积分上限函数的应用
微积分基本公式
0 f (t)dt
练习 设函数y y( x)由方程
y etdt
x2 1
cos tdt
0
所 确 定 ， 求dy
.
0
0
dx
dy dx
2 x cos( x2 ey
1)
例 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
2x x f (t )dt 1在[0,1]上只有一个解. 0
证：设x, x x [a,b]。因为f ( x)在[a,b]上连续，
由积分中值定理得,在x与x x之间，
使
(x) x
1
x
xx
x
f
(t )dt
1
x
f ( )x
f ()，
当x 0时， x及f ( x)的连续性知
( x) lim ( x) lim f ( ) f ( x)。
x0 x
x
则I( x)
2x 1 x4
1 1 x2
sinx
( f (t)dt)
f (sin x)cos x 2xf ( x2 )
x2
d ( b f (t)dt) f (a)
da a
db
dc (a f (t)dt) 0
例 计算 d x3 dt . dx x2 1 t 4
解：d x3 dt 1 (x3) 1 (x2 )
x
a
f
(t )dt在[a, b]区间上定义了一个x的函数。
因为x是积分上限， y
故称为积分上限函数。
o a xx x b x
一、积分上限函数
定义 设函数f ( x)在[a,b]上可积，x [a,b]，则称
( x) ax f (t)dt
积分上限函数在中值定理中的应用
积分上限函数在中值定理中的应用
随着当今社会的科技发展，互联网成为人们活动中不可缺少的一环，其中有很
多活动可以拿到积分，但是由于积分是有限度的，所以唯一可以使用的就是通过中值定理来寻找积分上限，让积分最大化。
积分上限函数可以看做是一个非常重要的管控措施，通过它可以指导用户非常
有效地使用积分达到最好的效果，让用户在互联网上的使用更有效率。
它的实施也可以将积分有效分配给需要的用户，从而达到让大多数用户都得到满足。
中值定理对积分上限函数更加有利，它可以有效地帮助用户确定一个最优的积
分上限值，从而让用户在合理的范围内使用积分，同时又能够达到最大化的效果。
在一般的上限函数中，由于积分消耗的速度和获得的速度不一定相同，所以在判定上限时往往会出现盲点。
运用中值定理则可以有效避免这一情况的发生，从而让用户在使用积分上更有保障。
综上所述，运用中值定理对积分上限函数来说是一个非常有用且有效的工具，
它可以有效让用户利用积分，从而实现积分最大化，更有效地完成积分消耗和获得。
关于积分上限函数所确定的复合函数若干性质与应用的探讨
关于积分上限函数所确定的复合函数若干性
质与应用的探讨
1 积分上限函数
积分上限函数是用来计算某个函数在某个无穷小点处复合函数的
值的一种数学函数。
其特点在于它将函数进行分割，然后用积分算法
来估算函数值。
它可以帮助我们估算函数的参数，即使在功能的最后
一个点，也可以很好地估算函数的值。
2 性质
积分上限函数的性质是它是连续的函数，也就是说，除了分割函
数的位置以外，函数的值在点上是连续的。
此外，积分上限函数由正
上边界和负上边界组成，正上边界指的是在某个无穷小附近，函数值
下限范围内观测不到，而负上边界表示函数值在某个无穷小点处上限。
3 应用
积分上限函数可以结合曲线拟合方法应用于数据分析，可以有效
地拟合不同尺度的数据，包括时间序列、金融学、温度等。
此外，积
分上限函数还可用来解决拖拽延迟、负载平衡以及路由延迟等企业网
络应用中的问题。
另外，积分上限函数还可以应用于服务器调度、流
量分配等方面，可大大提高企业的网络性能和服务质量。
关于积分上限函数的主要性质及其应用
编号学士学位论文关于积分上限函数的主要性质及其应用学生姓名：艾合买提·黑力力学号：***********系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2004-3班木台指导教师：力甫·努尔完成日期：2009 年 5 月22 日中文摘要积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入讨论了特性，并用于解决一些微积分问题，并且得到了相应的比较好的结论。
本文利用积分上限函数的性质讨论一些特殊函数的求导数，求极限，证明单调性，连续性，证明不等式和恒等式，证明积分中值定理，定义有关函数等方面的一些应用。
关键词：积分上限函数；性质；定积分；连续。
1目录中文摘要 (1)引言 (3)1.积分上限函数的性质 (3)定理1.1 (3)定理1.2 (4)定理1.3 (5)定理1.4 (5)定理1.5 (7)定理1.6 (8)2. 积分上限函数的应用 (8)2.1积分上限函数在求导数中的应用 (8)2.2积分上限函数在极限中的应用 (9)2.3积分上限函数在单调性的应用 (10)2.4积分上限函数在函数关系中的应用 (11)2.5在讨论函数连续性方面的应用 (13)2.6证明方程根的应用 (13)2.7积分上限函数在证明等式题中的应用 (14)2.8积分上限函数在计算重积分中的应用 (15)2.9积分上限函数在证明不等式题中的应用 (16)2.10积分上限函数在求解函数方程的应用 (17)2.11积分上限函数在证明恒等式题中的应用 (18)2.12积分上限函数在证明中值定理中的应用 (19)总结 (21)参考文献 (22)致谢 (23)23引言积分上限函数问题是教学和实际生活中有特殊位置，一方面比较简单，另一方面它包括很多实际问题，有着非常广泛的应用。
在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿—莱布尼兹公式，引进积分上限函数的概念。
本文讨论此函数导数的存在性，周期性；并讨论了它在求导数，求极限，证明单调性及连续性，证明积分中值定理，证明不等式和恒等式，定义有关函数等方面的一些应用。
积分上限函数范文
积分上限函数范文
一、积分上限函数的定义
f(x)=x,当x≤a
=a,当x>a
其中，a为上限值。
二、积分上限函数的性质
1.定义域和值域：
2.连续与间断性：
3.导数与不可导性：
对于积分上限函数，当x<a时，导数存在且恒为1；当x=a时，导数不存在，函数是不可导的。
4.极值与点的性质：
5.阶梯函数：
三、积分上限函数的应用
1.信用积分：
信用积分是一种用于评估个人信用状况的指标，通常在0到100之间取值。
