苏州大学602高等数学(F)10-15年真题
2015年江苏高考数学答案详细解析版
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】 试题分析：{123}{245}{12345}5AB ==，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 5 【解析】试题分析：22|||34|5||5||5z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数的模4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7 【解析】试题分析：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =S ←1 I ←1While I <10 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S（第4题图）考点：循环结构流程图5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5.6考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为______. 【答案】3- 【解析】试题分析：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 考点：向量相等7.不等式224xx-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】试题分析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 考点：解指数不等式与一元二次不等式 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
2015江苏高考数学试题详细解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I 解析一．填空题：（70分）1. 已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B U 中元素个数为_____5______。
因为{}12345A B =U ，，，，，所以A B U 中元素个数为5个。
2. 已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数是__6________。
因为1(4+6+5+8+7+6=66x =），所以平均数为6. 3. 设复数z 满足234z i =+，（i 是虚数单位），则z 的模是。
设z a bi =+，则22()234a b abi i -+=+，由22324a b ab ⎧-=⎨=⎩解得21a b =±⎧⎨=±⎩，故z ==4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为______7__________。
112233441,1,3,45,77,97S I S I S I S I S ==→==→==→==→=输出5. 袋中有大小形状都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，这2只球颜色不同的概率为_______56_________。
任取2只球颜色相同的概率为22241=6C P C =同，则5=6P 异。
6. 已知向量(2,1)a =r ，(1,2)b =-r ，若(9,8),(,)ma nb m n R +=-∈r r ，则m n -的值为_____3-_____。
因为2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，所以25m n =⎧⎨=⎩3m n ⇒-=- 7. 不等式224x x -<的解集为__(1,2)x ∈-_____________。
由于 ()2x f x =单调递增，所以原不等式等价于2212x x x -<⇒-<<8. 已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为_________3_________。
苏州大学2015届高考考前指导卷1吴(第8稿)
苏州大学2015届高考考前指导卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，则AB = ▲ ．2．实数,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋2i 与2－b i 互为共轭复数，则a b += ▲ ． 3．双曲线222x y -=的右准线方程为 ▲ ．4．一组数据：9.8，10.1，10，10.2，9.9，则该组数据的方差为 ▲ ．5．如右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．6．设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0，0)成中心对称，且x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝ ▲ ． 7．已知函数()ln (,)f x m x nx m n =+∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=，则m n += ▲ ．8．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6．则数列{a n }的通项公式为 ▲ ．9．已知点(),P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤那么点P 到直线34130x y --=的距离的最小值为 ▲ ．10．如图，沿格子型路线从点A 到点C ，如果只能向右、向上走，则经过点B 的概率是 ▲ ．11．已知圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为2，表面积为12，则11r h+= ▲ ． 12．在△ABC 中，已知M 为BC 的中点，若3AN NB =，MN AM AC λμ=+（,λμ∈R ），则λμ+的值为 ▲ ． 13．已知函数24,22|2|, 0()3, 46,x x x x f x ---<=⎨⎩-⎧≤≤≤若存在12, x x ，当12406x x <≤≤≤时，12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，若存在非零实数t ，使得()12f t f t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则224a b +的最小值为 ▲ ．（第10题图）图C BA（第12题图）（第5题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足Bb Aacos 3sin =．（1）求B ∠；（2）若点M 为BC 中点， 且AM AC =，求sin BAC ∠的值． 16．（本小题满分14分）如图所示，已知在五棱锥–P ABCDE 中，底面ABCDE 为凸五边形，2AE DC ==，3AB BC ==，1DE =，120EAB BCD CDE DEA ∠=∠=∠=∠=︒，F 为AE 上的点，且32AF =，平面PAE 与底面ABCDE 垂直．求证：（1）//BC 平面PAE ；（2）PA FC ⊥．MCBA（第15题图）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 分别是椭圆G :2214x y +=的左、右顶点，()()2,,0P t t t ∈≠R 且为直线2x =上的一个动点，过点P 任意作一条直线l 与椭圆G 交于C ，D ，直线PO 分别与直线AC ，AD 交于E ，F .（1）当直线l 恰好经过椭圆G 的右焦点和上顶点时，求t 的值； （2）记直线AC ，AD 的斜率分别为12,k k .①若1t =-，求证：1211k k +为定值；②求证：四边形AFBE 为平行四边形.（第18题图）已知数列{}n a 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且2415a a a a +=+，798a a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++ 成立的所有正整数m 的值；（3）在数列{}n a 的奇数项中任取s 项，偶数项中任取k 项（s ，k ∈N *，s ＞1，k ＞1），按照某一顺序排列后成等差数列，当s ＋k 取最大值时，求所有满足条件的数列． 20．（本小题满分16分）已知函数2()2ln ()2x f x ax x a =++∈R 有一个极值点为1x =． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）设函数F (x )＝()(2)f x f x +，当3[, 1)4t ∈时，比较()F t 与(1)F 的大小． （3）若方程() ()f x m m =∈R 有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<, 证明：12(2,3)x x +∈．(参考数据ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，ln 5 1.6094≈)苏州大学2015届高考考前指导卷（1）参考答案一、填空题1．(1, 2) 2．4 3．x = 1 4．0.02 5．25 6．－π6 7．128．a n ＝－5n ＋40 9．2 10．47 11．3 12．14- 13．[1, 4] 14．165二、解答题15. 解（1）由正弦定理得B bA a sin sin =，又有Bb A a cos 3sin =， 所以B B cos 3sin =，即2cos()06B π+=，所以,62B k k ππ+=π+∈Z ，又0B <<π，所以3B π=．(2)由（1）知3B π=，又M 为BC 中点，所以BM =MC =2a ，在ABM △与ABC △中，由余弦定理分别得 ,24cos 22)2(22222ac c a B c a c a AM -+=-+= ,cos 222222ac c a B ac c a AC -+=-+= 又AM AC =，所以2422acc a -+ac c a -+=22， 因为0a ≠，所以23ac =，故,b =由2πsin sin 3a BAC =∠，得721sin =∠BAC ． 16．证明 （1）如图凸五边形ABCDE ，延长,AE CD 交于点H ． ∵ 120AED EDC ∠=∠=︒，∴ 60HED HDE ∠=∠=︒． ∴ HED ∆为等边三角形，60H ∠=︒．∴ 60120180H BCD ∠+∠=︒+︒=︒，即有//BC AE ．又∵ AE ⊂平面PAE ，BC /⊂平面PAE ， ∴ //BC 平面PAE ．（2）连结AC ，∵ HED ∆为等边三角形 ∴ 1H E H D ED ===，∴ 3HA HC ==．又 ∵ 60H ∠=︒，∴ HAC ∆为正三角形．又∵ 12AF AH =，∴ CF AE ⊥．∵ 平面PAE ⊥平面ABCDE ， 平面PAE 平面ABCDE AE =，CF ⊂平面ABCDE ，∴ CF ⊥平面PAE ． 又∵ PA ⊂平面PAE ，∴ CF PA ⊥．17．解 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =>，由已知点()22P ，在抛物线上，得1p =，所以抛物线的方程为212y x =.CA B（1）为了使填入的土最少，如图1，设点()21, 022A t t t ⎫⎛<< ⎪⎝⎭，则此时梯形APQB ()()23211124224222S t t t t t t ⎛⎫=+⋅-=--++ ⎪⎝⎭， ∴()23'222S t t t =--+,令()23'22=02S t t t =--+23t =， 当20, 3t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t >，()S t 单调递增，当23t ⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t <，()S t 单调递减， 所以当23t =时，()S t 有最大值12827为43m 时，可使填土的土方量最少. （2相切，如图2，设切点()21, 02M t t t ⎫⎛> ⎪⎝⎭，则函数在点M 处的切线方程为()212y t t x t -=-，分别令0,2y y ==得2, 0,, 222t t A B t ⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭， 所以此时梯形OABC 的面积()1222S t t t t ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭此时OA =m 时，可使挖土的土方量最少.18．