北航多源信息融合2015课件8证据理论基础(2)

当C={a,b}时，即A∩B=C
图4 示例
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证据合成规则—两条证据的合成
证据合成规则（定理1）：设m1和m2分别是同一识别
框架Θ 上的基本臵信度指派函数，焦元分别 A1, A2 , …, AN和B1, B2 , …, BM，假设 K m1( Ai )m2 ( B j ) 1 ，若映射m:2Θ→[0,1]， Ai B j 满足
Q1,2 Q1 Q2 K1,2Q1 (D)Q2 (D)
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证据合成规则—多证据的合成
定理2：设m1,m2,…,mn是同一识别框架上的基本置信度指派， 对应的焦元分别为A1,A2,…,An，则这n条证据的组合公式
m( A) (m1 m2 mn )( A) (1 K ) 1
A 1 A2 An A
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证据合成规则—两条证据的合成
(1) mass函数的几何表示
假设m1,m2分别是同一识别框架Θ上两条证据基本臵信度指 派，对应的焦元分别为A1, A2, …, AN 和 B1, B2, …, BM，由基 本 臵 信 度 指 派 值 m1(A1), m1(A2), …,m1(AN) 和 m2(B1), m2(B2), …,m2(BM)所确定的mass函数可用图2来表示。 将证据联合作用下产生的信任度函数称为原来信任度函数 的直和(正交和)：m1⊕m2。
注意：mass函数与信任函数的区别！！！
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概念回顾
•似然函数：设识别框架Θ ，幂集2 Θ →[0,1]映射，A为识别框 架内的任一子集，似然函数（似真度函数）Pl(A)定义为对A 的非假信任度，即对A似乎可能成立的不确定性度 A ， 此时有：
Pl ( A)
m1 ,3 , 2( A) m1,2,3 ( A) 0.972 m1 ( B) m1 (C ) ,3 , 2( A) m1 ,3 ,2 ,3 ,2 m1 ,3 , 2( B) m1,2,3 ( B) 0.007 m1 ( B) m1 (C ) ,3 , 2( A) m1 ,3 ,2 ,3 ,2 m1 ,3 , 2(C ) m1,2,3 (C ) 0.021 m1 ( B) m1 (C ) ,3 , 2( A) m1 ,3 ,2 ,3 ,2
多源测试信息融合 证据理论基础（2）
万江文
主要内容
几个概念 证据合成规则 基于证据理论的决策 基于证据理论的信息融合
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几个概念
mass函数、信任函数、似然函数 ①mass函数定义：设函数m是满足下列条件的映射:
m:
(2)
2Θ→[0，1]
(1) 不可能事件的基本臵信度是0，即m(Φ)=0 2 Θ中全部元素的基本臵信度之和为1，即

m1 ( A1 ) m2 ( A2 ) mn ( An )
其中， K
n条证据的组合可按照两条证据的组合公式，经n-1次组 合得到，获得最终证据与其次序无关。
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A 1 An＝

m1 ( A1 ) m2 ( A2 )mn ( An )
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证据合成规则

(1 (1 1
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Ai B j

m1 ( Ai )m2 ( B j )) 1 m1 ( Ai )m2 ( B j )) 1
C Ai B j C C Nhomakorabea
m1 ( Ai ) m2 ( B j )
Ai B j

Ai B j
m( A)
m( B)
m1,2 ( A)m3 ( A) 0.923 0.6 0.972 1 K1,2,3 1 0.432
m1,2 ( B)m3 ( B) 0.0385 0.1 0.007 1 K1,2,3 1 0.432
m(C )
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m1,2 (C )m3 (C ) 0.0385 0.3 0.021 1 K1,2,3 1 0.432
求合成以后的mass值。
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证据合成规则
解法1：根据证据合成公式，首先计算证据1和2合成后的结 果。
K1,2 m1 ( A) [m2 ( B) m2 (C )] m1 ( B) [m2 ( A) m2 (C )] m1 (C ) [m2 ( A) m2 ( B)] 0.8 (0.2 0.2) 0.1 (0.6 0.2) 0.1 (0.6 0.2) 0.48 m1 ( A)m2 ( A) 0.8 0.6 m1,2 ( A) 0.923 1 K1,2 1 0.48 m1 ( B)m2 ( B) 0.1 0.2 m1,2 ( B) 0.0385 1 K1,2 1 0.48 m (C )m2 (C ) 0.1 0.2 m1,2 (C ) 1 0.0385 1 K1,2 1 0.48
B A