信用积分可以用积分上限函数来表示，例如：
f(x)=x,当x≤100
=100,当x>100
2.课程学分：
在大学教育中，学生需要修满一定数量的学分才能毕业。
课程学分可以用积分上限函数来限制，例如：
f(x)=x,当x≤160
=160,当x>160
3.游戏积分：
在电子游戏中，玩家可以通过完成任务、击败敌人等方式获得游戏积分。
游戏积分可以用积分上限函数来表示，例如：
f(x)=x,当x≤1000
=1000,当x>1000
这些只是积分上限函数的一些常见应用，实际上，积分上限函数可以应用于各种需要限定取值范围的场景中。
总结：
积分上限函数是一种能够限制变量取值范围的数学函数。
它的性质包括定义域与值域、连续与间断性、导数与不可导性、极值与点的性质等。
积分上限函数在实际生活中有许多应用，例如信用积分、课程学分、游戏积分等。
通过了解积分上限函数的定义和性质，我们能够更好地理解和应用它们。
积分上限函数的一些应用
积分上限函数的一些应用
1 积分上限函数
积分上限函数是用来描述一个变量a在不同情况下可达到最高积
分c的函数，它在数学上具有重要的意义。
积分上限函数的表达式形式为 y = c - (c - a) / e ^ x，其中e 为欧拉数，一个重大的自然常数，此函数有明确的解析解。
积分上限
函数表示a在不断增加的x对应的情况下最终达到c的积分。
在实际中，积分上限函数有各种应用。
它可以用来描述技能熟练
度的进步，技能熟练度相当于a，技能熟练度的最高积分c则表示技能熟练度的上限，这意味着经过一段时间的练习，我们可以达到一定的
技能水准。
积分上限函数还可以用来表示漂流物体自由落体的过程，落体积
分a代表物体的位移，积分上限c则表示自由落体的最大位移。
多少
时间，物体愈是往下落，积分也会随之升高，直至最终积分达到最大值。
用积分上限函数可以还可以用来表示准备一份考试所花费的时间，a表示准备开始前所获得的积分，c为及格线，而x则表示准备时间，
若考生准备的越仔细，积分就会越高。
也就是说，积分上限函数具有很多实际应用，它可以帮助我们更
好地理解不同的实际情况，比如技能的提升和时间管理。
积分上限函数
积分上限函数
积分上限函数（integrallimitfunction）是一类函数，用来描述某种函数序列的极限情况，它由一个无穷级数的累积和构成，加快无穷级数的收敛速度，可以让无穷级数在有限情况下更好地近似极限函数。
一般来说，积分上限函数可以用数学积分和渐进表示形式定义。
简单地说，积分上限函数就是通过把一系列函数由小到大求和后逐步收敛到极限函数。
其计算结果可以用下列形式表示：如果有序列（fn），则当n→∞时，`lim``(Σ_(n=1)^Nf_n(x)) = F(x)，或lim_(h→0)Σ_(n=1)^Nf_n(x)h = F(x)`。
积分上限函数的实际应用非常广泛，可以用来描述各种现象的变化规律。
例如，它可以用来表示分子的结构变化，描述力学系统的运动规律，以及描述两种不同质量的粒子的交互作用。
此外，它还可以被应用于复杂系统的数值分析中，可以用来计算系统中的关键参数，为系统的优化提供有效支持。
另外，积分上限函数也可以用来描述统计分布的随机性。
它可以用来模拟随机漫步行为，或者描述某些实际问题中随机变量的分布情况，例如随机变量的期望值、方差等。
有时候也可以用来描述不确定性和分布偏差，以及模拟数据分析等场景。
此外，积分上限函数还可以用来对函数的精确结果进行投影，以此来拟合实际问题。
它可以用来拟合函数中的等式到一个给定的上限或下限，并分析函数的变化情况。
总之，积分上限函数在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述许多实际问题、实际现象的变化以及解决实际问题的有效支持。
它的计算结果具有一定的可靠性，可以作为支持决策的有力依据。
积分上限函数的研究与应用
积分上限函数的性质及应用
ｆ当 ＝ 时， Ｉ ｏｔ＝ｍ ｃ ￣ １ ３ ０ ｌ ） ｉ ｍ ｓ ｔｉ ｓ ， ｃ ￣ ｌ ｏｘ＝ ｄ
一 ０。 Ｊｕ 叶 ０— １
，‰
） ） ＝ｆ
２２积分上 限函数 的可微性 ． 定理 ３ 设函数＿ ） ｂ ｌ 厂 在［，］ 连续， 函数 中 ） ａ ６内可导， （ － 则 在 ，关键词 】 ； ； 连续 可微 不等式
１积分上限函数的定义 ．
对 于区间 ，］ 的可积 函数 ， ）设 为 ａ６上 的任 意一点 ， ６ 上 （ ， ， ］ 变
故知此时 中 ∽在［，】 ｎ６ 上严格单 调。
３积分上 限函数性质的应用 ．
３ 讨论函数 的极限与连续性 ． １
◇高 教论述◇
科技 一向导
２１ 年 ３ 期 ０１ 第 ２
积分上限函数的性质及应用
吴红春 （ 内蒙古集宁师范学院数 学系 内蒙古
乌兰察布
０２ ０ ） １ ０ ０
【 要】 摘 本文讨论 了积分上限函数的有界性 ， 连续性， 可积性， 可微性 ， 单调性 等一些基本性质， 并且运 用这些基本性质对与积分上限 函数相 关的某些函数 的微 分、 积分等作 了浅显 的讨论 ， 以及在证明积分等 式（ 不等式） 与一些中值 问 等方面也作 了一 些探 讨， 究了积分上 限函数 题 并探
上限的 积分 Ｊ（ ｔ ｔ 显然存在， 在［６ ｆ） ｄ 当 ｎ】 ，上任意变动时， 对于每 一个
取定的 值， ｆ） 就有一个对应的值， Ｉ（ ｔ ｔ ｄ 这样就在【 ｈ ｏ ｉ ． －个 ，￣定ＹＴ 新函 ＝ｆ ｔｔ 数中 ） ） ， Ａｄ （ ，） ６ 称为积分上限函 ］ 数。
）２］ｏ －（）
因此 ） ｘ ０ 在 ＝ 处不连续， 但它是右连续 的。 ３ 积分上限函数周期性的应用 ． ２
积分上限函数的性质及应用2
权重向量。
确定方案层 P 对准则层 C 的权重 W2 ：
对 A 计划的各项套餐量化可准确反映每一项套餐的优劣， 由此
分别构造方案层 P 对准则层 C 的比较矩阵。
（k）
Fk
（k）
＝（fi，j ）n×n
，其中
（k）
fi，j ＝
Ai
（k）
（i，j＝1，2，3···11；k＝1，2···，5）
Aj
明显所有的 Fk 均为一致阵，由一致阵 的 性 质 可 知 ，Fk 的 最 大 特 征
乙 乙 a+T
T
f(x)dx= f(x)dx,
a
a
现在
乙 乙 乙 乙 x+T
x
x+T
T
Φ(x+T)= f(t)dt= f(t)dt+ f(t)dt=Φ(x)+ f(x)dx=Φ(x).
