三维纯角度被动跟踪定位的最小二乘_卡尔曼滤波算法
卡尔曼滤波算法步骤
卡尔曼滤波算法步骤一、引言卡尔曼滤波算法是一种用于估计系统状态的优化算法，它可以通过利用系统的动态模型和传感器测量数据，实时地进行状态估计，并且具有较高的精度和鲁棒性。
本文将介绍卡尔曼滤波算法的基本步骤，以帮助读者了解和应用该算法。
二、系统模型在开始使用卡尔曼滤波算法之前，我们需要建立系统的动态模型。
系统模型描述了系统状态的变化规律，通常使用状态转移方程来表示。
状态转移方程可以是线性的或非线性的，具体取决于系统的性质。
在建立系统模型时，我们需要考虑系统的物理特性和运动规律，以准确地描述系统的运动过程。
三、观测模型观测模型描述了传感器测量数据与系统状态之间的关系。
通常情况下，传感器的测量数据是不完全的、噪声干扰的，因此我们需要建立观测模型来描述这种关系。
观测模型可以是线性的或非线性的，具体取决于传感器的性质和测量方式。
在建立观测模型时，我们需要考虑传感器的测量误差和噪声特性，以准确地描述传感器的观测过程。
四、预测步骤卡尔曼滤波算法的预测步骤用于预测系统的状态。
预测步骤基于系统的动态模型和当前的状态估计，通过状态转移方程对系统的状态进行预测。
预测步骤的输出是对系统状态的最优预测值和预测误差的协方差矩阵。
预测步骤的目标是尽可能准确地预测系统的状态，以便对系统进行控制或决策。
五、测量更新步骤卡尔曼滤波算法的测量更新步骤用于根据传感器的测量数据来更新对系统状态的估计。
测量更新步骤基于观测模型和预测步骤的输出，通过观测模型将测量数据转换为状态空间中的残差。
然后，通过计算残差的协方差矩阵和系统的预测误差的协方差矩阵的加权平均，得到对系统状态的最优估计值和估计误差的协方差矩阵。
测量更新步骤的目标是通过融合传感器的测量数据和系统的状态估计，得到对系统状态的最优估计。
六、迭代更新卡尔曼滤波算法的预测步骤和测量更新步骤可以交替进行，以实现对系统状态的连续估计。
在每次迭代中，首先进行预测步骤，然后进行测量更新步骤。
通过迭代更新，卡尔曼滤波算法可以逐步优化对系统状态的估计，提高估计的精度和鲁棒性。
最小二乘在卡尔曼的体现-概念解析以及定义
最小二乘在卡尔曼的体现-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述最小二乘法是一种用于拟合数据和估计参数的常见方法，它通过最小化观测数据与模型预测值之间的误差平方和来确定模型的参数值。
而卡尔曼滤波器则是一种用于估计系统状态的方法，它可以通过动态地结合测量值和系统模型来提高对系统状态的估计精度。
本文旨在探讨最小二乘法在卡尔曼滤波中的应用，具体分析最小二乘法在卡尔曼滤波中的作用和优势。
同时，也将总结最小二乘法的重要性，并展望它在未来的应用前景。
通过本文的阐述，读者将能够更深入地了解最小二乘法和卡尔曼滤波的关系，以及它们在实际应用中的价值和意义。
"1.2 文章结构"部分内容:本文将分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将对最小二乘法和卡尔曼滤波器进行简要介绍，以及本文的目的。
在正文部分，将详细阐述最小二乘法的原理和卡尔曼滤波器的基本原理，以及最小二乘法在卡尔曼滤波中的具体应用。
在结论部分，我们将总结最小二乘法的重要性，并探讨其在卡尔曼滤波中的优势，同时展望最小二乘法在未来的应用前景。
通过这样的结构安排，读者可以系统地了解最小二乘法在卡尔曼滤波中的体现，以及其在相关领域的重要性和应用前景。
目的部分的内容：文章的目的是探讨最小二乘法在卡尔曼滤波中的应用。
通过对最小二乘法原理和卡尔曼滤波器的介绍，以及最小二乘法在卡尔曼滤波中的具体应用案例进行分析，旨在展示最小二乘法在卡尔曼滤波中的重要性和优势。
同时，也希望通过对最小二乘法在未来的应用前景进行展望，为相关领域的研究和应用提供一定的参考和启发。
}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 最小二乘法原理：最小二乘法是一种数学优化技术，用于通过最小化误差的平方和来估计未知参数。
