解析函数
第二章解析函数
第二章解析函数•复变函数的导数•解析函数的概念•初等解析函数复函数的求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.例2证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z , 有()()f z z f z +Δ−2.x yi =Δ+Δ()2()2x x y y i x yi =+Δ++Δ−−故0lim[()()]0.z f z z f z Δ→+Δ−=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.000()()() (), f z z f z f z z z z ρ′+Δ−=Δ+ΔΔ,)()(lim 000z f z z f z =Δ+→Δ所以lim ()0,z z ρΔ→Δ=再由即()f z 在0z 处连续.反之, 由例2知, 处处不可导，()2f z x yi =+但处处连续。
例5问题：对函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )，如何判别其解析（可导）性？换句话说：()(),f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系？解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
证明必要性. 若存在，设0()f z ′0()f z a ib ′=+(a , b 是实常数). 因此000()()()f z z f z f z z z α′+Δ−=Δ+Δ12()()()()a ib x i y i x i y αα=+Δ+Δ++Δ+Δ12()a xb y x y αα=Δ−Δ+Δ−Δ21(,i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ其中12Re , Im .αααα==且当时，0z Δ→120, 0.αα→→0000(,)(,),u u x x y y u x y Δ=+Δ+Δ−0000(,)(,),v v x x y y v x y Δ=+Δ+Δ−则于是有00()().f z z f z u i v +Δ−=Δ+Δ12()u i v a x b y x y ααΔ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ21().i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ由两个复数相等的条件可得设21.v b x a y x y ααΔ=Δ+Δ+Δ+Δ12,u a x b y x y ααΔ=Δ−Δ+Δ−Δ于是，1(,),(,)..a u x y v x y C R =−−当时，满足条件，().f z z 从而在平面上处处可微，处处解析1(,),(,)0..a u x y v x y y C R ≠−=−当时，仅在直线上满足条件，().f z z 故在平面上处处不解析()00.f z y y =≠从而仅在上可微，在上不可微作业3第89页，第二章习题（一）：2；4（1）（3）；5（2）（4）；7；8（2）（4）；9; 11（1）（3）。
求函数解析形式的六种常用方法
求函数解析形式的六种常用方法
在解析函数的形式时，有多种方法可以使用。
以下是六种常用的方法：
1. 泰勒级数展开：泰勒级数是将函数表示为无穷级数的形式。
通过给定函数在某个点的各阶导数，可以使用泰勒级数来近似表示函数的解析形式。
2. 分段定义：对于某些函数，可以将其定义分为不同的部分，每个部分的解析形式很简单。
通过将这些部分组合在一起，可以得到整个函数的解析形式。
3. 几何方法：对于一些几何关系较为明显的函数，可以使用几何方法来求解其解析形式。
例如，对于直线或者曲线上的点，可以通过几何关系来推导函数的解析形式。
4. 求导和积分：对于已知函数的导数和积分形式，可以通过对函数进行导数和积分运算来逆推函数的解析形式。
这种方法常用于已知函数的导数和积分形式比较简单的情况。
5. 已知特殊点和性质：如果已知函数在某些特殊点上的性质，例如零点、最大值、最小值等，可以利用这些特殊点和性质来推导函数的解析形式。
6. 函数逼近：当无法直接求得函数的解析形式时，可以使用函数逼近的方法来近似表示函数。
例如，可以使用插值方法或者最小二乘法来逼近函数的解析形式。
这些方法可以在不涉及法律复杂性的前提下，帮助求解函数的解析形式。
每种方法都有其适用的情况，具体使用哪种方法取决于函数的属性和已知信息。
第二章 解析函数
在z0解析，若f (z)在区域D内每一点解析，则称f (z)在D
内解析，则称f (z)是D内的一个解析函数（全纯函数或 正则函数）。 如f (z)在 z0不解析, 则称z0为f (z)的奇点。
§1 解析函数的概念
f (z)在 z0解析
函数f (z)在z0的邻域内可导
f (z)在 z0解析 函数f (z)在z0可导 二元函数的微分 [例 ] 的解析性
§3 初等函数 3 乘幂ab与幂函数 [例 ] 求 、 和 的值。
幂函数：
形如：zb=ebLnz（z≠0，b为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意复常数）
的函数成为幂函数。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 计算sin(3+4i) ，cosi，sin6i
|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。 [例] 求方程cosz=0的解。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 求方程sinz+cosz=0的解。