a
a
a
a
于是知 Φ(x)仍然为以 T 为周期的连续函数。
2.4 积分上限函数的单调性
定理 5 设函数 f（x）在[a，b]上连续且不变号, 则函数 Φ(x)为[a，b]上
值为 λmax =5.1423，相应的特征向量归一化有
W1 ＝ ● 0．3606 0．2652 0．1755 0．1161 0．0826 ● T
对应的一致性检验指标为 RI＝1．32，则一致性检验指标:
CI1
＝
λmax －5 5－1
一致性比率 CR＝ CI1 RI1
≈0．0252<0.1，
于是 W1 作为 C 层对 O 层的
确定准则层 C 对目标层 O 的权重 W1
根据不同因素对目标影响，构造比较矩阵如下：
●●1
浅议积分上限函数的应用
【（ ］［（出＜厂 ）ｆ＝ｆ） ｆｘ ｆ ］ｆ（ ｄ ｆ（ ／） ＝厂） 。 ｘ ２ １
第 ３期
章朝庆 ：浅议积分上限函数的应用
６ １
为 证 明结 论 的另一 部分 ，设
Ｆ ＝ （） ［ ） ／ （ ｄ， ｅ０１ 】一 ｔ ｔ ［ ］，则 ） ｘ ，
一
＿）－ｄ ． ）） 。 ， （ ｔ ＝ （ ｄｄ （ ） ｆ ｆ ｔ ｕｔ
个 原 函数 。这个 定理不 仅肯 定 了连续 函数 一定
证 ： Ｆ） ） ｔ， ｆ ａｄ 明 设 （＝ （ ）Ｇ） （ ｕ， ｄ （ ）） —ｔ ： ｔ
则 Ｆ ） 。 ＝
Ｇ（） ’ ＝
章朝 庆
（ 泰州职业技术学院 基础科学部 ，江苏 泰州 ２ ５ ０ ２ ３ ０）
摘
要 ：积 分上 限 函数 及其 性质 是微 积分 的基本 定理 ，文章 通过 构造积 分上 限 函数并 结合微 分 中值 定理 来证 明积分 等式 、积分 不等 式 ，并推 出一个新 的积 分 不等式 。
关键词 ：积 分上 限 函数 ；积 分等 式 ；积分 不等式
∈（，） ，ｏ ｆ（） １ ）０ ０１时 ＜ ＜ ， ＝ 。证 明 ｘ ０
ｆ ａ ［ 酬 ＞厂 ）。 厂 ）＞ ） ｆ ａ ｘｆ ｘ
证 明 ：利用 Ｃ ｕ ｈ － Ｓ ｈ ａｙ ａ ｃ ｙ ｃ ｗ ｒ积分 不等式 ，令 ｇｘ １ （＝ ，则 ）
２ 在证 明积分等式 中的应用
例２ 设厂 为连续函数 ， 明 ） 证
中 图分 类号 ：０１ ７ 文献标 识码 ：Ａ 文章编 号 ：１ ７ ～ １ ２２ １）３ ０ ６ — ２ ６ １ ０ ４ （０ ００ — ０ ０ ０
积分上限的函数的性质及其应用(正文)
积分上限的函数的性质及其应用数学教育专业学生：祝胜前指导教师：张云摘要：变限积分函数分为变上限和变下限积分函数两种，变下限积分函数可以转化为变上限积分函数。
积分上限函数加强了微分和积分之间的联系，是定积分基本公式的理论基础。
变限积分函数的性质主要由被积分函数的性质、积分上（下）限的结构来决定。
我们对它进行初等性质及分析性质的研究，可深入了解其特性，并广泛用于解决一些微积分的问题。
关键词：积分上限函数，变限积分函数，导数，单调性，奇偶性Abstract: The variation range integral function divides into changes the upper limit and changes the lower integral function two kinds, changes the lower integral function to be possible to transform for changes the upper integral function. The integral upper limit function strengthened between the differential and the integral relation, is the definite integral fundamental formula rationale.The variation range integral function nature mainly by the structure which by in the integral function nature, the integral (next) is limited decided. We carry on the primary nature and the Analysis nature archery target research to it, but thoroughly understood its characteristic, and widely uses in solving some fluxionary calculus problems.Keyword: Integral upper limit function, variation range integral function, derivative, monotony, odevity0 问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系：设某物体作直线运动，已知速度()v v t 是时间间隔12[,]T T 上t 的一个连续函数，且()0v t ≥，求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为21()T T v t dt ⎰。
积分上限函数及应用题
积分上限函数及应用题引言在数学中，积分是一种重要的运算工具，用于求解曲线下面的面积或曲线的长度、质量等问题。
在实际应用中，我们往往需要对积分结果进行限制，以满足特定的需求。
这就引出了积分上限函数的概念和应用。
积分上限函数的定义积分上限函数是一种特殊的函数，其定义为对于一个固定的上限值，计算积分结果。
以常见的积分上限函数为例，设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则积分上限函数F(x)定义为：F(x) = ∫[a,x] f(t) dt其中，∫[a,x]表示对区间[a,x]上的函数进行积分操作。
积分上限函数F(x)表示计算积分结果时的上限值为x。
