运筹学实验之最小费用最大流综合实验
运筹学-16最小费用最大流
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
2
(+3, v4)
2
(+2, v1)
前向,后向都有调整量
只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
v1标号:(1,s)
(0, )
标不下去,已经找不到增广路
下方案总费用=14+3 3+11+43+2 4=34
求最小费用最大流 (容量,费用) 弧上数据(uj,cj)
uj 为弧的容量
Cj 为从这条弧运 送物资的费用
注意:
这两图 的权的 含义不 同
解: 设图中每条弧上的流量fj都为零,得到下图 (可调整流量,费用)
画出与上图对应的增广网络图,弧上权为(弧上流量的可调整 量,单位费用)
Min{(v1v3)(v1v4)}={1+4,1+3}=4
(4,v3)
(4, v1)
v4标号:(4, v1) Min{ (v4t)(v1v3)}={4+5 , 1+4}=5
v3标号:(5, v1) v2标号:(4, v3)
Min{(v3t)(v4t)(v3v2)}={5+3,4+5,5-1}=4 Min{(v3t)(v4t)(v2v4)}={5+3,4+5,4+6}=8
容量、费用、流量
(+1, v1)
1
3
(+2, v3)
前向,后向都有调整量 只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
最小费用最大流问题ppt课件
v4 (5,3) vt
(3,0)
(2,1) v3
v1
Back 14
continued
(二)调整过程 (1)寻找以为终点的增广链----(反向追踪法)
若vt的第一个标号为v3 , 则弧(v3 , vt )是链上的弧。 接下来检查 v3的第一个标号， 为 v2， 则找出(v3 , v2 )是链上的弧。 同理， (v2 , v1 )和(vs , v1 )是链上的弧. 此时所求的增广链(vs , v1 , v2v3 , vt )。
(2)若在弧 (v j , vi )上 , fij 0, 则给 v j标号 (vi , l(v j )) 这 里 l(v j ) min[ l(vi ), f ji ] .此时,点 v j成为标号而未检查的点.
于是 vi 成为标号且已检查过的点.重复上述步骤,一旦 v t
被标上号,表明得到一条从 vs 到 v t 的增广链 ,转入调整过程.
3 、检查 v1
在弧 (v1 , v3 ) 上 , f13 c13 2, 不满足标号条件;
在弧 (v2 , v1 ) 上 , f 21 0, 则 v2的标号为 (v1,l(v2 )). 其中, l(v2 ) min[ l(v1), f21] min[ 4,1] 1 4 、检查 v2
若所有标号都已经检查过,而标号过程进行不下去时,则 算法结束,此时的可行流就是最大流.
10
2 、调整过程 (1)寻找以v t 为终点的增广链----(反向追踪法): 若vt的第一个标号为vk (或 vk ),则弧(vk , vt )(相应地(vt , vk ))是
链上的弧。 接下来检查vk的第一个标号， 若为vi (或 vi )， 则找 出(vi , vk )(相应地(vk , vi ))。 再检查的第一个标号， 依此下去， 直到 vs为止(2。)调此整时量被找 的l(v弧t ),就即构vt的成第了二增个广标链号。。
最小费用最大流问题的算法_运筹学_[共7页]
![最小费用最大流问题的算法_运筹学_[共7页]](https://img.taocdn.com/s3/m/07f655bf7e21af45b207a88c.png)
∑ ∑ cij − cij 。称 Δ（c μ）是沿增广链 μ 当可行流增加单位流值时费用的增量。简称为增广链 μ
u+
u−
的单位费用增量。
可以证明，若 X 是流量为 （f X）的所有可行流中费用最小者，而 μ 是关于 X 的所有增广
链中费用最小的增广链，则沿 μ 去调整 X ，得到的可行流 X ′ 就是流量为 （f X ′）的所有可行流
中的最小费用流。这样，当 X ′ 是最大流时，它也是我们所要寻找的最小费用最大流了。
注意到 cij ≥ 0 ，故 X = 0 必是流量为 0 的最小费用流。这样，总可以从 X = 0 开始。一般 地，若已知 X 是流量 （f X）的最小费用流，为了寻求关于 X 的最小费用增广链，我们构造一
个赋权有向图 D（X），它的顶点是原网络 D 的顶点，而把 D 中的每一条弧（vi，v j）变成两个相
反方向的弧（vi，v j）和（vj，vi），定义 D（X）中弧的权 wij′ ：
wij′
=
w（′ vi
,v j）=
⎧⎪⎨⎪⎩c+i∞j ,若,若xijxi<j =wwij ij
，
w
′
ji
=
w（′ v
j，vi）=