其原理是通过找到使得误差平方和最小的参数值，从而得到最佳拟合的模型。
在实际应用中，最小二乘法可以用来拟合数据、求解线性方程组、进行回归分析等。
最小二乘法的数学表达式可以表示为：假设有一组观测数据(x_i, y_i)，通过线性模型y = a*x + b 进行拟合。
GPS／BDS组合系统中粒子滤波算法
GPS／BDS组合系统中粒子滤波算法任娜;郑佳春;张杏谷【摘要】为了解决传统单一卫星导航系统存在的可靠性低和定位精度差等问题，在分析单系统导航定位原理及GPS／BDS组合导航定位解算的基础上，引入标准粒子滤波（ PF）算法和高斯粒子滤波（ GHPF）算法对组合系统进行定位解算，并对不同滤波算法做出了比较和分析。
仿真结果表明，粒子滤波的滤波效果优于扩展卡尔曼滤波算法。
%In order to solve the issues of the low reliability and poor precision of the traditional single navigation system, based on the analysis of single navigation system positioning principle and combined posi⁃tioning calculating of GPS and Beidou Satellite Navigation System ( BDS) , this paper puts forward the applica⁃tion of the standard particle filter ( PF) algorithm and the Gaussian particle filter ( GHPF) in theGPS/BDS combined system, and makes comparison and analysis belween different filter algorithms. The simulation re⁃sults show that the particle filter filtering algorithm is better than that the extended kalman filtering algorithm.【期刊名称】《集美大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(021)003【总页数】6页(P196-201)【关键词】GPS;BDS;组合系统;粒子滤波;高斯粒子滤波【作者】任娜;郑佳春;张杏谷【作者单位】集美大学航海学院，福建厦门361021;集美大学信息工程学院，福建厦门361021;集美大学航海学院，福建厦门361021【正文语种】中文【中图分类】U666.134随着全球导航卫星系统（g1oba1 navigation sate11ite sYstem，GNSS）的发展，卫星导航系统已深入应用到现代社会生活的各个方面，人们对卫星导航的定位精度及可靠性要求也越来越高.目前该系统包含美国的GPS、俄罗斯的GLONASS、欧盟的Ga1i1eo和我国的北斗卫星导航系统（BeiDou Navigation Sate11ite SYstem，BDS），其中GPS已被广泛应用.但是对单一导航系统来说，可见卫星数目是有限的，在一些恶劣环境中信号容易受到严重干扰，导航定位精度和可靠性无法得到保障，而且使用单一系统易受该导航系统控制国的制约，存在政治风险.鉴于以上原因，多系统卫星导航综合应用应运而生，多系统卫星导航可用卫星数量多，具有覆盖性好、定位精度高、可靠性高等优点.随着我国北斗卫星导航系统的发展和应用，研究如何实现BDS与其他卫星导航系统的组合应用，尤其是与全球应用最为广泛的GPS的组合是必要的，它对我国经济安全和国防安全意义重大，具有广阔的市场前景和应用价值［1-2］.目前，在卫星导航定位计算中，常用的算法有最小二乘法、卡尔曼滤波（Ka1man fi1ter，KF）算法、扩展卡尔曼滤波（extended Ka1man fi1ter，EKF）算法以及无迹卡尔曼滤波（unsented Ka1man fi1⁃ter，UKF）算法等.