积分上限函数的性质积分上限函数具有以下性质：1.F(x)在[a, b]上连续。
这是因为积分操作具有连续性。
2.F(x)在[a, b]上可导。
根据微积分的基本原理，积分上限函数F(x)在[a,b]上可导，并有F’(x) = f(x)。
3.F(x)是原函数f(x)的一个不定积分。
即F’(x) = f(x)，其中F(x)表示积分上限函数，f(x)表示原函数。
积分上限函数的应用积分上限函数在实际问题中具有广泛的应用。
下面以几个典型的应用题为例，说明积分上限函数的应用。
应用题一：曲线下面的面积计算假设有一条曲线，其方程为y = f(x)，我们想要计算曲线下面的面积，即曲线与x轴所夹的区域的面积。
利用积分上限函数，我们可以使用以下公式计算：S = ∫[a,b] f(x) dx其中，∫[a,b]表示对区间[a,b]上的函数f(x)求积分，S表示曲线下面的面积。
通过计算积分上限函数F(b)和F(a)的差值，我们可以得到所需的面积。
应用题二：质心的计算在物理学中，质心是描述物体重心位置的概念。
对于一维质点系，其质心的位置可以通过积分上限函数来计算。
假设质点系中每个质点的质量为m(x)，其位置为x，质心的位置为c。
利用积分上限函数，我们可以使用以下公式计算质心的位置：c = ∫[a,b] x · m(x) dx / ∫[a,b] m(x) dx其中，∫[a,b]表示对区间[a,b]上的函数进行积分。
积分上限函数的若干应用
作者简介 ：王 宝珍 （ ９ ９ ） ，河南方城人 ，讲师 １ ７ 一 ，女
王宝珍 ，夏银红 ：积分上 限函数 的若 干应用 Ｙ～Ｎ（ ／＋ｂ ａ ｏ。 ． ａｌ ，ｚ 、
・ ７・ ２
中令 ＝０ 得 （） ， 可 ０ ＝０ 可见 厂（） ＝似 在 ＝０ 也 时
由 罗 尔 定 理 可 知 至 少 存 在 一 点 ∈（ ，） ２ １ ６ ，使 得
Ｆ， ） ． （ ＝０ 又由于
例 １ （ ａｒｎ ｅ中值定理 ） Ｌ ｇａｇ 如果 函数 ｆ ｘ 在闭 （１
区间 ， 】 ｂ 上连续 ，在开 区间 （，） ａ ｂ 内可导 ，那么至少
Ｆ， ） ｇ， ｆ （） ｆｄ ， （ ＝厂（） （ ｄ —ｇ ，（ ｆ ） ）
明 口 时 随机变 量 ｙ Ｘ＋ｂ ≠０ ＝ａ 也是正态 随机 变量 ，且
ｎ ６－ （ － ＇（— ） ｔ ０ （ ｆａ ｆ ｔｂ ａ］ ＝ ， ） ） （ ） ｄ
可得
［ （） （） 口 一 厂 一／ 口 】 一 ） ． ， ６ 一， 口】 一 ） ［ （ ） （） ６ 口 ＝０ （ （
摘
要 ：积 分上限函数是微积 分 中的一种具 有特殊形式的 函数 ．文章给 出了积分 上限函数在微分 中值 定理的证
明、概 率密度 函数 的求解、函数方程的求解等方面的应 用，指 出深刻理解积分上 限函数的定 义，准确把握其相 关 性质 并构造 适 当的积分上限函数 ，是利用积分上限函数解决有关 问题的关键 ．
题 ，进 而得 到一些较 为新颖 的方法 ． １ 在微 分中值定理的证明等方面的应用
证明 令Ｆ ） ｅ （ ｆｇ） ． 于， ） ： （＝ ／） （ｄ 由 和 ｆ ｄ ｆｆ
积分上限函数的性质及其应用
积分上限函数的性质及其应用
积分上限函数是一种被广泛应用于互联网的函数，它主要用于处理和促进用户的参与度，以保证其服务的可持续发展。
积分上限函数将积分（或“热度”）与用户参与度相关联，积分和热度与用户疲劳有关，因此积分上限。
函数旨在给予用户适当的奖励，使用户保持活跃，同时又不至于过于疲劳。
积分上限函数对互联网的应用很明显，它在互联网市场的发展过程中起着至关重要的作用。
它能够为设计者和运营者提供参考和依据，使他们能够为网络服务提供更加有效的支持。
在采用积分上限函数时，需要非常小心，考虑到用户的不同消费习惯和使用习惯。
为了防止出现用户支付过多或过少，需要给出正确的奖励和惩罚。
只有这样才能保证互联网服务的持续发展和持续繁荣。
总之，积分上限函数可以说是互联网发展的利器，它能够帮助互联网开发者更好地掌控用户的行为和参与程度，从而提升产品的可持续性，实现既能满足市场需求，又能达到良好的用户体验的效果。
积分上限函数是被积函数的原函数
积分上限函数是被积函数的原函数在微积分中，积分上限函数是被积函数的原函数这一概念是非常重要的。
它描述了积分的上限是一个函数，而这个函数的导数则是被积函数。
这个概念在实际问题中有着广泛的应用，尤其是在求解面积、体积、质心等问题时起到了关键作用。
首先，我们来看一下积分上限函数的定义。
设有函数f(x)在区间[a, b]上连续，积分上限函数定义为F(x) = ∫[a, x] f(t) dt。
这里F(x)是一个关于x的函数，它表示了在区间[a, x]上的f(t)的累积和。
我们可以将F(x)看作是对f(t)在区间[a, x]上的积分。
接下来，我们来看积分上限函数是被积函数的原函数这一性质。
根据微积分的基本定理，如果f(x)是一个连续函数，那么它的积分上限函数F(x)在区间[a, b]上就是它的原函数。
换句话说，F(x)的导数就是f(x)。
这一性质为我们提供了一种便捷的方法来求解积分，只需要找到被积函数的原函数，然后在区间上求值即可。
在实际问题中，积分上限函数是被积函数的原函数这一性质为我们提供了很多便利。
比如，在求解曲线下面积或者求解旋转体的体积时，我们可以利用这一性质来简化计算。
此外，它还可以用于求解质心、惯性矩等问题，为工程和物理学等领域的问题提供了重要的数学工具。
总之，积分上限函数是被积函数的原函数这一性质在微积分中具有重要的意义。
它为我们提供了一种便捷的方法来求解积分，并且在实际问题中有着广泛的应用。
深入理解这一性质将有助于我们更好地掌握微积分的知识，并且能够更加灵活地运用它来解决实际问题。
高等数学：第五讲 积分上限函数
(x) d
dx
x
f (t)dt
a
f (t) |tx
f (x)
(a x b)
3.例题
例1.求 d x et sin tdt
dx 0
解
d x et sin tdt ex sin x.
dx 0
3.例题
1 et2dt
例2.求 lim x0
cos x
x2
.