⎨⎪⎩⎧⎪+−∞cij，，若若xxijij
> 0
0
在 D（X）中长度为 +∞ 的弧可以略去。
故在网络 D 中寻找关于 X 的最小费用增广链就等价于在赋权有向图 D（X）中，寻找从 v1 到 vn 的最短路。这样，我们有如下算法。
第 6章 图 与 网 络 分 析
181
运
筹
Step1 确定初始可行流 X (0) = 0 ，令 k := 0 ；
运筹学最小费用最大流流问题
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问 题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经 常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输 网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考 虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决 这一类问题。
最小费用最大流问题提法:
设一个网络G=（V，E，C），对于每一个弧(vi ,vj )∈E ,给 定容量cij外，还给出单位流量的费用dij 0 ，网络记为 G=（V，E，C，d）。网络系统的最小费用最大流问题，
bij bij
我们将 bij bij 叫做这条增广链的费用。
结论：如果可行流 f 在流量为w(f )的所有可行流中 的费用最小，并且 是关于f 的所有增广链中的费
用最小的增广链，那么沿增广链μ调整可行流f，得
到的新可行流f ’ ，也是流量为w(f ’)的所有可行流中 的最小费用流。依次类推，当 f ’ 是最大流时，就是 所要求的最小费用最大流。
对偶算法基本思路：
零流f ={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小 费用流，总可以从零流f ={0}开始。下面的问题是：如果 已知f 是流量为w(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于 f 的最小费用增广链，用最大流的方法将f(0)调整到f(1)， 使f(1)流量为w(f(0))+θ，且保证f(1)在w(f(0))+θ流量下的
(5, 2)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
v1
(7, 1)
解：（(110）, 4取) 初始可行流(2,为6)零流f
(cij, dij) (0)v=t{0},构造赋权
有 (vs
向vs图 L(f(0)), 用
,v2 ,v1(,8v,t)1,)如图
实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题教学提纲
n=min(ta,n); %将最短路径上的最小允许流量提取出来
end
for i=1:(size(mcr',1)-1)
if a(mcr(i),mcr(i+1))==inf
a(mcr(i+1),mcr(i))=a(mcr(i+1),mcr(i))+n;
else
a(mcr(i),mcr(i+1))=a(mcr(i),mcr(i+1))-n;
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
R(i,j)=R(i,k);
end
end
end
k;
D;
R;
end
M=D(1,n);
3.求解如下网络运输图中的最大流最小费用问题：
图2
打开matlab软件，在COMND WINDOW窗口中输入矩阵程序如下：
n=5;
新图E(f)中不考虑原网络D中各个弧的容量cij.为了使E(f)能比较清楚,一般将长度为]的弧从图E(f)中略去.由可扩充链费用的概念及图E(f)中权的定义可知,在网络D中寻求关于可行流f的最小费用可扩充链,等价于在图E(f)中寻求从发点到收点的最短路.因图E(f)中有负权,所以求E(f)中的最短路需用Floyd算法。
end
end
Mm=Mm+n; %将每次叠代后增加的流量累加，叠代完成时就得到最大流量
for i=1:size(a,1)
for j=1:size(a',1)
if i~=j&a(i,j)~=inf
if a(i,j)==A(i,j) %零流弧
c(j,i)=inf;
最小费用最大流问题
近似算法和启发式算法
要点一
近似算法
近似算法是一种用于求解NP-hard问题的有效方法，它可 以在多项式时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流 问题的近似算法包括Ford-Fulkerson算法、EdmondsKarp算法等。
要点二