解（1）由题意：上顶点()0,1C ，右焦点()E ，所以:1l y =+，令2x =，得1t =（2）直线()1:2AC y k x =+与2214x y +=联立，得 2112211284,1414k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 同理得2222222284,1414k k D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,由,,C D P 三点共线得CP DP k k =, 即122212221222124414142828221414k k t t k k k k k k --++=----++，化简得 ()12124k k t k k =+， ①1t =-时，12114k k +=-（定值） ②要证四边形AFBE 为平行四边形，即只需证E ，F 的中点即点O ，由()1,22t y x y k x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得1142E k x t k =-，同理2242F k x t k =-， 将12124k k t k k =+分别代入得()121121242E k k k x t k k k +==--，()122212242F k k k x t k k k +==--， 所以0E F x x +=,()02E F E F ty y x x +=+=. 即四边形AFBE 为平行四边形.19．解（1）由题意，解得2,2,n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数.（2）当m 为奇数时，由题意得1122(2)222m m m m m m +++⋅=+++，即122(21)22(1)m m m m ++-⋅=+．当m =1时，上式成立；当3m ≥时，1222(21)22121m m m m m m ++-⋅>+->+．所以，m =1． 当m 为偶数时，12m m m a a a ++⋅⋅为偶数，12m m m a a a ++++为奇数，所以满足条件的偶数m 不存在． 综上所述，满足1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++的正整数m 的值为1．（3）由（1）知，数列{}n a 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，抽出的项按某种顺序排成等差数列，则该等差数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数． 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，2p （1≤i < j < p ）， 则1122222i ji j --+=+为奇数，而i ≥1，j ≥2，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以i = 1． 又1122222j pj p --+=+为奇数，而j ≥2，p ≥3，则12j -，12p -均为偶数，矛盾． 因为k > 1，所以偶数有2项，则奇数最多有3项，s + k 的最大值为5，设此等差数列为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，则b 1，b 3，b 5为奇数，b 2，b 4为偶数，且b 2 = 2． 所以b 1 + b 3 = 2b 2 = 4，则b 1 = 1．此数列为1，2，3，4，5． 同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．20．解 (1) 2'()f x x a x=++，则'(1)30f a =+=，3a =-，且2232'()x x f x x a x x -+=++=．当01x <<时，'()0f x >，()f x 在区间(0,1)上为增函数； 当12x <<时，'()0f x <，()f x 在区间(1,2)上为减函数； 当2x >时，'()0f x >，()f x 在区间(2,)+∞上为增函数；因此，函数()f x 的单调增区间为(0, 1)，(2, )+∞；减区间为(1, 2)．当2x =时，极小值为(2)2ln 24f =-；当1x =时，极大值为5(1)2f =-． (2) 因为3[, 1)4t ∈，32[, 2)2t ∈，由(1)可知 ()(1)f t f <，(2)(2)f t f >．设函数()()(1)()(2)(1)(2)g t F t F f t f t f f =-=+--，其中314t <≤．则(1)(54)'()t t g t t --=，当3445t <≤时，'()0g t >；当415t <<时，'()0g t <；那么，当3445t <≤时，34()()()45g g t g <≤；当415t <<时，4(1)()()5g g t g <<；经计算(1)0g =，333()()(2)()(1)424g f f f f =-+-4527913(2ln )(2ln2)032482=-+-->，因此，当3[, 1)4t ∈时，()0g t >恒成立，即 ()F t >(1)F ．(3) 由(1)可知 1(0, 1)x ∈，2(1, 2)x ∈，3(2, )x ∈+∞，首先有123x x +<．且211132ln 2x m x x =-+222232ln 2x x x =-+， 整理得()221212121()2ln ln 3()02x x x x x x -+---=，即1212124(ln ln )6()x x x x x x --+=-， 问题等价于[]12121212124(ln ln )()()6()x x x x x x x x x x -++-+=-， 令[]1212()6()w x x x x =+-+，12(01)x u u x =<<，则4(1)ln 1u w u u +=⋅-． 下要证明122x x +>，即证明8w >，只要证明2(1)ln 1u u u -<+(01)u <<．设函数2(1)()ln 1u h u u u-=-+(01u <<)，则22(1)'()(1)u h u u u -=+>0， 即'()0h u >恒成立，有()(1)0h u h <=，因此2(1)ln 1u u u -<+．综上可知，1223x x <+<，即()122, 3x x +∈．。
苏州大学2015届高考考前指导卷2吴(第8稿)
苏州大学2015届高考考前指导卷（2）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{|23}A x x =-<<，{2,0,2}B =-，则AB = ▲ ．2．设复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ，i 是虚数单位），若z i ＝1－2i ，则a ＋b ＝ ▲ ． 3．函数()f x =的定义域为 ▲ ．4．某商场在五一黄金周的促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为 ▲ 万元．5．已知双曲线221(0)4x y b b-=>b ＝ ▲ ． 6．右面的伪代码结果是 ▲ ．7．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项的和为S n ，则2S 4a 1+a 3的值 为 ▲ ．8．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有 ▲ 人．9．函数()|sin |cos 1f x x x =-的最小正周期与最大值之积为 ▲ ．10．若函数()0,2,0ln ,x x x f x x ax x ⎧+=⎨>-⎩≤在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为 ▲ ．11．如图， 箭头形图标上半部分ABC 是等腰直角三角形，下半部分DEFG 是正方形，已知90BAC ∠=︒，DE =2BD =2EC =2，GE 的连线交AC 于点H ，则AF GH ⋅= ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0 2A ，，()0 1B ，，()(), 00D t t >，M 为线段AD 上的动点． 若2AM BM ≤恒成立，则正实数t 的最小值为 ▲ ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，tan B tan C ＝32， c ＝1，则△ABC 的面积最大值为 ▲ ．14．若函数||ln y x a x =-在 [2，3] 上是减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第4题图）（第6题图）(第11题图)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2()2sin sin cos f x x b x x =+，满足()26f π=．（1）求实数b 的值以及函数()f x 的最小正周期；（2）记()()g x f x t =+（实数t 为常数），若函数()g x 是偶函数，求t 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，∠ABC =90︒，AB =BC =BB 1，点D ,E 分别为BC ,CC 1的中（第16题图）在平面直角坐标系xOy 中，已知以点C 2(,)t t(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与y 轴交于点O ，B ，若直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，且OM ＝ON ．（1）求圆C 的方程；（2）设P 和Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求PB ＋PQ 的最小值及此时点P 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0 < t < 8）． （1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）； （2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．l河Q P NM（第18题图）已知函数()y f x =的定义域为I ，如果存在,k m ∈R ，对任意x I ∈都有()()f x kx m xf x +≤≤成立且等号都能取到（可不同时取到），那么称直线l ：y kx m =+为函数()y f x =的经典分界线．若2()=ln (,,)f x ax b x c a c b ++∈∈R Z ．（1）当2,1a b ==-时，求函数()y f x =的单调增区间；（2）当函数()y f x =在(e,1)A 处的切线过原点时，求函数()y f x =的经典分界线． （注：e 为自然对数的底，e 2.718289045≈）20．（本小题满分16分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n a n +1＝2(S n ＋1) (*n ∈N )． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝1，n b =(2n ≥，*n ∈N )，求{b n }的前n 项和T n ；（3）若数列{c n }满足11lg 3c =，1lg 3n n n a c -=(2n ≥，*n ∈N )，试问是否存在正整数p ，q （其中1 < p < q ），使c 1，c p ，c q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．苏州大学2015届高考考前指导卷（2）参考答案一、填空题 1．｛0，2｝ 2．－3 3．(0,2) 4．12 5．8 6．15 7．6 8．120 9．-π 10．1e11．152- 1213．58 14．[3, 22ln2+]二、解答题15． 解（1）由()26f π=，得112242b ⨯+⨯⨯=，解得b =将b =2()2sin cos f x x x x =+，所以()1cos 2212sin(2)6f x x x x π=-+=+-．所以函数()f x 的最小正周期22T π==π． （2）由（1）得，()2sin(2())16f x t x t π+=+-+，所以()2sin(22)16g x x t π=+-+，因为函数()g x 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有()()g x g x -=成立，所以sin((2)2)sin((2)2)66t x t x ππ-+=--．整理得，cos(2)sin 06t x π-=， （*）（*）式对于任意的实数x 均成立，只有cos(2)06t π-=，解得2 ()62t k k ππ-=π+∈Z ，所以 ()23k t k ππ=+∈Z ． 16．证明（1）∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， BB 1⊥底面ABC ,AB ⊂底面ABC ,∴AB ⊥BB 1，∵∠ABC =90︒，∴AB ⊥BC , BC BB 1=B ,∴AB ⊥平面BCC 1B 1，∵DB 1⊂平面BCC 1B 1，∴AB ⊥DB 1， ∵在平面BCC 1B 1中，BC =BB 1， 所以四边形BCC 1B 1为正方形， ∵D ,E 分别为BC ,CC 1的中点，∴BCE △∽1B BD ∆,∴∠CBE =∠BB 1D , ∴∠CBE +∠B 1DB =90°，即B 1D ⊥BE , ∵BA BE =B ,∴B 1D ⊥平面ABE ,又DB 1⊂平面AB 1D ,∴平面ABE ⊥平面AB 1D ．