但是以上各种算法均存在一定的局限性，其中最小二乘法必须在接收到4颗以上的卫星信号时才能进行定位解算；KF算法只有在高斯噪声的线性系统中才能完成定位解算；EKF算法和UKF算法都是针对非线性系统的线性KF算法的变形和改进形式，要求系统状态应满足高斯分布，且此类算法仅仅利用了非线性函数泰勒展开式的一阶展开或泰勒近似二阶展开，常常导致在状态的后验分布的估计上产生较大的误差，影响滤波算法的性能［3-4］.而粒子滤波算法不需要对状态变量的概率密度做过多的约束，是非高斯非线性系统状态估计的“最优”滤波器，近年来在纯角度机动目标跟踪、机器感知与导航人体跟踪与行为异常分析等领域都得到了成功应用［5］.因此，本文将标准粒子滤波（Partic1e fi1ter，PF）算法和高斯粒子滤波（Gaussian Partic1e fi1ter，GHPF）算法分别应用于GPS/BDS组合系统中，进行定位解算并进行验证、比较和分析.1.1 组合系统时空统一由于BDS与GPS使用不同的时间系统和坐标系统，所以必须把两者的时间系统、坐标系统分别转换为同一时间系统、同一坐标系统.1.1.1 统一坐标系统在坐标系上，GPS采用1984年版的大地坐标系（WGS-84），BDS采用2000中国大地坐标系（CGS2000），两者的基本参数相差无几，在目前所能达到的测量精度水平下，不需要进行坐标变换. 1.1.2 统一时间系统在时间系统上，GPS系统时（GPST）以美国海军天文台（United States Nava1 ObservatorY，USNO）提供的协调世界时（Universa1 Time Coordinate，UTC）为基准；而北斗系统时（BDT）以中国科学院国家授时中心（Nationa1 Time Service Center Chinese AcademY of Scences，NTSC）提供的UTC为基准. GPST与UTC（USNO）以及BDT与UTC（NTSC）与间的变换关系分别如式（1）、式（2）所示.式中：tGPS为GPS系统时；ΔtLS（G）为GPST与UTC（USNO）之间的整数秒差异；A0和A1为计算秒内偏差的两个系数；tot为协调时的参考时间；tBD为北斗系统时；ΔtLS（B）为新的闰秒生效前BDT相对于UTC（NTSC）的累计闰秒改正数；A0（B）为BDT相对于UTC（NTSC）的钟差；A1（B）为BDT相对于UTC（NTSC）的钟速［6］.从而，BDT与GPST之间的变换关系为：tGPS=tBD-ΔtGPS-BD=tBD-（A0GPS+A1GPS×tE（B）），式中：A0GPS为BDT相对于GPS系统时间的钟差；A1GPS为BDT相对于GPS系统时间的钟速；tE（B）为参考历元时刻.1.2 组合系统定位1.2.1 伪距单点定位的基本原理单点定位即利用单台接收机某时刻的观测数据测定载体位置的卫星定位.其定位原理如式（3）所示：式中：ρ表示接收机与卫星之间的伪距观测值；c表示光速；δtu和δts分别表示用户接收机时钟与卫星时钟相对于所用卫星系统标准时间的钟差；Iρ和Tρ分别表示传播过程中由电离层和对流层引起的延迟；ερ表示未知因素、模型误差和测量误差；r表示接收机与卫星之间的真实距离，r=，式中：（χs，ys，zs）表示观测时刻卫星位置坐标，（χu，yu，zu）表示观测时刻用户位置坐标［6-7］.理想情况下，希望测量到卫星的真实距离r，但实际情况只能测到伪距ρ，即真实距离r加上偏差和噪声.从这些测量中估算出的位置、速度和时间精确度，将依赖于对偏差和误差的补偿及消除.真实伪距通过各种误差模型处理后所得到的伪距观测量只包含r、cδtu和残差（误差模型和实际情况不完全相符造成），如ρc=r+cδtu+ε所示，式中ε表示建模的测量误差总和.1.2.2 状态模型根据1.2.1节中对卫星定位原理的描述，GPS/BDS组合系统的状态向量包括接收机的位置、速度、加速度、GPS和BDS的钟差参数及钟漂参数，具体可表示为：式中：分别表示接收机载体的三维位置、速度和加速度；分别表示GPS与BDS的钟差；分别表示GPS与BDS的钟漂.