第1-3-流体的运动1(3)
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这二种研究方法都是有意义的，都可能会被用到(看具体情况而言)
§1.3.1 理想流体的流动
一.基本概念
1.流体的粘滞性：
实际流体在流动时，其内部有相对运动的相邻两部分之间存在内摩 擦力 (类似两固体相对运动时存在的摩擦阻力)，流体的这种性质称 为粘滞性。——水、酒精、蜂蜜的粘滞性的大小区别
2.流体的可压缩性：
均可看成理想流体．
二.流体的运动形式
1. 一般流动形式： 一般流体运动时各部分可以有相对运动，体现了流动的复杂性。
按照拉格朗日法，各部分质点的流动速度是空间位置的函数， 又是时间t的函数；
按布随照时欧间拉发法生，变从化数，学即的角vr度来看vr (，x表, y现,为z,流t)体流—速—场不的定空常间流分动
任何弯曲液面都对液体产生附加压强；
附加压强方向恒指向弯曲液面的曲率中心；
附加压强：ps
2
R
凸液面：pi
p0
2
R
凹液面：pi
p0
2
R
球形液泡:
4
P内 P外 R
1.2.4 润湿和不润湿 毛细现象
润湿: 液体沿固体表面延展的现象。 不润湿：液体在固体表面上收缩的现象。
微观解释:由于分子力不对称而引起
掌握流体定常流动时的连续性原理（连续性方程， 也叫流量方程）；
掌握贝努利方程（是理想流体作定常流动时的基 本方程）的原理。
相关概念： 1. 流体：
具有流动性的液体和气体。 2. 流体动力学：
研究流体的运动规律以及流体与其他物体之间 相互作用的力学。
流体动力学的应用： 生物体液和氧分的输送，动物体内血液的循环， 土壤中水分的运动，农田排灌、昆虫迁飞。
12
gh1＝p2
1 2
22
gh2
二. 对于同一流管的任意截面，伯努利方程：
p 1 2 gh 恒量
2
•含义：对于理想流体作定常流动，在同一流管中任一处，
每单位体积流体的动能、势能和该处压强之和是一个恒量。 伯努利方程，是理想流体作定常流动时的基本方程； 对于实际流体，如果粘滞性很小，如：水、空气、酒精等， 可应用伯努利方程解决实际问题； 对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、 在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
体积流量，简称流量，用QV表示，单位为m3/s.
连续性原理：流体在同一细流管中作定常流动时，通过任 一截面S的体积流量保持不变。
推广：适用于所有不可压缩的实际流体的定常流动，任意 流管、真实导流管、流体管道都满足连续性原理。
连续性原理是针对一细流管的，在解决整个管道或渠道时， 式中应取管道各点流速的平均值。
由连续性方程： S11 S22 2 16m / s
由伯努利方程：
p1
1 2
12
gh1＝p2
1 2
22
gh2
p2 2.25105 (Pa)
作业
思考题:1-4(对流体静力学知识点的回顾复习) 练习题：1-12
——以上2题课堂上都讲过，虽然题的内容不同， 但实质一样。
只有作用于流管端面的力才作功
W＝p1S11t p2 S22t
V＝S11t＝S22t
1 2
m
2 2
m gh2
(1 2
m12
m gh1 )＝p1S11t
p2 S22t
1 2
V
2 2
Vgh2
(1 2
V12
Vgh1 )＝p1V
p2V
p1
1 2
补充例题，
水管里的水在压强为p=4×105 Pa的作用下流入房间， 水管的内直径为2.0 cm，管内水的流速为4 m/s。引 入到5 m高处二楼浴室的水管，内直径为1.0 cm，
试求浴室水管内水的流速和压强? (已知水的密度为＝103 kg/m3)。