（2）连接PC 交DE 于点F ，连接A 1C 交AE 于点G ，连接FG ， ∵A 1P ∥平面ADE ，平面A 1PC 平面ADE=FG , ∴A 1P ∥FG , ∴1112CF CG CE FP GA AA ===, FPEC 1B 1GFP ED C1B 1A 1C BA∴在正方形BCC 1B 1中利用平几知识可得11=2B P PD ． 17．解 （1）由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0， ∵OM ＝ON ，∴原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，∴直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2．∴圆心为C (2，1)或(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．（2）点B (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则PB ＋PQ ＝PB ′＋PQ ≥B ′Q ，又B ′到圆上点Q 的最短距离为B ′C －r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝25．∴PB ＋PQ 的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，∴直线B ′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，－23． 18．解（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点(0, 10)M，点N ．设点(,)P s t ，过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点N '，则8)N t '-． 所以PM PN PM PNMN ''+=+≥=8)t =<<即为所求．（2）设三段水管总长为L ，则由（1）知L P M P N P Q M N'=+++≥29 (08)t t =+<<，所以22()4(18129)L t t t -=-+，即方程223(272)(516)0t L t L +-+-=在(0, 8)t ∈上有解． 故22(272)12(516)0L L ∆=---≥，即218630L L --≥，解得21L ≥或3L -≤，所以L 的最小值为21，此时对应的5(0, 8)t =∈．故N '，MN '方程为10y x =-，令5y =得x =，即P ． N 'my xOl河QP NM从而10PM =，6PN =．答：满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M到河岸的垂线，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ．19．解（1）∵2()=2ln f x x x c -+，定义域为()0, +∞∴由'1()=40f x x x -≥得12x ≥， ∴单调增区间为1+2⎫⎡∞⎪⎢⎣⎭，（2）∵'()=2b f x ax x +，∴由题意得212e ,e e 1e ,b a a b c ⎧=+⎪⎨⎪=++⎩解得21,2e 1.2b a bc -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ∴2211()=+ln 2e 2b bf x x b x --+，定义域为()0, +∞． 由经典分界线定义可得()()f x xf x ≤，即(1)()0x f x -≤*（）在()0, +∞上恒成立．①当1x =时，显然成立，b ∈R ． ②当1x >时，()0f x ≥恒成立，故)2112022e 4b b b f b ---==+≥，∴222b <=．③当01x <<时，()0f x ≤恒成立，444411111e (3e 1)()+ln 0e 2e e 22e b b bf b --+-+=+=≥ ∴441e 03e 1b +>+≥，由①，②，③可得02b <<，又∵b ∈Z ，∴1b =． ∴()=ln f x x ，故ln ln x kx m x x +≤≤恒成立， 取1x =代入得00k m +≤≤，即 0k m +=，∴ln ln x kx k x x -≤≤恒成立．令()ln g x x kx k =-+，且注意到(1)0g =，故()(1)g x g ≤在()0, +∞上恒成立．由于'11()=xk g x k x x --=, 若0k ≤,则'()>0g x ,()g x 在()0, +∞上单调增，这与()(1)g x g ≤矛盾，故0k >∴在10, k ⎫⎛ ⎪⎝⎭上()g x 单调增，在1, k ⎫⎛+∞ ⎪⎝⎭上()g x 单调增减，∴()g x 的最大值为1()g k ， ∴只能1=1k，即1k =． 经检验当1k =时，1ln x x x -≤在()0, +∞上恒成立，且在1x =处取等号．综上所述函数()y f x =的经典分界线为1y x =-． 20．解（1）由题意a n a n +1＝2(S n ＋1)， ①a n+1a n +2＝2(S n+1＋1)， ② 由①-②得到：a n+1(a n +2-a n )＝2a n+1， ③ 因为a n+1>0，则a n +2-a n ＝2， ④又a 1＝2，由④可知212k a k -=；a 2＝3，由④可知221k a k =+；因此，1n a n =+． （2）当2n ≥时，n b11n n a a --；则1(n T n =++-++-＝1+． （3）假设存在正整数数对(p ，q )，使c 1，c p ，c q 成等比数列，即c 1c q ＝c p ，则lg c 1＋lg c q ＝2 lg c p 成等差数列，于是，21333p q p q=+(＊)．当2p =时，21333q p q p=-19=，此时，3q =；可知(p ，q )=(2，3) 恰为方程(＊)的一组解．又当p ≥3时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23p p}(p ≥3)为递减数列． 于是3q q =2133p p -≤323133⨯-<0，所以此时方程(＊)无正整数解．综上，存在惟一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使c 1，c p ，c q 成等比数列．。
2015年江苏高考数学真题精校版
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为 ▲ ． 2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为 ▲ ．3. 设复数z 满足i z 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为 ▲ ． 7. 不等式422<-xx 的解集为 ▲ ．8. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为 ▲ ． 9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11. 设数列{}n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ．13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k =(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0 =k )，则∑=+⋅111)(k k k a a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面； （2）11AB BC ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ， 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18．（本小题满分16分）AB CD E A 1B 1C 1 P如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说 明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学II．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在A B C ∆中，AC AB =，A B C ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.D.（选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域内．．．．．．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯 形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====A（第21——A 题）（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由。
苏州大学历年高等代数真题
2000年真题1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P 上的一元多项式，并且满足：4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x ++-+-= （1）4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x +++++= （2） 证明：41x+能整除()g x 。
2．（14分）设A 是n ⨯r 的矩阵，并且秩（A ）= r ，B ，C 是r ⨯m 矩阵，并且AB=AC ，证明：B=C 。
3（15分）求矩阵321222361A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的最大的特征值0λ，并且求A 的属于0λ的特征子空间的一组基。
４(14分)设⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式611n A A E -+3．５(14分)设A,B 都是实数域R 上的n n ⨯矩阵,证明:AB,BA 的特征多项式相等．证明：要证明AB,BA 的特征多项式相等，只需证明：E A E B λλ-=-６．(14分)设A 是n n ⨯实对称矩阵,证明：257n A A E -+是一个正定矩阵．证明：A 是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．７．(15分)设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,设1,n V A α-∈≠使0,但是()n A α=0,其中n>1．证明：21{,,,,}n A A A αααα-是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．2000年真题答案1、证明：1(2)(1):2()4()0()()2g x h x h x g x -+=⇒=- （3） 将（3）带入（1）中，得到：41(1)()()2x f x xg x +=- 441()x x x g x ∴++1与互素，．注：本题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。
