简谐强迫振动

Theory of Vibration with Applications
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性
H ()
为系统的放大因子
1 / 2 /
2 2 n
1
2 n
自由振动 位移幅值 速度幅值
A
受迫振动
H () A
受简谐激励的系统的响应也是简谐的，其振
动频率等于激励的频率，激励与响应之间有 一相位差。这说明响应并不是与激励同时达 到最大值，而是有一个滞后。
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 系统在简谐激励下的响应
2 2 2 n x n x x n A cos t 单自由度系统受简谐激励的微分方程为 0 x 0 x0 x 0 , x
X [( )(cost cos sin t sin )
2 n 2 2 2n (sin t cos cos t sin )] n A cos t
等号两边 cos t 和 sin t 的系数应分别相等
2 2 2 cos 2 sin X n n nA 2 n 2 sin 2n cos X 0
应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成
cx kx H sin t 0 mx
惯性力 阻尼力 弹性力 激振力
kB、cB、H、m 2 B 的旋转矢量表示。 现将各力分别用 B、 式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形。
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z Xe
稳态响应：
x Re[z] Re[ A H () ei (t ) ] A H () cos(t )
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性
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解出 X , 得
X
1 / 2 /
2 2 n n
A
2
， tan 1
2 / n 2 1 / n
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第2章
单自由度系统—简谐强迫振动 引 言
简谐强迫振动指激励是时间的简谐函数，它
在工程结构的振动中经常发生，通常是由旋 转机械失衡造成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非 周期激励下系统响应的基础。 通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的 关系，可以估计测定系统的振动参数，从而 确定系统的振动特性。
设 z Xe
i t
F0 it 2 e n Aei t （2.4-6） m
，将它导入式(2.4-6)，得

2Βιβλιοθήκη Baidu
2 2 i 2 n n Xe i t n Aei t （2.4-7）

因此，
n2 A X 2 2 i 2 n n
可以看到
abs( X )
1 / 2 /
2 2
A
n
2 n
2 / n ， angle ( X ) tan 2 1 / n
1
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性
由图可见： (1) 当 由零开始从小到大时， 放大因子 H ( ) 先 从小到大，在从大到小。
0 ， H ( ) 1 ； 1 ， H ( ) 0 ；
(2) 当 接近 1 时， H ( ) 达到最大，称为共振， 这时系统的动应力最大，对系统（或结构）的破坏 H ( ) 最大。 大家计算一下，当 取何值时， H ( ) 取最大， 最大值为多少？
可以得到
0 X sin n x0 X cos x x1 e n t x X cos cos t sin t d d 0 d
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性
（a）力多边形
(b) ＜＜1
(c) = 1
(d) ＞＞1
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性
Q为放大系数的最大值，品质因子。不在 / n 1的点， 而在 1 的点。
2
1 1 2 (1 )n
2 1
2 1 2 (1 )n
称为系统的带宽。带宽与品质系数有以下关系：
2 1 2n
n / 1 / 2 Q
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 系统在简谐激励下的响应
2 2 2 n x n x x n A cos t
(2.4-2)
式(2.4-2)是二阶非齐次线性常微分方程。根据微分方程理论，它的解 由两部分组成：一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是微分方程的 特解。 根据线性常微分方程理论，运动方程(2.4-2)的特解可以写成如下形式
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性 满足方程：
H ( ) Q 2 / 2
的ω值称为系统的半功率点。它的意义是，响应幅值降为振 幅的0.707时的频率。在小阻尼时有两点满足以上方程。

2
2 Xeit n2 Aeit （2.4-7） i 2n n
由式 (2.4-7)，我们还可以得到
H ( )
X 1 A 2 i 2 1
式中， / n 。 H ( ) 称为系统的频响函数，表示系统稳态振动时响应与 输入之比。
x X cos(t ) (2.4-3)
式中， X 是响应的振幅， 是位移相对激励的相角，均是与时间无关的常 数。将式（2.3-3）代入式(2.4-2)可以得到
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 系统在简谐激励下的响应
第2章
单自由度系统—简谐强迫振动 引 言
强迫振动
－系统在外界激励下产生的振动。
激励形式
－外界激励一般为时间的函数，可以是周
期函数，也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性 激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的 叠加。
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第2章
单自由度系统—简谐强迫振动 能量关系与等效阻尼
从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是 输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐 激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。 受迫振动系统的稳态响应为
x A H () cos(t )
激振力
FS Ak cost
A
A 2
H () A
H () A 2
加速度幅值
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性
复频率响应为：
H () H () ei ( )
系统的特解为：
i (t )
这里， F0 是激励的幅值， 是激励的频率，而 A 定义为
A F0 / k
即系统在静力条件下受一个大小为 F0 的力作用时的位 移，它是与时间无关的常量。引入这个参数的目的是要 比较静力位移和动力位移，以揭示静力学与动力学的差 别。另外，还可以使一些振动参数无量纲化，便于理论 分析。对式(2.4-1)整理，得
x 2 (t ) ， x 2 (t ) 叫做稳态振动、 稳态响应或强迫振动。
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性
(2.4-2)改写为 采用复指数方法可以大大简化简谐振动响应的计算。将式
n2 z 2 n z z
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统如右图所示。根 据牛顿第二定律有
cx kx F0 cos t kA cos t m x
（2.4-1）
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性 已知简谐激振力 令
FS H sint
B H () A
稳态受迫振动的响应为 x B sin(t )
B cos(t ) x B 2 sin(t ) x
(2.4-4)
它的通解为
x x1 X cost
x1 应该满足方程
2 2 1 2 n x 1 n x x1 A cos t 0n 0 x 0 X sin x0 x 0 X cos , x
（2.4-5）
T 0
周期
T
2π

(t ) d t π kA2 H () sin cX 2 WP FS x
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a
b
c
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 系统在简谐激励下的响应
从图中可以看出 (1) 系统发生的运动是频率为 d 的简谐振动 x1 (t ) 和 频率为 的简谐振动 x 2 (t ) 的组合运动； (2) 无论受何种初始条件的作用，由于阻尼的存在，经 过一定的时间后 x1 (t ) 将趋于消失，它只在有限的 时间内存在。因此， x1 (t ) 和 x 2 (t ) 的合成运动只在 有限的时间内存在， 这一振动过程叫做瞬态振动或 过渡振动。 (3) 系统持续的振动只有与外界激励力有关的响应
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1 2
2 2
1
2
1 2 2
H ( ) max 1 2 1 2
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动 复频率响应 幅频特性与相频特性
(3) 阻尼越大（即 越接近 1） ，共振峰越低。 (4) 当 从 0 到 1 时， 从0到 时， 从

2
； 当 从 1 到

2
到 。
(5) 阻尼不同时， 但当 1 特性曲线不同， 时，无论阻尼比 如何，位移落后于激振力的相位 差总是

2
。 我们可以利用这一特点测定系统的固有
频率 n ，这种方法称为相位共振法。
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