其它复变数三角函数：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 反三角函数和反双曲函数 设z=cosw，则称w为z的反余弦函数，记作： w=Arccosz
ii) f’(z) =f(z); iii) 当Im(z)=0时, f(z) =ex, 其中x=Re(z)。
§3 初等函数 1 指数函数
为整数)
加法定理
§3 初等函数 2 对数函数
主值
[例] 求Ln1, Ln(-2) 以及它们相应的主值。
§3 初等函数 1 指数函数 总结：
解析函数的概念
若 推论 ： u, v在( x, y)处一阶偏导数连续且满足C R方程,
vy iuy 2x i 2 y 2 x iy 2z
例题2
判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) w z ;
2) w z Re( z )
解： 由w z x iy ,得 ux, vy, 所以 1)
（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.）
例3 讨论 w
f ( z) z
2
的可导性。
2 2
w f ( z z ) f ( z ) z z z 解： z z z
w z 0 (z 0) f (0) 0 z 0: z w zz z 0 : 取z x 0 z w zz 取z iy 0 z
容易证明： 可导
可微 ；可导 连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
2.1.5.求导法则 当 f ( z ), g ( z ) 都是复变数的可导函数时， 可以证明下列求导公
式与法则成立：
(1) [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g ( z ); (2) [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ); f ( z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) (3) [ ] , ( g ( z ) 0 ); 2 g ( z) g ( z) (4) {f [ g ( z)]} f (w ) g ( z); 其中 w g ( z ) ； (5) 若 z (w ) 是函数 w f ( z ) 的反函数，且 f ( z ) 0, 则 dz 1 (w ) ； dw f [ (w )]
高等数学中的解析函数及其应用
高等数学中的解析函数及其应用解析函数是数学中重要的一种函数类型，它在物理学、工程学、经济学等各个领域都得到了广泛的应用。
本文将介绍解析函数的定义、性质及其在实际中的应用。
一、解析函数的定义在复平面上，若函数$f(z)$在某一点$z_0$的邻域内连续，并且在这一点的邻域内存在$f(z)$的导数，则称函数$f(z)$在$z_0$处可导。
若$f(z)$在复平面上的每一点都可导，则称$f(z)$在复平面上解析。
解析函数可以表示为$u(x,y) + iv(x,y)$的形式，其中$u(x,y)$和$v(x,y)$是实函数。
二、解析函数的性质1. 解析函数的虚部和实部都是调和函数。
2. 解析函数满足柯西-黎曼条件，即$u_x=v_y$，$u_y=-v_x$。
3. 若$f(z)$在某一点$z_0$处解析，则在这一点的某个邻域内，$f(z)$可以用其泰勒级数展开。
4. 解析函数的微分、积分等运算仍是解析函数。
5. 解析函数有无数个解析函数的原函数。
三、解析函数的应用1. 物理学中的应用在电磁场理论中，解析函数的虚部通常代表磁通量，实部代表电势。
因此，解析函数在处理电场和磁场交互作用、分析电磁波等方面得到了广泛的应用。
2. 工程学中的应用在控制论和信号处理中，解析函数特点的$\text{Parseval}$定理和希尔伯特变换常常被用于信号处理和滤波等方面。
3. 经济学中的应用在经济学中，解析函数常常被用于分析复杂的经济现象，如股票价格的预测、货币市场的预测等。
4. 其他领域的应用除此之外，解析函数还被广泛应用于自然科学、生物学、地质学以及计算机图形处理等领域。
总之，解析函数是一类重要的函数类型，它的许多性质和特点广泛应用于各个领域。
掌握解析函数可以对我们的研究和分析工作带来重要的帮助，也可以帮助我们更好地理解各个领域的知识和技能。
解析函数的理解
解析函数的理解高中的函数知识点中有一块是讲解析函数，它是由不同的函数相加而得到的，具有这样特征的函数就是解析函数。
其实，解析函数应该是一类函数的统称，它的基本性质也很重要，让我们进一步认识它吧！定义：设;当x=a x^2+bx+c时，设;f(a)=x^2+bx+c，1、对于有理函数，解析式与自变量的取值无关；2、对于一般的解析函数，若自变量x的连续可导，则解析式的值域为全体实数，反之亦然。
此外，由于解析函数自变量x的取值范围是其定义域的子集，所以对于非解析函数来说，自变量x的取值范围通常都不会是整个定义域。
2、在一般意义下，解析函数满足：如果f(a)是x在[a， +∞)上的可导函数，则称f是（沿）解析函数。
3、我们把函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)，y=f(x^n)+f(x)-f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称的函数叫做隐函数。
隐函数的表达式是由隐函数f=f(x)及f的定义而得到的， f=f(x)是函数，它是在一个集合X中选择一个元素y，使得f(y)=f(x)+c。
f(x)是x的函数，我们称它为f的原函数。
4、一般地，如果函数y=f(x)， y=f(x^n)， y=f(x^m)， y=f(x^n)+f(x)并且图像关于y轴对称，那么就称函数y为y=f(x)+c的一般形式。
