积分上限函数的应用

积分上限函数的应用 1 引言

在一元函数的微积分学中，由于证明原函数存在定理和微积分基本公式的需要，引入积分上限函数，从而揭示了不定积分与定积分，微分与积分的内在联系，解决了定分的计算问题.

积分上限函数，即变上限的定积分，这是一类新的函数.即具有与普遍函数相关的特征，又由于它的上限是变化的.因而有具有与许多与积分有关的特殊性质.我们利用积分上限函数可以简化计算和证明，下面举例说明积分上限函数在解题或证明中的应用.

2 一元函数的积分上限函数

2.1 一元函数的积分上限函数的定义

定义1 [4] 对于某区间[],a b 上连续的函数()f x 设x 为 [],a b 上的任一点，变上限的定积分()x

a f t dt ⎰，显然存在，当x 在[],a

b 上任意变动时，对于每

一个取定的x 的值，()x

a f t dt ⎰就有一个对应的值，这样就在[],a

b 上定义了

一个新的函数——积分上限函数.一般记作()x θ=()x

a f t dt ⎰()a x

b ≤≤. 这个概念是一个较抽象的概念，我们可以结合几何解释。()x Φ表示一个以()f x 为曲边的曲边梯形的面积，当x 给一个确定的值，()x Φ有一个确定的值，所以又称()x Φ()x

a f t dt =⎰为面积函数.

2.2 一元积分上限函数的应用

2.2.1 积分上限函数在证明不等式中的应用

对于有些含有定积分的不等式的证明，往往可以把积分上限变量看作参

数而构造辅助函数，在通过求导确定函数的单调性的方法加以证明. 例1 设函数()f x 在[]0,1上连续且单调递减，证明：对任意的()0,1a ∈，均有()()1

00a

f x dx a f x dx >⎰⎰. 证明：构造函数()()01x

F x f t dt x

=⎰()01x <≤ 则()()()()()()02x

f x x f t dt

f x x f x f x f F x

x x

ξξ--⋅-'=

==⎰()0x ξ<<.

因为()f x 在[]0,1上单调递减，所以当0x ξ<<时，()()f f x ξ>，从而当

01x <≤时，()0F x '<故()F x 在(]0,1单调递减，于是对任意的()0,1a ∈，有

()()1F a F >，即

()()1001a

f x dx f x dx a

>⎰⎰，即()()100a f x dx a f x dx >⎰⎰.成立 2.2.2 积分上限函数在证明积分等式中的应用

当积分等式中的定积分的上限（或下限）为字母时，可将它视为其变量，构造一个积分上限函数，通过证明积分上限函数的导数为零，即可推出要证的等式成立.

例2 设()f x 是连续函数，证明()()()2

3

2

0012

a

a f x x f x dx xf x dx =⎰⎰.

证明：构造函数()()()()232

0012

a a F a f x x f x dx xf x dx =-⎰⎰.

由积分上限函数的导数定理及复合函数的求导法则得

()()()3221

222

F a a f a a a f a a '=⋅-⋅.

因为()0F a '=，所以()F a c =，又因为()00F =，所以()0F a =， 故原等式成立.

2.2.3 积分上限函数在证明积分中值定理中的应用

例3 （积分中值定理[1]）若()f x 和()g x 在[],a b 内连续，且()g x 不变号，

则存在(),a b ξ∈使()()()()b

b

a a f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰. 证明： 作()F x ()()b

a f x g x dx

=⎰()x

a

g x dx ⎰

()b

a

g x dx

-⎰()()x

a

f x

g t dt ⎰，

则()F x 在

[],a b 内连续，

在(),a b 内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理，存在(),a b ξ∈使()0F ξ'=，而()()()()()()()b

b

a a F x f x g x dx g x g x dx f x g x '=⋅-⋅⎰⎰.

()()()()()()()0b

b

a

a

F f x g x dx g g x dx f g ξξξξ'=-⋅-⋅=⎰⎰.

因为()g x 不变号，所以()0G ξ'≠，则()()b a f x g x dx ⎰()()b

a f g x dx ξ=⎰.

2.2.4 积分上限函数在证明微分中值定理中的应用

例4 （Lagrange 中值定理[1]）如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间[],a b 内可导，那么在区间内至少存在一点()a b ξξ<<，使

()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.

证明：把()()()()f b f a f b a ξ'-=-中的ξ换成t 得

()()()()0f b f a f t b a '---=⎡⎤⎣⎦.

[],x a b ∀∈将上式两边取积分有

()()()()0x

a

f b f a f t b a dt '---=⎡⎤⎣⎦⎰

积分得

()()()()()()0f b f a x a f x f a x a -----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.

令()()()()()()()x f b f a x a f x f a x a ϕ=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，显然()()0b a ϕϕ==，且

()x ϕ在[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，既()x ϕ满足罗尔定理条件，

则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0x ϕ'=，而()()()()()x f b f a f x b a ϕ''=---⎡⎤⎣⎦，则至少存在一点ξ使()()()()f b f a f b a ξ'-=-⎡⎤⎣⎦()a b ξ<<成立。

2.2.5 积分上限函数在证明原函数一致收敛性的应用

例5 设函数列{()}n f x 在[],a b 上一致收敛于()f x ，且()n f x 在[],a b 上连续，则对应的原函数列{()}n F x 在上[],a b 也一致收敛于()n

F x ，其中

()()n x n a

F x f t dt =⎰，()()x

a

F x f t dt =⎰.

证明：因为在[],a b 上{()}n f x 一致收敛于()f x ，所以对0ε∀>，存在自然数N ，