解 分析： 这是 0 型不定式，应用洛必达法则. 0
d
dx
1 et2 dt
cos x
d这是cos dx 1
型x e不t定2 d式t，定应用e洛c必os达2 x法 (则c.os
x)
sin
x ecos2 x ,
1 et2dt
sin x ecos2 x
1
所以
lim
x0
cos x
x2
lim x0
2x
. 2e
练习：
1. 运算 " d b f (x)dx 0" 是否正确？为什么？
积分上限函数
目录
01 引例 02 积分上限函数 03 例题
1. 引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间
有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)dt
s(T2
)
s(T1),
这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
2. 积分上限函数
设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，并且设 x 为 [a,b] 上的一点，
dx a
2. 计算 d
x
1 tdt.
dx 0
积分上限函数的性质及应用
积分上限函数的性质及应用积分上限函数（即变上限的定积分）揭示了定积分和不定积分之间的联系,是一元函数微积分学中的一个重要概念.积分上限函数具有很多的性质，既具有普通函数相似的特征，由于它的上限是变化的，因而又有许多与积分有关的特殊性质.本文首先总结归纳出积分上限函数的重要性质，并对这些性质进行详细的证明;其次总结归类出证明积分等式、不等式的方法并进一步给出这些方法的具体应用.1 积分上限函数1.1 积分上限函数的定义)220](1[P设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，对任何[,]x a b ∈,()f x 在[,]a x 上也可积.于是，由()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰,定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数即变上限的定积分.1.2 积分上限函数的几何意义)350](2[P如果[,]x a b ∀∈，有函数()0f x ≥，对区间[,]a b 上任意x ，积分上限函数()F x 是区间[,]a x 上曲边梯形的面积，如下图的阴影部分.图1.11.3 积分上限函数的性质1.3.1积分上限函数的连续性)221](1[P若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续. 证 [,]x a b ∀∈,且[,]x x a b +∆∈，有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰因为f 在[,]a b 上可积，所以f 在[,]a b 上有界， 即存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∀∈，当0x ∆≥时，x M dt t f dt t f x F xx x xx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()( 当0x ∆<时，x M dt t f dt t f x F xx xxx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()(所以0lim ()0x F x ∆→∆=, 即积分上限函数()F x 在点x 连续，而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上连续.1.3.2积分上限函数的可导性[1](221)P若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可导，且()()F x f x '=. 证 [,]x a b ∀∈，且[,]x x a b +∆∈，(0)x ∆≠有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰由积分第一中值定理，有()1()()x xx F x f t dt f x x x xθ+∆∆==+∆∆∆⎰ (01)θ≤≤ 因为函数)(x f 在区间],[b a 上连续，所以00()()lim lim ()()x x F x F x f x x f x xθ∆→∆→∆'==+∆=∆即()F x 在点x 可导. 而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上可导.1.3.3积分上限函数的可积性若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可积.证 已知函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在区间[,]a b 上可积，所以由1.3.1可推出积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续，则()F x 在区间[,]a b 上可积.1.3.4积分上限函数的单调性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负（正），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上单调递增（减）.证 因为)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负，则()()0F x f x '=≥，所以)(x F 在区间[,]a b 上单调递增.同理可证另一种情况.特别地,若()f x 在[,]a b 上非负单调递增（减），则()F x 在[,]a b 上单调递增. 1.3.5积分上限函数的奇偶性[3](140)P若函数)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇（偶）函数时，则积分上限函数)(x F 为偶（奇）函数. 证 设)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇函数，即)()(x f x f -=-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--===⎰⎰⎰，所以)(x F 为偶函数.同理 当)(x f 在区间[,]a a -上连续且为偶函数，即)()(x f x f =-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--=-=-=-⎰⎰⎰所以)(x F 为奇函数.1.3.6积分上限函数的凹凸性[4](32)P若函数)(x f 在区间上[,]a b 单调递增（递减），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上是凸（凹）函数.证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上单调递增，取123,,[,]x x x a b ∈，且123x x x <<， 则123()()()f x f x f x <<.2121()()F x F x x x --2121()()x x aaf t dt f t dtx x -=-⎰⎰2121()x x f t dtx x =-⎰2()f x ≤≤3232()x x f t dtx x -⎰3232()()F x F x x x -=-所以()F x 在区间[,]a b 上是凸函数.同理可证明另一种情况.1.3.7积分上限函数的周期性[3](140)P若函数)(x f 在(,)-∞+∞上以T 为周期，对任意a b <, )(x f 在区间[,]a b 上可积，且()0Tf t dt =⎰,则积分上限函数()F x 也以T 为周期. 证 ()()x T a F x T f t dt ++=⎰()()()Tx TaTf t dt f t dt f t dt +=++⎰⎰⎰0()0()x TaTf t dt f t dt +=++⎰⎰令t u T =+()()()()()xaF x T f u T d u T f u T d u T +=+++++⎰⎰()00()xaf u T du f u T du=+++⎰⎰00()()xaf u du f u du =+⎰⎰()()xaf t dt F x ==⎰所以()F x 是一个以T 为周期的函数.1.3.8积分上限函数的有界性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界. 