解析函数

k 是无穷小量
浙江大学
u u f ( z z ) f ( z ) x y 1 x 2 y x y v v i x y 3 x 4 y y x
u v v u i x i y 1 i 3 x ( 2 i 4 )y x y x y
浙江大学
例 判定下列函数在何处可导，在何处解析
w z
f ( z ) e x (cos y i sin y)
C－R方程不满足
w z Re( z )
w z x iy
f ( z ) e x (cos y i sin y)
C－R方程满足，实部虚部均有一阶 连续偏导数 仅仅在原点满足C－R方程
浙江大学
解析函数的充要条件（Cauchy – Riemann 条件）
判别一个函数是否解析，如果只根据解析函数的定义， 往往是困难的。 设 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 定义在D内，并且在D内任一点z=x+iy 可导，则 其中
f ( z z ) f ( z ) f ( z )z (z )z f ( z ) a ib,
u ( x, y) C , v( x, y) C
f (z) 在D内恒为常数。
浙江大学
解析函数与调和函数的关系
定义：设 u(x,y) 在平面区域具有二阶连续偏导数且满足
2u 2u 2 0, 2 x y 则称二元函数 u(x,y) 为调和函数。
定理：设 f(z) = u(x,y) + I v(x,y) 在区域 D 上解析。如果 u, v 的 所有二阶偏导数连续，那么 u 和 v 为D内的调和函数。
浙江大学
1 例：研究函数 w z
的解析性。
因为w在复平面内除 z=0外处处可导，且
dw 1 2 dz z
所以在除原点外的复平面内，该函数处处解析， 而原点是它的奇点。
浙江大学
定理 （1）在区域 D 内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、 积、商（除去分母为零的点）在D内解析。
（2）设函数 h = g(z)在z平面上的区域D内解析，而函数w=f(h)在 h
f(z) 在D内一点z=x+iy可导的充要条件是 u(x,y), v(x,y) 在点（x, y）可微，并且在该点满足C-R方程。 必要性由前面的叙述可知。充分性的证明下面给出。
浙江大学
充分性的证明
f ( z z ) f ( z ) u ( x x, y y) u ( x, y)
可微与可导等价。
浙江大学
解析函数
定义：如果函数 f(z) 在z0及其z0 的邻域内处处可导，那么 称 f(z) 在z0解析。 如果 f(z) 在区域 D 内每一点处解析，那么称 f(z) 在D内解析。 如果 f(z) 在z0处不解析，那么称z0为f(z)的奇点。 注记： 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。 函数在一点处解析与在一点处可导是两个不等价的。 函数在一点处可导未必在该点处解析。 函数在一 点处解析比在该点处可导的要求要高得多。
w z Re( z ) x( x iy )
浙江大学
例 设函数
f ( z ) x 2 axy by 2 i(cx 2 dxy y 2 ).
问常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处处解析？
解： u 2 x ay x
u ax 2by y v dx 2 y y
浙江大学
证明：由CR方程，
Step1.
Step 2.
u v , 所以两边对y积分，得到 x y u v( x, y ) ( x, y )dy ( x) x u v y x
u y ( x, y) v x ( x, y)
iv( x x, y y) v( x, y)
u iv
因为u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，可知
u u u x y 1 x 2 y x y v v v x y 3 x 4 y x y
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 )z (z )z
定义：若函数w=f(z)在点z0处的增量可以表示为
w Az o( z )
则称f(z)在点z0处可微，
dw Adz
若f (z)在z0处可导，则 dw f ( z 0 )dz
u ( x, y ), v( x, y ) 在(x, y)处可微，而且满足方程
u v a , x y u v b . y x
浙江大学
u v , x y u v y x
定理一
柯西－黎曼方程 Cauchy－Riemann方程
设 函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 定义在区域D内，则
z 0
lim (z ) 0.