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的算法，它可以在合理 的时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流问题的启 发式算法包括基于增广路径的算法、基于贪婪的算法等。
研究如何将最小费用最大流问题 应用于计算机科学领域，例如计 算机网络、云计算等。
物理学
研究如何借鉴物理学中的理论和 思想，解决最小费用最大流问题， 例如利用流体动力学中的思想来 研究网络中的流。
谢谢观看
Hale Waihona Puke 06未来研究方向和展望算法优化和改进
动态规划算法
研究如何优化动态规划算法，减少时间复杂度 和空间复杂度，提高求解效率。
近似算法
研究近似算法，在保证求解质量的前提下，提 高求解速度。
并行计算和分布式计算
研究如何利用并行计算和分布式计算技术，加速最小费用最大流问题的求解。
新的问题定义和模型
考虑更复杂的情况
和技术。
有界容量和无界容量
总结词
有界容量和无界容量是指在网络中节点之间 的容量是否有限制。
详细描述
在最小费用最大流问题中，如果节点之间的 容量有限制，即为有界容量问题；如果节点 之间的容量没有限制，即为无界容量问题。 有界容量问题可以通过增广路径算法、预流 推进算法等求解，而无界容量问题则需要采
用其他算法和技术进行求解。
算法概述
最小费用最大流问题是一种网络流问 题，旨在在给定有向图中寻找一条路 径，使得从源节点到汇点之间的总流 量最大，同时满足每个节点的流入量 等于流出量，以及每条边的容量限制。
实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题
北京联合大学实验报告项目名称: 运筹学专题实验报告学院: 自动化专业：物流工程班级： 1201B 学号：2012100358081 姓名：管水城成绩：2015 年 5 月 6 日实验三:使用matlab求解最小费用最大流算问题一、实验目的：(1）使学生在程序设计方面得到进一步的训练;，学习Matlab语言进行程序设计求解最大流最小费用问题。
二、实验用仪器设备、器材或软件环境计算机，Matlab R2006a三、算法步骤、计算框图、计算程序等1.最小费用最大流问题的概念。
在网络D(V，A）中，对应每条弧(vi，vj)IA，规定其容量限制为cij(cij\0)，单位流量通过弧(vi，vj）的费用为dij(dij\0)，求从发点到收点的最大流f，使得流量的总费用d（f)为最小,即mind（f）=E（vi，vj）IA2。
求解原理。
若f是流值为W的所有可行流中费用最小者，而P是关于f的所有可扩充链中费用最小的可扩充链,沿P以E调整f得到可行流fc,则fc是流值为（W+E)的可行流中的最小费用流.根据这个结论，如果已知f是流值为W的最小费用流,则关键是要求出关于f 的最小费用的可扩充链。
为此,需要在原网络D的基础上构造一个新的赋权有向图E（f),使其顶点与D的顶点相同,且将D中每条弧(vi，vj)均变成两个方向相反的弧（vi,vj)和(vj，vi)1新图E（f)中各弧的权值与f中弧的权值有密切关系,图E（f)中各弧的权值定义为：新图E(f)中不考虑原网络D中各个弧的容量cij。
为了使E（f）能比较清楚，一般将长度为]的弧从图E(f）中略去.由可扩充链费用的概念及图E(f)中权的定义可知，在网络D中寻求关于可行流f的最小费用可扩充链，等价于在图E（f）中寻求从发点到收点的最短路.因图E(f）中有负权,所以求E(f)中的最短路需用Floyd算法。
1.最小费用流算法的框图描述。
图一2.计算最小费用最大流MATLAB源代码，文件名为mp_mc.mfunction[Mm，mc，Mmr]=mp_mc（a，c）A=a; %各路径最大承载流量矩阵C=c; %各路径花费矩阵Mm=0; ％初始可行流设为零mc=0； %最小花费变量mcr=0;mrd=0；n=0;while mrd~=inf %一直叠代到以花费为权值找不到最短路径for i=1:（size(mcr’，1)—1)if a(mcr（i）,mcr(i+1）)==infta=A(mcr（i+1)，mcr（i）)—a(mcr(i+1）,mcr（i））； elseta=a（mcr(i）,mcr（i+1));endn=min（ta,n）；％将最短路径上的最小允许流量提取出来endfor i=1：(size（mcr’，1）-1）if a(mcr(i),mcr(i+1））==infa(mcr（i+1),mcr(i））=a（mcr（i+1）,mcr（i))+n；elsea(mcr（i），mcr(i+1）)=a(mcr(i），mcr(i+1)）—n；endendMm=Mm+n；％将每次叠代后增加的流量累加，叠代完成时就得到最大流量 for i=1：size（a，1）for j=1：size（a’，1）if i～=j&a（i，j）～=infif