2、证明：,()0.AB AC A B C =∴-=(),A n r R A r A ⨯=∴是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX =只有零解．0,B C B C∴-==即3、解：()()224E A λλλ-=-+，02λ∴= 当02λ=时，求出线性无关的特征向量为()()12101012ξξ==，，＇，，，＇， 则()120,,L ξξλ构成的特征子空间12ξξ，是0λ的特征子空间的一组基．4、解：⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，不妨设1232,3,1,λλλ=-==- 则矩阵611n A A E -+3对应的特征值为：12315,20,16ξξξ=== 故6111520164800n A A E -+=⨯⨯=35、利用构造法，设0λ≠，令1E B H A E λ=， 11010E BE E B A E A E E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭，两边取行列式得 11()n H E AB E AB λλλ=-=-．（１） 11100E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式得11()n H E BA E BA λλλ=-=-．（２）由（１），（２）两式得1()n E AB λλ-＝1()n E BA λλ-E AB E BA λλ∴-=-．（３） 上述等式是假设了0λ≠，但是（３）式两边均为λ的n 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0λ≠），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是m n ⨯矩阵，Ｂ是n m ⨯矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：n m m n E AB E BA λλλλ-=-，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester ）公式．6、设λ为Ａ的任意特征值，则257n A A E -+的特征值为225357()024ξλλλ=-+=-+>．故257n A A E -+是一个正定矩阵．7、证明：1n n A A α-≠0,=0.令()()10110n n l l A l A ααα--+++=．（１） 用1n A -左乘（１）式两边，得到10()0n l A α-=．由于1n A -≠0，00l ∴=，带入（１）得()()1110n n l A l A αα--++=．（２） 再用2n A -左乘（２）式两端，可得10l =．这样继续下去，可得到0110n l l l -====． 21,,,,n A A A αααα-∴线性无关．21,,,,)n A A A A αααα-(＝21,,,,)n A A A αααα-(0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． ∴Ａ在此基下的矩阵为0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 可见,()1R A n =-,dimker(1)1A n n ∴=--=即A 的核的维数为1．2001年真题2002年真题1．（15分）设A =1111101111001110001100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123101221001320001200001n n n n n n B -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭都是n n ⨯矩阵。
2015年高考江苏省理科数学真题含答案解析(超完美版)
2015年高考江苏省理科数学真题一、填空题(每题5分，共14题，共70分)1．已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________. 3．设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6．已知向量=(2,1)a ，(1,2)b =-，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈，则m n -的值为______. 7．不等式224x x-<的解集为________.8．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______.9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10．在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11．数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为 。
12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
13．已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。
历年苏州大学考研真题试卷与答案汇总-苏州大学考研真题试卷-苏大考研真题答案-苏大考研真题哪里找？
历年苏州大学考研真题试卷与答案汇总-苏大考研真题哪里找？东吴苏大考研网（苏州大学考研在线咨询入口）汇集了苏州大学各专业历年考研真题试卷（原版），同时与苏州大学专业课成绩前三名的各专业硕士研究生合作编写了配套的真题答案解析，答案部分包括了（解题思路、答案详解）两方面内容。
首先对每一道真题的解答思路进行引导，分析真题的结构、考察方向、考察目的，向考生传授解答过程中宏观的思维方式；其次对真题的答案进行详细解答，方便考生检查自身的掌握情况及不足之处，并借此巩固记忆加深理解，培养应试技巧与解题能力。
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2000-2006，2010-2015年苏州大学856物理化学（F）考研真题。
2015江苏高考数学试卷及答案
2015年全国高等学校统一招生考试（江苏卷）数学（Ⅰ）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分） 1．已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_____．2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为______．3．设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为______．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________． 5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．6．已知向量，(21)=，a ，(12)=-，b ，若(98)m n +=-，a b ()m n ∈R ，，则m n -的值为______． 7．不等式224x x-<的解集为________．8．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______． 9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，以点(10)，为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．11．数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*n ∈N ），则数列}1{na 的前10项和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点．若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ．1S ←1I ←Whiie 8I <2S S +← 3I I +← End Whiie Print S13．已知函数|ln |)(x x f =，2001()|4|21x g x x x <⎧=⎨-->⎩，≤，，，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 ．14．设向量(cos sin cos )(01212)666k k k k πππ=+=，，，，，k a ，则11()k =∑1k k+a a 的值为 ．二、解答题，本题共6个小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在ABC V 中，已知2160AB AC A ===，，o． (1 ) 求BC 的长；（2）求sin 2C 的值．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1AC BC BC CC ⊥=，．设1AB 的中点为D ，11B C BC E =I ．求证：（1）//DE 平面11AAC C ； (2 ) 11BC AB ⊥．ACBDEA 1B 1C 1（第16题）17．（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2．5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型． （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且右焦 点F 到左准线l 的距离为3． （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若2P C A B =，求直线AB 的方程．ONMxyPlCl 1l 2（第17题）OBAPC yx（第18题）l19．（本小题满分16分）已知函数32()()f x x ax b a b =++∈R ，． （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是与a 无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是33(3)(1)()22-∞-+∞，，，，求c 的值．20．设1234a a a a ，，，是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列． （1）证明：31242222a a a a，，，依次成等比数列；（2）是否存在1a d ，，使得2341234a a a a ，，，依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在1a d ，及正整数n k ，，使得231234n n k n k n k a a a a +++，，，依次成等比数列，并说明理由．2015年全国高等学校统一招生考试（江苏卷）数学（Ⅱ）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D ．求证：ABD ∆∽AEB ∆．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知x y ∈R ，，向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404ρρθπ+--=，求圆C 的半径．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解不等式|23|2x x ++≥．OBAD CE（第21-A 题）【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，21PA AD AB BC ====，． (1) 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值； （2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长．23．（本小题满分10分）已知集合*{123}{123}()n X Y n n ==∈N ，，，，，，，，设{()|n S a b a =，整除b或b 整除a ，}n a X b Y ∈∈，，令()f n 表示集合n S 所含元素个数．（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．Q B A DC P（第22题）。
15年高考真题——理科数学(江苏卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏）卷一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上）1．已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为 。
2．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为 。
3．设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为 。
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 。
5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 。
6．已知向量()2,1a =，()1,2b =-，若()9,8ma nb +=-，其中,m n R ∈，则n m -的值为 。
7．不等式224x x -<的解集为 。
8．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 。
9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10．在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线()210mx y m m R ---=∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11．数列{}n a 满足11=a ，且()11n n a a n n N ++-=+∈，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为 。
12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
13．已知函数()|ln |f x x =，()()()2001|4|21x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()()||1f x g x +=实根的个数为 。