该状态向量包含导航定位所需求解的全部信息［8］.根据接收机载体的数学运动模型和系统的状态关系，可得系统的状态方程，式中：k表示观测历元数；Xk、Xk-1分别表示第k个和第k-1个观测历元的状态向量；f（）表示Xk-1至Xk状态转移之间的函数关系；Γk|k-1表示噪声驱动矩阵；wk-1表示过程噪声［4，8-10］.1.2.3 观测模型系统的观测模型以伪距单点定位模型和多普勒单点定位模型为例，根据多普勒频移原理，可得组合系统的多普勒方程［4，9］式中：分别表示卫星的三维位置和速度；表示卫星与接收机之间的真实距离.综上，系统的观测方程可表示为：Zk=hk（Xk）+Vk.式中：Zk表示第k个历元的观测量；hk描述了第k个历元Zk和Xk之间的函数关系；Vk为观测噪声.2.1 EKF算法在组合系统中的实现依据EKF算法原理需对非线性状态方程和观测方程进行线性化处理，即通过在处进行泰勒展开，并取其一阶近似［8］，可得方程ΔZk=HkΔXk+Vk.式中：的预测值.从而将非线性问题转化为线性问题来进行处理.接着对扩展卡尔曼滤波的初值进行选取，在观测历元数k=1时，初始状态向量，初始状态向量误差协方差矩阵为P0.具体滤波方程式如下：式（4）中：φk|k-1为状态转移矩阵；Pk|k-1为ˆXk-1的协方差矩阵；Qk-1为Wk-1的协方差矩阵；Qk为Vk的协方差矩阵；ˆXk为第k个历元状态向量Xk的浪波结果；Kk为滤波增益矩阵；Pk为Xk的误差协方差矩阵；I为n×n矩阵.2.2 标准PF算法在组合系统中的实现粒子滤波是一种基于蒙特卡罗方法和递推贝叶斯估计的统计滤波方法，它依据大数定理采用蒙特卡罗方法来求解贝叶斯估计中的积分运算.其基本思想是：首先根据系统状态向量的经验条件分布在状态空间产生一组随机样本的集合，称这些样本为粒子，然后根据量测不断调整粒子的权重和位置，通过调整后的粒子信息修正最初的条件分布.这种技术适用于处理任何能用状态空间模型表示的非线性非高斯系统，精度可以逼近最优估计［5，11］.算法具体步骤归纳如下：1）初始化k=0.对先验概率p（X0）进行采样，生成服从p（X0）分布的N个粒子，粒子权值ω0均为1/N，可表示为2）时间更新和测量值更新.将粒子代入状态方程，通过递推求出下一时刻粒子的预测值，将得到的预测值代入观测方程，求出观测值Z1.3）权值更新.由新得到的预测值和观测值Z1对每个粒子的权值进行更新.4）重采样，即复制大权值粒子，剔除小权值粒子.首先计算状态向量各分量粒子的有效采样尺度，若Neff＜N，则进行重采样，将原来的带权样本更新为等权样本；否则直接转步骤5）. 5）输出.通过前面步骤求出状态X1的粒子和权值，此时状态估计值更新方差估计值为6）判断是否结束，若是，则退出算法；否则，令k=k+1，返回步骤2）.2.3 GHPF算法在组合系统中的实现粒子滤波中重要性函数的选取极为关键，标准粒子滤波算法中选用的是先验概率密度，但这种选择没有考虑观测值，滤波精度会受影响.若以GHF产生粒子滤波的重要性函数，将当前的最新观测值融入滤波过程，则会使粒子分布更加接近于后验概率分布，从而提高滤波精度［5，11］.GHPF算法的具体实现过程归纳如下：1）初始化，同标准PF中的步骤1）.2）重要性采样.对每一个采样点ˆXk-1使用GHF算法得到相应的粒子和方差估计，过程如式（6）所示式中：分别是状态函数f（）和观测函数h（）的泰勒级数一级展开式.利用式（5）进行权值更新，其中选择重要性密度函数为3）剩下步骤同标准PF中的步骤（4）～（6）.3.1 仿真设计本次实验系统由博纳雨田通信有限公司的TM8620接收板、双频接收天线和电脑组成.应用仿真软件MATLAB，分别以扩展卡尔曼滤波算法、标准粒子滤波算法和高斯粒子滤波算法为双系统组合定位算法，进行仿真比较.为便于仿真，此次实验主要研究二维坐标下的定位效果，采取平面匀速直线运动模型作为目标的运动模型.目标初始位置设定为（0，0），X、Y方向的速度均为10 m/s，取采样周期为1s，系统噪声和观测噪声均设为高斯白噪声.