a(i，j)==A(i,j） %零流弧c（j，i）=inf;c(i,j）=C（i，j)；elseif a（i,j)==0 %饱合弧c（i,j）=inf;c(j，i）=C(j，i)；elseif a(i，j)~=0 %非饱合弧c（j，i）=C（j，i)；c（i,j）=C(i,j)；endendendend［mcr,mrd]=floyd_mr（c) %进行叠代，得到以花费为权值的最短路径矩阵(mcr）和数值（mrd）n=inf;end％下面是计算最小花费的数值for i=1:size(A,1)for j=1：siz e(A’，1)if A(i,j）==infA（i，j）=0;endif a（i，j）==infa(i,j)=0；endendendMmr=A—a； %将剩余空闲的流量减掉就得到了路径上的实际流量，行列交点处的非零数值就是两点间路径的实际流量for i=1：size(Mmr，1）for j=1:size(Mmr’，1)if Mmr(i，j）~=0mc=mc+Mmr(i，j）*C(i,j)；％最小花费为累加各条路径实际流量与其单位流量花费的乘积endendend利用福得算法计算最短路径MATLAB源代码,文件名为floyd_mr。
第五节 最小费用最大流问题
• W（f）的构造方法如下：W（f）中的顶点是 原网络中的点，而把G中的每一条弧（vi，vj） 变成两个方向相反的弧（vi，vj）和（vj，vi）。 定义 • W（f）中弧（vi，vj）和（vj，vi）的权wij和wji 为：
bij 若 fij <cij wij = fij =cij +∞
b( f ′) -b( f )
= ∑ bij ( f ij' − f ij ) + ∑ bij ( f ij' − f ij )
µ+ µ−
= ∑ bij − ∑ bij
µ+ µ−
+1
-1
的费用。 称为增广链 µ 的费用。 最小费用最大流的原理的主要依据： 最小费用最大流的原理的主要依据： 是流值为V（ 的所有可行流中费用最小者, 若f 是流值为 （f ）的所有可行流中费用最小者 是关于f 的所有增广链中费用最小的增广链,则沿 而µ 是关于 的所有增广链中费用最小的增广链 则沿 µ 以θ去调整 f ,得可行流 f ′ ，f ′就是流量为 就是流量为V(f )+ θ 得可行流 的所有可行流中费用最小的可行流。这样， 的所有可行流中费用最小的可行流。这样，当 f ′是 最大流时， 就是所求的最小费用最大流。 最大流时， f ′就是所求的最小费用最大流。
17
V1 18,18
20,3
V2 14,3 V1 -3
-5
V2 5 -4 5
-5 vt -3
vs
15,15
12,0
17,17 V3
vt
3 8 -8
V3
8
20,2 (f) f(3)
(g) (f(3))
第四轮，k= 3 作图W(f(3))如图（g）所示，求W(f(3))中vs到vt的 最短路(vs,v3,v1,v2,vt)，在G中找到相应的增广链，该 链上最大可增加11个流量，然而我们只要再增加5个 流量就达到目标流量值3，故在该链上调为流量为5， 得到新流f (3) ，如图（h）， f (4)即为所求的流量25的 最小费用流。 18
最小费用最大流问题
i):f(j,i))=0; ); @sum(edge(i,j)|i#eq#@index(s):f(i,j)) =vf; @sum(edge(j,i)|i#eq#@index(t):f(j,i)) =vf; @for(edge(i,j):@bnd(0,f(i,j),u(i,j))) ; end
min
( i , j )E
cij fij ;
s.t.
jV ( i , j )E
fij
jV ( j ,i )E
v f , i s , f ji v f , i t , 0, i s, t.
0 fij uij ,(i, j ) E.
LINGO 程序求解 model: sets: points/s,v1,v2,v3,v4,t/; edge(points,points) /s,v1 s,v2 v1,v2 v1,v3 v2,v4 v3,v2 v3,t v4,v3 v4,t/:c,u,f; endsets data: c=2 8 5 2 3 1 6 4 7; u=8 7 5 9 9 2 5 6 10; vf=14; enddata min=@sum(edge(i,j):c(i,j)*f(i,j)); @for(points(i)|i#ne#@index(s) #and# i#ne#@index(t): @sum(edge(i,j):f(i,j))-@sum(edge(j,
最小费用最大流问题
例 本例是最大流问题的延伸，由于输油管道的长短不 一，或地质等原因，使每条管道上运输费用也不相 同，因此，除考虑输油管道的最大流外，还需要考 虑输油管道输送最大流的最小费用，下图所示是带 有运输费的网络，其中第 1 个数字是网络的容量， 第 2 个数字是网络的单位运费.