5、设f(x)： f(x)与函数f：有两种表示法，即原函数及一般形式。
6、函数与其图像在某点有无数多对应点，并且对应点坐标满足f(x) = 0，则称此函数为可去奇点的函数，可去奇点的函数没有实际意义。
7、对于任何解析函数，当它的图像关于原点对称时，图像总过原点；反之，当它的图像关于原点的某一固定点对称时，图像总不过原点。
8、设： f：可以是不连续的，但一定是解析的。
9、设f(x)是f的图像，是f在x处的一条“虚线”。
如果图像的函数在x处可导，则称此函数为解析函数。
解析函数定义
解析函数定义解析函数定义，是指对于给定的函数定义，通过对其进行分析和解释，来理解函数的含义、功能和用法。
在计算机编程中，函数是一段可重复使用的代码块，用于封装特定的功能，以便在程序中多次调用。
函数定义通常由函数名、参数列表、返回值类型和函数体组成。
函数名是函数的标识符，用于在程序中调用函数。
函数名应具有描述性，以便程序员能够清楚地理解函数的用途。
参数列表是一组输入参数，用于传递数据给函数。
参数列表可以包含零个或多个参数，每个参数都有一个类型和一个名称。
参数类型指定了参数的数据类型，例如整数、浮点数或字符串。
参数名称是程序员为参数选择的标识符，以便在函数体中引用参数的值。
返回值类型指定了函数返回的数据类型。
函数可以返回一个值，也可以不返回任何值。
如果函数返回一个值，那么返回值类型指定了该值的数据类型。
函数体是函数的主体部分，包含了实现函数功能的代码。
函数体可以包含变量声明、条件语句、循环语句和其他逻辑操作。
函数体中的代码会在函数被调用时执行。
函数定义的目的是为了将一个复杂的任务分解为多个小的、可重复使用的部分。
这样，程序员可以更好地组织和管理代码，并提高代码的可读性和复用性。
函数定义还可以提高程序的模块化和可维护性。
当程序需要执行某个功能时，可以直接调用相应的函数，而不需要重复编写相同的代码。
在解析函数定义时，需要注意函数的语法和语义。
语法是指函数定义的规则和结构，包括正确使用关键字、标识符、括号和分号等。
语义是指函数定义的含义和行为，包括函数的输入、输出和副作用。
解析函数定义的过程可以通过以下步骤进行：1. 首先，识别函数的声明部分。
函数的声明通常包含函数名、参数列表和返回值类型。
通过读取和解析这些信息，可以了解函数的基本信息和用途。
2. 其次，分析函数的实现部分。
函数的实现部分包括函数体和函数内部的代码。
通过分析函数体中的代码，可以理解函数的具体功能和实现方式。
3. 然后，检查函数的参数和返回值。
解析函数
复数的模 r = z ，辐角 ϕ = Arg z 辐角主值 0 ≤ arg z < 2π
Arg z = arg z + 2kπ ,
3.指数表示 3.指数表示
k = 0(±1) ± ∞
e
iϕ
cosϕ + i sin ϕ iϕ z = re
4.几何表示的补充 4.几何表示的补充 定义无穷远点： 定义无穷远点： z = ∞和复平面上一点对应 全复平面： 全复平面： 引入该无穷远点的平面 有限复平面： 有限复平面： 不含无穷远点
y
虚轴
z( x, y)
z = x +i y ↔( x, y) ↔Oz
O
实轴
x
复平面
2.三角表示（极坐标系 (r,ϕ) ） 2.三角表示（ 三角表示
z = r(cosϕ + i sin ϕ)
x = r cosϕ , y = r sin ϕ
r = x2 + y2 ϕ = arctan y / x
②
③
具体步骤： 具体步骤：
扩充： 扩充：
① ②
引入新对象： 引入新对象：复数 引入新对象的运算： 引入新对象的运算： 代数运算、初等超越运算、极限、 代数运算、初等超越运算、极限、 微积分…… 微积分……
③
具体应用
内容安排： 内容安排：
第一、二、三章解决前两个问题 第一、 第四章留数定理探讨复变函数的应用 第五章讨论广义函数 普通点函数概念的扩充） （普通点函数概念的扩充）
y ① ∆z=∆x •z
② ∆z=i∆y o x
f (z + ∆z) − f (z) f ′(z) = lim ∆z→0 ∆z
②
u( x, y + ∆y) −u(x, y) = lim ∆y→0 i ∆y
第二章 解析函数
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f (z) f ' ( z ) g( z ) f ( z ) g' ( z ) [ ]' , ( g( z ) 0) 2 g( z ) g (z) 由以上讨论
在(x,y)处满足
u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在且连续； x y x y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
• 2.2.2 函数解析的充要条件 • 定理１ 设函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 内有定义，则 f ( z )在 D 内解析的充分必要条 件为 u, v 在 D 内任一点 z x iy处 （1）可微； （2）满足
ex1
试用C-R条件判定下列函数在何处可导，在何处解析：
w z
2
解 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x x
u 2y y
v 0 x
v 0 y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 仅在0点可导，但处处不解析 。
2
例2: 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问 常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处 处解析。
例1 求函数 f ( z ) z 的导数（n 为正整数）.
