相似知识点总结

相似
【知识脉络】
【基础知识】
Ⅰ. 有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。

(2)如果两个边数相同的多边形的
对应角相等，对应边成比例，．．．．．．．．．．．．．
这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边长度的比叫做相似比
(相似系数)。

Ⅱ. 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）
（1）基本性质：
①
bc ad d c b a ::；②2
::a b
b c b
a c ．
注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，
如bc ad
，除了可化为
d c b a ::，还可化为d b c a ::，b a d
c ::，c a
d b ::，c d a
b ::。

（2）换比性质(交换比例的内项或外项)：
()()()a
b c d a c d c b
d
b a d b c
a
，交换内项，交换外项．同时交换内外项Ⅲ. 平行线分线段成比例定理
基础图形：
定理：如上图，三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
Ⅳ. 相似三角形
（1）概念：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。

相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。

注：
①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比
较容易找到相似三角形的对应角和对应边；
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的；
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样；
④全等三角形是相似比为1的相似三角形。

二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求
对应边成比例。

（2）判定：
根据相似图形的特征来判断。

（对应边成比例，对应角相等）
①.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角
形相似；
②.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
③.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
④.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
直角三角形相似判定定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
注：
射影定理：
在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每
一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则AD 2
=BD ·DC ，AB 2
=BD ·BC ，AC 2
=CD ·BC 。

（3）性质：
相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方（4）相似三角形的几种基本图形：
1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“
A 型”与“X 型”图）
2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、
“反A 共角共边型”、
“蝶型”）
3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”
）”
“三垂直型”）
D
B
C
A
A
B
C
D E
1
2A
A
B
B
C
C
D
D
E E
124
1
2
E
C
A
B
D
E
A
B
C(D)
E
A
D
C
B
(1)
E
A
B
C
D
(3)
D
B
C
A
E (2)
C
D
E
A
B
4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

Ⅴ. 位似
（1）如果两个图形不仅是相似图形，
而且每组对应顶点的连线都交于一点，
那么这样的两个图
形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比
注：
1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.
2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
3）位似图形的对应边互相平行或共线.
（2）位似图形的性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。

注：位似图形具有相似图形的所有性质。

（3）画位似图形的一般步骤：
（详看例子）
B
E
A
C
D
12。