流体力学第二章 流体运动学基础
流体力学第2章流体运动学基本概念
10
→
→
→
→
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t 其加速度可表示为：
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的， 往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物
理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下
使用，在本书中主要使用欧拉法。
13
2.2.2 欧拉法（也叫场法）
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k
15
2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达 式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a, b, c, t ) t t
如速度的质点导数（即加速度）为：
v ( a , b, c , t ) a ( a , b, c , t ) t
v v v vy vz 又由矢量运算公式：v v vx x y z
其中矢量算子 i j k 叫哈密顿算子 x y z
18
于是质点的速度增量可以表示为：
v v ( v v )t t
流体运动学和动力学基础(温习 习题)[指南
流体§微2.团2.4绕自旋身度轴和的位旋函转数角速度的三个分量为ωx
，ωy，ωx，合角速度可用矢量表示为
xi
y
j
z k
1 2
rotV
1 2
V
这个值在向量分析里记为（1/2）rotV，称为V的旋
度2。
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第5页 共
流线: 流场中的瞬时光滑曲线，在曲线上流体质点的
速度方向与各该点的切线方向重合。
迹线： s 流体质点在一定时间内所经过的所有空间点的
集v 合。
流量是单位时间内穿过场指定、截面定的常流体与量非（体定积常、质量或重量），例如穿过上述
流管中任Q意截(面V A的n)d体流A积管流量、m Q流 、面(V质 、量n流)流d量A 量m ：G和重量流g(量V
x
1 2
w y
v z
,y
1 2
u z
w x
,
z
1 2
v x
u y
5/19/2019 沈阳航空工业学院飞行器 第8页 共
§ 2.2.2 流体微团速度分解定理
按速度泰勒级数展开有
u(x x, y y, z z,t) u(x, y, z,t) u x u y u z x y z
§2.1 描述流体运动的方法
§2.1.1 拉格朗日 方法与欧拉方法
1、Lagrange方法 （拉格朗日方法， 质点法）
着眼于流场
流体运动学(课件)
由于流线不会相交，根据流管的定 义可以知道，在各个时刻，流体质点不 可能通过流管壁流出或流入，只能在流 管内部或沿流管表面流动。
因此，流管仿佛就是一条实际的管 道，其周界可以视为像固壁一样，日常 生活中的自来水管的内表面就是流管的 实例之一。
图3-13 流管
3.2流体运动的若干基本概念
2. 流束
流管内所有流体质点所形成的流动称为流束，如图3-14所示。流 束可大可小，根据流管的性质，流束中任何流体质点均不能离开流束。 恒定流中流束的形状和位置均不随时间而发生变化。
3.2流体运动的若干基本概念
3.2. 6.2非均匀流
流场中，在给定的某一时刻，各点流速都随位置而变化的流动称 为非均匀流，如图3-21所示。 非均匀流具有以下性质：
1）流线弯曲或者不平行。 2）各点都有位变加速度，位变加速度不为零。 3）过流断面不是一平面，其大小和形状沿流程改变。 4）各过流断面上点速度分布情况不完全相同，断面平均流速沿程 变化。
3.2流体运动的若干基本概念
控制体是指相对于某个坐标系来说，有流体流过的固定不变的空 间区域。
换句话说，控制体是流场中划定的空间，其形状、位置固定不变， 流体可不受影响地通过。
站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗 日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量 的变化是欧拉方法的特征。
图3-1 拉格朗日法
3.1流体运动的描述方法
同理，流体质点的其他物理量如密度ρ、压强p等也可以用拉格朗p=p(a,b,c,t)。
从上面的分析可以看到：拉格朗日法实质上是应用理论力学中的 质点运动学方法来研究流体的运动。
它的优点是：物理概念清晰，直观性强，理论上可以求出每个流 体质点的运动轨迹及其运动参数在运动过程中的变化。
流体力学第二章 流体运动学基础
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2.1.1拉格朗日方法
流体力学第二章
✓ 拉格朗日方法是着眼于流体质点来描述流体的运动状态. 如何区别流体的质点呢?
➢ 质点标识----通常是用某时刻各质点的空间坐标（a,b,c） 来表征它们。
➢ 某时刻一般取运动刚开始的时间.以初始时刻流体质点 的坐标作为区分不同流体质点的标志.