n
解 因为
k k ( z z )n Cn z (z )nk k 0
高中数学的解析函数的性质及应用解析
高中数学的解析函数的性质及应用解析解析函数是高中数学中的重要概念，其性质及应用在数学学科及其他学科中具有广泛的应用。
本文将围绕解析函数的定义、性质和应用展开讨论。
一、解析函数的定义解析函数又称为复变函数，它是指在复数域上有定义的函数。
具体而言，对于一个定义在复数域上的函数f(z)，如果对于复数域上任意一个复数z，该函数都有唯一的函数值w与之对应，那么f(z)即为解析函数。
解析函数的定义可以用数学符号表示为：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别表示复变函数的实部和虚部。
二、解析函数的性质1. 连续性：解析函数在其定义域上连续，即实部和虚部都是连续函数。
2. 可微性：解析函数在其定义域上可导，即满足柯西-黎曼方程的充分必要条件。
柯西-黎曼方程表示为：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。
3. 奇点：解析函数在其定义域上无奇点，即没有使函数值发散或不唯一的点。
根据解析函数的性质，我们可以推导出一些重要的结论。
例如，解析函数的导函数也是一个解析函数，解析函数的连续叠加仍然是一个解析函数等。
三、解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，不仅在数学学科中有重要意义，也被应用于其他学科中。
1. 数学学科中的应用：解析函数可以用于复数域的积分计算，例如对于沿闭合曲线C的积分∮Cf(z)dz，由于解析函数是可导的，我们可以通过柯西定理将曲线内部的积分等于曲线上的积分，简化计算。
2. 物理学中的应用：解析函数被广泛应用于物理学中的电磁场、流体力学等领域。
例如，对于电势、磁场等物理量的描述往往使用解析函数的方法，通过假设解析函数满足某些条件，可以方便地求解实际问题。
3. 工程学中的应用：解析函数在工程学中的应用也非常重要。
例如，在信号处理领域，解析函数可以用于信号的频谱分析、信号的模拟与合成等方面。
总之，解析函数作为高中数学中的重要概念，其性质和应用在数学学科及其他学科中都有广泛的应用。
解析函数和调和函数的定义
解析函数和调和函数的定义
解析函数和调和函数是数学中的两个概念，它们的定义如下：
解析函数（Analytic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是解析的，如果它在该点附近的某个区域内满足柯西-黎曼方程，即f'(x)=[f(x)]^n，其中n为正整数，f(x)在该点处连续。
如果一个函数在整个定义域内都是解析函数，则称它为全解析函数。
常见的解析函数包括多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。
调和函数（Harmonic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是调和的，如果它满足拉普拉斯方程，即Δf(x)=0，其中Δ为二阶拉普拉斯方程。
调和函数具有许多优良的性质，如最大值原理、最小值原理、格林公式等等，因此在物理学和工程学中有着广泛的应用。
常见的调和函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等等。
总的来说，解析函数和调和函数都是数学中非常重要的概念，它们具有不同的性质和应用领域。
解析函数主要用于研究函数的导数和微分
方程，而调和函数主要用于研究波动现象和物理学中的振动问题。
第二章解析函数
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导， 则称f(z)在区域B内可导：
例2.1.4
讨论函数 w f ( z ) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足. 根据 有
f ( z) | Im z 2 | 2 | xy | u( x, y) iv ( x, y)
u ( x, y ) 2 | xy |
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1
2. 求证w= z 在z平面上处处连续，但 处处不可导
可导必连续。
例 2.1.1 用导数的定义证明公式： n nz n1 （n 为正整数） (z )
【证明】设 f ( z) z ，故
n
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) z n(n 1) n 2 n 1 z[nz z z (z )n 1 ] 2 f ( z z ) f ( z ) lim nz n 1 z 0 z
二、复变函数导数存在的充要条件
可导条件
分析
f ( z) f ( z) lim f ' ( z0 ) lim x x0 x x0 z z y y y y
0 0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
f ( z ) u iv u v lim i x x0 x x0 z x x x y y lim
多项式)，除去使Q(z)=0的点外处处解析。
解析函数
u v u v , . x y y x
Cauchy Riemann 方程 (简称 C R 方程)
定理 2.1 (可导的充要条件) f ( z ) u iv 在 z x iy 可导 (1) u、v 可微； ( 2) u、v 满足 C R 方程 : u v u v , . x y y x
例3 研究函数 h( z ) z 的解析性.
