运筹学-第2章运输问题
运筹学运输问题相关知识点
运筹学运输问题相关知识点运筹学，旨在通过数学模型和优化方法来解决各种决策问题，其中运输问题是运筹学中的一个重要分支。
运输问题旨在帮助我们确定如何在不同地点之间运输物品以达到最佳效益。
首先，运输问题基于以下几个基本假设：一是物流成本在运输过程中是线性的，二是物品在不同地点之间的运输是无差异的，三是供应和需求之间是平衡的。
在解决运输问题时，需要考虑以下几个关键要素：1.运输网络：此步骤涉及识别和描述供应地点、运输路径和需求地点。
通常使用图形表示来可视化运输网络，以便更好地理解和分析问题。
2.供应量和需求量：确定每个供应地点可提供的物品数量和每个需求地点所需的物品数量。
供应量和需求量之间必须达到平衡。
3.运输成本：每个运输路径的费用是决策的重要因素。
这可以涉及运输距离、运输方式、燃料成本等因素。
通常通过构建费用矩阵来表示各个路径的费用。
4.运输方案：确定如何分配物品以满足需求，并选择最佳的运输路径。
这通常通过使用线性规划模型来实现，以最小化总运输成本为目标。
解决运输问题的常见方法包括：1.西北角规则：该方法从供应和需求具有最大值的角度着手，逐步分配物品，直到达到平衡。
这种方法简单易行，但不一定能够找到全局最优解。
2.最小成本法：该方法根据运输路径的成本递增顺序，逐一分配物品，直到平衡为止。
这种方法能够找到最优解，但可能需要更多的计算量。
3.转运法：该方法通过寻找“供应地点里程+需求地点里程最小”的路径来决策，直至达到平衡。
这种方法在有多个供应地点和多个需求地点时非常实用。
除了基本的运输问题之外，还有其他一些相关的运筹学问题，如多品种运输问题、多目标运输问题和带有时间窗口的运输问题等。
这些问题在实际应用中都有广泛的应用，并且可以通过相应的数学模型和优化方法来解决。
综上所述，运筹学中的运输问题是一个重要的决策问题。
它涉及到寻找最佳的物品配送方案，以最小化总运输成本。
通过合适的数学模型和算法，我们可以有效地解决这类问题，为实际的物流管理提供有力的支持。
运筹学运输问题个人总结(一)
运筹学运输问题个人总结(一)运筹学运输问题个人总结前言运筹学是一门应用数学学科，旨在通过数学模型和优化算法解决现实生活中的决策问题。
其中，运筹学运输问题是运筹学的基础领域之一，涉及到在给定条件下最佳化资源利用、降低成本、提高效率等方面的问题。
正文在个人学习运筹学运输问题的过程中，我总结了以下几个重要要点：1.运输网络规划：运输问题的首要任务是确定运输网络的结构和连接方式。
这包括确定供应商、仓库、需求点之间的连接关系，以及各个节点的运输容量和成本等。
通过合理规划运输网络，可以实现资源的合理分配和供需的良好匹配。
2.运输成本优化：在确定了运输网络之后，需要通过优化算法求解最佳的运输方案。
这涉及到在满足各种限制条件下，如最小化运输成本、最大化资源利用率等指标的优化问题。
常用的算法包括线性规划、整数规划、动态规划等。
3.路线优化和物流调度：针对具体的运输任务，需要进行路线优化和物流调度。
通过合理的路径规划和物流调度，可以降低运输时间和成本，提高物流效率。
常用的算法包括最短路径算法、最优传送门问题等。
4.风险管理和决策支持：在运输过程中，会存在各种不确定性和风险因素。
因此，需要通过风险管理和决策支持技术来应对不确定情况。
常见的方法包括风险评估、灵敏度分析、决策树等。
结尾通过学习和研究运筹学运输问题，我深刻认识到其在现代物流和供应链管理中的重要性。
合理的运输规划和优化能够帮助企业降低成本、提高效率，实现可持续发展。
通过不断学习和实践，我将不断提升自己在这一领域的能力，并在实践中探索更多有创新性和实用性的解决方案。
运筹学运输问题个人总结（续）路线优化和物流调度在路线优化和物流调度方面，我学到了以下几个重要的观点：•路线优化：通过使用最短路径算法、最优传送门问题等优化算法，可以找到最佳路径来减少运输时间和成本。
另外，还可以考虑交通拥堵等因素，选择避开高峰期的最佳路径。
•物流调度：对于大规模的运输网络，物流调度成为一个重要的挑战。
运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