解题思想： 上述液体可视为作定常流动的理想流体， 分别满足连续性方程以及伯努利方程。
2. 定常流动： 流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每
一点的流速不随时间而改变，流体中某点的流速只是空间位
r r 置的函数，这样的流动方式称为定常流动，也称为稳定流动。 v v(x, y, z)
是一种理想化的流动方式。
如：水龙头的涓涓细流、植物导管、动物毛细血管。
三.流线、流管
gR gr
, 液体润湿固体；
2
(2)液体不润湿管壁: h 2 2 cos
gR
gr
, 液体不润湿固体；
2
相关的现象和问题
问题1：为什么小液滴和小气泡总是成类球状而不会成 别的几何形状（如立方体、多角形等）？
问题2：水在玻璃管中呈凹形液面（弯月面），而汞 在玻璃管(如血压计)中却呈凸形液面，为什么？
问题3：肌注、输液、输血时要防止气泡进入,为什么？ ——当毛细管中有很多气泡，则外加几个大气压都不能 使液柱移动，形成栓塞, 称气体栓塞现象。
神奇的水黾(mǐn )
不会划破水面，也不会浸湿自己的腿。
1.3 理想流体的流动 ——流体动力学
本节重点：
掌握理想流体模型；
理解流体的运动形式、流线、流管等物理概念；
前节回顾
液体的表面现象 ——静止液体的力学性质
理解液体表面张力产生的微观本质; 掌握表面张力系数的两种定义; 掌握弯曲液面的附加压强的产生及计算(拉普拉斯公式); 掌握毛细管现象中的朱仑公式。
液体的表面张力
液体的表面层(在液体与气体交界面，厚度等于分子有效作用距离的一 层液体)中有一种使液面尽可能收缩成最小的宏观张力。一般指气液界 面，也涉及到液液界面(橄榄油滴实验、油滴分散)。
表面张力产生的微观本质
①分子力观点：表面张力是由于液体表面层内分子间相互作用与液体内 部分子间相互作用不同。液体表面层的分子在受一个指向液体内部的合 力 f作用下，有被拉进液体内部的趋势，在宏观上就表现为液体表面 有收缩的趋势。
②能量观点：表面层内分子的势能比液体内部分子的势能大，表面层内 的分子有尽量挤入液体内部的趋势，即液面有收缩的趋势，宏观上就表 现为液体的表面张力。
一般而言，流速场中空间各点的流速都随时间变化，相应的流线和 流管也随时间变化，这种不定常流动是非常复杂的。我们只讨论流 体的定常流动，流速场中各点的流速、压强和密度等不随时间变化， 并且流线和质点的运动轨迹重合，流体的各流层只相对滑动而不相 混合。
§1.3.2 连续性原理
1. 推导过程：
①.取一个截面积很小的细流管， 垂直于流管的同一横截面上 的各点流速相同；
设：流体密度，细流管中分析一段流体a1 a2 : a1处：S1，1，h1, p1 a2处：S2，2，h2, p2 经过微小时间t后，流体a1 a2 移到了b1 b2, 从 整体效果看，相当于将流体 a1 b1 移到了a2 b2, 设a1 b1段流体的质量为m，则：
E1＝
1 2
m12
如果同一截面上流速相同，不可压缩的流体在流管中做定 常流动时流体的流速与流管的截面积S成反比，即截面大处 流速小，狭窄处流速大。 如：河水的流动
补充例题
有一条灌溉渠道，横截面是梯形，底宽2m，水面宽 4m，水深1m，这条渠道再通过两条分渠道把水引到 田间，分渠道的横截面也是梯形，底宽1m，水面宽 2m ， 水 深 0.5m ， 如 果 水 在 两 条 渠 道 内 的 流 速 均 为 0.2m/s，求水在总渠道中的流速？
1、流线：为了形象地描述流体流动而引入 的假想的直线或曲线(瞬间凝固时间可得)。
流线上任意点的切线方向就是流体质
点流经该点的速度方向；
若流体作定常流动，则流线的形状和分布不随时间变化，且流