2
解： h( z0 z ) h( z0 ) z0 z z0 z z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) (1) z0 0, lim 0. z 0 z ( 2) z0 0, 令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 ,
记作
dw f ( z 0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim . dz z z0 z 0 z
或
w f ( z0 )z o(| z |) ( z 0),
也称 df ( z0 ) f ( z0 )z 或 f ( z0 )dz 为 f ( z ) 在 z0 处
解析函数的运算法则
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析.
( 2) 设函数 g( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w f ( ) 在 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D 内的每一个点z , 函数 g( z ) 的对应值 都属 于 G , 那末复合函数w f [ g( z )] 在 D 内解析.
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都
02_解析函数
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么
df ( z ) u v v u i i dz x x y y
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v v 1 du , d
举例
dez z e dz
u u v v Ey , Ex Ex , Ey x y x y u v u v , C-R条件 x y y x 静电场的复势 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) v v E Ex iE y gradv i i F ( z ) x y
d 1 12 12 2 dz 2 2
d dz 1 d dz
dF ( ) dF d dz d dz
说明
反之则 不成立
如果函数 f(z)在区域 D内的每一点可导，则称f(z)在区域 D内可导
可导
连续
C-R条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定
根式函数
wn z
i arg z 2 k n
由于z的n次方根为wn n z n | z |e
(k 0,1,2,, n 1)
n
且辐角具有多值性，因此根值函数wn
z为n值函数
第四节 解析函数的应用——平 面场的复势
用复变函数刻画平面向量场
我们说某一个向量场是一个平面场，并不是指这个场中所有的向量都定 义在某一平面内，而是指所有的向量都平行于某一固定的平面，而且在 垂直于的任一条直线上所有的点处，向量的大小和方向都相同。这样， 向量场就可以用平面上的向量场来表示 。 如果我们用复数表示平面上的向量，那么场就惟一地确定了一个复变函 数
求函数解析式的6种方法
求函数解析式的6种方法函数解析式是描述函数行为的一种数学表示方法，可以通过不同的方法得到。
以下是六种常见的方法：1.点斜式：如果已知函数通过一点（x1,y1）且斜率为m，则可以使用点斜式来表示函数解析式。
点斜式的一般形式为y-y1=m(x-x1)。
例如，如果已知函数通过点(2,3)且斜率为4，则函数解析式可以表示为y-3=4(x-2)。
2.两点式：如果已知函数通过两个点（x1,y1）和（x2,y2），则可以使用两点式来表示函数解析式。
两点式的一般形式为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
例如，如果已知函数通过点(1,2)和(3,4)，则函数解析式可以表示为(y-2)/(4-2)=(x-1)/(3-1)。
3. 斜截式：如果已知函数通过y轴截距b且斜率为m，则可以使用斜截式来表示函数解析式。
斜截式的一般形式为y = mx + b。
例如，如果已知函数通过y轴截距为2且斜率为3，则函数解析式可以表示为y =3x + 24.一般式：一般式是一种通用的函数解析式表示方法，用Ax+By+C=0的形式表示。
其中A、B、C为常数。
一般式的选择通常取决于特定问题或需要。
例如，已知函数为3x+2y-6=0，则可以将其表示为一般式。
5.法线式：如果已知函数通过一点（x1,y1），则可以使用法线式来表示函数解析式。
法线式与点斜式类似，但斜率的倒数与点斜式斜率相反。
法线式的一般形式为y-y1=(-1/m)(x-x1)，其中m为函数的斜率。
例如，如果已知函数通过点(2,3)且斜率为4，则函数解析式可以表示为y-3=(-1/4)(x-2)。
6.函数图形：通过观察函数的图形，可以得到函数的一些特征和规律，从而推断出函数解析式。
例如，通过观察函数图形的对称性、零点、极值点等，可以得到函数解析式的一些重要信息。
这种方法通常适用于简单的函数图形，对于复杂的函数图形可能需要借助计算机软件进行分析。
这些方法不是互斥的，可以根据具体问题和已知条件选择合适的方法来得到函数解析式。
解析函数
求函数的奇点
求函数的奇点，方法有：
第二章 解析函数
(1) f (z) 的不连续点为函数的奇点；
(2) f (z) = u + iv ， u ，v不可微的点为函数的奇点；
(3) f (z) 的不可导的点为函数的奇点；
(4) 不满足C-R条件的点为函数的奇点；
(5) 不满足解析定义的点为函数的奇点.