实验三使用matlab求解最小费用最大流算问题
若f是流值为W的所有可行流中费用最小者,而P是关于f的所有可扩充链中费用最小的可扩充链,沿P以E调整f得到可行流fc,则fc是流值为(W+E)的可行流中的最小费用流。
根据这个结论,如果已知f是流值为W的最小费用流,则关键是要求出关于f的最小费用的可扩充链.为此,需要在原网络D的基础上构造一个新的赋权有向图E(f),使其顶点与D的顶点相同,且将D中每条弧(vi,vj)均变成两个方向相反的弧(vi,vj)和(vj,vi)1新图E(f)中各弧的权值与f中弧的权值有密切关系,图E(f)中各弧的权值定义为：
end
n=min(ta,n); %将最短路径上的最小允许流量提取出来
end
for i=1:(size(mcr',1)-1)
if a(mcr(i),mcr(i+1))==inf
a(mcr(i+1),mcr(i))=a(mcr(i+1),mcr(i))+n;
else
a(mcr(i),mcr(i+1))=a(mcr(i),mcr(i+1))-n;
北京联合大学
实验报告
项目名称：运筹学专题实验报告
学 院：自动化专 业：物流工程
班 级：1201B学 号：21
姓 名：管水城成 绩：
2015年5月6日
实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题
一、实验目的：
(1)使学生在程序设计方面得到进一步的训练;，学习Matlab语言进行程序设计求解最大流最小费用问题。
C=[0 10 8 0 0;0 0 0 2 7;0 5 0 10 0;0 0 0 0 4;0 0 0 0 0]
b=[0 4 1 0 0;0 0 0 6 1;0 2 0 3 0;0 0 0 0 2;0 0 0 0 0]
运筹学 最大流与最小费用流ppt课件
x1
,2
6 ,1
1 ,1
2,2
v1
5 ,1
4,0
y1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3,0
1,0
1,0
3 ,1
4,4
2 ,1
s
6,0
2,2
,0
,6 t
s
,4
x2
v 4 5,3
3,2
y2
,0
6,4
v3
图2
y3
二、最大流与最小割
最大流问题是一类应用极为广泛的问题， 例如在交通运输网络中 有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流， 通讯系统中有信息流，等等。 定义 5 设 N (V , E, c, s, t ) 是一个网络， f 是一个流，若不存在 流 f ' ，使
定义 3
eN ( A)
f (e)
eN ( A)
设 f 是 网 络 N 的 一 个 流 ， AV ， 则 称 f (e) 为流出 A 的净流量，称 f (e) f (e)
eN ( A) eN ( A)
为流入 A 的净流量。 注 2： （1）流入、流出任何中间点的净流量为 0； （2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集 Y 的净流量。
'
( ,) i j A iS , jS
uij 为割 ( A, A)
N 的最小割。
注 4：割是从 A 到 A 的有向弧组成的
最大流与最小割的关系：
定理 1 设 f 是 N 的流， ( A, A) 是一个割，则： （1） Val f
eN ( A)
最小费用最大流问题
, ,
若(vi 若(vi
, ,
v v
j j
) )
,
fij ,若(vi , v j ) .
去掉全部旳标号,对新旳可行流 f ' { fij '}, 重新进入标号过程.
Back
continued
算 例 用标号法求右下图所示网络旳最大流.弧旁旳数是 (cij , fij ).
解:(一)标号过程
b(
f
*)
min f
bij
(vi ,v j )A
f ij
怎么求解这个问题?
1、定义 增广链 旳费用为 bij bij
结论:若 f 是流量为v( f )旳全部可行流中费用最小者,而 是有关 f 旳全部增广链中费用最小旳增广链,则沿 去调 整 f ,得到旳可行流 f ' ,就是流量为 v( f ')旳全部可行流中旳最 小费用流.这么,当 f ' 是最大流时,它即为所求旳最小费用最 大流.
cij ,即正向弧集中每一条弧是非饱和弧; cij ,即反向弧集中每一条弧是非零流弧.
四、截集
1 、设 S,T V , S T , 把始点在 S ,终点在 T 中旳全 部弧构成旳集合,记为 (S,T ).
