EC → DA →DE →FD →答案　D解析　由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠.DA →DE →DF →FD →14．已知点G 是△ABC 的重心，则＋＋＝______.GA →GB →GC →答案　0解析　如图所示，连接AG 并延长交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，延长AE 到点D ，使GE ＝ED ，则＋＝，＋＝0，GB → GC → GD → GD → GA →∴＋＋＝0．GA →GB →GC →15．设|a |＝2，e 为单位向量，则|a ＋e |的最大值为______．答案　3解析　在平面内任取一点O ，作＝a ，＝e ，则a ＋e ＝＋＝，OA → AB → OA → AB → OB → 因为e 为单位向量，所以点B 在以点A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线，||即|a ＋e |最大，最大值是3.OB → 16.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：＋＋＝0．AD → BE → CF →证明　由题意知，＝＋，AD → AC → CD → ＝＋，＝＋.BE → BC → CE → CF → CB → BF → 由平面几何知识可知，＝，＝，EF → CD → BF → FA → 所以＋＋AD → BE → CF →＝(＋)＋(＋)＋(＋)AC → CD → BC → CE → CB → BF → ＝(＋＋＋)＋(＋)＝(＋＋＋)＋0AC → CD → CE → BF → BC → CB → AC → CE → CD → BF → ＝＋＋＝＋＋＝0．AE → CD → BF → AE → EF → FA →。

《向量的加法》教案完美版

《向量的加法》教案完美版一、教学目标：1. 让学生理解向量的加法概念，掌握向量加法的运算规则。

2. 培养学生利用向量加法解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的运用和逻辑思维能力。

二、教学内容：1. 向量的加法定义：两个向量相加，即求它们的和向量。

2. 向量加法的运算规则：三角形法则和平行四边形法则。

3. 向量加法在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 向量加法的运算规则及运用。

2. 利用向量加法解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的加法概念和运算规则。

2. 利用多媒体演示向量加法的运算过程。

3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量加法在实际问题中的应用。

4. 运用案例分析法，分析向量加法在实际问题中的具体运用。

五、教学过程：1. 导入新课：通过展示实际问题，引导学生思考向量加法的意义。

2. 讲解向量的加法概念，阐述向量加法的运算规则。

3. 演示向量加法的运算过程，让学生直观地感受向量加法。

4. 练习向量加法的运算，巩固所学知识。

5. 引导学生运用向量加法解决实际问题，提高学生的应用能力。

6. 课堂小结，梳理本节课所学内容。

7. 布置课后作业，巩固所学知识。

8. 课后反思：总结课堂教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

六、教学策略1. 案例导入：通过简单的实际问题，如物体运动中的速度合成，引导学生理解向量加法的实际意义。

2. 互动教学：在讲解向量加法规则时，鼓励学生参与，例如通过学生在黑板上画图演示向量加法。

3. 分组讨论：让学生以小组为单位，探讨向量加法在不同情境下的应用，如力学中的力的合成。

4. 问题解决：设计一些富有挑战性的问题，让学生运用向量加法解决，提高学生的解决问题的能力。

5. 技术辅助：利用计算机软件或教具，如GeoGebra，直观展示向量加法的动态过程。

七、教学评估1. 课堂问答：通过提问，检查学生对向量加法概念和运算规则的理解。

2. 练习题：设计不同难度的练习题，让学生在课后巩固知识。

向量的加法运算课件-高一下学期数学人教A版2

(2)D→B＋A→C＋B→D＋C→A；解 D→B＋A→C＋B→D＋C→A＝(D→B＋B→D)＋(A→C＋C→A)＝0＋0＝0.
(3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A. 解 A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A＝A→C ＋C→D＋D→F＋F→A＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
反思感悟
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
表示
用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
运算
应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题.
还原
根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
跟踪训练3 如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
解 (1)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(1). (2)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(2). (3)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(3).
3
共线向量的加法与向量加法的运算律
问题二
如果向量a，b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能做出向量a＋b吗？
解方法一可先作a＋c，再作(a＋c) ＋b，即a＋b＋c.如图：
C
O
B
A
例2 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
解方法二三个向量不共线，用平行四边形法则来作Biblioteka 如图：DEB
O
C
A
反思感悟