0
函数f (z) 在z0可导
函数f (z) 在z0连续
3.求导法则
第二章 解析函数
复变函数的求导法则完全类似于实变函数的求导法则. 如果f (z)和g(z)在区域D内可导，则： (1) ( f (z) g(z))' f '(z) g'(z)
(2) [ f (z)g(z)]' f '(z)g(z) f (z)g'(z)
vx 2cx dy , vy dx 2 y
由C-R方程： ux
v
，
y
uy
vx
2x ay dx 2y
ax 2by (2cx dy) a 2 , b 1, c 1, d 2
所以当 a 2 , b 1, c 1, d 2 时， f (z)在复平面内处处解析.
第二章 解析函数
第二章 解析函数
解析函数是复变函数研究的主要对象. 介绍复变函数导数概念和求导法则. 重点介绍解析函数的概念及判别方法. 介绍一些常用的初等函数及其解析性. 第一节 解析函数的概念
本章内容 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数
第二章 解析函数
第一节 解析函数
• 一．复变函数的导数和微分 • 二．解析函数的概念
则f (z) 在D内为常数.
解析函数
充分条件
偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 满足C-R条件
x x0 y y0
lim
f ( z) u iv v u lim i y y 0 z iy y y
意义
可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
柯西—黎曼条件的应用
(d)
g ( z) 0
f g ( z )
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导， 则称f(z)在区域B内可导：
kx
的趋向得到不同的值，故原函数在z0=0 处不可导。 本例题告诉我们即使函数满足C-R条件，仍然可 能不可导．那么C-R条件还需加上什么条件才能保 证函数可导呢？因此需要讨论可导的充分必要条件 .
定理
设函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f (z)在D内一点z=x+iy可导的充要条件是：u(x,y)与 v(x,y)在点(x,y)可微，并且在该点满足CauchyRiemann(柯西—黎曼)方程
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v , r r v 1 du r r d
三、解析函数的概念
1、定义 若函数w=f (z)在点z0的及其邻域内处处可导，则称函 数w=f (z)在点z0处解析。 若函数w=f (z)在区域D内处处可导，则称函数w=f (z) 在区域D内解析，或称f (z)是区域D内的解析函数。 若w=f (z)在点z0不解析，则称点z0为w=f (z)的奇 点。
常见的解析函数
常见的解析函数1、urlparse()函数：urllib.parse.urlparse（urlstring，scheme, allowable_schemes）可以将URL地址（URL string）分解成6组片段，按照特点分别为：协议、位置、路径、参数、查询、片段，返回为ParseResult类型的元组，元组包含6个元素，顺序依次为：scheme（协议）、netloc（位置）、path（路径）、params（参数）、query（查询）、fragment（片段）。
2、urlunparse函数：urllib.parse.urlunparse（parsequerytuple）该函数接受一个参数，即urllib.parse.urlparse函数得到的ParseResult元组，将6组片段组合起来成URL，返回一个字符串。
3、urljoin函数：urllib.parse.urljoin（base, urlstring）该函数接受两个参数，base为基本URL（它可以是相对路径），urlstring为普通的URL字符串，将urlstring和base合成一个带有完整路径的URL，并且返回字符串。
4、urlencode函数：urllib.parse.urlencode（queryherd）将一个字典参数 queryherd 的键/值键值对，构造一个键值对字符串，例如，{'name': 'lisa', 'age':18}对应的字符串为：name=lisa&age=18 。
5、parse_qs函数：urllib.parse.parse_qs（urlstring[,keepblankvalues]，strictparsing）接受一个参数urlstring，即URL字符串，且默认strictparsing=False,strictparsing如果设置为True时，则返回跟原始URL字符串保持一致的结果；keepblankvalues=False 表示只有键的时候不保留，如果设置为True则返回剔除了键的值为空的键值对，返回类型为字典。
(解析函数)
实事上,函数在一点可导, 不一定在该点处解析.
函数在一点解析, 则在该点及该点的某个邻域一定可导. 练习： 试证 f (z) ex (cos y i sin y) 在复平面上解析，且求 f '(z)
2v y 2
0
调和函数指如果某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续
偏导数且满足拉普拉斯方程 2H 0 则称H(x,y)为
区域B上的调和函数.
4
以上说明u(x,y)和v(x,y)都满足二维的拉普拉斯方程,即都是 调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特别
称之为共轭调和函数
( x,0)
(x,y)
v 2 ydx 2xdy 2 ydx 2xdy C
y
(0,0)
( x,0)
(x,y)
( x, y)
•• 2xdy C 2xy C C为积分常数
(0,0)
o
x
(x,0)
7
(2)凑全微分法 由上已知
dv=2ydx+2xdy 很容易凑成全微分形式d(2xy),则
dv=d(2xy) 此时显然有v=2xy+C
实质上也是曲线积分法,在容易凑微分的时候很方便.
