二元一次方程组的应用13种类型

二元一次方程组的应用

要点突破：

应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤回顾: 关键

（1）理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）

（2）制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）

（3）执行计划（列出方程组并求解，得到答案）

（4）回顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）

列方程组思想：

找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

（1）行程问题：（2）工程问题;（3）销售中的盈亏问题;（4）储蓄问题;（5）产品配套问题;（6）增长率问题;（7）和差倍分问题;（8）数字问题; （9）浓度问题; （10）几何问题; （11）年龄问题;（12）优化方案问题.

一、行程问题

（1）三个基本量的关系：

路程s=速度v×时间t 时间t＝路程s÷速度V 速度V＝路程s÷时间t

（2）三大类型：

①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距

②追及问题：快行距－慢行距＝原距

③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；

顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程

相遇问题:两个运动物体作相向

．．运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。

A车路程B车路程

A 车后行路程

B 车追击路程

A 车先行路程

追击

另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度

甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，

那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度.

练习：学校距活动站670米，小明从学校前往活动站每分钟行80米，2分钟后，小丽从活动站往学校走，每分钟行90米，小明出发多少分钟后和小丽相遇？相遇时二人各行了多少米？

追及问题:两物体速度不同向同一方向运动，两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程若把它

叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一个的时间叫“追及时间”.

关系式是： 追及的路程÷速度差＝追及时间．．．．．．．．．．．．．．

顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速 顺水的路程 = 逆水的路程

A 、

B 两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A 、B 两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？

甲、乙二人相距6km ，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？ 解：设甲每小时走x 千米，乙每小时走y 千米 题中的两个相等关系：

1、同向而行：甲的路程=乙的路程+ 可列方程为：

【变式】

1.甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

2. 甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。根据他们两人的约定，乙最快不早于1h追上甲，最慢不晚于1h15min追上甲，则乙骑车的速度应当控制在什么范围？

3. 从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，

平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲到乙地需90分，从乙地到甲地需102分。甲地到乙地全程是多少？

4. 甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点50米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.

5. 两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第1二列车早出发4小时20分,那么在第二列火车出发8小时后相遇,求两列火车的速度.

6. 某班同学去18千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.

7. 通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？

总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

一只船在河中航行，水速为每小时2千米，它在静水中航行每小时8千米，顺水航行每小时行多少千米？逆水航行每小时行多少千米？顺水航行50千米需要用多少小时？

练习： 1.某船在静水中的速度是每小时7千米，水流速度是每小时2千米，那么它逆水中的速度是多少？若逆水航行3小时，可航行多少千米？

2.某船顺水速度是每小时17千米，逆水航行速度是每小时10千米，那么此船的静水速度是每小时多少千米？水流速度是每小时行多少千米？

3.两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

二、工程问题

三个基本量的关系：

工作总量＝工作时间×工作效率；工作时间＝工作总量÷工作效率；

工作效率＝工作总量÷工作时间甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量，

注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。

一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？