14．设向量()cos ,sin cos 0,1,2,,12666k k k k a k πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1110k k k a a +=⋅∑的值为 。
2015年江苏卷数学试题及答案
2015年全国高等学校招生考试数学试题江苏卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B 中元素的个数为_______.2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3. 设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6. 已知向量(2,1),(1,2)a b ==-，若(9,8)(,)m a n b m n R +=-∈，则m n -的值为______.7. 不等式2224x -<的解集为________.8. 已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{n a 前10项的和为 。
12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 。
13.已知函数()|ln |f x x =，20,01,()|4|2,1,x g x x x <≤⎧=⎨-->⎩ ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。
2015江苏高考数学卷word解析版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置.上. 1.已知集合A —1, 2 3? , B —2, 4, 5?，则集合AU B 中元素的个数为▲ .2.已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为▲ .23. 设复数z 满足z =3 4i (i 是虚数单位)，贝U z 的模为 ▲ .4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 ▲ .5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球， 从中一次随机摸出 2只球，则这2只球颜色不同的概率为▲.6. 已知向量 a=(2,1), a =(1,—2 )，若 ma + nb=(9,— 8 後 m n ^ R ),则m -n 的值为 ▲.7. 不等式2X " 4的解集为 _▲_.18. 已知 tan 〉= -2, tan，则 tan :的值为 ____ ▲ ___79. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为 2、高为8的圆柱各一个。
若将它 们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径 为 ▲10. 在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx - y - 2m-1 = 0(m • R)相切的所有 圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ .（第4题图）* 111.数列｛a n｝满足印=1，且a n十一a n= n+1 ( n^N ),则数列｛一｝的前10项和为▲.a n的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为▲.r o,ocx^i13.已知函数f(x)=|lnx|, g(x) =」2 ，则方程| f(x) + g(x) 1=1实根的个数为Jx _4|-2,XA1▲ .k兀k兀1214.设向量a k = (cos ,sin cos ' )(k =0,1,2,…,12)，则(a k a k d)的值为▲6 6 6 7二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. (本小题满分14分)在VABC 中，已知AB =2,AC =3,A =600(1) 求BC的长；(2) 求sin2C的值.16. (本小题满分14分)A U如图，在直三棱柱ABC-AB1G中，已知AC _ BC,BC =C G .设AB1的中点为D,B1C I BC^E.求证：(1)DE〃平面AA1CC1;(2) BG _ AB1.17. (本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为4,12 ,山区边界曲线为C,计划修建的公路为I，如图所示，M , N为C的两个端点，测得点M到|仆l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l 1, l2的距离分别为20千米和2.5千米，以11, *所在的直线分别为x, y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y二飞 J (其中a, b为常数)模型.x2 +b(1) 求a, b的值；(2) 设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路I 长度的函数解析式 f t ，并写出其定义域;19. (本小题满分16分)已知函数 f (x) =x 3 亠ax 2 亠b(a,b ：= R )； (1)试讨论f (x)的单调性；⑵若b =c-a (实数c 是与a 无关常数)，当函数f (x)有三个不同零点时，a 的取值范围恰好 是(_：-3) U 1,2U 3，求 c 的值. 20. (本小题满分16分)设a !, a 2,a 3, a 4是各项为正数且公差为 d (d = 0)的等差数列. (1)证明：2ai , 2a2,2a3,2a4依次成等比数列；234⑵是否存在q,d ，使得a“a 2 , a 3 , a °依次成等比数列，并说明理由；②当t 为何值时，公路I 的长度最18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系 2 X xOy 中，已知椭圆~2 + a2b 2= l(a > b >0)的离心率左准线I 的距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线交椭圆于 A , B 两点，线段AB 的垂直平分线分 别交直线I 和AB 于点P , C ,若PC=2AB ，求直线AB 的方程.O I 2en -^,右焦点F 到(3)是否存在ai,d及正整数n,k，使得ai：a2n k, a3n 3k,a4n 5k依次成等比数列，并说明理由.附加题21. (选择题)本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多 做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、 I 选修4-1 :几何证明选讲丨(本小题满分10分)如图，在.ABC 中，AB 二AC , AABC 的外接圆圆0的弦AE 交BC 于点D .求证：.ABD ： . ：AEB .B 、 1-选修4-2 :矩阵与变换 1 (本小题满分10分)C 「1 1 X 11已知x,y^R ，向量a = I 是矩阵A= |的属性特征值-2的一个特征向量，矩阵 A 以及X［y 0 一它的另一个特征值.C 、 ［选修4-4:坐标系与参数方程］ 已知圆C 的极坐标方程为^2- ^.2?sin( )-4=0，求圆C 的半径.4D 、 ［选修4-5:不等式选讲］ 解不等式x - |2x 3^3 .22.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，已知PA_平面ABCD ，且四边形 ABCD 为 直角梯形，ABC =/BAD = —, PA =AD =2,AB =BC =1.2(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；⑵点Q 是线段BP 上的动点，当直线 CQ 与DP 所成角最小时，求线段 BQ 的 长.23.已知集合 X 二｛1,2,3｝, Y n 二｛1,2,3,L_|n ｝(n N *)，设S n 二｛(a,b)|a 整除b 或除a,a ，X,b ，£｝，令f(n)表示集合S n 所含元素个数E 第21A 图pBC(1)写出f(6)的值；(2)当n -6时，写出f (n)的表达式，并用数学归纳法证明.1、5 ;2、6 ;3、 .. 5 ;4、7;5、5/6;6、-3;7、(-1,2)&已Dtan a = -2, tan(a + 0) = £,贝'Jtan P 的值为 __________ 3_屮f9现有橡皮泥制作的底面半径为匚高为斗的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个*若将它们重新制作成总体积与高均保持不变'但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则 新的底面半径为 _____ 石 _____ …’(1015江苏离考第卬理)在平面自角坐标条©中.以点山0)为岡心且与頁线曲工-，- 2曲一 1 =O(m e R)相切的所有■圆中.半栓最大的@1的标准方程为 ______ .M ＞直= 定点(2,-1),根据垂线段最短知当(2,-1)为切点时.圆半控最大，此时半径为/\所以所求的圜的方桎为Gr-l)2+/=2.(20出年高考江苏春第11働数列彻」満足。
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2015 年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1（．5 分）已知集合 A={ 1，2，3} ，B={ 2，4，5} ，则集合 A∪B 中元素的个数为．2．（5 分）已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5 分）设复数 z 满足 z2=3+4i（i 是虚数单位），则 z 的模为．4．（5 分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为．5．（5 分）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为．6．（5 分）已知向量=（ 2，1）， =（1，﹣ 2），若 m +n =（9，﹣ 8）（m， n∈R），则 m﹣n 的值为．7．（5 分）不等式 2 ＜4 的解集为．8．（5 分）已知 tan α=﹣2，tan（α+β）= ，则 tan β的值为．9．（5 分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为 4 的圆锥和底面半径为2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以点（ 1，0）为圆心且与直线mx﹣ y﹣2m﹣1=0（ m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．．（5 分）设数列n 1 ，且n+1 n *），则数列 { } 的前11 { a } 满足 a =1 a ﹣ a =n+1（ n∈N10 项的和为．12．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中， P 为双曲线 x2﹣y2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x﹣y+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为．13．（ 5 分）已知函数 f（ x）=| lnx| ，g（x）=，则方程| f（x）+g（x） | =1 实根的个数为．14．（ 5 分）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，，12），则（ a k?a k+1）的值为．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（ 14 分）在△ ABC中，已知 AB=2， AC=3， A=60°．（1）求 BC的长；（2）求 sin2C的值．16．（ 14 分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知 AC⊥BC，BC=CC1，设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面 AA1C1C；（2） BC1⊥ AB1．17．（ 14 分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示， M ，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1， l2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2的距离分别为20 千米和 2.5 千米，以 l2， 1 在的直线分别为，y 轴，建立平面l x直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y= （其中 a，b 为常数）模型．（1）求 a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t．