(3)不定积分法 上边算出
v 2x, ••v 2 y
y
x
第一式对y积分,x看做参数,可得
v 2xdy (x) 2xy (x) 其中(x)为x的任意函数,再
对x求导 v 2 y (x) 由柯西-黎曼条件知道 (x) 0
§1.4 解 析 函 数 上一节我们学习了复数的导数, 导出柯西-黎曼方程,本节我们
解析函数
z = z0
= f ' ( z0 ) ± g ' ( z0 )
= f ' ( z0 ) g ( z0 ) + f ( z0 ) g ' ( z0 ) = f ' ( z0 ) g ( z0 ) − f ( z 0 ) g ' ( z0 ) g 2 ( z0 )
∆w = f ' ( z0 ) ∆z + o(| ∆z |) (∆z → 0)
（即f (z) =
z2 在复平面处处可导。）
(2) f ' ( z ) =
更一般地， 求 f (z) = zn 的导数：
f ′( z ) = ( z n )′ = lim
∆z → 0
( z + ∆z ) n − z n ∆z → 0 ∆z n −1 1 n −1 n −1 = lim [(∆z ) + C n (∆z ) n − 2 z + L + C n z ]
= nz n −1
2 所以 f ′( −i ) = 2[(−i ) − 2(−i) + 4] ⋅ [2 ⋅ (−i ) − 2]
复变函数的导数具有与实变函数同样的求导法则.
2013/3/28 4 2013/3/28
= −4(3 + 2i )(1 + i ) = −4 − 20i
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2 复变函数导数的运算法则
函数f(z)在z0处可导也可记作 f ' ( z0 ) = lim 或 或
∆z → 0
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u ( x, y) C , v( x, y) C
f (z) 在D内恒为常数。
浙江大学
解析函数与调和函数的关系
定义：设 u(x,y) 在平面区域具有二阶连续偏导数且满足
2u 2u 2 0, 2 x y 则称二元函数 u(x,y) 为调和函数。
定理：设 f(z) = u(x,y) + I v(x,y) 在区域 D 上解析。如果 u, v 的 所有二阶偏导数连续，那么 u 和 v 为D内的调和函数。
求 f ( z ) z 的导数
2
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) 2 z 2 lim lim z 0 z 0 z z
lim (2 z z ) 2 z
z 0
浙江大学
例： 问 f ( z ) x 2 yi 是否可导？
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z ( x x) 2( y y )i ( x 2 yi ) lim z 0 z x 2yi lim z 0 x yi 极限不促在
取特殊的趋向，得到不同的极限值。
浙江大学
II） 可导与连续 f(z)=x+2yi 在整个复平面上处处连续，却处处不可导。 连续 证明 III） 求导法则 可以将实函数中的运算法则推广至复变函数， 证法相同。 可导
浙江大学
IV） 微分概念 假设f (z)在z0处可导，则
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) lim z 0 z
浙江大学
解析函数的充要条件（Cauchy – Riemann 条件）
判别一个函数是否解析，如果只根据解析函数的定义， 往往是困难的。 设 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 定义在D内，并且在D内任一点z=x+iy 可导，则 其中
f ( z z ) f ( z ) f ( z )z (z )z f ( z ) a ib,
存在，那么就说f (z)在z0处可导。这个极限值称为f (z)在z0 处的导数，记作
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) dw f ( z 0 ) lim dz z z0 z 0 z
浙江大学
注意：z
0
的方式是任意的，定义中的极限值存在
的要求与自变量的趋向方式无关。对于导数的这一限制比对 一元实变函数的类似限制要严格得多，从而使复变可导函数 具有许多独特的性质和应用。 定义： 如果f(z) 在区域D内处处可导，那么我们 就说f(z) 在D内可导。 例：
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 )z (z )z
定义：若函数w=f(z)在点z0处的增量可以表示为
w Az o( z )
则称f(z)在点z0处可微，
dw Adz
若f (z)在z0处可导，则 dw f ( z 0 )dz
u ( x, y ), v( x, y ) 在(x, y)处可微，而且满足方程
u v a , x y u v b . y x
浙江大学
u v , x y u v y x
定理一
柯西－黎曼方程 Cauchy－Riemann方程
设 函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 定义在区域D内，则
浙江大学
例：研究函数 f ( z ) z 2 , g ( z ) x 2 yi 和 h( z ) | z | 2 的解析性。
解： f ( z ) z 2 在复平面上处处解析。
g ( z ) x 2 yi 在复平面上处处不解析。