证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，所以由积分上限函数的可积性可知 函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，即函数)(x f 在区间[,]a b 上有界. 所以存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∈ 则()F x ()xaf t dt ≤⎰()()xaf t dt M b a ≤≤-⎰,所以积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界.2 积分上限函数的应用给出积分上限函数在证明积分等式、不等式的问题中应用. 2.1 利用积分上限函数证明积分等式在证明积分等式时，根据题设条件设积分上限函数为()F x ，由拉格朗日中值定理的推论：如果在某个区间上恒有()0F x '=，则在该区间上()F x 恒等于一个常数，即可证明某些关于积分的等式.例1 若()f x 在区间[,]a b 上连续,则()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.证 设()()xaF x f t dt =⎰,则()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰()()()bb aaf a b x dx f a b x d a b x +-=-+-+-⎰⎰()b aF a b x =-+-()()F a b b F a b a =-+-++-()()F b F a =-于是命题得证.例2 设()f x 是连续函数，证明0[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.证 方法一 令00()[()]()()x ux F x f t dt du x u f u du =--⎰⎰⎰()()()()()0xxF x f t dt f u du x f x xf x '=--+=⎰⎰()F x C ≡（C 为常数），因为(0)0F =，所以()0F x ≡， 即[()]()()x uxf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.方法二 记 10()()()()()xx xg x x u f u du x f u du uf u du =-=-⎰⎰⎰20()[()]xug x f t dt du =⎰⎰则由 10()()()()()xx g x f u du xf x xf x f u du '=+-=⎰⎰， 20()()xg x f u du '=⎰由此得到 12()()g x g x ''=，所以12()()g x g x C -≡，（C 为常数）12(0)(0)0g g ==，所以12()()g x g x =即[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.例3 设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则[,]x a b ∃∈，证明 ()()xbaxf t dt f t dt =⎰⎰.证 令()()()ybayF y f t dt f t dt =-⎰⎰.由函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，可知()F y 区间[,]a b 上连续，且()(),()()b baaF a f t dt F b f t dt =-=⎰⎰.若()0baf t dt ≠⎰，则()()0F a F b <，由零点定理可知[,]x a b ∃∈,使得()()()0x b axF x f t dt f t dt =-=⎰⎰或()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰.若()0baf t dt =⎰，则取x a =或x b =，有()().x baxf t dt f t dt =⎰⎰于是命题得证.例4 设()f x 是连续函数，证明 232001()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.证 构造辅助函数232001()()()2a a F a x f x dx xf x dx =-⎰⎰.由积分上限函数的导数定理及复合函数求导法则得32221()()()202F a a f a a f a a '=-⋅=，所以()F a C ≡（C 为常数）,又因为(0)0F =,所以()0F a =, 故2321()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.例5在区间(0,1)上连续，证明 ⎰⎰⎰⎰=1311])([61)()()(dt t f dz z f dy y f dx x f x y x .证 令0()()xF x f t dt =⎰，则()()F x f x '=. 原等式左端11(){()[()()]}x f x f y F y F x dy dx =-⎰⎰12101(){[()()]}2x f x F y F x dx=-⎰1201()[(1)()]2f x F F x dx =-⎰ 3101[(1)()]6F F x =-=3)]1([61F==⎰13])([61dt t f 右端 故所证等式成立.2.2 利用积分上限函数证明积分不等式在证明积分不等式时，根据题意构造积分上限函数，可适时选择常数变易法、辅助函数法等方法去解决问题.例1 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且单调增加，求证()()2bbaa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰. 证明 构造辅助函数()F x ()xa t f t dt =⎰()2xaa x f t dt +-⎰，则()0F a =，对任意[,]x ab ∈，()F x 关于x 求导，有()F x '=1()()()22x a a xxf x f t dt f x +--⎰ 1()()22x a x a f x f t dt-=-⎰ 1[()()]2xaf x f t dt =-⎰ 因为()f x 单调递增，所以()0F x '≥.()F x 在区间[,]a b 上连续并且单调递增，则()()F b F a ≥0=,所以命题得证.例2设()f x 在区间],[b a 上单调增并且连续，证明 ()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.证 构造辅助函数()()()2()x xaaF x a x f t dt tf t dt =+-⎰⎰则 ()F x '=()xa f t dt ⎰+()()2()a x f x xf x +-()()()xaf t dt x a f x =--⎰()()()()0x a f x x a f x ≤---=由此可知,()F x 在区间[,]a b 上单调递减，所以()()F b F a ≤0=，即()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.例3 设()f x 在区间[,]a b 上正值连续,证明⎰badxx f )(1()badx f x ≥⎰2()b a -. 证 构造辅助函数()F x =2()()()xxaadtf t dt x a f t --⎰⎰则()F x '=1()()xaf x dt f t ⎰+1()2()()xaf t dt x a f x --⎰ ()()[]2()()()xaf x f t dt x a f t f x =+--⎰ 因为()()2()()f x f t f t f x +≥, ()2()2()0F x x a x a '≥---= 所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增，而()0F a =，()0F x ≥ )(a x ≥，则()0F b ≥,即⎰badxx f )(≥⎰dx x f ba)(12)(a b -. 例4 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调递减，证明 对任意(0,1]a ∈，均有()af x dx ⎰1()a f x dx ≥⎰.证 方法1 设x at =,等式左端化为:11()()()af x dx a f at dt a f ax dx ==⎰⎰⎰因为()f x 单调递减,01a <≤,所以()()f ax f x ≥,于是11()()()af x dx a f ax dx a f x dx =≥⎰⎰⎰.方法21()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰等价于1()()1af x dx f x dx a≥⎰⎰ (0)a >设0()()xf x dx F x x=⎰,(01)x <≤,则02()()()x f x x f t dtF x x⋅-'=⎰.