2 、给定网络 D (V , A,C)若点集 V 被剖分为两个非空集合
__
__
__
v1 (2,2)
v2
(3,3)
(4,3)
vs
(0,)
(1,0) (1,0)
(5,2) v1 (vs ,3) (2,2)
v4
(5,3)
(3,0)
vt
(2,2)
v3
v4 (5,3) vt
(3,0) (2,2)
运筹学-5-5最小费用最大流问题
否则，转下一步。
第四步---将最短路还原成原网 络图中的最小费用增广链μ，在μ上 对可行流X(k-1)进行调整，得到新的 可行流图，若其流量等于fmax,迭代结 束。否则转入第一步，进入下一次 迭代过程。
4、举例
增广费用网络图
(容量费用图(bij,cij))
μ去调整X得到的新的可行流 ~x就是 流量为 f ( )的~x 最小费用流。
（2）实现思路
基于第一种求解途径，根据上述 定理，只要找到最小费用增广链，在 该链上调整流量，得到增加流量后的 最小费用流。循环往复直至求出最小 费用最大流。
对偶法原理和步骤
f max
求最大流
确保流 量最大
将0流作为初始可行流
零流弧上，保持原弧不变，将单位费用 作为权数，即wij= cij:
(bij , cij , 0)
Vi
Vj
原网络
(bij , cij )
Vi
Vj
增广费用网络
非饱和弧上 (0 xij bij ) ，原有弧以单位 费用作权数，后加弧（虚线弧）以单位
费用的负数作权数（p167更正）：
(bij ,cij , xij )
绘制扩展 费用网络
Ford算法找从vs到 vt的最短增广链
No
流量等于 最大流?
Yes 得最小费用最大流
调整流量 得费用最小的可行流
确保费用最小
实施中的关键
为什么?
构造增广费用网络图（即扩展费用网络图）， 借助最短路算法寻找最小费用增广链。
增广链流量调整：正向弧增加流量 j，反向弧减少流量 j。
2、最小费用流
对一费用容量网络，具有相同流 量 f 的可行流中，总费用最小的可行 流称为该费用容量网络关于流量 f 的 最小费用流，简称流量为 f 的最小费 用流。
最小费用最大流_实用运筹学：案例、方法及应用_[共3页]
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6.5 最小费用最大流
在上节最大流问题中，每一个可行流在现实生活中还对应着一定的费用，许多情况下优
化目标不但要求流量尽可能大，还要求费用尽可能小。在一个网络中每条弧在“容量”和
“费用”两个限制条件下，寻求 vs 到 vt 的最大流，使该最大流在所有最大流中费用达到最小。
减小费用。
当沿着可行流 f 的一条增广链 μ ，以θ 调整 f ，得到新的可行流 f ′ 时， b( f ′) 比 b( f ) 增加：
⎛
⎞
∑ ∑ ∑ ∑ b(
f
′)
,v j
>∈μ＋
bijθ
-
< vi
,vj
>∈μ —
bijθ＝⎜⎜⎝
< vi
,vj
>∈μ＋
bij
-
< vi
,v j
>∈μ —
若 f 是流值为 v( f ) 的所有可行流中费用最小者，而 μ 是关于 f 的费用最小的增广链，那
么沿 μ 去调整可行流 f ，得到可行流 f ′ ，新可行流就是流值为 v( f ) + θ 的所有可行流中费用
最小的可行流。
上述分析寻求到一种寻找最小费用最大流的方法，即确定一个最小费用可行流，然后找
中，不但通过增广链使流量逐步增加，还要考虑费用的约束，即每次可行流的调整都使费用
增加最小。
寻求最大流的方法是从一个可行流出发，找出增广链，通过增广链上弧的流量的调整，
使流值不断增加，如此循环进行，一直到找不出增广链，从而得到最大流。在最大流增加的
过程中，流的费用也会变化，前向弧上增加流量，从而增加费用；后向弧上减小流量，从而
《管理运筹学》实验五
最大流问题
某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可 以把石油从采地运送到一些销售点。由于管道直径的 变化，它的各段管道（vi,vj）的流量 cij（容量）也是 不一样的。cij 的单位为万加仑/小时。如果使用这个网 络系统从采地 v1 向销地 v7 运送石油，问每小时能运 送多少加仑石油？
货郎担问题
某快递公司在 A点，需要给 B,C,D,E,F 五个快递点送货。 各点之间的距离如图所示。应如何设计一条行驶路线， 使送货车通过每一快递点所行驶的距离最少。
A 4 2.2 1.6 1.8 C 1.5 E 2.8 4.2 2.8
6
B 3
2.6
D
F
中国邮路问题
v1 是邮局所在地。请帮邮递员设计一条投递线路 （从邮局出发，将邮件投递到他管辖的所有街道， 最后回到邮局），使总路长最短。
最小费用最大流问题
由于输油管道的长短不一，所以每段管道（vi,vj） 除了有不同的流量限制 cij 外，还有不同的单位流量的 费用 bij，cij 的单位为万加仑/小时，bij 的单位为百元/ 万加仑。从采地 v1 向销地 v7 运送石油，怎样运送才 能运送最多的石油并使得总的运送费用最小？求出每 小时的最2
v8
3
4
v7 3
6