线与流体质点的运动轨迹重合；
流线的疏密程度可定性地表示流体流速的大小； 流线不相交（假设二流线相交于一点，根据流线定义该点的
(1)当f附 >f内, 附着层扩展(容器边缘的液面凹)，宏观上液体润湿固体。
(2)当f附 <f内, 附着层收缩(容器边缘的液面凸)，宏观上液体不润湿固体。
毛细现象：润湿管壁的液体在细管里升高(凹液面)，不润湿 管壁的液体在细管里下降的现象（凸液面）——朱伦公式
(1)液体润湿管壁: h 2 2 cos
研究流体流动的方法
通常流体看做是由大量流体质 点所组成的连续介质。
研究方法1（拉格朗日法）：为了掌握流体的运动规律，跟踪分 析每个质点的详尽运动过程，以牛顿定律为基础确定出所有质 点每时刻的加速度、速度、位置以及运动轨迹。 ——描述往往是复杂的
研究方法2（欧拉法）：把注意力集中在各空间点，观测质点流 经每个空间点的流速以及变化，并不去辨别某一时刻流经各空 间点的是哪些质点，这样就忽略了质点的运动，但却得到了各 个空间点的流速分布（即流速场）。 ——流体运动用流速场、流线、流管等来描述
表面张力系数定义
定义1：液体表面单位长度直线段上的表面张力大小。F = l
定义2：在数值上等于增加单位液体表面积时外力所需做的 功，或增加单位液体表面积时所增加的表面能
E S
W S
——相关作业题说明
弯曲液面的附加压强——拉普拉斯公式
附加压强由表面张力的分量所引起，它使弯曲液面内外 压强不等，与液面曲率中心同侧的压强恒大于另一侧。
伯努利方程：理想流体在重力场中作定常流动时，能 量守衡定律在液体定常流动中的表现形式。
功能原理：物体所受非保守力做的功，等于物体机械 能的增量；
机械能守恒定律：物体只有保守力做功，物体的动能 和势能之间可以互相转换，并且总的机械能为恒量。
一. 伯努利方程的推导：
定常流动的理想流体中，忽略流体的粘滞性，任意细流管中的 液体满足能量守恒和功能原理！
实际流体在外界压力作用下，其体积或密度会发生变化（尤其是 气体），即具有可压缩性；液体的可压缩性很小（例如水在施加压 强每增加1atm，体积仅减少二万分之一 ），通常可忽略。
3.理想流体模型：
将不可压缩的、没有粘滞性的流体叫做理想流体； 一般情况下，密度不发生明显变化、粘滞性小（可忽略）的流体
S11 S22
S1
1 2
4
21
3来自百度文库 2
S2
1 2
2
1 0.5
2
1.5m 2
1
S2 S1
2
0.1m
/
s
§1.3.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想 流体作定常流动时的基本方程，对于确定流体内部各 处的压力和流速有很大的实际意义、在水利、造船、 航空等部门有着广泛的应用。
②.流体由左向右流动 ；
③.流体具有不可压缩性 ；
④.流体质点不可能穿入或者穿出流管 ；
⑤.在一个较短的时间t内，流进流管的流体质量等于流出流
管的流体质量（质量守恒），即：
S11t S22t
S11 S22
2. 连续性方程(连续性原理、流量方程)：
QV S 恒量
体积流量：表示单位时间内流过任意截面S的流体体积，称为
流体质点便同时具有两种速度，这当然毫无意义）。
2、流管：通过流体内部某一个截面的流线围成的管状空间(瞬间 凝固时间可得)。
流体质点不会任意穿出或进入流管(流线不相交)——与实际管道相似 若流体作定常流动，则可视为由无数个稳定的流管组成，分析每个
流管中流体的运动规律，是掌握流体整体运动规律的基础。
m
gh1
E2＝
1 2
m
2 2
m
gh2
机械能的增量： E＝E2－E1
功能原理: 系统受到非保守力做功，系统机械能的增量等于非保守 力对系统作的功；
外界对系统作的功?