运筹学运输问题
当出现检验数<0，证明原初始方案或改 进方案还不是最优→如何进行基变量的 调入调出？
给检验数<0的非基变量赋值，越大 越好。但要考虑产销平衡问题。
11
8、运输问题的校验方法2 —位势法
利用行位势和列位势两类数据，将检验数与 单位运价联系起来
12
检 验 数 方 程
13
λ
= c – u – v ij ij i j
A、位势法求检验数的步骤
第一步：根据最小元素法或Vogel法确定的初始运量表做 一表格，将基变量（或运量）数据替换成与之对应的单位 运价；（或对单位运价表进行修改，只保留与基变量对应的运价信
息）
第二步：在右侧增加一列，下侧增加一行，用于填写位势 数据。右侧表示行位势ui（i=1，2...m），下侧表示列位 势vj（j=1，2...n）； 第三步：对于基变量对应的单位运价处，ui+vj=cij。随便 确定任一个位势，即可求解全部行和列位势； 第四步：在非基变量对应的空格处，计算检验数λij=cij（ui+vj）。并将检验数填入检验数表中； 第五步：判断检验数λij是否大于0，如是，则表示较优。 如不是，则需要调整基变量。 第六步：基变量的调整采用闭回路法进行。
收点 发点 9
B1
4
B2
1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
偶 点 0 减 ， 2 奇 点 加 5
A1
14 ③奇点 9 18 1 A2 x x 1 9 11 6 8 0 A3 1 3 x 14 ②偶点 12 2
11 21 22 31
x 3 2
x 6 7
5
13
偶点④
9
管理运筹学运输问题
管理运筹学运输问题引言运筹学是管理学的一个分支，旨在研究和开发决策支持工具和技术，以优化各种问题的决策过程。
其中，运输问题是运筹学领域中一个重要的问题之一，它涉及到如何有效地分配有限的资源，以实现最佳的运输方案。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，并探讨其解决方法。
运输问题概述运输问题是在给定供应地和需求地之间寻找最佳运输方案的数学模型。
一般来说，这个问题可以分为两个主要的组成部分：供应地和需求地。
•供应地：这是物品或产品的来源地，例如工厂或仓库。
每个供应地都有一定数量的可供应物品，同时还有一个运输成本与不同需求地之间的运输。
•需求地：这是物品或产品的目的地，例如商店或客户。
每个需求地都有一定数量的需求，同时还有一个运输成本与不同供应地之间的运输。
运输问题的目标是找到一种分配方案，以最小化总运输成本，并满足供应地和需求地的限制。
运输问题可以用数学模型描述，其中包括以下变量和约束条件：•变量：–xi：从第i个供应地运输的物品数量–yj：向第j个需求地运输的物品数量•约束条件：–供应地约束：∑xi ≤ si，其中si为第i个供应地可供应的物品数量–需求地约束：∑yj ≥ dj，其中dj为第j个需求地的需求物品数量–非负约束：xi ≥ 0，yj ≥ 0，物品数量不能为负数•目标函数：–最小化总运输成本：Minimize ∑(cij * xi * yj)，其中cij为从供应地i到需求地j的单位运输成本这个数学模型可以通过线性规划方法进行求解，其中运输问题可以转化为标准线性规划问题，并使用相应的算法和技术进行求解。
求解运输问题的方法可以分为以下几种：1.传统方法：传统的方法包括北西角法、最小元素法、Vogel法等。
这些方法通过逐步分配物品数量，计算运输成本，并根据不同的策略进行调整，直到找到最优解。
2.网络流方法：网络流方法将运输问题转化为最小成本流问题，并利用网络流算法进行求解。
这些算法可以有效地处理大规模的运输问题，并提供较快的求解速度。
运筹学基础-运输问题(2)
产地 地 A1 A2 A3 销量 vj 销 B1 B2 6 7 3 B3 3 5 2 B4 产量 5 4 7 5 2 3 ui
2 4
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
1 2
2 2
0 -1 -1
3
1
3
7 8
1
8 9
3
4
4
3
2