权重比的选择会影响到定位结果，因此它的选择是使用滤波算法时首要考虑的因素.3.2 仿真结果与分析仿真结果如下，图1—图4分别为采用EKF算法、标准PF算法和GHPF算法在GPS/BDS双系统组合定位中的仿真图.其中，图1和图2分别为X向和Y向位置误差，图3和图4分别为X向和Y向速度误差.由于图1至图4无法定量的表现出三种滤波算法在定位和测速精度上的优劣，因此用定位和测速误差的均方根误差（root mean squence error，RMSE）来呈现，如表1所示.分析图1—图4和表1可发现，GHPF滤波得到的X向、Y向定位误差最小，PF算法效果次之，EKF算法得到的定位误差稍大.这是因为EKF算法受到系统非线性特性的影响，从而导致滤波精度和收敛速度较差.PF算法考虑到了系统的非线性特性，和EKF算法相比收敛速度较快.但是由于PF算法存在粒子退化问题，导致从重要性概率密度中取样得到的样本与从真实后验概率密度采样得到的样本有很大偏差，滤波性能下降.而GHPF算法选取GHF作为重要性函数，在做粒子预测时考虑到了最新的量测信息，重要性采样连续出现粒子更逼近于真实的后验概率分布粒子，因此从滤波精度考虑，PF算法和GHPF算法较优，其中以GHPF算法最佳.本文研究了GPS与BDS组合定位的方法，并应用EKF算法、PF算法和GHPF算法分别对GPS/ BDS组合系统的定位解算进行了仿真实验.仿真结果表明，与导航中常用的EKF滤波算法相比，粒子滤波算法具有较高的估计效果，且GHPF算法有效地克服了标准PF算法的粒子退化问题，改善了滤波性能，提高了组合导航系统定位解算精度.但是由于运动模型的限制，仿真结果并未有效突出粒子滤波算法的优势，后续将进一步进行不同运动模型下运用不同算法的比较.【相关文献】［1］周巍，郝金明，朱璇，等.COMPASS与GPS兼容定位算法及性能分析.测绘科学，2012（5）：5⁃8.［2］高星伟，过静珺，程鹏飞，等.基于时空系统统一的北斗与GPS融合定位.测绘学报，2012（5）：743⁃748.［3］孙罡，王昌明，张爱军.GPS静态单点定位的滤波算法比较.南京理工大学学报（自然科学版），2011（1）：80⁃85.［4］公才赫，茅旭初，李少远.基于非线性滤波算法的GPS与北斗定位研究.计算机仿真，2015（3）：48⁃53.［5］胡士强，敬忠良.粒子滤波原理及其应用.北京：科学出版社，2010.［6］ELLIOTT D KAPLAN，CHRISTOPHER J.HEGARTY.GPS原理与应用.北京：电子工业出版社，2012.［7］兰孝奇，黄张裕，李森，等.GPS观测数据处理与应用.北京：科学出版社，2012.［8］许承东，李怀建，张鹏飞，等.GNSS数学仿真原理及系统实现.北京：中国宇航出版社，2014.［9］陈亚茹.基于BD⁃2/GPS组合导航校车安全服务系统定位研究.西安：西安电子科技大学，2014.［10］孙延鹏，张赢硕，王尔申，等.BD⁃2/GPS组合系统的设计与定位算法.电子设计工程，2011，23：74⁃77.［11］朱志宇.粒子滤波算法及其应用.北京：科学出版社，2010.。
卡尔曼滤波算法(KF)
卡尔曼滤波器Kalman Filter (zz)关键词：卡尔曼滤波器Kalman Filter在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Predict ion Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍（Introduction to the Kalman Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
但是，他的5条公式是其核心内容。
结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。
根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。
最小二乘法在纯方位目标跟踪中的应用