令 f ( z z ) f ( z ) u iv,
(z) 1 i 2
浙江大学
u iv (a ib)(x iy) ( 1 i 2 )(x iy)
(ax by) ( 1x 2 y) i(bx ay) ( 2 x 1y) u ax by 1x 2 y v bx ay 2 x 1y
根据C－R方程，有
f ( z z ) f ( z ) v u i x iy 1 i 3 x ( 2 i 4 )y x x 1 i 3 x ( 2 i 4 )y v u i z z x z x
求 f ( z ) z 的导数
2
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) 2 z 2 lim lim z 0 z 0 z z
lim (2 z z ) 2 z
z 0
浙江大学
例： 问 f ( z ) x 2 yi 是否可导？
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z ( x x) 2( y y )i ( x 2 yi ) lim z 0 z x 2yi lim z 0 x yi 极限不促在
浙江大学
u v , x y
u v 2 v i y x x
由于 k 是无穷小量,
x y 1, 1, z z
1 i 3 x ( 2 i 4 )y
z
0
(z 0)
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
或者
u v i x x
v u f ( z ) i y y
浙江大学
定理二
函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的充要条件是
u(x,y), v(x,y)在D内可微，并且满足C-R方程。
上述两个定理提供了判断函数 f(z) 在某点是否可导， 在区域内是否解析的常用方法，也给出了一个简洁的 求导公式。是否满足C－R方程是定理中的主要条件。 如果 f(z) 在区域D内不满足C－R方程，那么 f(z) 在D 内不解析； 如果在D内满足C－R方程，并且u和v具有一阶连续偏 导数，那么 f(z) 在D内解析。
浙江大学
例：研究函数 f ( z ) z 2 , g ( z ) x 2 yi 和 h( z ) | z | 2 的解析性。
解： f ( z ) z 2 在复平面上处处解析。
g ( z ) x 2 yi 在复平面上处处不解析。
2 2 h( z ) | z | 2 z z z h( z 0 z ) h( z 0 ) 0 0 lim lim z 0 z 0 z z
平面上的区域G内解析。如果对D内的每一个点z，函数g(z) 的对应值h 都属于G，那么复合函数w=f(g(z))在D内解析。 从上面的定理可以知道， 所有多项式在复平面内是处处解析的； P( z ) 任何一个有理分式函数 在不含分母为零的点的区域内 Q( z ) 是解析函数，使分母为零的点是它的奇点。
( z 0 z )( z 0 z ) z 0 z 0 z lim z 0 z z 0 lim z 0 z 0 z z
z0 0
上式的极限为0
z0 0
上式的极限不存在
因此 h( z ) | z | 2 仅在原点处可导，而在其余点都不可导， 故在整个复平面处处不解析。
存在，那么就说f (z)在z0处可导。这个极限值称为f (z)在z0 处的导数，记作
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) dw f ( z 0 ) lim dz z z0 z 0 z
浙江大学
注意：z
0
的方式是任意的，定义中的极限值存在
的要求与自变量的趋向方式无关。对于导数的这一限制比对 一元实变函数的类似限制要严格得多，从而使复变可导函数 具有许多独特的性质和应用。 定义： 如果f(z) 在区域D内处处可导，那么我们 就说f(z) 在D内可导。 例：
复变函数与积分变换
贾Leabharlann Baidu玉
mjhy@zju.edu.cn
浙江大学
第二章
解析函数
复变函数的导数 解析函数 解析函数的充要条件 初等解析函数
浙江大学
复变函数的导数与微分
I） 导数的定义 设函数w=f (z)定义在区域D上，z0为D中一点，如果极限
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim z 0 z
取特殊的趋向，得到不同的极限值。
浙江大学
II） 可导与连续 f(z)=x+2yi 在整个复平面上处处连续，却处处不可导。 连续 证明 III） 求导法则 可以将实函数中的运算法则推广至复变函数， 证法相同。 可导
浙江大学
IV） 微分概念 假设f (z)在z0处可导，则
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) lim z 0 z
v 2cx dy x
从而要满足C－R方程，只需
2 x ay dx 2 y,
2cx dy ax 2by. d 2
浙江大学
a 2 b -1, c 1,
例 如果 f ( z ) 在区域D内处处为零，那么 f (z) 在D内恒为常数。 证明： f ( z ) u i v v i u 0 y y x x u v u v 0 x x y y
u v , x y u v y x
2u 2 v , 2 yx x
2u 2v 2 xy y
2u 2u 2 0, 2 x y
浙江大学
共轭调和函数
一个解析函数的实部 u 和虚部 v 都是调和函数。 称v(x, y) 是 u(x, y) 的共轭调和函数。 如果已知区域D内的某个解析函数的实部u（或虚部 v），那 么可以利用柯西－黎曼方程求出它的虚部v （或实部u）， 从而得到D内的解析函数f (z) 的表达式。 定理： 设 u(x, y)是z0的一个邻域中的调和函数，则存在一 个定义在这个邻域中的共轭调和函数v(x, y)，使得 f(z) 在z0点解析。