受力分析＝端面压力＋侧面压力
对于理想流体，无粘滞力（即不会产生平行于 流管的切压力），如果是管壁则忽略摩擦力。
流管外的流体(或管壁)对此段流体的压 力垂直于流管侧表面，因此不做功。
§1.3.1 理想流体的流动
一.基本概念
1.流体的粘滞性：
实际流体在流动时，其内部有相对运动的相邻两部分之间存在内摩 擦力 (类似两固体相对运动时存在的摩擦阻力)，流体的这种性质称 为粘滞性。——水、酒精、蜂蜜的粘滞性的大小区别
2.流体的可压缩性：
均可看成理想流体．
二.流体的运动形式
1. 一般流动形式： 一般流体运动时各部分可以有相对运动，体现了流动的复杂性。
按照拉格朗日法，各部分质点的流动速度是空间位置的函数， 又是时间t的函数；
按布随照时欧间拉发法生，变从化数，学即的角vr度来看vr (，x表, y现,为z,流t)体流—速—场不的定空常间流分动
任何弯曲液面都对液体产生附加压强；
附加压强方向恒指向弯曲液面的曲率中心；
附加压强：ps
2
R
凸液面：pi
p0
2
R
凹液面：pi
p0
2
R
球形液泡:
4
P内 P外 R
1.2.4 润湿和不润湿 毛细现象
润湿: 液体沿固体表面延展的现象。 不润湿：液体在固体表面上收缩的现象。
微观解释:由于分子力不对称而引起
掌握流体定常流动时的连续性原理（连续性方程， 也叫流量方程）；
掌握贝努利方程（是理想流体作定常流动时的基 本方程）的原理。
相关概念： 1. 流体：
具有流动性的液体和气体。 2. 流体动力学：
研究流体的运动规律以及流体与其他物体之间 相互作用的力学。
流体动力学的应用： 生物体液和氧分的输送，动物体内血液的循环， 土壤中水分的运动，农田排灌、昆虫迁飞。
12
gh1＝p2
1 2
22
gh2
二. 对于同一流管的任意截面，伯努利方程：
p 1 2 gh 恒量
2
•含义：对于理想流体作定常流动，在同一流管中任一处，
每单位体积流体的动能、势能和该处压强之和是一个恒量。 伯努利方程，是理想流体作定常流动时的基本方程； 对于实际流体，如果粘滞性很小，如：水、空气、酒精等， 可应用伯努利方程解决实际问题； 对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、 在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
体积流量，简称流量，用QV表示，单位为m3/s.
连续性原理：流体在同一细流管中作定常流动时，通过任 一截面S的体积流量保持不变。
推广：适用于所有不可压缩的实际流体的定常流动，任意 流管、真实导流管、流体管道都满足连续性原理。
连续性原理是针对一细流管的，在解决整个管道或渠道时， 式中应取管道各点流速的平均值。
由连续性方程： S11 S22 2 16m / s
由伯努利方程：
p1
1 2
12
gh1＝p2
1 2
22
gh2
p2 2.25105 (Pa)
作业
思考题:1-4(对流体静力学知识点的回顾复习) 练习题：1-12
——以上2题课堂上都讲过，虽然题的内容不同， 但实质一样。
只有作用于流管端面的力才作功
W＝p1S11t p2 S22t
V＝S11t＝S22t
1 2
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2 2
m gh2
(1 2
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m gh1 )＝p1S11t
p2 S22t
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Vgh2
(1 2
V12
Vgh1 )＝p1V
p2V
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补充例题，