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量概念的复习1.1 向量的定义1.2 向量的基本性质1.3 向量的表示方法1.4 向量的模长与方向第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的基本性质2.3 向量加法的几何意义2.4 向量加法的运算规则第三章：向量的减法运算3.1 向量减法的定义3.2 向量减法与向量加法的关系3.3 向量减法的几何意义3.4 向量减法的运算规则第四章：向量的数乘运算4.1 向量数乘的定义4.2 向量数乘的基本性质4.3 向量数乘的几何意义4.4 向量数乘的运算规则第五章：向量加法运算的坐标表示5.1 坐标系的建立5.2 向量坐标的定义5.3 向量加法运算的坐标表示方法5.4 向量加法运算的坐标运算规则第六章：向量加法运算的图形验证6.1 向量加法图形的表示方法6.2 向量加法的平行四边形法则6.3 向量加法的三角形法则6.4 向量加法的图形验证练习第七章：向量的减法与数乘的图形意义7.1 向量减法的图形意义7.2 向量减法的三角形法则7.3 向量数乘的图形意义7.4 向量数乘的三角形法则第八章：向量加减法的综合应用8.1 向量加减法的混合运算8.2 向量加减法的坐标应用8.3 向量加减法的几何解释8.4 向量加减法的综合练习第九章：向量数乘的应用9.1 向量数乘与向量长度的关系9.2 向量数乘与向量方向的关系9.3 向量数乘的几何应用9.4 向量数乘的实际问题应用第十章：总结与提高10.1 向量加法、减法、数乘的总结10.2 向量运算在几何中的应用10.3 向量运算在坐标系中的应用10.4 向量运算的综合练习与提高重点和难点解析一、向量概念的复习补充说明：向量是具有大小和方向的量，可用箭头表示。

向量具有平行四边形法则、三角形法则等基本性质。

向量可用字母和箭头表示，例如→a、→b。

向量的模长表示向量的大小，方向表示向量的指向。

二、向量的加法运算补充说明：向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。

《向量的加法》说课稿范文

《向量的加法》说课稿范文一、说教材1、《向量的加法》是人教版高中数学必修一第二章第一节的内容。

它是在学生已经学习了向量的定义、坐标表示和数量关系的基础上进行教学的，是高中数学中的重要知识点，而向量的加法在物理、几何和计算机图形等领域有着广泛的应用。

2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的数学基础，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解向量的加法的概念和性质，掌握向量的加法的运算法则和坐标表示法。

②能力目标：在解决实际问题中运用向量的加法解决几何和物理问题。

③情感目标：通过向量的加法的学习，培养学生对数学的兴趣和对数学在实际问题中的应用能力。

3、教学重难点在深入研究教材的基础上，我确定了本节课的重点是：理解向量的加法的概念和性质，能够运用向量的加法解决几何和物理问题。

难点是：掌握向量的坐标表示法和运用向量的加法解决实际问题。

二、说教法学法在教学过程中，我将采用启发式教学法，通过设计问题和情境，引导学生主动探索、发现和构建数学概念和规律；学法是：合作学习法，通过学生之间的互动和合作，促进他们的思维交流和讨论，共同解决问题。

三、说教学准备在教学过程中，我将使用黑板和投影仪等多媒体工具辅助教学，从而更好地呈现教学素材，提高学生的学习效果。

四、说教学过程新课标指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程”，本着这个教学理念，我设计了如下教学环节。

环节一、引入新知我将通过提问的方式引导学生回忆并思考向量的定义和性质，进而引出向量的加法问题。

我会适时出示几个有关向量的实际应用问题，让学生体验到向量的加法在解决实际问题中的重要性，并激发他们对本节课内容的兴趣。

环节二、探究新知1、向量的定义和性质我会以图形和实例让学生观察和比较，引导学生发现向量的加法满足交换律和结合律的性质，并通过问题引导学生总结向量的加法的运算法则。

2、向量的坐标表示我会以具体的图形和实例，让学生观察向量的坐标表示规律，通过实际操作和计算，引导学生掌握向量的坐标表示法。

向量的加法——精选推荐

作用在同一物体上的不共线的两个力和，它们是怎样合成的？以、为邻边作□OACB，则与、与的= + 即它们是按平行四边形法则合成的。

即它们是按平行四边形法则合成的。

力的合成就是向量的加法。

说明向量的加法可以按照平行四边形法则来进行。

平行四边形法则如图，以同一点O 为起点的两个已知向量、为邻边作□OACB，则以O 为起点的对角线就是与的和，这种作两个向量的和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，即：= + 。

