相似知识点总结

相似

【知识脉络】

【基础知识】

Ⅰ. 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。(2)如果两个边数相同的多边形的

对应角相等，对应边成比例，．．．．．．．．．．．．．

这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边长度的比叫做相似比

(相似系数)。

Ⅱ. 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

（1）基本性质：

①

bc ad d c b a ::；②2

::a b

b c b

a c ．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，

如bc ad

，除了可化为

d c b a ::，还可化为d b c a ::，b a d

c ::，c a

d b ::，c d a

b ::。

（2）换比性质(交换比例的内项或外项)：

()()()a

b c d a c d c b

d

b a d b c

a

，交换内项，交换外项．同时交换内外项Ⅲ. 平行线分线段成比例定理

基础图形：

定理：如上图，三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

Ⅳ. 相似三角形

（1）概念：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。

注：

①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比

较容易找到相似三角形的对应角和对应边；

②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的；

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样；

④全等三角形是相似比为1的相似三角形。二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求

对应边成比例。

（2）判定：

根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）

①.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角

形相似；

②.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；

③.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；

④.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

直角三角形相似判定定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

注：

射影定理：

在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每

一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则AD 2

=BD ·DC ，AB 2

=BD ·BC ，AC 2

=CD ·BC 。（3）性质：

相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方（4）相似三角形的几种基本图形：

1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“

A 型”与“X 型”图）

2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、

“反A 共角共边型”、

“蝶型”）

3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”

）”

“三垂直型”）

D

B

C

A

A

B

C

D E

1

2A

A

B

B

C

C

D

D

E E

124

1

2

E

C

A

B

D

E

A

B

C(D)

E

A

D

C

B

(1)

E

A

B

C

D

(3)

D

B

C

A

E (2)

C

D

E

A

B

4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

Ⅴ. 位似

（1）如果两个图形不仅是相似图形，

而且每组对应顶点的连线都交于一点，

那么这样的两个图

形叫做位似图形。这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比

注：

1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.

2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

3）位似图形的对应边互相平行或共线.

（2）位似图形的性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。

注：位似图形具有相似图形的所有性质。（3）画位似图形的一般步骤：

（详看例子）

B

E

A

C

D

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