5
所有非基变量x 所有非基变量xij的检验数σij= cij –ui– vj≥0，即得最优解。 ≥0，即得最优解。 初始基可行解： 初始基可行解：x12=2,x13=1,x14=2,x31=2,x32=1,x23=2，Z=34
A段
B段
C段
供应量
x11 40 x12 70 x13 140 x21 120 x22 240 x23 110 x31 80 x32 130 x33 160
72 102 41
56 82 77
215 215
方案可能不是最优的 • 最优性检验 • 方案调整与改进
产销平衡的运输问题的表上作业法
某饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、A3,其一 级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各厂的产 量、各承销商的销售量及从Ai到Bj的每吨饮料运费为Cij，为发 挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调运方 案。 销地 产地 A1 A2 A3 销量 2 B1 6 7 3 3 B2 3 5 2 1 B3 2 8 9 4 B4 5 4 7 产量 5 2 3
4 6
110
130
90 160
41 10
102 70
所有检验数均为正，此运输方案已为最优： 所有检验数均为正，此运输方案已为最优： x12=56,x21=41,x31=31,x32=46,x23=41，Z=21810
管理运筹学 运输问题
单位运费（百元） A1
销售地 B1 3 B2 x12 B3 x13 B4 x14
供应量 （吨） 5 2
产地
A2
A3
x21
x31 3
x22
x32 3
x23
x33 12
x24
x34 12
10
15 30
需求量（吨）
选取另一个西北角元素 x12 作为基变量，令 x12=min{5—3， 3}=2。 这是因为销售地B2需要3吨的物资，而产地A1最多只能提供5—3=2吨 的供应量，所以x12=2。至此，产地A1供应量耗尽，将所在的行划去， 销售地B2需求量还差1吨。
运输问题的一般性提法及数学规划模型：有 m个地区生产某 种物资，有n个需求地需要这种物资，物资由产地运到销售地的单 位运费见表。
单位运费
A1 产地 销地 B1 C11 B2 C12 … … Bn C1n
A2
… Am
C21
… Cm1
C22
… Cm2
…
… …
C2n
… cmn
假设xij表示由产地i（i=1，2，…，m）运到销售地j（j=1， 2，…，n）的物资数量，产地的供应量和销售地的需求量由表给 出。
供应地 a1=5
供 应 量
运价
需求地 1 b1=3
1
a2=10 2 a3=15 3
6 5 9 10 2 18 7 4 1
20 11 8
2 b2=3 3 b3=12
需 求 量
4 b4=12
为此，我们可以用 xij 表示由产地 i （ i=1 ， 2 ， 3 ）运到销售地 j （j=1，2，3，4）的物资数量，则可以建立如下的线性规划模型。
m n
《管理运筹学》02-7运输问题
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
运筹学 第二章 运输问题
=
j
j = 1
(
(
这就是运输问题的数学模型，它包含 m·n 变量, m + n 个约束条件。如果用单纯形法求解，先得在各约 束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。 因此，即使是 m = 3 ， n = 4 这样的简单问题, 变量数 就有19个之多，计算起来非常复杂。因此，我们有必 要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便的 求解方法。
