矩阵子式及结式的用法

矩阵子式及结式的用法

1 背景介绍

在现在的大学本科高等代数教科书中，涉及矩阵子式及结式的内容比较少，尤其是结式部分，只简单地介绍了结式与两个一元多项式的公因式的关系、解二元高次方程组的一般方法．而把其中最精彩、最生动的部分都隐藏起来，况且部分高校把它作为选修内容，学生不能从老师、课本那里学到发现问题、分析问题和解决问题的方法，影响学生对矩阵子式及结式的认识．基于上述现状，本文拟强调矩阵子式和结式在代数研究中的重要性．

2 矩阵结式

我们知道在多项式理论中，结式是个重要的概念．该理论提供了一个解二元高次方程组的一般方法．下面我们具体介绍结式的定义、性质及其计算问题．

2.1 基本概念 定义1

[1](P466)

设有多项式

1011()m m m m f x a x a x a x a --=++

++，1011()n n n n g x b x b x b x b --=++++，则称m n +阶

行列式

(,)R f g =

1201

20

120120

12301230

1

23

m

m m

m

n

n n a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b b b

为()f x 与()g x 的结式．

例1 设2

()32,()1n

f x x x

g x x =-+=+，求结式(,)R f g ． 解 ()f x 与()g x 的结式为

(,)R f g =

13

21

321

3

2

1

321000

100

1

1

----，

从最后一列开始，每列往前一列加，然后第一列提出２，再将第一列乘－１加到其余各列，得

(,)R f g =

1

1

1

1000012102

1

210

21

-----，

按最后两行利用拉普拉斯定理展开，得

()()

2

2

1(,)221122n n n n R f g +++⎡⎤=+--=+⎣

⎦

．

例２ 设2

()1,()32n

f x x x

g x x x =++=-+，求结式(,)R f g

解 =

),(g f R 2

31

23

12

30

23100000231

00000

2

3

1110000010011000001------

，

各列都加到第一列，再从第一列中提出３，接着将第一列乘－１加到第n+1列，即得

2

31

23

12

30

23

10000002301000001100100001),(-----=

g f R ，

将第一行乘－１后加到第二行，然后再按第一列展开，得n+1阶行列式

2

31

23

12

30

2310

0000023110000023001000013

),(------=

g f R ，

从最后一列开始，每列乘－１往前一列加，得

2

10

2

1

0020

002

1

000021

1100013

),(----=

g f R ，

再按第一列展开，得

2

10

2

1

0020

0021

0000211100013

2

121

10

21

23

),(----+----=

g f R ，

将右端第二个行列式的最后一列（第n 列）乘－１后加到第n-１列，再将第一行展开，得

3

2

12

1

21

)1(323),(1----+⋅=+

n

n g f R 3(23)n =+．

2.2 结式(,)R f g 的非行列式计算 2.2.1 利用多项式的根

从2.1我们知道一个m 次多项式()f x 与另一个n 次多项式()g x 的结式(,)R f g 的计算，涉及到一个()m n +阶行列式的计算，这是十分麻烦的事．本节所提供的方法可以摆脱行列式的计算．

定理１[1]

（P467-470）

设多项式

1011()m m m m f x a x a x a x a --=++

++,1011()n n n n g x b x b x b x b --=++

++，

且12,,

,m ααα为()f x 的全部根，12,,n βββ⋅⋅⋅为()g x 的全部根（k 重根算k 个），

则有 (,)R f g =01200120()()(),0

()()(),0

n

m m n a g g g a b f f f b αααβββ⎧⋅≠⎪⎨⋅≠⎪⎩．

证明 设00a ≠，对()f x 的次数m 用数学归纳法．

m ＝１时，01()f x a x a =+有根1

a a α-=

，此时 (,)R f g =

10

1

0101

1n n

a a a a a a

b b b b -．

从第一列开始每列乘α往下一列加，原来0a 位置上的元素不变，而1a 位置上的元素全变为０，

n b 位置上的元素则变为()g α，即这时(,)R f g 变成一个主对角线上元素是0a ，…，0a ，()g α的

三角行列式．故(,)R f g 0()n

a g α=，即m ＝１时结论成立．

假定结论对m ＝k 时成立，下面证明对m ＝k +１也成立．

设1011()k k

k k f x a x a x a x a ++=++

+的根为12,,,,k αααα，且1()()()f x x f x α=-⋅，其中

1101()k k k f x a x c x c -=++⋅⋅⋅+的根为12,,,k ααα，且()f x 与1()f x 的函数间有关系：