水管里的水在压强为p=4×105 Pa的作用下流入房间， 水管的内直径为2.0 cm，管内水的流速为4 m/s。引 入到5 m高处二楼浴室的水管，内直径为1.0 cm，
试求浴室水管内水的流速和压强? (已知水的密度为＝103 kg/m3)。
解题思想： 上述液体可视为作定常流动的理想流体， 分别满足连续性方程以及伯努利方程。
2. 定常流动： 流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每
一点的流速不随时间而改变，流体中某点的流速只是空间位
r r 置的函数，这样的流动方式称为定常流动，也称为稳定流动。 v v(x, y, z)
是一种理想化的流动方式。
如：水龙头的涓涓细流、植物导管、动物毛细血管。
三.流线、流管
gR gr
, 液体润湿固体；
2
(2)液体不润湿管壁: h 2 2 cos
gR
gr
, 液体不润湿固体；
2
相关的现象和问题
问题1：为什么小液滴和小气泡总是成类球状而不会成 别的几何形状（如立方体、多角形等）？
问题2：水在玻璃管中呈凹形液面（弯月面），而汞 在玻璃管(如血压计)中却呈凸形液面，为什么？
问题3：肌注、输液、输血时要防止气泡进入,为什么？ ——当毛细管中有很多气泡，则外加几个大气压都不能 使液柱移动，形成栓塞, 称气体栓塞现象。
神奇的水黾(mǐn )
不会划破水面，也不会浸湿自己的腿。
1.3 理想流体的流动 ——流体动力学
本节重点：
掌握理想流体模型；
理解流体的运动形式、流线、流管等物理概念；
前节回顾
液体的表面现象 ——静止液体的力学性质
理解液体表面张力产生的微观本质; 掌握表面张力系数的两种定义; 掌握弯曲液面的附加压强的产生及计算(拉普拉斯公式); 掌握毛细管现象中的朱仑公式。
液体的表面张力
液体的表面层(在液体与气体交界面，厚度等于分子有效作用距离的一 层液体)中有一种使液面尽可能收缩成最小的宏观张力。一般指气液界 面，也涉及到液液界面(橄榄油滴实验、油滴分散)。
表面张力产生的微观本质
①分子力观点：表面张力是由于液体表面层内分子间相互作用与液体内 部分子间相互作用不同。液体表面层的分子在受一个指向液体内部的合 力 f作用下，有被拉进液体内部的趋势，在宏观上就表现为液体表面 有收缩的趋势。
②能量观点：表面层内分子的势能比液体内部分子的势能大，表面层内 的分子有尽量挤入液体内部的趋势，即液面有收缩的趋势，宏观上就表 现为液体的表面张力。
一般而言，流速场中空间各点的流速都随时间变化，相应的流线和 流管也随时间变化，这种不定常流动是非常复杂的。我们只讨论流 体的定常流动，流速场中各点的流速、压强和密度等不随时间变化， 并且流线和质点的运动轨迹重合，流体的各流层只相对滑动而不相 混合。
§1.3.2 连续性原理
1. 推导过程：
①.取一个截面积很小的细流管， 垂直于流管的同一横截面上 的各点流速相同；
设：流体密度，细流管中分析一段流体a1 a2 : a1处：S1，1，h1, p1 a2处：S2，2，h2, p2 经过微小时间t后，流体a1 a2 移到了b1 b2, 从 整体效果看，相当于将流体 a1 b1 移到了a2 b2, 设a1 b1段流体的质量为m，则：
E1＝
1 2
m12
如果同一截面上流速相同，不可压缩的流体在流管中做定 常流动时流体的流速与流管的截面积S成反比，即截面大处 流速小，狭窄处流速大。 如：河水的流动
补充例题
有一条灌溉渠道，横截面是梯形，底宽2m，水面宽 4m，水深1m，这条渠道再通过两条分渠道把水引到 田间，分渠道的横截面也是梯形，底宽1m，水面宽 2m ， 水 深 0.5m ， 如 果 水 在 两 条 渠 道 内 的 流 速 均 为 0.2m/s，求水在总渠道中的流速？
1、流线：为了形象地描述流体流动而引入 的假想的直线或曲线(瞬间凝固时间可得)。
流线上任意点的切线方向就是流体质
点流经该点的速度方向；