拉格朗日方法的一般表达:
流体力学第二章
第二章
流体运动学基础
2021/6/29
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第二章 流体运动学基础
流体力学第二章
✓ 流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动，通常不 考虑力和质量等因素的影响。
✓ 流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动规律，是 流体力学的一个组成部分。
✓ 本章的学习目标：
➢ 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉法）， 结合迹线，流线，流管，流体线等显示流动特性的曲 线研究流动特性。
Vr
Vr r
V r
Vr
Vz
Vr z
V
2
r
ddVt
V t
Vr
V r
V r
V
Vz
V z
VrV r
dVz
dt
Vz t
Vr
Vz r
V r
Vz
Vz
Vz z
可得平面极坐标中加速度的表达式
Vz 0
ddVtr
Vr t
Vr
Vr r
V r
Vr
V
2
r
dV dt
V t
Vr
V r
V r
V
VrV r
2021/6/29
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流体力学第二章
工程流体力学基础知识
工程流体力学复习题第一章流体的力学性质1、连续介质（概念)、假设(质量分布、运动、内应力连续））2、流体的主要物理性质（a）分类（固、液、气各自特点）（b）流动性（c)可压缩性和膨胀性（d)粘性(牛顿内摩擦定律、液体和气体（温度、压力）)（e)表面张力（润湿和不润湿)3、牛顿流体和非牛顿流体第二章流体运动学基本概念1、流动分类（流体性质、流动状态、流动空间的坐标数目)2、描述流体运动的两种方法（a)拉格朗日法和欧拉法基本思路（b）质点导数（c）迹线和流线的意义及其求解（，)3、有旋流动和无旋流动(概念及其基本性质)涡量的连续性方程、速度场有势的充要条件是流动无旋等第三章流体静力学1、作用在流体上的力（质量力和表面力）2、流体静止时质量力必须满足的条件3、有势质量力场中静止流体的分界面上，既是等压面也是等势面。
4、静止的正压流场，其质量力必然有势；反之，质量力有势，非正压流场不可能处于静止状态，处于静止状态的必然是正压流场。
5、重力场静止液体的压力分布和物体受力（、）第四章流体流动基本原理1、系统和控制体的定义和区别2、输运公式定义及其表达式（系统质量、动量、能量变化率）3、质量守恒方程（a)定义（，质量流量、质量通量）（b）特殊形式的应用(，稳态、不可压缩）4、动量守恒方程（a）定义(，动量流量）(b）应用5、能量守恒方程（a）定义（b）伯努利方程（简化条件、公式（理想不可压缩流体稳态流动）第五章不可压缩流体的一维层流流动1、常见边界条件（固壁—流体、液体—气体、液体—液体）2、流动条件说明（稳态、不可压缩、一维、层流、充分发展流动）3、狭缝流动（概念、产生流动的因素——压差流、剪切流）4、管内流动分析（切应力和速度分布规律）5、降膜流动分析第六章流体流动微分方程——连续性方程和运动方程（了解)1、连续性方程不可压缩流体2、运动方程(以应力表示的运动方程→引入牛顿流体本构方程→N－S方程）第八章流体力学的实验研究方法1、流动相似（几何相似、运动相似、动力相似的定义和应用）2、相似准则（至少四个相似准数及其物理意义、计算应用）3、量纲分析(常见物理量的量纲、基本量纲（M、L、T）、量纲分析方法:瑞利（Rayleigh)方法和白金汉姆（Buckingham）方法)第九章管内流体流动1、流态的判定（指标、层流、过渡流、湍流）2、圆管内充分发展的层流流动（阻力损失、阻力系数）3、湍流的半经验理论(布辛聂斯克涡粘性假设、普朗特混合长度理论、壁面附近湍流的三个区域）4、圆管内充分发展的湍流流动（光滑管、粗糙管（水力光滑管、过渡型圆管、水力粗糙管）沿程阻力系数）5、圆管内流体流动的速度分布6、沿程阻力损失的计算7、圆管进口段流动分析8、非圆形截面管内的流体流动(水力当量直径的计算)参考公式哈密尔顿算子速度梯度流体的散度旋度。
流体力学概念汇总
流体力学概念汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章绪论1.工程流体力学的研究对象：工程流体力学以流体（包括液体和气体）为研究对象，研究流体宏观的平衡和运动的规律，流体与固体壁面之间的相互作用规律，以及这些规律在工程实际中的应用。
第二章流体的主要物理性质1.★流体的概念：凡是没有固定的形状，易于流动的物质就叫流体。
2.★流体质点：包含有大量流体分子，并能保持其宏观力学性能的微小单元体。
3.★连续介质的概念：在流体力学中，把流体质点作为最小的研究对象，从而把流体看成是：1)由无数连续分布、彼此无间隙地；2)占有整个流体空间的流体质点所组成的介质。
4.密度：单位体积的流体所具有的质量称为密度，以ρ表示。
5.重度：单位体积的流体所受的重力称为重度，以γ表示。
6.比体积：密度的倒数称为比体积，以υ表示。
它表示单位质量流体所占有的体积。
7.流体的相对密度：是指流体的重度与标准大气压下4℃纯水的重度的比值，用d表示。
8.★流体的热膨胀性：在一定压强下，流体体积随温度升高而增大的性质称为流体的热膨胀性。
9.★流体的压缩性：在一定温度下，流体体积随压强升高而减少的性质称为流体的压缩性。