销地产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11 、 x12 、 x32 、 x34 、 x24 、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1 ， i2 = 3 ， i3 = 2；j1 = 1 ，j2 = 2 ，j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连 (今后就称这些直线为闭回路的边)。
第二节 表上作业法1. 表上作业法的基本概念与重要结论针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约束方 程组的系数矩阵具有如下形式( 具体见下一张幻灯片 )，该 矩阵中， 每列只有两个元素为1，其余都是0。根据这个特 点，在单纯形法的基础上，创造出一种专门用来求解运输 问题的方法，这种方法我们称为表上作业法。运输问题也是一个线性规划问题，当用单纯形法进 行求解时，我们首先应当知道它的基变量的个数；其次， 要知道这样一组基变量应当是由哪些变量来组成。由运输 问题系数矩阵的形式并结合第一章单纯形算法的讨论可以 知道: 运输问题的每一组基变量应由 m+n-1个变量组成。 (即基变量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1) 进一步我 们想知道, 怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
运筹学运输问题
须满足需求量区域的相应变量x31, x33, x34运费的取
值为M，可调整需求量区域的相应变量x32 , x35运费
的取值为0，作出产销平衡的运价表
运筹学运输问题
B1
B1’
B2
B3
B3’ Supply
A1
175 175 195 208 208 1500
A2
160 160 182 215 215 4000
•因此运输问题约
束条件系数矩阵
•第i个
的元素只能是0 或1，对应变量xij 列除了第i个与第
•第(m+j)个
(m+j)个分量为1 外，其它分量均
为零
此外产销平衡运输问题的数学模型还具有 特点：
• 所有约束条件都是等式
• 前m个约束条件的和等于后n个约束条件 的和（可以证明尽管有m+n个约束条件， 但独立的约束条件只有m+n-1个）
B62
2B3
8B4 Supply
9 •[1 3 (15)
0 •[3] 15
3 0•[]8] 4 •[5] 0 •[7] 18
2 (12) 6 (1) 0 (4)
17
12
16
4
运筹学运输问题
•思考题2：
•运
•已知某运输问题的产销需求及单位运价如下表所示
输
B1
B2
B3
Supply
问
A1
5
9
3
15
A2
1
40
15
30
30
100
A3
30
35
40
55
25
130
需要量 25
115
60
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
运筹学运输问题 教案设计
运筹学运输问题教案设计
设计运筹学运输问题的教案需要考虑到学生的学习需求和教学
目标。
首先，教案的设计应该包括对运输问题的基本概念和原理的
讲解，例如最小成本法、最大流量法等。
其次，可以通过案例分析
或实际运输问题的模拟来引导学生理解和应用所学知识。
教案还可
以包括课堂讨论环节，让学生分组讨论解决运输问题的方法，并就
不同的解决方案展开辩论。
此外，教案还可以设计练习题和作业，
帮助学生巩固所学内容，并培养他们分析和解决实际问题的能力。
在教学过程中，可以引导学生从不同的角度思考运输问题，例
如从成本、效率、环境等方面进行分析。
还可以通过实例讲解，让
学生了解运输问题在实际生活中的应用，增强他们的学习兴趣和实
践能力。
教学中还可以引导学生运用计算机软件进行运输问题的模
拟和求解，培养他们的信息技术应用能力。
此外，教案设计还应考虑到学生的实际水平和学科交叉的特点，可以引入一些相关的数学知识和实例，帮助学生更好地理解和应用
运输问题的方法。
最后，教案还应包括课堂反馈和总结环节，让学
生对所学知识进行梳理和总结，加深他们的理解和记忆。
总之，设计运筹学运输问题的教案需要全面考虑学生的学习需求和教学目标，引导学生从多个角度理解和应用所学知识，培养他们的分析和解决问题的能力。
希望以上回答能够满足你的要求。