v9
4 v4
4
v6 4
v3
4
v5
图与网络实验
1、最短路问题 2、最小树问题 3、最大流问题 4、最小费用最大流问题 5、货郎担问题 6、中国邮路问题
运筹学图与网络模型以及最小费用最大流
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
运筹学第六章6.5最小费用最大流问题
预处理步骤
初始化
为每个节点和边设置相应的容量和费 用。
残量网络构建
寻找增广路径
在残量网络中寻找增广路径，即从源 点到汇点存在一条路径，该路径上的 所有边都未满载且具有正的残量。
根据边的容量和费用，构建残量网络。
05
算法的复杂度和优化
时间复杂度分析
算法时间复杂度
最小费用最大流问题通常使用Ford-Fulkerson算法或其变种来解决，时间复杂度为O(V^3 * E)，其中V是 顶点数，E是边数。
优化策略
为了提高算法效率，可以采用预处理、动态规划、记忆化搜索等策略，减少不必要的计算和重复计算 。
空间复杂度分析
最小费用最大流问题可以应用于多种 实际场景，如物流运输、能源分配、 通信网络等。
背景和重要性
最小费用最大流问题作为网络流问题 的一个重要分支，在计算机科学、运 筹学和工程领域具有广泛的应用价值。
解决最小费用最大流问题有助于优化 资源配置、降低成本和提高效率，对 于实际问题的解决具有重要的意义。
02
此外，随着计算科学和数据科学的快速发展，如 何利用新的技术和方法来求解最小费用最大流问 题也是值得关注的方向。
例如，如何设计更高效的算法来求解大规模的最 小费用最大流问题？如何处理具有特殊性质的最 小费用最大流问题？如何将最小费用最大流问题 的思想和方法应用到其他领域？
因此，未来对于最小费用最大流问题的研究仍具 有广阔的空间和挑战性。
案例一：简单网络流问题
问题描述
给定一个有向图G(V,E)，其中V是顶点的集合， E是边的集合。每条边(u,v)有一个非负的容量 c(u,v)和一个非负的费用f(u,v)。求从源点s到 汇点t的最大流，使得流的总费用最小。
运筹学实验之最小费用最大流(综合实验)
综合性、设计性实验报告格式桂林电子科技大学数学与计算科学学院综合性、设计性实验报告 实验室： 实验日期：2014年12月13日院（系） 数学与计算科学 年级、专业、班 姓名 成绩课程名称运筹学实验 实验项目 名 称 最小费用最大流（综合实验） 指导 教师 南江霞教师评语教师签名： 年 月 日一 ，实验目的1. 掌握最大流及最小费用最大流问题的数学建模；2. 掌握最大流问题的WinQSB 软件求解和Lingo 软件求解；3. 掌握最小费用最大流问题问题的的WinQSB 软件求解和Lingo 软件求解。
二，实验原理1、熟悉建立最大流问题的数学模型；2、熟悉建立最小费用最大流问题的数学模型；3、熟悉WinQSB 软件的基本操作。
4、熟悉Lingo 软件建模。
三，使用仪器，材料WinQSB 软件 Lingo 软件四，实验内容与步骤求最大流：五，实验过程原始记录（数据，图表，计算等）用WinQSB 软件进行求解S AB C DT（7，2） （10，10） （5，3） （7，7）（5，1）（8，4）（10，9） （5，3）用Lingo 软件进行求解建立数学模型()()()(),max max ,,min,..0,0,,ij iji j A ij ji j V j V i j A j i A ij ij e f f i S s t f f f i T i S T f c i j A∈∈∈∈∈=⎧⎪-=-=⎨⎪≠⎩≤≤∈∑∑∑model :sets :nodes/S,A,B,C,D,T/;arcs(nodes,nodes)/S,A S,B A,B,A,C B,C,B,D C,D,C,T D,T/:C,f;endsetsdata:C=7 10 5 7 5 8 7 10 5;enddatamax=flow;@for(nodes(i)|i#ne#1#and#i#ne#@size(nodes):@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=0);@sum(arcs(i,j)|i#eq#1:f(i,j))=flow;@sum(arcs(i,j)|j#eq#@size(nodes):f(i,j))=flow;@for(arcs:@bnd(0,f,C));endGlobal optimal solution found.Objective value: 15.00000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 4Variable Value Reduced Cost FLOW 15.00000 0.000000 C( S, A) 7.000000 0.000000 C( S, B) 10.00000 0.000000 C( A, B) 5.000000 0.000000 C( A, C) 7.000000 0.000000 C( B, C) 5.000000 0.000000 