10.可压缩流体：ρ随T 和p变化量很大，不可视为常量。
11.不可压缩流体：ρ随T 和p变化量很小，可视为常量。
12.★流体的粘性：流体流动时，在流体内部产生阻碍运动的摩擦力的性质叫流体的粘性。
13.牛顿内摩擦定律：牛顿经实验研究发现，流体运动产生的内摩擦力与沿接触面法线方向的速度变化（即速度梯度）成正比，与接触面的面积成正比，与流体的物理性质有关，而与接触面上的压强无关。
这个关系式称为牛顿内摩擦定律。
14.非牛顿流体：通常把满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，此时不随d /d n而变化，否则称为非牛顿流体。
15.动力粘度μ：动力粘度表示单位速度梯度下流体内摩擦应力的大小，它直接反映了流体粘性的大小。
工程流体力学流体运动学-PPT精选文档
du a dt
du x u u u u x x dx x dy x dz ax dt t xdt ydt z dt
同理：
u u u u x x x x u u u x y z t x y z
哈密顿算子
2 2 2 2 2 2 2 x y z
3.3 流体运动的基本概念
加速度：
x x x x ax x y z t x y z y y y y ay x y z t x y z z z z z az x y z t x y z
t 表示在某一固定空间点上，液体质点速度对时间的变化率。也就 是在同一地点，由于时间变化而引起的加速度，称为当地加速度。
u
其余几项表示液体质点在同一时刻因地点变化而引起的加速度，称为
迁移加速度。
u x u x u x u x a x a x ux uy uz D dt t x y z u y u y u y du x u y D a x a y ux uy uz D dt t x y z du x u z u z u z u z D a x a z ux uy uz D dt t x y z du x D
u x u x u x u x a x t u x x u y y u z z u y u y u y u y a y u x u y u z x y z t u z u z u z u z a z u x u y u z x y z t
u x u x u x u x a x t u x x u y y u z z u y u y u y u y a y u x u y u z x y z t u z u z u z u z a z u x u y u z x y z t
流体力学基本概念和流体运动方程
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第三节伯努利（Bernoulli）方程
z
p
V2
常数
g 2g
(3-42)
在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(3-41)可以得到静力学基本 方程
一、方程的物理意义和几何意义
为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方 程的物理意义和几何意义。
1、物理意义
理想流体微元流束的伯努利方程式（3-41）中，左端
1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速V 2m/s，
已知d1=0.5m，
d2=1m，试求截面2-2处的平均流速
V
为
2
多少？
【解】 由式（3-33）得
V1 4d12 V2 4d22
V2
V1dd122
20.52 1
0.5(m/s)
24.03.2020
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图 3-14 输水管道
24.03.2020
dqm分别为： dqv=VdA
(3-16)
dqm=ρVdA
(3-17)
24.03.2020
8
图 3-6 管内流动速度分布
24.03.2020
9
六、均匀流和非均匀流
根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同， 可将总流分为均匀流和非均匀流。若相同则称为均匀流，
V u (x ,y )i v (x ,x )j
24.03.2020
5
图 3-2 流体的出流
2体流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束，即 流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
流体的运动学基础
流体的运动学基础流体的运动学是研究流体在没有外力作用下的运动规律和特性的学科。
它广泛应用于物理学、力学、航空航天工程、水利工程等领域。
本文将介绍流体运动学的基本概念和我们对流体运动的理解。
一、流体的运动学基本概念流体是一种特殊物质形态，它具有没有固定形状和可变容积的特点。
流体的运动学主要研究宏观量，比如流体的速度、加速度、流速等。
下面我们将介绍一些流体运动学的基本概念。
1. 流动性流动性是流体运动学的基本特性之一。
流体分为液体和气体两种，液体的分子间作用力较大，分子难以突破内聚力，因此具有较小的可压缩性；而气体的分子间距离较大，分子间作用力相对较小，因此具有较大的可压缩性。
流动性使得流体能够运动和在容器或管道中传输。
2. 流速与流量流速是指单位时间内通过某一截面的流体的体积。