因为()f x 连续,利用积分中值定理2()()()f x x f x F x x ξ⋅-⋅'=()()f x f xξ-= (0)x ξ<< 因为()f x 在[0,1]上单调递减，所以当x <<ξ0时,)()(ξf x f <,从而当10≤<x 时()0F x '≤，故()F x 在[0,1]上单调递减，于是对任意(0,1)a ∈，有()(1)F a F >，特别地当1a =时,原不等式中的等号成立，所以1001()()af x dx f x dx a≥⎰⎰， 即1()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰.例5已知当b x a ≤≤时，()0,()0f x f x '''>>，证明()()()[()()]2bab ab a f a f x dx f a f b --<<+⎰. 证 ⑴令()()()()xaF x f t dt x a f a =--⎰()a x b ≤≤，则()()()F x f x f a '=-当b x a ≤≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间[,]a b 上单调递增,即 ()()f x f a ≥. 当且仅当a x =时，()0F x '=，所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增, 即 ()()0F b F a >=，则 ()()()ba b a f a f x dx -<⎰.⑵令()()[()()]2xax aG x f t dt f a f x -=-+⎰ ()a x b ≤≤，则 1()()[()()]()22x aG x f x f a f x f x -''=-+-()()()22f x f a x af x --'=-因为()f x 在],[x a )(b x a ≤<上满足拉格朗日中值定理，所以(,)a x ξ∃∈，得()()()()f x f a x a f ξ'-=-()[()()]2x aG x f f x ξ-'''=- ()a x ξ<< 当a x b ≤≤时，()0f x ''>,()f x '在[,]a b 上单调递增，则()()f f x ξ''< 故()0G x '< ()a x b <≤，所以可知,()G x 在a x =处连续.因为()G x 在[,]a b 上单调减,()()0G b G a -<. 则 ()[()()]02bab af x dx f a f b ---<⎰, 所以()[()()]2bab af x dx f a f b -<+⎰，结合⑴原不等式得证. 例6 证明 若函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 可积，则[][]222(()())()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰（施瓦茨不等式）证 构造辅助函数222()[()][()](()())xx xaaaF x f t dt g t dt f t g t dt =-⎰⎰⎰2222()()()()()2()()()()xxxaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=⋅+⋅-⎰⎰⎰2222[()()2()()()()()()]xaf xg t f x g x f t g t f t g x dt =-⋅+⎰2[()()()()]0xaf xg t f t g x dt =-≥⎰从而()F x 在区间[,]a b 上单调递增，故有()()0F b F a ≥= 则222(()())[()][()]bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰.例7 设()f x 在[0,1]上连续可微，且满足(0)0f =，0()1f x '<≤,证明11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.证 作辅助函数230()(())()xxF x f t dt f t dt =-⎰⎰ [0,1]x ∈.由于(0)0F =，32()2()()()()[2()()]xxF x f x f t dt f x f x f t dt f x '=-=-⎰⎰ .令20()2()()xG x f t dt f x =-⎰，[0,1]x ∈.由于()f x 在区间[0,1]上连续可微，(0)0f =，0()1f x '<≤,所以()f x 单调递增. 故()0f x >,(0,1]x ∈.(0)0G =,则()2()2()()2()[1()]0G x f x f x f x f x f x '''=-=-≥,故()(0)0G x G ≥=，[0,1]x ∈.当(0,1)x ∈时，()0F x '≥，()F x 单调递增.特别当1123(1)(())()(0)0F f x dx f x dx F =-≥=⎰⎰,即得证11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.例8 设()f x 在区间[,]a b 上有连续的导数，且()0F a =，证明2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰证 2221()()[()]()2x x a a F x x a f t dt f t dt '=--⎰⎰22221()()[()]()[()]()2x a F x x a f x x a f t dt f x '''=-+--⎰ 22221()[()]()1[()]2x x a a x a f x f x dx f t dt''=--+⋅⎰⎰ 22221()[()]()(())2x a x a f x f x f t dt ''≥--+⎰（施瓦茨不等式）22221()[()]()()2x a f x f x f x '=--+ 221()[()]02x a f x '=-≥ 得出()F x 为单调递增函数，当a x >∀时，()()0F x F a ≥=特别地2221()()[()]()02b b a a F b b a f x dx f x dx '=--≥⎰⎰得证2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰.例9设函数()f x 在区间[,]a b 上连续并可微，且()0f a =，证明不等式22()[()]baM b a f x dx '≤-⎰，其中max ()a x bM f x ≤≤=证 由施瓦茨不等式可知 222(()())()()bb ba aaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰因为22()[()]1[()]xxx aaax a f x dx dx f x dx ''-=⎰⎰⎰22[()]()xaf x dx f x '≥=⎰ ([,])x a b ∀∈引入辅助函数2()()[()]xaF x x a f x dx '=-⎰,222()1[()][()]()xxx aaaF x dx f x dx f x dx f x ''=≥=⎰⎰⎰ ([,])x a b ∈所以22()()[()]()ba Fb b a f x dx f x '=-≥⎰.11 故由题设[,]x a b ∀∈，所以22()[()]b a M b a f x dx '≤-⎰.。
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积分上限函数的应用 1 引言在一元函数的微积分学中，由于证明原函数存在定理和微积分基本公式的需要，引入积分上限函数，从而揭示了不定积分与定积分，微分与积分的内在联系，解决了定分的计算问题.积分上限函数，即变上限的定积分，这是一类新的函数.即具有与普遍函数相关的特征，又由于它的上限是变化的.因而有具有与许多与积分有关的特殊性质.我们利用积分上限函数可以简化计算和证明，下面举例说明积分上限函数在解题或证明中的应用.2 一元函数的积分上限函数2.1 一元函数的积分上限函数的定义定义1 [4] 对于某区间[],a b 上连续的函数()f x 设x 为 [],a b 上的任一点，变上限的定积分()xa f t dt ⎰，显然存在，当x 在[],ab 上任意变动时，对于每一个取定的x 的值，()xa f t dt ⎰就有一个对应的值，这样就在[],ab 上定义了一个新的函数——积分上限函数.一般记作()x θ=()xa f t dt ⎰()a xb ≤≤. 这个概念是一个较抽象的概念，我们可以结合几何解释。