2 2 h( z ) | z | 2 z z z h( z 0 z ) h( z 0 ) 0 0 lim lim z 0 z 0 z z
平面上的区域G内解析。如果对D内的每一个点z，函数g(z) 的对应值h 都属于G，那么复合函数w=f(g(z))在D内解析。 从上面的定理可以知道， 所有多项式在复平面内是处处解析的； P( z ) 任何一个有理分式函数 在不含分母为零的点的区域内 Q( z ) 是解析函数，使分母为零的点是它的奇点。
浙江大学
例 判定下列函数在何处可导，在何处解析
w z
f ( z ) e x (cos y i sin y)
C－R方程不满足
w z Re( z )w Nhomakorabea z x iy
f ( z ) e x (cos y i sin y)
C－R方程满足，实部虚部均有一阶 连续偏导数 仅仅在原点满足C－R方程
或者
u v i x x
v u f ( z ) i y y
浙江大学
定理二
函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的充要条件是
u(x,y), v(x,y)在D内可微，并且满足C-R方程。
上述两个定理提供了判断函数 f(z) 在某点是否可导， 在区域内是否解析的常用方法，也给出了一个简洁的 求导公式。是否满足C－R方程是定理中的主要条件。 如果 f(z) 在区域D内不满足C－R方程，那么 f(z) 在D 内不解析； 如果在D内满足C－R方程，并且u和v具有一阶连续偏 导数，那么 f(z) 在D内解析。
v 2cx dy x
从而要满足C－R方程，只需
2 x ay dx 2 y,
2cx dy ax 2by. d 2
浙江大学
a 2 b -1, c 1,
例 如果 f ( z ) 在区域D内处处为零，那么 f (z) 在D内恒为常数。 证明： f ( z ) u i v v i u 0 y y x x u v u v 0 x x y y
u v , x y u v y x
2u 2 v , 2 yx x
2u 2v 2 xy y
2u 2u 2 0, 2 x y
浙江大学
共轭调和函数
一个解析函数的实部 u 和虚部 v 都是调和函数。 称v(x, y) 是 u(x, y) 的共轭调和函数。 如果已知区域D内的某个解析函数的实部u（或虚部 v），那 么可以利用柯西－黎曼方程求出它的虚部v （或实部u）， 从而得到D内的解析函数f (z) 的表达式。 定理： 设 u(x, y)是z0的一个邻域中的调和函数，则存在一 个定义在这个邻域中的共轭调和函数v(x, y)，使得 f(z) 在z0点解析。
f(z) 在D内一点z=x+iy可导的充要条件是 u(x,y), v(x,y) 在点（x, y）可微，并且在该点满足C-R方程。 必要性由前面的叙述可知。充分性的证明下面给出。
浙江大学
充分性的证明
f ( z z ) f ( z ) u ( x x, y y) u ( x, y)
浙江大学
1 例：研究函数 w z
的解析性。
因为w在复平面内除 z=0外处处可导，且
dw 1 2 dz z
所以在除原点外的复平面内，该函数处处解析， 而原点是它的奇点。
浙江大学
定理 （1）在区域 D 内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、 积、商（除去分母为零的点）在D内解析。
（2）设函数 h = g(z)在z平面上的区域D内解析，而函数w=f(h)在 h
iv( x x, y y) v( x, y)
u iv
因为u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，可知
u u u x y 1 x 2 y x y v v v x y 3 x 4 y x y
k 是无穷小量
浙江大学
u u f ( z z ) f ( z ) x y 1 x 2 y x y v v i x y 3 x 4 y y x
u v v u i x i y 1 i 3 x ( 2 i 4 )y x y x y
根据C－R方程，有
f ( z z ) f ( z ) v u i x iy 1 i 3 x ( 2 i 4 )y x x 1 i 3 x ( 2 i 4 )y v u i z z x z x
浙江大学
u v , x y
u v 2 v i y x x
由于 k 是无穷小量,
x y 1, 1, z z
1 i 3 x ( 2 i 4 )y
z
0
(z 0)
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
( z 0 z )( z 0 z ) z 0 z 0 z lim z 0 z z 0 lim z 0 z 0 z z
z0 0
上式的极限为0
z0 0
上式的极限不存在
因此 h( z ) | z | 2 仅在原点处可导，而在其余点都不可导， 故在整个复平面处处不解析。
复变函数与积分变换
贾厚玉
mjhy@
浙江大学
第二章
解析函数
复变函数的导数 解析函数 解析函数的充要条件 初等解析函数
浙江大学
复变函数的导数与微分
I） 导数的定义 设函数w=f (z)定义在区域D上，z0为D中一点，如果极限
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim z 0 z
w z Re( z ) x( x iy )
浙江大学
例 设函数
f ( z ) x 2 axy by 2 i(cx 2 dxy y 2 ).
问常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处处解析？
解： u 2 x ay x