在流动过程中，流体的流速可能是不均匀的，因此为了描述整个流体的流动情况，我们引入了流量的概念。
流量是指单位时间内通过某一截面的流体的质量或体积。
在实际应用中，我们通常更关注流量而不是流速。
3. 流线与流管流线是指在不同时刻，流体质点所通过的路径连成的曲线。
流线能够直观地表达出流体运动的路径和轨迹。
当流体运动具有稳定性和不可压缩性时，流线也是连续的。
流管是由流线围成的管道，它能够将流体流动的区域划分出来。
二、流体的运动学方程流体的运动学方程是描述流体在运动过程中物理量变化规律的方程。
常见的流体的运动学方程包括欧拉方程和纳维-斯托克斯方程。
1. 欧拉方程欧拉方程描述的是连续介质中的流体运动，它是基于质点的视角建立的。
欧拉方程可表达为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的流速，∇是偏微分运算符。
2. 纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程描述的是流体在宏观尺度上的运动规律，它是基于控制体的视角建立的。
纳维-斯托克斯方程可表达为：∂v/∂t + v·∇v = -∇p/ρ + ν∇^2v + f其中，∂v/∂t是流体的加速度，v是流体的流速，p是压强，ρ是密度，ν是运动黏度，f是外力项。
（精编）工程流体力学课后答案
（精编）⼯程流体⼒学课后答案(精编)⼯程流体⼒学(袁恩熙著) ⽯油⼯业出版社课后答案流体及其主要物理性质1-1.轻柴油在温度15oC时相对密度为0.83，求它的密度和重度。
解：4oC时相对密度：所以，1-2.⽢油在温度0oC时密度为1.26g/cm3，求以国际单位表⽰的密度和重度。
解：1-3.⽔的体积弹性系数为1.96×109N/m2，问压强改变多少时，它的体积相对压缩1％？解：1-4.容积4m3的⽔，温度不变，当压强增加105N/m2时容积减少1000cm3，求该⽔的体积压缩系数βp和体积弹性系数E。
解：1-5.⽤200L汽油桶装相对密度为0.70的汽油，罐装时液⾯上压强为1个⼤⽓压，封闭后由于温度变化升⾼了20oC，此时汽油的蒸⽓压为0.18⼤⽓压。
若汽油的膨胀系数为0.0006oC－1，弹性系数为14000kg/cm2。
试计算由于压⼒及温度变化所增减的体积？问灌桶时每桶最多不超过多少公⽄为宜？解：E＝E’·g＝14000×9.8×104PaΔp＝0.18at所以，从初始状态积分到最终状态得：另解：设灌桶时每桶最多不超过V升，则（1⼤⽓压＝1Kg/cm2）V＝197.6升dV t＝2.41升dV p＝2.52×10-3升G＝0.1976×700＝138Kg＝1352.4N1-6.⽯油相对密度0.9，粘度28cP，求运动粘度为多少m2/s?解：1-7.相对密度0.89的⽯油，温度20oC时的运动粘度为40cSt，求动⼒粘度为多少？解：ν＝40cSt＝0.4St＝0.4×10-4m2/sµ＝νρ＝0.4×10-4×890＝3.56×10-2Pa·s1-8.图⽰⼀平板在油⾯上作⽔平运动，已知运动速度u=1m/s，板与固定边界的距离δ=1，油的动⼒粘度µ＝1.147Pa·s，由平板所带动的油层的运动速度呈直线分布，求作⽤在平板单位⾯积上的粘性阻⼒为多少？解：1-9.如图所⽰活塞油缸，其直径D＝12cm，活塞直径d＝11.96cm，活塞长度L＝14cm，油的µ＝0.65P，当活塞移动速度为0.5m/s时，试求拉回活塞所需的⼒F=？解：A＝πdL,µ＝0.65P＝0.065Pa·s,Δu＝0.5m/s,Δy=(D-d)/2第⼀章流体静⼒学2-1.如图所⽰的U形管中装有⽔银与⽔，试求：（1）A、C两点的绝对压⼒及表压各为多少？（2）A、B两点的⾼度差为多少？解：①p A表＝γh⽔＝0.3mH2O＝0.03at＝0.3×9800Pa＝2940Pap A绝＝p a+p A表＝（10+0.3）mH2O＝1.03at＝10.3×9800Pa＝100940Pap C表＝γhg h hg+p A表＝0.1×13.6mH2O+0.3mH2O＝1.66mH2O＝0.166at＝1.66×9800Pa＝16268Pa p C绝＝p a+p C表＝（10+1.66）mH2O＝11.66mH2O＝1.166at＝11.66×9800Pa＝114268Pa②30cmH2O＝13.6hcmH2Oh＝30/13.6cm=2.2cm题2-2题2-32-2.⽔银压⼒计装置如图。
流体动力学基础
3 流体运动学基础流体运动学主要讨论流体的运动参数（例如速度和加速度）和运动描述等问题。
运动是物体的存在形式，是物体的本质特征。
流体的运动无时不在，百川归海、风起云涌是自然界流体运动的壮丽景色。
而在工程实际中，很多领域都需要对流体运动规律进行分析和研究。
因此，相对于流体静力学，流体运动学的研究具有更加深刻和广泛的意义。
3.1 描述流体运动的二种方法为研究流体运动，首先需要建立描述流体运动的方法。
从理论上说，有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。
流体运动的各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体的流动参数。
对流体运动的描述就是要建立流动参数的数学模型，这个数学模型能反映流动参数随时间和空间的变化情况。
拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。
欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。
下面分别介绍这二种方法。
3.1.1拉格朗日(Lagrange)方法这是一种基于流体质点的描述方法。
通过描述各质点的流动参数变化规律，来确定整个流体的变化规律。
无数的质点运动组成流体运动，那么如何区分每个质点呢？区分各质点方法是根据它们的初始位置来判别。
这是因为在初始时刻（t =t 0）,每个质点所占的初始位置（a,b,c ）各不相同，所以可以据此区别。
这就像长跑运动员一样，在比赛前给他们编上号码，在任何时刻就不至于混淆身份了。
当经过△t 时间后，t = t 0+△t ，初始位置为a,b,c ）的某质点到达了新的位置(x ,y ,z )，因此，拉格朗日方法需要跟踪质点的运动，以确定该质点的流动参数。
拉格朗日方法在直角坐标系中位移的数学描述是：⎪⎭⎪⎬⎫===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （3－1）式中，初始坐标（a,b,c ）与时间变量t 无关，（a,b,c,t ）称为拉格朗日变数。
流体力学(流体运动学)
u x = u x ( x, y , z , t )
u y = u y ( x, y , z , t )
p = p ( x, y, z, t)
u z = u z ( x, y , z , t )
实际中，恒定流只是相对的，绝对的恒定流是不存在的。本课 程主要研究恒定流动问题。
二、迹线和流线
1、迹线 、
三、一维、二维、三维流动 一维、二维、
流体的运动要素是空间坐标和时间的函数。按照流体运动要素 与空间坐标有关的个数（维数），可以把流体分为一维流、二维流 、三维流。 一维（一元）流动，若流场中的运动参数仅与一个空间自变量 有关，这种流动称为一维流动。即
u = u ( x, t)
之为二维流动。
p = p ( x, t )
随时间的变化率，称为当地加速度（时变加速度）。后三项之和 则表示流体质点在同一时间内，因坐标位置变化而形成的加速度， 称为位变加速度（迁移加速度）。
同理可得：
ay =
duy dt
=
∂uy ∂t
+ ux
∂uy ∂x
+ uy
∂uy ∂y
+ uz
∂uy ∂z
du z ∂u z ∂u z ∂u z ∂u z az = = + ux + uy + uz dt ∂t ∂x ∂y ∂z
这种通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法，称为拉格朗日法 拉格朗日法。 拉格朗日法 表达式中的自变量（a，b，c），称为拉格朗日变量 拉格朗日变量。 （ ， ， ） 拉格朗日变量 流体质点的速度为
∂x (a , b, c, t ) ux = ∂t ∂y ( a , b, c, t ) uy = ∂t ∂z (a , b, c, t ) uz = ∂t
流体力学-知识点
第一章 流体的基本概念质量力：f X i Yj Z k =++表面力：0lim =limA A P T p AAτ∆→∆→∆∆=∆∆/w w g s γργγρρ== =/体积压缩系数：111dV d V dpdp Kρβρ=-==温度膨胀系数： 11dV d V dTdTραρ==-pRT ρ= =du du T Adydyμμτμνρ= =第二章 流体静力学欧拉平衡微分方程：()dp Xdx Ydy Zdz ρ=++0p p h γ=+ vv a v p p p p p h γ'=-=-=12sin A p l Kl A γα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭匀加速水平直线运动中液体的平衡：0arctan s a a ap p x z ax gz C z x g g g γα⎛⎫⎛⎫=+--+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=匀角速度旋转运动容器中液体的平衡：2222220222s r r rp p z z C z g g g ωωωγ⎛⎫=+--== ⎪⎝⎭静止液体作用于平面壁上的总压力：1．解析法：C c c D C C J P h A p A y y y Aγ===+2．图解法：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点即是压力中心D 。
第三章 流体运动学基础欧拉法：速度为()()(),,,,,,,,,x x y y z z u u x y z t u u x y z t u u x y z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩加速度为x x x x x xx y z y y y y y y x y z z z z z zz x y zdu u u u u a u u u dt t x y zdu u u u u a u u u dt t x y z du u u u u a u u u dt t x y z ∂∂∂∂⎧==+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪==+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂==+++⎪∂∂∂∂⎩()u a u u t ∂=+⨯∇∂0utu t⎧∂≠⎪⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎩非恒定流： 恒定流： ()()u u u u ⎧⨯∇≠⎪⎨⨯∇=⎪⎩非均匀流： 均匀流： 流线微分方程：xyzdx dy dz u u u ==迹线微分方程：xyzdx dy dz dt u u u ===流体微团运动分解：1．