法则特点：两个已知向量的起点相同。

例1：如图已知向量、，求作向量+ 。

作法：在平面内任取点O，作= ，OB = ，以OA、C C F B C A O + C + O A B A B O 向量的加法教学目标：教学目标：1.1.了解平面向量的加法运了解平面向量的加法运了解平面向量的加法运算法算法则在现实生活中的作用，识记向量的加法法则；2.2.掌握向量加法的三角形法则和掌握向量加法的三角形法则和掌握向量加法的三角形法则和平行四边形平行四边形法则作两个向量的和向量，通过三角形法则和平行四边形法则类比体验数形结合的思想方法；3.3.掌握向量加法的掌握向量加法的掌握向量加法的交换交换律和结合律，会利用几何知识计算和向量的模。

重点：向量加法的定义，理解其几何意义。

难点：难点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。

教学过程教学过程复习：复习：1、什么叫向量？、什么叫向量？既有大小，又有方向的量叫做向量。

既有大小，又有方向的量叫做向量。

2、什么叫相等向量？、什么叫相等向量？方向相同，长度相等的两个向量叫做相等向量。

3、什么叫、什么叫平行向量平行向量？方向相同或相反的两个非零向量，叫做平行向量，平行向量也叫共线向量引入新课：引入新课：在数的运算中，加法运算是最基本的运算，类似地在向量的运算中，我们也从加法开始进行探索课题：向量的加法。

始进行探索课题：向量的加法。

定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

17第二章--向量的加法

17第二章--向量的加法教学课题：向量的加法三维目标：1．知识与技能：⑴掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量；⑵能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算.2．过程与方法：熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量.3．情感、态度与价值观：让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发展”过程，获得“发现”的经验，培养合情猜测能力.教学重点：向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则）.教学难点：对向量加法法则定义的理解.教学课时：1课时教学过程：一．引入提出问题：数因为有了运算而使数的威力无穷，与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？情景1：如图1，飞机由广州飞往上海，再从上海飞往北京，这两次位移的结果与飞机直接飞往北京的位移是相同的. 这时，我们就把后面这样一次位移叫作前面两次位移的合位移.情景2：如图2，在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处. 它的实际位移AB，可以看作水平运动的分位移AC与竖直运动的分位移AD按平行四边形的法则合成的合位移.引入：根据上面物理中两个位移的合成法则，我们可以类似地给出向量的加法定义. （板书课题）二．新知㈠向量的加法1．向量加法的定义已知向量a、b，如图，在平面内任取一点A，作aBC=，再作向AB=，b量AC，则向量AC叫作向量a与b的和，记作ba+.说明：⑴两个向量的和仍然是一个向量；⑵=+.2．求两个向量和的作图方法师投影上面的图形，利用向量加法的三角形法则给出证明：交换律的证明：因为+=+=，+=+=，所以+=+. 结合律的证明：由于()()++=++=+= 又()()c b a CD BC AB CD AC AD ++=++=+= 所以()()c b a c b a ++=++三．应用举例例（教材例1）轮船从A 港沿东偏北 30方向行驶了40n mile （海里）到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40n mile 到达C 处. 求此时轮船与A 港的相对位置.例（教材例2）两个力1F 和2F 同时作用在一个物体上，其中1F 的大小为40N ，方向向东，2F 的大小为30N ，方向向北，求它们的合力.例（教材例3）在小船过河时，小船沿垂直河岸方向行驶的速度46.31=v h km /，河水流动的速度0.22=v h km /，试求小船过河实际航行速度的大小和方向.四．巩固练习：教材78页练习.五．小结向量加法的定义、法则及其满足的运算律.六．作业习题A 22-组第2题.七．备用习题1．如下图所示，已知在矩形ABCD 中，34=AD ，设a AB =，b BC =，c BD =，试求c b a ++的大小.2．已知=，=，3||||==， 60=∠AOB b a +.3．在长江某渡口处，江水以5.12h km /的速度向东流，渡船的速度为25h km /，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？。

17第二章--向量的加法

《向量的加法》教案完美版

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版

【课件】向量的加法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

向量的加减公式

第二章 向量加法运算精讲精练

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版

向量的加法法则

向量的加法公式

数学-向量的加法运算

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第二章向量加法运算精讲精练