C( B, D) 8.000000 0.000000 C( C, D) 7.000000 0.000000 C( C, T) 10.00000 0.000000 C( D, T) 5.000000 0.000000 F( S, A) 7.000000 0.000000 F( S, B) 8.000000 0.000000 F( A, B) 0.000000 0.000000 F( A, C) 7.000000 0.000000 F( B, C) 3.000000 0.000000 F( B, D) 5.000000 0.000000 F( C, D) 0.000000 0.000000 F( C, T) 10.00000 -1.000000 F( D, T) 5.000000 -1.000000 S到T的最大流=15六，实验结果分析或总结。
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综合性、设计性实验报告格式
桂林电子科技大学
数学与计算科学学院综合性、设计性实验报告 实验室： 实验日期：2014年12月13日
院（系） 数学与计算科学 年级、专业、班 姓名 成绩
课程
名称
运筹学实验 实验项目 名 称 最小费用最大流（综合实验） 指导 教师 南江霞
教师
评语
教师签名： 年 月 日
一 ，实验目的
1. 掌握最大流及最小费用最大流问题的数学建模；
2. 掌握最大流问题的WinQSB 软件求解和Lingo 软件求解；
3. 掌握最小费用最大流问题问题的的WinQSB 软件求解和Lingo 软件求解。
二，实验原理
1、熟悉建立最大流问题的数学模型；
2、熟悉建立最小费用最大流问题的数学模型；
3、熟悉WinQSB 软件的基本操作。
4、熟悉Lingo 软件建模。
三，使用仪器，材料
WinQSB 软件 Lingo 软件
四，实验内容与步骤
求最大流：
五，实验过程原始记录（数据，图表，计算等）
用WinQSB 软件进行求解
S A
B C D
T
（7，2） （10，10） （5，3） （7，7）
（5，1）
（8，4）
（10，9） （5，3）
用Lingo 软件进行求解
建立数学模型
()()()(),max max ,,min
,..0,0,,ij ij
i j A ij ji j V j V i j A j i A ij ij e f f i S s t f f f i T i S T f c i j A
∈∈∈∈∈=⎧⎪-=-=⎨⎪≠⎩≤≤∈∑∑∑
model :
sets :
nodes/S,A,B,C,D,T/;
arcs(nodes,nodes)/
S,A S,B A,B,A,C B,C,B,D C,D,C,T D,T/:C,f;
endsets
data:
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enddata
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@for(nodes(i)|i#ne#1#and#i#ne#@size(nodes):
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@sum(arcs(i,j)|i#eq#1:f(i,j))=flow;
@sum(arcs(i,j)|j#eq#@size(nodes):f(i,j))=flow;
@for(arcs:@bnd(0,f,C));
end
Global optimal solution found.
Objective value: 15.00000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost FLOW 15.00000 0.000000 C( S, A) 7.000000 0.000000 C( S, B) 10.00000 0.000000 C( A, B) 5.000000 0.000000 C( A, C) 7.000000 0.000000 C( B, C) 5.000000 0.000000 C( B, D) 8.000000 0.000000 C( C, D) 7.000000 0.000000 C( C, T) 10.00000 0.000000 C( D, T) 5.000000 0.000000 F( S, A) 7.000000 0.000000 F( S, B) 8.000000 0.000000 F( A, B) 0.000000 0.000000 F( A, C) 7.000000 0.000000 F( B, C) 3.000000 0.000000 F( B, D) 5.000000 0.000000 F( C, D) 0.000000 0.000000 F( C, T) 10.00000 -1.000000 F( D, T) 5.000000 -1.000000 S到T的最大流=15
六，实验结果分析或总结。