亥姆霍兹（Helmhotz ）速度分解定理 2．微团运动分解 （1）平移运动（2）线变形运动 线变形速度：x xy y z z u xu y u z θθθ∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩（3）角变形运动 角变形速度： 121212yz x x z y y x z u u y z u u z x u u x y εεε⎧∂⎛⎫∂=+⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂⎪⎛⎫=+⎨ ⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫∂⎪=+⎪∂∂⎪⎝⎭⎩ （4）旋转运动 旋转角速度： 121212yz x x z y y x z u u y z u u z x u u x y εεε⎧∂⎛⎫∂=-⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂⎪⎛⎫=-⎨ ⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫∂⎪=-⎪∂∂⎪⎝⎭⎩3．有旋运动与无旋运动定义涡量：2xyzij k u xy z u u u ω∂∂∂Ω==∇⨯=∂∂∂有旋流：0Ω≠ 无旋流：0Ω= 即y z x z y xu u y z u u z x u u xy ∂⎧∂=⎪∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪∂⎪∂=⎪∂∂⎩ 或 000x y z ωωω⎧=⎪=⎨⎪=⎩平面无旋运动：1．速度势函数（简称势函数）(),,x y z ϕ （1）存在条件：不可压缩无旋流。
流体力学四章节流体运动学
（4.6）
w
iw x
jw y
k
w
z
w
w
2 x
w
2 y
w
2 z
ppx,y,z,t
（4.7）
x,y,z,t
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（4.8）
第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
因为质点在流场内是连续的，所以流体加速度的各分量为
同样
dwx wx wx x wx y wx z dt t x t y t z t
A
a
t0 et0
1
B
b
t0 1 et0
将A，B，C值代入前式得到
Cc
xaett00 1et t1
ybet0t01et t1 zc
这就是流场中的迹线方程式，也就是质点空间坐标的拉格朗日表达式，它
表示一迹线族。若某一个质点，当 t0 0时其起始位置 a 1，b2，c 3，
则这个质点的迹线方程式为 x2et t1 y3et t1 z 3
D D B t B tw x B xw y B yw z B zB t wBtwB （4.11）
（三）两种描述方法的关系 拉格朗日法和欧拉法两种表达式可以互换。例如，从拉格朗日法的坐标 位置表达式（4.1），可以求出用x，y，z，t 表示的拉格朗日变数a，b， c 的关系式
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第四章 流体运动学
y,
z, t
wz
z t
wz x,
y,
z,
t
（b）
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
将（b）式进行积分，则
x F1C1, C2, C3, t
流体力学概念总结
第一章绪论1.工程流体力学的研究对象：工程流体力学以流体（包括液体和气体）为研究对象，研究流体宏观的平衡和运动的规律，流体与固体壁面之间的相互作用规律，以及这些规律在工程实际中的应用。
第二章流体的主要物理性质1.★流体的概念：凡是没有固定的形状，易于流动的物质就叫流体。
2.★流体质点：包含有大量流体分子，并能保持其宏观力学性能的微小单元体。
3.★连续介质的概念：在流体力学中，把流体质点作为最小的研究对象，从而把流体看成是：1）由无数连续分布、彼此无间隙地；2）占有整个流体空间的流体质点所组成的介质。
4.密度：单位体积的流体所具有的质量称为密度，以P表示。
5.重度：单位体积的流体所受的重力称为重度，以Y表示。
6.比体积：密度的倒数称为比体积，以u表示。
它表示单位质量流体所占有的体积。
7.流体的相对密度：是指流体的重度与标准大气压下4°C纯水的重度的比值，用d表示。
8.★流体的热膨胀性：在一定压强下，流体体积随温度升高而增大的性质称为流体的热膨胀性。
9.★流体的压缩性：在一定温度下，流体体积随压强升高而减少的性质称为流体的压缩性。
10.可压缩流体：P随T和p变化量很大，不可视为常量。
11.不可压缩流体：P随T和p变化量很小，可视为常量。
12.★流体的粘性：流体流动时，在流体内部产生阻碍运动的摩擦力的性质叫流体的粘性。
13.牛顿内摩擦定律：牛顿经实验研究发现，流体运动产生的内摩擦力与沿接触面法线方向的速度变化（即速度梯度）成正比，与接触面的面积成正比，与流体的物理性质有关，而与接触面上的压强无关。