若流体作定常流动，则流线的形状和分布不随时间变化，且流
线与流体质点的运动轨迹重合；
流线的疏密程度可定性地表示流体流速的大小； 流线不相交（假设二流线相交于一点，根据流线定义该点的
(1)当f附 >f内, 附着层扩展(容器边缘的液面凹)，宏观上液体润湿固体。
(2)当f附 <f内, 附着层收缩(容器边缘的液面凸)，宏观上液体不润湿固体。
毛细现象：润湿管壁的液体在细管里升高(凹液面)，不润湿 管壁的液体在细管里下降的现象（凸液面）——朱伦公式
(1)液体润湿管壁: h 2 2 cos
研究流体流动的方法
通常流体看做是由大量流体质 点所组成的连续介质。
研究方法1（拉格朗日法）：为了掌握流体的运动规律，跟踪分 析每个质点的详尽运动过程，以牛顿定律为基础确定出所有质 点每时刻的加速度、速度、位置以及运动轨迹。 ——描述往往是复杂的
研究方法2（欧拉法）：把注意力集中在各空间点，观测质点流 经每个空间点的流速以及变化，并不去辨别某一时刻流经各空 间点的是哪些质点，这样就忽略了质点的运动，但却得到了各 个空间点的流速分布（即流速场）。 ——流体运动用流速场、流线、流管等来描述
表面张力系数定义
定义1：液体表面单位长度直线段上的表面张力大小。F = l
定义2：在数值上等于增加单位液体表面积时外力所需做的 功，或增加单位液体表面积时所增加的表面能
E S
W S
——相关作业题说明
弯曲液面的附加压强——拉普拉斯公式
附加压强由表面张力的分量所引起，它使弯曲液面内外 压强不等，与液面曲率中心同侧的压强恒大于另一侧。
伯努利方程：理想流体在重力场中作定常流动时，能 量守衡定律在液体定常流动中的表现形式。
功能原理：物体所受非保守力做的功，等于物体机械 能的增量；
机械能守恒定律：物体只有保守力做功，物体的动能 和势能之间可以互相转换，并且总的机械能为恒量。
一. 伯努利方程的推导：
定常流动的理想流体中，忽略流体的粘滞性，任意细流管中的 液体满足能量守恒和功能原理！
实际流体在外界压力作用下，其体积或密度会发生变化（尤其是 气体），即具有可压缩性；液体的可压缩性很小（例如水在施加压 强每增加1atm，体积仅减少二万分之一 ），通常可忽略。
3.理想流体模型：
将不可压缩的、没有粘滞性的流体叫做理想流体； 一般情况下，密度不发生明显变化、粘滞性小（可忽略）的流体
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§1.3.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想 流体作定常流动时的基本方程，对于确定流体内部各 处的压力和流速有很大的实际意义、在水利、造船、 航空等部门有着广泛的应用。
②.流体由左向右流动 ；
③.流体具有不可压缩性 ；
④.流体质点不可能穿入或者穿出流管 ；
⑤.在一个较短的时间t内，流进流管的流体质量等于流出流
管的流体质量（质量守恒），即：
S11t S22t
S11 S22
2. 连续性方程(连续性原理、流量方程)：
QV S 恒量
体积流量：表示单位时间内流过任意截面S的流体体积，称为
流体质点便同时具有两种速度，这当然毫无意义）。
2、流管：通过流体内部某一个截面的流线围成的管状空间(瞬间 凝固时间可得)。
流体质点不会任意穿出或进入流管(流线不相交)——与实际管道相似 若流体作定常流动，则可视为由无数个稳定的流管组成，分析每个
流管中流体的运动规律，是掌握流体整体运动规律的基础。
m
gh1
E2＝
1 2
m
2 2
m
gh2
机械能的增量： E＝E2－E1
功能原理: 系统受到非保守力做功，系统机械能的增量等于非保守 力对系统作的功；
外界对系统作的功?
受力分析＝端面压力＋侧面压力
对于理想流体，无粘滞力（即不会产生平行于 流管的切压力），如果是管壁则忽略摩擦力。
流管外的流体(或管壁)对此段流体的压 力垂直于流管侧表面，因此不做功。