①请写出公路 l 长度的函数解析式 f（ t），并写出其定义域；②当t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度．18．（ 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程．19．（ 16 分）已知函数 f （x）=x3+ax2 +b（ a， b∈ R）．（1）试讨论 f（ x）的单调性；（2）若 b=c﹣a（实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 f（ x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（ 1，）∪（，+∞），求c的值．20．（ 16 分）设 a1，a2，a3． a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（ 1）证明： 2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在 a1， d，使得 a1，a22， a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在 a1，d 及正整数 n，k，使得 a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括 21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修 4-1：几何证明选讲】21．（ 10 分）如图，在△ ABC中， AB=AC，△ ABC的外接圆⊙ O 的弦 AE 交 BC于点 D．求证：△ ABD∽△ AEB．【选修 4-2：矩阵与变换】22．（ 10 分）已知 x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值．【选修 4-4：坐标系与参数方程】23．已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[ 选修 4-5：不等式选讲】24．解不等式 x+| 2x+3| ≥2．【必做题】每题10 分，共计 20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10 分）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中，已知 PA⊥平面 ABCD，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ ABC=∠ BAD= ， PA=AD=2， AB=BC=1．（1）求平面 PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值；（2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长．26．（10 分）已知集合 X={ 1，2，3} ，Y n={ 1，2，3，，n）（n∈N*），设 S n ={（a，b）| a 整除 b 或 b 整除 a，a∈X，B∈Y n} ，令 f（n）表示集合 S n所含元素的个数．（1）写出 f（6）的值；（2）当 n≥6 时，写出 f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1．（5 分）已知集合 A={ 1，2，3} ， B={ 2， 4， 5} ，则集合 A∪B 中元素的个数为5．【分析】求出 A∪ B，再明确元素个数【解答】解：集合A={ 1，2，3} ， B={ 2， 4， 5} ，则 A∪B={ 1，2，3，4，5} ；所以 A∪B 中元素的个数为5；故答案为： 5【点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5 分）已知一组数据 4， 6， 5， 8， 7， 6，那么这组数据的平均数为6．【分析】直接求解数据的平均数即可．【解答】解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为： 6．【点评】本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5 分）设复数 z 满足 z2=3+4i（i 是虚数单位），则 z 的模为．【分析】直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．【解答】解：复数z 满足 z2 =3+4i，可得 | z|| z| =| 3+4i| = =5，∴ | z| =．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5 分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为7．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I， S 的值，当 I=10 时不满足条件 I＜ 8，退出循环，输出S 的值为 7．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1， I=1满足条件 I＜ 8， S=3， I=4满足条件 I＜ 8， S=5， I=7满足条件 I＜ 8， S=7， I=10不满足条件 I＜8，退出循环，输出S 的值为 7．故答案为： 7．【点评】本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5 分）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为．【分析】根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．【解答】解：根据题意，记白球为 A，红球为 B，黄球为 C1、C2，则一次取出 2 只球，基本事件为 AB、AC1、 AC2、BC1、BC2、C1C2共 6 种，其中 2 只球的颜色不同的是 AB、AC1、AC2、 BC1、 BC2共 5 种；所以所求的概率是P= ，故答案为：．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5 分）已知向量=（ 2，1）， =（1，﹣ 2），若 m +n =（9，﹣ 8）（m， n∈R），则 m﹣n 的值为﹣3．【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．【解答】解：向量=（ 2， 1），=（1，﹣ 2），若 m +n =（ 9，﹣ 8）可得，解得 m=2，n=5，∴m﹣n=﹣ 3．故答案为：﹣ 3．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5 分）不等式 2＜4的解集为（﹣1，2）．【分析】利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．【解答】解；∵ 2 ＜4，∴x2﹣x＜ 2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣ 1＜ x＜2故答案为：（﹣ 1，2）【点评】本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5 分）已知 tan α=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．【解答】解： tan α=﹣ 2， tan（α+β）=，可知 tan（α+β） ==，即=，解得 tan β=3．故答案为： 3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5 分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．【分析】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中，以点（ 1，0）为圆心且与直线mx﹣ y﹣2m﹣ 1=0（ m∈ R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2 ．【分析】求出圆心到直线的距离 d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d= = ≤ ，∴m=1 时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（ x﹣ 1）2+y2=2．故答案为：（ x﹣1）2 +y2=2．【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．．（ 5 分）设数列 ，且 +*），则数列 { } 的前 11 { a n } 满足 a 1=1 a n 1﹣ a n =n+1（ n ∈N10 项的和为 ．【分析】数列 { a n } 满足 a 1=1，且 a n +1﹣ a n =n+1（n ∈N * ），利用 “累加求和 ”可得a n =．再利用 “裂项求和 ”即可得出．【解答】解：∵数列 { a n 满足 1 ，且 n +1﹣ n （ ∈ N *），} a =1 a a =n+1 n ∴当 n ≥2 时， a （ ﹣ ﹣ ）（ ﹣ a 1 ） +a 1．n = a n a n 1 + + a 2 =n+ +2+1= 当 n=1 时，上式也成立， ∴ a n = ．∴ =2．∴数列 { } 的前 n 项的和 S n ===．∴数列 {} 的前 10 项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的 “累加求和 ”方法、 “裂项求和 ”方法、等差数列的前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x 2﹣y 2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x ﹣y+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为．【分析】双曲线 x 2﹣y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0，c 的最大值为直线 x ﹣y+1=0与直线 x ﹣y=0 的距离．【解答】解：由题意，双曲线x 2﹣y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0，因为点 P 到直线 x ﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒成立，所以 c 的最大值为直线 x ﹣y+1=0 与直线 x ﹣y=0 的距离，即．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（ 5 分）已知函数 f（ x）=| lnx| ，g（x）=，则方程| f（x）+g（x） | =1 实根的个数为4．【分析】：由| f（ x）+g（x）| =1 可得 g（x）=﹣ f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．【解答】解：由 | f（x） +g（x）| =1 可得 g（x）=﹣f（x）± 1．g（x）与 h（ x） =﹣ f（x）+1 的图象如图所示，图象有 2 个交点g（x）与φ（x） =﹣ f（x）﹣ 1 的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程 | f（x） +g（x）| =1 实根的个数为 4．故答案为： 4．【点评】本题考查求方程| f（x）+g（ x）| =1 实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（ 5 分）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，，12），则（ a k?a k+1）的值为．【分析】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．【解答】解：=+=++++=++=++，∴（a k?a k+1）=+++++++ +++++++ +=+0+0=．故答案为： 9 ．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（ 14 分）在△ ABC中，已知 AB=2， AC=3， A=60°．（1）求 BC的长；（2）求 sin2C的值．【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．（ 2）利用正弦定理求出 C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：（1）由余弦定理可得：2 2 2﹣ 2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3 BC =AB +AC× =7，所以 BC= ．（ 2）由正弦定理可得：，则 sinC= = =，∵AB＜BC，BC= ，AB=2，角 A=60°，在三角形 ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角 C＜角 A，角 C 为锐角． sinC＞0，cosC＞0 则 cosC===．