这个关系式称为牛顿内摩擦定律。
14.非牛顿流体：通常把满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，此时不随du/d n而变化，否则称为非牛顿流体。
15.动力粘度u :动力粘度表示单位速度梯度下流体内摩擦应力的大小，它直接反映了流体粘性的大小。
16.运动粘度v :在流体力学中，动力粘度与流体密度的比值称为运动粘度，以v表示。
流体力学
流体力学流体力学积大小和形状变化的弹性。
与固体相比,流体具有抵抗体积大小形变的弹性，而不具有抵抗形状变化的弹性，所以流体都有一定的可压缩性和流动性。
从微观上分析流动性的原因：流体由大量的、不断地作热运动而且无固定平衡位置的分子构成的。
理想流体理想体就是指没有黏性、不可压缩的流体。
水的粘滞性和可压缩性很小时,可近似看作是理想流体。
超流体超流体超流体是一种物质状态，特点是完全缺乏黏性。
如果将超流体放置于环状的容器中，由于没有摩擦力，它可以永无止尽地流动。
例如液态氦在-271℃以下时，内摩擦系数变为零，液态氦可以流过半径为十的负五次方厘米的小孔或毛细管，这种现象叫做超流现象二、流体静力学1 压强定义：F P S =2 压强公式：0P P ghρ=+ 3 帕斯卡定律：在密闭容器内，施加于静止液体的压力可以等值地传递到液体各点，这就是帕斯卡原理。
也称为静压传递原理 可用公式表示为：根据帕斯卡定律，在水力系统中的一个活塞上施加一定的压强，必将在另一个活塞上产生相同的压强增量。
如图所示，如果第二个活塞的面积是第一个活塞的面积的倍，那么作用于第二个活塞上的力将增大至第一个活塞的10倍，而两个活塞上的压强相等。
即：也即：§2．4阿基米德定律2．阿基米德原理：浸在液体里的物体受到向上的浮力,浮力大小等于物体排开液体所受重力.即F浮＝G液排＝ρ液gV排. （V排表示物体排开液体的体积）3．浮力计算公式：F浮＝G-T＝ρ液gV排＝F上、下压力差三．流体运动学§3．1流体运动学基本概念3．1．1迹线：流体质点的运动轨迹，也就是该流体质点在不同时刻的运动位置的连线。
3．1．2流线：用来描述流场中各点流动方向的曲线。
它是某时刻流速场中的一条矢量线，即在此线上任意点的切线方向与该点在该时刻的速度矢量方向一致。
3．1．3流管：在运动流体空间内作一微小的闭合曲线，通过该闭合曲线上各点的流线围成的细管叫做流管。
第二章 流体力学基础(1-6)知识讲解
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2.2 液体静力学
2.2.3 压力表示方法和单位
压力有两种表示方法：绝对压力和相对压力。
以绝对真空为基准度量的压力叫做绝对 压力； 以大气压为基准度量的压力叫做相对压 力或表压。
这是因为大多数测量仪表都受大气 压作用，这些仪表指示的压力是相对压 力。
在液压与气压传动系统中，如不特别 说明，提到的压力均指相对压力。
液压油的粘度等级就是以其40ºC时运动粘度的某一平均 值来表示，
如L-HM32液压油（32号液压油）的粘度等级为32，则 40ºC时其运动粘度的平均值为32mm2/s 。
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2.1 液压油
相对粘度 雷氏粘度〞R——英国、欧洲 赛氏粘度SSU——美国 恩氏粘度oE——俄国、德国、中国
oE=
t1
t2
单位：无量纲
（2）润滑性能好 （3）质地纯净，杂质少。 （4）具有良好的相容性。
（5）具有良好的稳定性。（氧化） （6）抗乳化性、抗泡沫性、防锈性、腐蚀性小。
（7）膨胀系数低、比热容高。 （8）流动点和凝固点低，闪点和燃点高。 （9）对人体无害，成本低。
18
2.1 液压油
2.1.4 液压油的选择
正确合理地选择液压油液，对保证液压传动系统正常工作、延 长液压传动系统和液压元件的使用寿命以及提高液压传动系统的工 作可靠性等都有重要影响。
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根据欧拉的观点，任何物理量Φ（V,P,ρ）都是坐标和时间 的函数,在直角坐标系中，该物理量可以表示为
(x, y,z,t)
x,y,z,t:欧拉变数－空间位置的标志
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注意事项: ✓ 不要把空间点和流体质点混淆。
流体力学第二章
✓ 流体运动时，同一个空间点在不同的时刻由不同的流体质 点所占据。
5
2.1.1拉格朗日方法
流体力学第二章
✓ 拉格朗日方法是着眼于流体质点来描述流体的运动状态. 如何区别流体的质点呢?
➢ 质点标识----通常是用某时刻各质点的空间坐标（a,b,c） 来表征它们。
➢ 某时刻一般取运动刚开始的时间.以初始时刻流体质点 的坐标作为区分不同流体质点的标志.
拉格朗日方法的一般表达:
x x a,b,c,t
y
y a,b,c,t
z
z a,b,c,t
a,b,c,t称为拉格朗日变数—是流体质点的标志。
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6
拉格朗日方法表示的速度，则有
Vuivjwk
流体力学第二章
x a,b,c,t
u
t
y a,b,c,t
其中
v
t
z a,b,c,t
w
t
同样，质点的加速度可表示为
.