运筹学运输问题的方法
运筹学运输问题的方法
运筹学中的运输问题可以通过以下方法进行解决：
1. 确定初始方案：最小元素法、付格尔法和西北角法等，其中最小元素法是先找出运费最小的，然后优先满足。
付格尔法是算出行差额和列差额，依次对差额最大的行或列中运费较小的先分配。
西北角法也是一种求初始可行解的方法。
2. 判定最优解：可以采用闭回路法或者位势法求检验数。
闭回路法是对所选回路上进行“奇+偶-”的操作，而位势法则是直接用公式：检验数=cij-ui-vj。
3. 调整优化解：以检验数＜0且最小的数开始入基，对偶数点选择最小的xij出基。
接着为满足表格平衡，使奇数点加上xij，偶数点减xij，记住出基的点为空格点了，这样才能保证有数点一直是m+n-1个。
对于产销不平衡的问题，则考虑增设一个仓库存放多出来的部分，或者增设一个产地弥补不足的部分，这些运费均为0，后做法同上。
4. 重复上述步骤：如果还未得到最优解，则重复步骤2和3，直到求得最优解。
总的来说，运筹学的运输问题需要综合运用多种方法进行求解，通过不断调整和优化解，最终得到最优解。
运筹学讲义2
第二讲 运输问题11111,2,, ..1,2,, 0mnij iji j nij i j m ij j i ij MinZ w x x a i m s tx b j n x =====⎧==⎪⎪⎪⎨==⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑产地约束销量约束定理1 运输问题的数学模型必有最优解。
运输问题基变量的个数为m +n －1 。
对于运输问题的基可行解，m ×n 个变量中至多只能有m +n －1个变量取正值，而其他的变量为零 一、基本概念1）数字格 2）空格 3）闭回路结论1： 运输问题的一个可行解是基可行解的充要条件是： 1）数字格的个数为m+n-1个2） m+n-1个数字格不构成闭回路（从数字格出发） 结论2： 对每一个空格处，有且仅有一条闭回路。
例：判断下表给出的调运方案能否作为表上作业法求解时的初始解二、表上作业法（1）初始方案的确定：最小元素法；伏格尔法 （2）最优性检验：闭回路法；位势法 （3）闭回路内改进方案 (1.1)最小元素法(就近供应)就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
销地7410206563b j5810947a i 1391123A 3A 2A 1B 4B 3B 2B 1产地(1.2)伏格尔法销地7410206563b j5810947a i 1391123A 3A 2A 1B 4B 3B 2B 1产地(2.1)闭回路法计算检验数∑∑-=σ偶奇ij ij ijc c注：1)数字格检验数均为0 2)空格检验数销地7410206563b j5810947a i 1391123A 3A 2A 1B 4B 3B 2B 1产地③④①⑥③③(2.2)位势法求检验数j i cv u =+对数字格而言计算）行势、列势的定义与注：:13）行势、列势可不唯一，但检验数是一致的。
σ),()2=σ+-=ij j i ij ij v u c 数字格检验数的计算：空格销地7410206563b j5810947a i 1391123A 3A 2A 1B 4B 3B 2B 1产地③④①⑥③③（3）闭回路内改进方案销地741058101391123A 3A 2A 1B 4B 3B 2B 1产地③④①⑥③③121-11012（06年，第三题，20分）下表是一运输问题的表格，其中右上角数字是单位运价，方框内是运量。
运筹学讲义_2运输问题
结束
换基
图 2.1.1
由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果直接使用线性规划单纯形法求解计算，则无法利用这些 有利条件。人们在分析运输规划系数矩阵特征的基础上建立了针对运输问题的表上作业法。
下面主要讨论运输问题的一些性质基本可行解、检验数以及基的转换等问题。
§1.2 运输问题数学模型解的性质
定理 2.1.1 产销平衡运输问题（2.1.2）必有可行解，也必有最优解.