因此 sin2C=2sinCcosC=2×=．【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（ 14 分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知 AC⊥BC，BC=CC1，设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面 AA1C1C；（2） BC1⊥ AB1．【分析】（1）根据中位线定理得DE∥ AC，即证 DE∥平面 AA1C1C；（2）【方法一】先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC，即证 AC⊥CC1；再证明 AC⊥平面 BCC1B1，即证 BC1⊥AC；最后证明 BC1⊥平面 B1AC，即可证出 BC1⊥ AB1．【方法二】建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明异面直线垂直．【解答】证明：（1）如图所示，由据题意得，E 为 B1C 的中点， D 为 AB1的中点，所以 DE∥AC；又因为 DE?平面 AA1C1C， AC? 平面 AA1C1C，所以 DE∥平面 AA1C1C；（ 2）【方法一】因为棱柱ABC﹣ A1 B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC，因为 AC? 平面 ABC，所以 AC⊥CC1；又因为 AC⊥BC，CC1? 平面 BCC1B1，BC? 平面 BCC1B1，BC∩CC1=C，所以 AC⊥平面 BCC1B1；又因为 BC1? 平面 BCC1B1，所以 BC1⊥AC；因为 BC=CC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，所以 BC1⊥平面 B1AC；又因为 AB1? 平面 B1AC，所以 BC1⊥AB1．【方法二】根据题意， A1C1⊥B1C1， CC1⊥平面 A1B1C1，以 C1为原点建立空间直角座标系，C1A1为 x 轴， C1B1为 y 轴， C1C 为 z 轴，如图所示；设 BC=CC1=a，AC=b，则 A（b，0，a）， B1（0，a，0）， B（ 0， a， a），C1（ 0， 0， 0）；∴=（﹣ b，a，﹣ a），=（0，﹣ a，﹣ a），∴?=﹣ b× 0+a×（﹣ a）﹣ a×（﹣ a）=0，∴⊥，即 AB1⊥BC1．【点评】本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题．17．（ 14 分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为 l，如图所示， M ，N 为C 的两个端点，测得点 M 到 l ， l 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l ，l1 2 12 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l2， 1 在的直线分别为，轴，建立平面l x y直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y= （其中 a，b 为常数）模型．（1）求 a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t．①请写出公路 l 长度的函数解析式 f（ t），并写出其定义域；②当t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度．【分析】（1）由题意知，点M，N 的坐标分别为（ 5， 40），（20，2.5），将其分别代入 y=，建立方程组，即可求a，b 的值；（2）①求出切线 l 的方程，可得 A，B 的坐标，即可写出公路 l 长度的函数解析式f（ t），并写出其定义域；②设 g（t ）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路 l 的长度最短，并求出最短长度．【解答】解：（1）由题意知，点 M ，N 的坐标分别为（ 5， 40），（ 20，2.5），将其分别代入 y=，得，解得，（ 2）①由（ 1） y= （5≤x≤20），P（t ，），∴ y′=﹣，∴切线 l 的方程为 y﹣=﹣（x﹣t）设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 点，则 A（，0），B（0，），∴ f（t ）==，t∈[ 5，20]；②设 g（t ）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得 t=10，t ∈（ 5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞ 0， g（t ）是增函数，从而 t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴ g（ t）min ，=300∴ f（t ）min=15 ，答： t=10 时，公路 l 的长度最短，最短长度为15 千米．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（ 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程．【分析】（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c 的方程，解得 a，c，再由a，b，c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线 AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．【解答】解：（1）由题意可得， e= = ，且 c+ =3，解得 c=1， a= ，则 b=1，即有椭圆方程为+y2 ；=1（ 2）当 AB⊥x 轴， AB=，CP=3，不合题意；当 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB：y=k（x﹣1）， A（ x1，y1），B（x2，y2），将 AB 方程代入椭圆方程可得（ 1+2k2）x2﹣ 4k2 x+2（ k2﹣1）=0，则 x1 2 ， 1 2 ，+x = x x =则C（，），且|AB|=?=，若 k=0，则 AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；则 k≠0，故 PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而| PC| =，由 | PC| =2| AB| ，可得=，解得k=±1，此时 AB 的方程为 y=x﹣ 1 或 y=﹣x+1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（ 16 分）已知函数 f （x）=x3+ax2 +b（ a， b∈ R）．（1）试讨论 f（ x）的单调性；（2）若 b=c﹣a（实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 f（ x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（ 1，）∪（，+∞），求c的值．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（ x）的单调性；（ 2）由（ 1）知，函数 f（x）的两个极值为 f（0）=b，f（﹣） = +b，则函数 f（x）有三个不同的零点等价于 f（0）f（﹣）=b（+b）＜ 0，进一步转化为 a＞0 时，﹣a+c＞0 或 a＜ 0 时，﹣ a+c＜ 0．设 g（a）=﹣ a+c，利用条件即可求c 的值．【解答】解：（1）∵ f（ x） =x3+ax2+b，∴ f （′ x）=3x2+2ax，令 f ′（x） =0，可得 x=0 或﹣．a=0 时， f ′（x）＞ 0，∴ f（x）在（﹣∞， +∞）上单调递增；a＞0 时， x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f ′（x）＜ 0，∴函数f（ x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0 时， x∈（﹣∞， 0）∪（﹣，+∞）时，f（′x）＞0，x∈（0，﹣）时，f ′（x）＜ 0，∴函数f（ x）在（﹣∞， 0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（ 2）由（ 1）知，函数 f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数 f（x）有三个不同的零点等价于f（ 0）＞ 0，且 f （﹣）＜0，∴ b＞ 0 且+b＜0，∵b=c﹣a，∴ a＞ 0 时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设 g（a） =﹣a+c，∵函数 f（x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），∴在（﹣∞，﹣ 3）上， g（a）＜ 0 且在（ 1，）∪（，+∞）上 g（a）＞ 0 均恒成立，∴g（﹣ 3） =c﹣1≤0，且 g（）=c﹣ 1≥ 0，∴c=1，此时 f （x） =x3+ax2 +1﹣a=（x+1）[ x2+（a﹣ 1） x+1﹣a] ，∵函数有三个零点，∴ x2+（ a﹣ 1）x+1﹣ a=0 有两个异于﹣ 1 的不等实根，∴△ =（a﹣ 1）2﹣ 4（ 1﹣ a）＞ 0，且（﹣ 1）2﹣（ a﹣ 1） +1﹣a≠0，解得 a∈（﹣∞，﹣ 3）∪（ 1，）∪（， +∞），综上 c=1．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（ 16 分）设 a1，a2，a3． a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（ 1）证明： 2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在 a1， d，使得 a1，a22， a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在 a1，d 及正整数 n，k，使得 a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在 a1，d 使得 a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推第20页（共 28页）（ 3）利用反证法，假设存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1n ，a 2n +k ，a 3n +2k ，a 4n +3k 依次构成等比数列，得到 a 1n （ a 1+2d ）n +2k =（ a 1+d ）2（n +k ），且（ a 1+d ）n +k （a 1+3d ）n +3k =（ a 1+2d ）2（ n +2k ），利用等式以及对数的性质化简整理得到 ln （ 1+3t ）ln （1+2t ）+3ln （1+2t ） ln （1+t ）=4ln （ 1+3t ）ln （ 1+t ），（** ），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．【解答】解：（1）证明：∵==2d ，（ n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2 ，2 ，2 依次构成等比数列；（ 2）令 a 1+d=a ，则 a 1，a 2，a 3，a 4 分别为 a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d （ a ＞ d ，a ＞﹣ 2d ，d ≠0）假设存在 a 1，d 使得 a 1， a 22，a 3 3，a 44 依次构成等比数列，则 a 4=（a ﹣d ）（ a+d ）3，且（ a+d ）6=a 2（a+2d ）4，令 t= ，则 1=（ 1﹣ t ）（1+t ）3，且（ 1+t ） 6=（1+2t ） 4，（﹣ ＜ t ＜ 1， t ≠0），化简得 t 3+2t 2 ﹣2=0（* ），且 t 2=t+1，将 t 2=t+1 代入（ * ）式， t （t+1）+2（ t+1）﹣ 2=t 2+3t=t +1+3t=4t+1=0，则 t=﹣ ，显然 t=﹣ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在 a 1， d ，使得 a 1，a 22， a 33， a 44 依次构成等比数列．