17
随体导数（实质微商、质点加速度）
流体力学第二章
写成分量形式为
du
dt
u t
u
u x
v
u y
w
u z
u t
V
u
dv
dt
v t
u
v x
v
v y
w
v z
v t
பைடு நூலகம்
V
v
dw
dt
w t
u
w x
v
w y
w
w z
w t
V
w
另一方面，于不同时刻通过某一固定点的不同流点之速 度一般也是不同的，但这种表示为
.
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2.1.3 实质微商、加速度
流体力学第二章
实质微商（又称质点导数、随体导数）：质点的物 理量随时间的变化率。
实质微商在拉格朗日方法中的表达
Va,b,c,taa,b,c,t
t
实质微商在欧拉方法中的表达，物理量是空间和时间 的函数，以速度为例
VVx,y,z,t
思考：在欧拉方法中， V 表示什么？ t
.
16
随体导数（实质微商、质点加速度）
流体力学第二章
某流体质点的速度对于时间的变化率就是该流体质点 的加速度。按定义
a lim V V V V t0 t t
a
DV Dt
t
V
V
亦可写为：
dV dt
V t
u x
v y
w z
V
V V V t
式中
i j k x y z
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2020/11/25
.
8
例题
流体力学第二章
已知用拉格朗日变数表示的速度场为
u a 1 et 1
v
b
1
et
1
式中，a,b 是 t=0 时刻流体质点的直角坐标值。 求：
(1)t=2时刻流场中质点的分布规律； (2)a=1,b=2这个质点的运动规律； (3) 质点的加速度。
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解：
✓ 描述流体运动的两种方法 ✓ 运动的几何描述 ✓ 连续流体线的保持性 ✓ 流体微团的运动分析 ✓ 有旋运动的一般性质 ✓ 无旋运动的一般性质 ✓ 不可压无旋流动的基本方程 ✓ 不可压无旋流的动能
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流体力学第二章
4
流体力学第二章
2.1描述流体运动的两种方法
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流体力学第二章
u
x t
a
1 et
1
v
y t
b
1 et
1
积分得：
xa1et 1dta1et tc1
yb1et 1dtb1et tc2
代入条件：在 t=0 时刻，x=a，y=b，求得积分常数，
c11,c2 1
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得各流体质点的一般分布规律
x a 1et t 1
y
b
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流体力学第二章
➢ 了解流体微元的运动分解机理，即微团运动可分解为 平移，整体转动，线变形运动及角变形运动。
➢ 掌握有旋运动与无旋运动的特点。无旋运动可引入速 度势。不可压无旋运动是一个纯粹运动学问题，正确 给出边界条件，是求解的关键。
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本章学习的内容
✓ 所谓空间点上的物理量是指占据该点的各个流体质点的物 理量。
✓ 在欧拉方法中，各物理量将是时间和空间点的函数。欧拉 方法研究的是场。
✓ 最后指出，欧拉法和拉格朗日法只不过是描述流体运动的 两种不同方法。对于同一问题，既可用拉格朗日法也可用 欧拉法来描述。采用何种方法视具体问题而定。
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1et
t
1
所以: (1)在 t =2 时刻流场中质点分布规律
x a 1 e2 3
y
b
1
e2
3
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流体力学第二章
11
（2）a=1,b=2流体质点的运动规律
x 2 e t t 1
y
3et
t
1
（3） 加速度场
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a
x
u t
a
1et
a
y
v t
b
1et
V 2r a
t t2
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流体力学第二章
它在直角坐标系中的分量为
ax
u t
2x a,b,c,t
t2
ay
v t
2y a,b,c,t
t2
az
w t
2z a,b,c,t
t2
流体的密度、压力、温度也可以写成a,b,c,t的函数
a,b,c,t
p
p
a,b,c,t
T
T
a,b,c,t
流体力学第二章
第二章
流体运动学基础
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第二章 流体运动学基础
流体力学第二章
✓ 流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动，通常不 考虑力和质量等因素的影响。
✓ 流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动规律，是 流体力学的一个组成部分。
✓ 本章的学习目标：
➢ 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉法）， 结合迹线，流线，流管，流体线等显示流动特性的曲 线研究流动特性。
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欧拉描述的流体的随体导数
流体力学第二章
实质微商在欧拉方法中的表达。设物理量是空间和时 间的函数，以速度为例
V Vp Vp
Vxut, yvt,zwt,t tVx, y,z,t
V V ut V vt V wt V t 0 t2
x
y
z
t
V t V Vt 0 t2 t
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流体力学第二章
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2.1.2 欧拉方法
流体力学第二章
✓ 欧拉方法也称空间描述，它着眼于空间点，认为流体的物 理量随空间点及时间而变化，也就是说，它把流体物理量 表示成空间坐标及时间的函数。
✓ 欧拉方法研究的是流体的场，相比较于拉格朗日方法，它 更适合于研究流体的运动。
✓ 拉格朗日方法着眼于流动过程中流体质点的运动，它比较 适合于研究刚体的运动。