m( B) 1 Bel ( A)
Pl (A) 表示A为非假的信任程度，A的上限概率； Bel(Ā) 表示对A为假的信任程度，即对A的怀疑程度。
0 支持区间
Bel
信任区间
Pl
拒绝区间
1
证据区间划分示意图
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主要内容
概念回顾 证据合成规则 基于证据理论的决策 基于证据理论的信息融合
平等的，调换组合的顺序不改变组合结果。
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证据合成规则—基本性质
(2) 结合率：
(m1 m2 ) m3 m1 (m2 m3 )
证明： 该定理可借助于共信任度函数来证明。 假定识别框架Θ下的三组证据E1,E2,E3，相应的共信 任度函数为Q1, Q2, Q3，焦元分别Ai, Bj, Ch，则 Q1 Q2 的合成结果为 D Ai B j 且 D ，

m1 ( Ai ) m2 ( B j )
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证据合成规则—两条证据的合成
证据合成规则中，系数(1/(l一k))称为归 一化因子，表明在合成时将非0的信任赋给空 集。 其中，
K
Ai B j

m1( Ai )m2 ( B j ) 1
k的值越大，说明证据冲突程度也越大。
A
m(A) 1
则称m是2 Θ上的mass函数（质量函数），m(A)称 为A的基本臵信度指派值，表示对A的精确信任。
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概念回顾
•信任函数定义：集合A是识别框架Θ的任一子 集，将A中全部子集对应的基本臵信度之和称 为信任函数Bel(A)，即 Bel：2 Θ →[0，1]
由于已经假设了m(φ)=0，所以下面只须证明 m(C ) 1
C
m(C ) m() m(C )
C C
C

C C
1
Ai B j C

m1 ( Ai )m2 ( B j ) m1 ( Ai )m2 ( B j )
Ai B j
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证据合成规则—基本性质
基本性质
Dempster证据组合规则满足如下的具备基本性质。 (1) 交换性： 证明： 由于D-S合成规则中采用的是乘法策略，而乘法满足
m1 m2 m2 m1
交换率，所以合成规则也满足交换率。
交换性准则由Dempster最早提出，该准则保证了在 组合证据没有任何先验知识的情况下，认为两个证据是
0 m(C ) (m1 m2 )(C ) m1( Ai )m2 ( B j ) Ai B j C 1 K C C
m是基本臵信度指派函数，其中⊕表示直和(正交和)运算。
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证据合成规则—两条证据的合成 证明：
分配到空集上，这与信任度函数的定义中要求m(φ)=0是相违 背。因此，Shafer提出将这部分信任度丢弃的解决方法，而 丢弃之后总的信任度又小于1，所以乘以系数：
(1
Ai B j

m1 ( Ai )m2 ( B j )) 1
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证据合成规则—两条证据的合成
例2：假设识别框架下的三个证据E1,E2,E3，焦元 分别为A、B和C（A，B，C不相交），相应的基本
臵信度指派值m1,m2,m3分别为
m1 ( A) 0.8, m1 (B) 0.1, m1 (C ) 0.1
m2 ( A) 0.6, m2 ( B) 0.2, m2 (C) 0.2 m3 ( A) 0.6, m3 (B) 0.1, m3 (C ) 0.3
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证据合成规则
• 解法2：
m1 ( A) m1 ( A)m2 ( A)m3 ( A) 0.8 0.6 0.6 0.288 ,3 ,2 m1 ( B) m1 ( B)m2 ( B)m3 ( B) 0.1 0.2 0.1 0.002 ,3 ,2 m1 (C) m1 (C)m2 (C)m3 (C) 0.1 0.2 0.3 0.006 ,3 ,2
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证据合成规则
基于证据1和2的组合结果m1,2，再次利用组合公式，与证 据3进行合成。