（ 3）假设存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1n ，a 2n +k ，a 3n +2k ，a 4n +3k 依次构成等比数列，则 a 1n （ a 1+2d ）n +2k =（ a 1 +d ）2（ n +k ），且（ a 1+d ） n +k （a 1+3d ） n +3k =（a 1+2d ） 2（ n +2k ），（ + ）（+ ），（t ＞， t ≠ 0），分别在两个等式的两边同除以 a 12 n k ， a 12n 2k，并令 t= +）2 （ + ）+ +（ + ） 则（ 1+2t ） n 2k（ 1+t n k，且（ 1+t ）n k （1+3t ）n 3k （ 1+2t ）2 n 2k ，= =将上述两个等式取对数，得（ n+2k ）ln （ 1+2t ）=2（n+k ）ln （1+t ），且（ n+k ）ln （1+t ） +（ n+3k ）ln （ 1+3t ）=2（n+2k ）ln （1+2t ），化简得， 2k[ ln （ 1+2t ）﹣ ln （1+t ）] =n[ 2ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+2t ）] ，且 3k[ ln （1+3t ）﹣ ln （ 1+t ） ] =n[ 3ln （1+t ）﹣ ln （1+3t ） ] ，再将这两式相除，化简得，ln （ 1+3t ）ln （ 1+2t ） +3ln （1+2t ） ln （1+t ）=4ln （ 1+3t ）ln （ 1+t ），（** ）令 g （t ） =4ln （1+3t ）ln （1+t ）﹣ ln （1+3t ） ln （1+2t ） +3ln （1+2t ）ln （1+t ），则 g ′（t ）= [ （1+3t ）2 ln （ 1+3t ）﹣ （ 1+2t ）2 （ 1+2t ）+33 ln（ 1+t ） 2ln （1+t ） ] ，令 φ（t ）=（1+3t ） 2ln （1+3t ）﹣ 3（1+2t ）2ln （ 1+2t ） +3（1+t ）2ln （1+t ），则 φ′（t ）=6[ （1+3t ）ln （1+3t ）﹣ 2（1+2t ）ln （ 1+2t ）+3（1+t ）ln （1+t ）] ，令 φ1（ t ）=φ′（t ），则 φ1′（t ）=6[ 3ln （1+3t ）﹣ 4ln （1+2t ） +ln （ 1+t ） ] ， 令 φ ） =＞0， 2（ t ）=φ1′（t ），则 φ2′（ t由 g （0）=φ（ 0） =φ1（ ） φ2（ ） ， φ2′（ ）＞ ，0 =0 =0 t0 知 g （t ），φ（t ），φ1（ ），φ2（ ）在（﹣， ）和（ ， ∞）上均单调， tt0 0 +故 g （t ）只有唯一的零点 t=0，即方程（ ** ）只有唯一解 t=0，故假设不成立，所以不存在 a 1， d 及正整数 n ，k ，使得 a 1n，a 2n +k， a 3n +2k， a 4n +3k依次构成等比数列．【点评】本题主要考查等差数列、 等比数列的定义和性质， 函数与方程等基础知识，考查代数推理、 转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力， 属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分） 【选做题】本题包括 21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修 4-1：几何证明选讲】21．（ 10 分）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，△ ABC 的外接圆⊙ O 的弦 AE 交 BC 于点 D ．求证：△ ABD ∽△ AEB ．【分析】直接利用已知条件， 推出两个三角形的三个角对应相等， 即可证明三角形相似．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ ABD=∠C，又∵∠ C=∠E，∴∠ ABD=∠E，又∠BAE 是公共角，可知：△ ABD∽△ AEB．【点评】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修 4-2：矩阵与变换】22．（ 10 分）已知 x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值．【分析】利用 A =﹣ 2，可得A=，通过令矩阵 A 的特征多项式为0 即得结论．【解答】解：由已知，可得 A =﹣2，即==，则，即，∴矩阵 A=，从而矩阵 A 的特征多项式 f（λ） =（λ+2）（λ﹣ 1），∴矩阵 A 的另一个特征值为1．【点评】本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修 4-4：坐标系与参数方程】23．已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．【分析】先根据x=ρcos，θy=ρsin，θ求出圆的直角坐标方程，求出半径．【解答】解：圆的极坐标方程为2ρsin（θ﹣2 ρ+2 ）﹣ 4=0，可得ρ﹣2ρ cos+2θρ sin﹣θ4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（ x﹣ 1）2+（y+1）2=6，圆的半径 r=．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcos，θy=ρsin，θ比较基础，[ 选修 4-5：不等式选讲】24．解不等式 x+| 2x+3| ≥2．【分析】思路 1（公式法）：利用 | f（x）| ≥g（x） ? f（ x）≥ g（ x），或 f（x）≤﹣ g（ x）；思路 2（零点分段法）：对 x 的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．【解答】解法 1：x+| 2x+3| ≥2 变形为 | 2x+3| ≥2﹣x，得 2x+3≥ 2﹣ x，或 2x+3≤﹣（ 2﹣x），即 x≥，或 x≤﹣ 5，即原不等式的解集为 { x| x≥，或x≤﹣5}．解法 2：令 | 2x+3| =0，得 x=．①当 x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥ 2，即 x≥，所以 x≥；② x＜时，原不等式化为x﹣（ 2x+3）≥ 2，即 x≤﹣ 5，所以 x≤﹣ 5．综上，原不等式的解集为{ x| x≥，或x≤﹣5}．【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：| f（x）| ≥g（x）? f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g （x）；| f（ x）| ≤ g（x）? ﹣ g（ x）≤ f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10 分，共计 20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10 分）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中，已知 PA⊥平面 ABCD，且四边形 ABCD为直角梯形，∠ ABC=∠ BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面 PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值；（2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ的长．【分析】以 A 为坐标原点，以 AB、 AD、AP 所在直线分别为 x、 y、z 轴建系 A﹣xyz．（1）所求值即为平面 PAB的一个法向量与平面 PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（ 2）利用换元法可得 cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．【解答】解：以 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建系A ﹣xyz 如图，由题可知 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0）， P（ 0，0， 2）．（1）∵ AD⊥平面 PAB，∴ =（0， 2， 0），是平面 PAB的一个法向量，∵ =（1，1，﹣ 2）， =（0，2，﹣ 2），设平面 PCD的法向量为 =（x，y，z），由，得，取 y=1，得 =（1，1，1），∴ cos＜，＞==，∴平面 PAB与平面 PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵ =（﹣ 1， 0， 2），设 =λ =（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又 =（0，﹣ 1，0），则 = + =（﹣λ，﹣ 1，2λ），又=（0，﹣ 2，2），从而 cos＜，＞==，设 1+2λ=t，t∈ [ 1，3] ，则 cos2＜，＞==≤，当且仅当 t=，即λ=时，| cos＜，＞|的最大值为，因为 y=cosx在（ 0，）上是减函数，此时直线CQ与 DP 所成角取得最小值．又∵ BP==，∴ BQ= BP=．【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10 分）已知集合 X={ 1，2，3} ，Y n={ 1，2，3，，n）（n∈N*），设 S n ={（a，b）| a 整除 b 或 b 整除 a，a∈X，B∈Y n} ，令 f（n）表示集合 S n所含元素的个数．（1）写出 f（6）的值；（2）当 n≥6 时，写出 f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．【分析】（1）f（6） =6+2+ + =13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．【解答】解：（1）f（6）=6+2+ + =13；（ 2）当 n≥6 时， f（ n） =．下面用数学归纳法证明：①n=6 时， f（6）=6+2+ + =13，结论成立；②假设 n=k（k≥ 6）时，结论成立，那么 n=k+1 时， S k+1在k的基础上新增加的S元素在（ 1， k+1），（2，k+1），（ 3， k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若 k+1=6t，则 k=6（t ﹣1）+5，此时有 f（ k+1）=f（k）+3=（ k+1）+2+ +，结论成立；2）若 k+1=6t+1，则 k=6t，此时有 f （ k+1） =f（ k） +1=k+2+ + +1=（ k+1）+2+ + ，结论成立；3）若 k+1=6t+2，则 k=6t+1，此时有 f（ k+1）=f（k）+2=k+2+ + +2=（k+1）+2+ + ，结论成立；4）若 k+1=6t+3，则 k=6t+2，此时有 f （k+1）=f（ k） +2=k+2+ + +2=（k+1）+2+ + ，结论成立；5）若 k+1=6t+4，则 k=6t+3，此时有 f （k+1）=f（ k） +2=k+2+ + +2=（k+1）+2+ + ，结论成立；6）若 k+1=6t+5，则 k=6t+4，此时有 f （k+1）=f（ k） +2=k+2+ + +2=（k+1）+2+ + ，结论成立．综上所述，结论f（ n） =n+[ ]+[ ]+ 2，对满足 n≥6 的自然数 n 均成立．【点评】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。
2015年高考江苏省理科数学真题含答案解析
2015年高考江苏省理科数真题一、填空题(每题5分，共14题，共70分)1．已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B 中元素的个数为_______.2．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________.3．设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6．已知向量=(2,1)a r ，(1,2)b =-r ，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈r r ，则m n -的值为______.7．不等式224x x -<的解集为________.8．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10．在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11．数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为 。
12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
13．已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。
2015年江苏省高考数学试卷及答案 Word版
2015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 。
12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。
14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 。