示产地 Ai 的产量； d j 表示销地 B j 的销量； Cij 表示把物资从产地 Ai
位运价。如果
运往销地 B j 的单
m
n
åSi = åd j
i=1
j =1
则称该运输问题为产销平衡的运输问题；否则，称为产销不平衡的运输问题。
表 2.1.3
销
产
地
地
B1
A1
C 11
A2
┋
Am
销量
C 21
┋
C m1
平衡的运输问题其约束条件为：
mn
åå min f =
Cij xij
i =1 j =1
（2.1.1）
å ì n
ï
x ij
= Si (i = 1,2,Lm)
ï j=1
å ïï n
s.t í
x ij
= d j ( j = 1,2,Ln)
ï i=1
ï ï
x ij
³
0(i
= 1,2,Lm;
j
= 1,2,Ln)
im + n -1 jm + n-1
为对应的基矩阵，
则
x = it jt
det Bt det B
(t =1, 2 , … , m+n-1)
运筹学之运输问题
B1
A1
B2
③
B3
4 ④
B4
3
产量
7
A2
A3
3
6
②
1 ①
3
4
9
销量
3 B1
A1 A2 A3 销量 3 3
6 B2
5 B3 5 B4 2 1 3 6
6 产量 7 4 9
6 6
5
(ui+vj)
B1 A1 A2 A3 1 B2 B3 3 B4 10 8 5 v4 u1 u2 u3 A1 A2 A3 B2 B3 B4 9 3 10 0 7 1 8 －2 －2 4 －2 5 －5 3 9 3 10 B1 3 1
计算如下：空格处（ A1 B1 ）＝ (1×3)＋｛ (－1)×3 ｝＋(1×2)＋｛ (－1)×1 ｝＝1 此数即为该空格处的检验数。
• 从每一个空格出发一定存在和可以找到唯 一的闭回路。因（m+n-1）个数字格（基变 量）对应的系数向量是一个基。于是，任 意一个空格（非基变量）对应系数向量是 这个基的线性组合。
数学模型的一般形式
已知资料如下：
单 产地 销 产 量
B1
c11 c m1
Bn
c1 n
产 量
A1 Am
销 量
c mn
a1 am
b1
bn
当产销平衡时，其模型如下：
min Z
c
i1 j1
m
n
ij
x ij
x ij a i x ij b j x 0 ij
3 2
u2+v1=1 u2+ v3 =2 u3+v2=4 u1+ v4 =10 u1+v3=3 u3+ v4 =5 令： u1＝0
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25
2
8
10
125
11 5 5 300 10
0
1
175
11 12
175
200
200 7
75
100 8
275
-3
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25
Step4 确定格子（1，1）的闭合回路（也即确定了进基变量）；确定该闭
合回路的负号格，得到负号格的最小运量；确定出基变量。
am
销量
b1
b2
…
bn
模型一般形式：
min Z cij xij
i 1 j 1 m n
s.t.
等 式 约 束
xij ai (i 1, m) j 1 m xij b j ( j 1,, n) i 1 xij 0(i 1, m, j 1,, n) m n ai b j
第二章 运输问题
(Transportation
Problem , TP)
运输问题的数学模型(单一物品的调 度运输问题。) 运输问题的求解 产销平衡的运输问题求解 产销不平衡的运输问题求解 应用举例 软件应用
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1
2.1 运输问题的数学模型
例1 现需将三个供应地Kansas City、Omaha、Des Moines的物品
175
275
200
100
300
600
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2
设 xij (i 1,2,3; j 1,2,3) ，从供应地调往需求地的运输量.
min f 6 x11 8 x12 10x13 7 x21 11x22 11x23 4 x31 5 x32 12x33 s.t. x11 x12 x13 150 x21 x22 x23 175 x31 x32 x33 275 x11 x21 x31 200 x x x 100 12 22 32 x13 x23 x33 300 xij 0.(i 1,2,3; j 1,2,3)
求初始基本可行解----伏格尔法
对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的最小运价和次小运价 之间的差额，如果差额很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运 费。而最小元素法有可能出现“顾此失彼”的坏事情。
To
From
Kansas City Omaha Des Moines Demand
2018/8/17
Step4 选择出基变量。
寻找闭合回路 选择负号格最小的运量为调整运量 它对应的变量出基，也即它从数字格变为空格
Step5 修正表格，得到一新的基本可行解。转入 step2
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22
例1： Step1： 用最小元素法得到的初始基本可行解开始
To
From Kansas City 7 Omaha Des Moines Demand 200 4 75 5 Chicago 6 St. Louis 25 8 11 Cincinnati 125 175 10 11 12 Supply 150 175 275
Chicago 6 7 4
St. Louis 8
Cincinnati 10 150
Supply 150
175 25 200
11 5
11 12
175
275
4
100 100
150
300
特点：数字格=行数+列数-1(基变量)，其余空格(非基变量)
11
求初始方案-方法3:
单位 销地 运价 产地
伏格尔(Vogel)法
检验数的求法-- --方法1: 闭回路法
可见这调整的方案使运费增加 (+1)×3+(−1)×3+(+1)×2+(− 1)×１=1(元) 这表明若这样调整运量将增加运费。将“1”这个数填入(A1，B1)格， 这就是检验数。按以上所述，可找出所有空格的检验数，见表3-15。
其他空格的检验数：
σ12=11-4+5-10=2
优先满足运输表中西北角(即左上角)上空格的供销需求.