()x Φ表示一个以()f x 为曲边的曲边梯形的面积，当x 给一个确定的值，()x Φ有一个确定的值，所以又称()x Φ()xa f t dt =⎰为面积函数.2.2 一元积分上限函数的应用2.2.1 积分上限函数在证明不等式中的应用对于有些含有定积分的不等式的证明，往往可以把积分上限变量看作参数而构造辅助函数，在通过求导确定函数的单调性的方法加以证明. 例1 设函数()f x 在[]0,1上连续且单调递减，证明：对任意的()0,1a ∈，均有()()100af x dx a f x dx >⎰⎰. 证明：构造函数()()01xF x f t dt x=⎰()01x <≤ 则()()()()()()02xf x x f t dtf x x f x f x f F xx xξξ--⋅-'===⎰()0x ξ<<.因为()f x 在[]0,1上单调递减，所以当0x ξ<<时，()()f f x ξ>，从而当01x <≤时，()0F x '<故()F x 在(]0,1单调递减，于是对任意的()0,1a ∈，有()()1F a F >，即()()1001af x dx f x dx a>⎰⎰，即()()100a f x dx a f x dx >⎰⎰.成立 2.2.2 积分上限函数在证明积分等式中的应用当积分等式中的定积分的上限（或下限）为字母时，可将它视为其变量，构造一个积分上限函数，通过证明积分上限函数的导数为零，即可推出要证的等式成立.例2 设()f x 是连续函数，证明()()()2320012aa f x x f x dx xf x dx =⎰⎰.证明：构造函数()()()()2320012a a F a f x x f x dx xf x dx =-⎰⎰.由积分上限函数的导数定理及复合函数的求导法则得()()()3221222F a a f a a a f a a '=⋅-⋅.因为()0F a '=，所以()F a c =，又因为()00F =，所以()0F a =， 故原等式成立.2.2.3 积分上限函数在证明积分中值定理中的应用例3 （积分中值定理[1]）若()f x 和()g x 在[],a b 内连续，且()g x 不变号，则存在(),a b ξ∈使()()()()bba a f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰. 证明： 作()F x ()()ba f x g x dx=⎰()xag x dx ⎰()bag x dx-⎰()()xaf xg t dt ⎰，则()F x 在[],a b 内连续，在(),a b 内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理，存在(),a b ξ∈使()0F ξ'=，而()()()()()()()bba a F x f x g x dx g x g x dx f x g x '=⋅-⋅⎰⎰.()()()()()()()0bbaaF f x g x dx g g x dx f g ξξξξ'=-⋅-⋅=⎰⎰.因为()g x 不变号，所以()0G ξ'≠，则()()b a f x g x dx ⎰()()ba f g x dx ξ=⎰.2.2.4 积分上限函数在证明微分中值定理中的应用例4 （Lagrange 中值定理[1]）如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间[],a b 内可导，那么在区间内至少存在一点()a b ξξ<<，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.证明：把()()()()f b f a f b a ξ'-=-中的ξ换成t 得()()()()0f b f a f t b a '---=⎡⎤⎣⎦.[],x a b ∀∈将上式两边取积分有()()()()0xaf b f a f t b a dt '---=⎡⎤⎣⎦⎰积分得()()()()()()0f b f a x a f x f a x a -----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.令()()()()()()()x f b f a x a f x f a x a ϕ=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，显然()()0b a ϕϕ==，且()x ϕ在[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，既()x ϕ满足罗尔定理条件，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0x ϕ'=，而()()()()()x f b f a f x b a ϕ''=---⎡⎤⎣⎦，则至少存在一点ξ使()()()()f b f a f b a ξ'-=-⎡⎤⎣⎦()a b ξ<<成立。
2.2.5 积分上限函数在证明原函数一致收敛性的应用例5 设函数列{()}n f x 在[],a b 上一致收敛于()f x ，且()n f x 在[],a b 上连续，则对应的原函数列{()}n F x 在上[],a b 也一致收敛于()nF x ，其中()()n x n aF x f t dt =⎰，()()xaF x f t dt =⎰.证明：因为在[],a b 上{()}n f x 一致收敛于()f x ，所以对0ε∀>，存在自然数N ，当n N >时,对任意[],x a b ∈, 有()()()2n f x f x b a ε-<-，即()()()()22n f x f x b a b a εε<-<---[],x a b ∈.对上式在[],a x 上积分得，()()()()()()22xxn aax a x a f t dt f t dt b a b a εε--≤-≤---⎰⎰ [],x a b ∈即，()()()()()()22n x a x a F x F x b a b a εε--≤-≤---，因为()012x ab a -<<-，[],x a b ∈，所以()()n F x F x εε-<-<，即()()n F x F x ε-<，[],x a b ∈.所以()n F x [],a b 在上一致收敛于()F x .2.2.6 积分上限函数在计算累次积分中的应用 例622sin xydx dy yππ⎰⎰ 解：令()2sin x yg x dy yπ=-⎰，则它是积分上限x 的函数. 因为()sin ,01,0yy y f y y ≠==在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，则()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可导，且有()sin 010x x g x x x ≠'==02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20sin 0yg dy y π=⎰存在. ()22200sin x ydx g x dx y πππ=⎰⎰⎰ ()()2020x g xg x dx ππ'=-⎰20sin 22x g dx xπππ⎛⎫=--⎪⎝⎭⎰20sin xdx π=-⎰ 1cos 2π=- 1=3 二元函数的积分上限函数3.1 二元函数的积分上限函数的定义定义2 [3]如果二元函数(),f x y 在区域[],:,D a b c d =上可积，则与定积分类似，积分上限函数的定义为()(),,xya c F x y f u v dudv =⋅⎰⎰.3.2 二元函数的积分上限函数的应用在某些题目中，可以构造积分上限函数来验证是否为全微分. 例7 验证是()()f x y dx dy +⋅+全微分，其中()f u 是连续函数， 解：令()()0,x yF x y f u du +=⎰（积分上限函数）由于()f u 连续，故有()(),,x F x y f x y '=，()(),y F x y f x y '+=并且他们都是,x y 的连续函数，因此(),F x y 可微，且()()(),x y dF x y F x y dx F x y dy ''=+++()()f x y dx dy =+⋅+.故()()f x y dx dy +⋅+是()F x y +的全微分. 4 小结在《数学分析》教材中，多处出现设立辅助函数的推理，是学习中的难点之一.练习题中也涉及若干抽象函数的定积分问题，若能变动其上限作为积分是上限函数，运用一些分析或初等方法，从而使问题迎刃而解.致谢 在本文的写作过程中得到了王汝军老师的精心指导，在此表示衷心的感谢.参 考 文 献[1]阎彦宗.关于积分上限函数分析性质的讨论[J].许昌学院学报，2003.[2]刘玉莲.《数学分析》（第2版）（上）.北京师范数学系[M].高等教育出版社，1992.6.[3]成舜.积分上限函数及其应用[J].广州教育学院.广州师专学报，1995（2）.[4]刘德芩编、葛琐网审.高等数学习题指导[M].兵器工业出版社，1988.[5]华东师大数学系编.数学分析[M].高等教育出版社（第三版）,1994。