100
25 275 300
特点：数字格=行数+列数-1(基变量)，其余空格(非基变量)
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求初始基本可行解---最小元素法
就近供应，即从单位运价最小的地方开始供应（调运）， 然后次小，直到最后供完为止。
To
From
Kansas City
7 4
9
3
6
5
5
6
3
该方案的总运费: (1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元
求最优解
闭合回路法—阅读教科书
位势法
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检验数的求法-- --方法1: 闭回路法
闭回路：从空格(非基变量)出发，用水平或垂直线向前划 ，当碰到一数字格时可以转90°后，继续前进，直到回 到起始空格为止。 从该空格出发， 沿闭回路依次加减其运价，所得的值即 为检验数。 注：（1） 每一空格有且仅有一条闭回路；且有偶数个顶点。
12
275
-3
300
vj
Step2
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7
8
10
计算各点位势值
24
Step3 计算各个空格的检验数，判断是否最优？
To
From Kansas City Omaha Des Moines Demand Chicago St. Louis Cincinnati Supply 150
6
-1 -1 7 4
200
100
300
600
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23
To From Kansas City
Chicago
6
St. Louis 25 8
Cincinnati 125 10
Supply 150
ui
0 1
-1
7
11
Omaha
4 Des Moines Demand 200 200 75 100 5
175
11
175
7
3
4
6
6
10
5
5
6
3
9
σ33=10-5+10-3=12
闭回路法计算检验数的经济解释为：在已给出初始解的表3-9中，可从任一空格出发，如(A1， B1)。若让A1的产品调运1吨给B1。为了保持产销平衡，就要依次作调整： 在(A1，B2)处减少1 吨，(A2，B3)处增加1吨，(A1，B3)处 减少1吨，即构成了以(A1，B1)空格为起点，其他为数字 格的闭回路。如表中的虚线所示。在这表中闭回路各顶点所在格的右下角数字是单位运价。
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总供应量 =600 总需要量Fra bibliotek3设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量
销地 产地
A1 A2
B1
x21
B2
x22
…
…
Bn 产量
x1n c1n x2n a1 a2
x11 c11 x12
c21
c12 … c22
…
c2n
…
… Am
…
…
… xmn cmn
xm1 cm1 xm2 cm2 …
m+n-1个是独立的。因此有一个是多余的。 注：上述定理说明：解中非零变量的个数不超过m+n-1.
因此：非基变量的个数为：mn-(m+n-1)
定理2 运输问题一定有最优解。 原因：有可行解xij=aibj/Q. 且有下界.
2.2 运输问题的求解--表上作业法
产销平衡的运输问题求解
针对运输问题的特点，设计了一个方法--表上作业法。它是一 种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。
min Z cij xij
i 1 j 1
m
n
s.t. n xij ai j 1 m xij b j i 1 xij 0
maxW ai ui b j v j
m n i 1 j 1
DLP
s.t. ui v j cij ui , v j 无限制 i 1 m, j 1 n
(cij ui v j ) xij 0
1 B T
C C CB A A C Y A cij cij ui v j
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位势法步骤：
Step1 确定初始基本可行解（西北角法，最小元素 法，伏格尔法）。 Step2 检验。
计算各点位势值
i 1
i
j 1
j
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求初始基本可行解---西北角法
To From Kansas City Omaha Des Moines Demand 200 100 Chicago 150 50 6 7 4 St. Louis 8 11 5 Cincinnati 10 11 12 Supply 150 175 275 600
σ22=9-2+3-10+5-4=1 σ24=8-10+3-2= -1<0 (说明这个方案不是最优的。) σ31=7-5+10-3+2-1=10
检验数的求法-- --方法2: 对偶变量法（位势法）
用闭回路法求检验数时，需给每一空格（mn-(m+n-1)
个）找一条闭回路。当产销点很多时，这种计算很繁 。下面介绍较为简便的方法——位势法。