最小二乘法在纯方位目标跟踪中的应用吴小强;潘丽丽【摘要】从实际的工程应用入手,研究了被动纯方位目标跟踪中方位轨迹滤波算法.分析了目标方位变化情况,建立方位变化模型,采用限定记忆最小二乘法对方位轨迹进行滤波.仿真结果表明,该算法能够降低方位测量误差,是一种较好的工程实用算法.【期刊名称】《雷达与对抗》【年(卷),期】2016(036)004【总页数】4页(P12-14,68)【关键词】纯方位目标跟踪;方位轨迹滤波;限定记忆最小二乘法;多项式拟合【作者】吴小强;潘丽丽【作者单位】海军驻南京地区雷达系统军事代表室,南京210003;中国船舶重工集团公司第七二四研究所,南京211153【正文语种】中文【中图分类】TN959.6对于单站被动雷达,在未定位时能够获得的目标位置信息仅包含方位,并不包括距离。
因此,在系统定位之前仅能利用目标的位置信息方位及其属性参数进行纯方位目标跟踪。
在被动雷达多目标跟踪中,跟踪滤波将与航迹正确相关后的量测送入跟踪滤波器进行实时的平滑滤波,并对目标辐射源各参数进行估计更新,能够降低目标方位误差,为系统提供更准确的目标运动轨迹参数。
常用的跟踪滤波算法很多,与其他方法(维纳滤波、α-β滤波器、Kalman滤波等)相比,最小二乘法简单方便,是经典的参数估计方法,且在一定条件下具有良好的统计性,因而更具有工程实现的意义。
文中通过建立目标测量方位变化模型,同时考虑实际探测中目标运动的变化,采用限定记忆最小二乘法对方位轨迹进行滤波。
最小二乘法的原理是:测量结果的估计值应使i(i=1,2,…,k)时刻的测量值与真实值之间的误差平方和(或加权误差平方和)最小,即对于量测:k时刻误差的平方和为则使J(k)达到最小的参数x的值即为该时刻x的最小二乘估计[1]。
下面从向量矩阵角度来讨论最小二乘估计。
假定待定非随机向量X,第i个时刻的量测值为式中,H(i)为量测矩阵,N(i)为量测噪声矩阵,共进行i=1,2,…,k次量测,其k次量测可用下列矩阵方程表示:其中依据最小二乘原理,使二次误差达到最小的估计即为X的最小二乘估计值。
卡尔曼滤波算法
五:卡尔曼滤波的典型应用—多传感器数据融合处理
数据融合的模型: (a)集中式融合系统;
(b)无反馈式分布融合系统;
(c)有反馈式分布融合系统; (d)有反馈的全并行系统
(c)有反馈式分布融合系统
融合中心到各传感器有反 馈通道,提高各传感器状态 估计和预测精度。
2021/3/28
27
五:卡尔曼滤波的典型应用—多传感器数据融合处理
k时刻的状态预测x(k|k-1)
描述x(k|k-1)优劣程度的协方差P(k|k-1)
k-1
x(k|k)
k时刻2021/3/28
k+1
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四:卡尔曼滤波算法数学推导
z(k)= H x(k|k-1)+v(k)
实测
x(k|k-1)
P(k|k-1)
测量值z(k)
k-1
x(k+1|k+1)
K时刻 2021/3/28
四:卡尔曼滤波算法数学推导
u
z
可见
隐藏
B
H
v
R
圆圈代表向量 方块代表矩阵
x
F
x
星号代表高斯噪声
w
k-1
Q
k
k+1
卡尔曼滤波器的模型
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四:卡尔曼滤波算法数学推导
x(k-1)
z(k) u(k) x(k|k)
k-1时刻
k时刻
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k+1时刻
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四:卡尔曼滤波算法数学推导
高通、低通、带通、带阻滤波器。
现代滤波:利用信号和噪声的随机统计特性。
维纳滤波,Kalman滤波,自适应滤波,小波变换等
gnss最小二乘法与卡尔曼滤波
gnss最小二乘法与卡尔曼滤波下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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纯方位目标跟踪直角坐标卡尔曼滤波算法
2P4 2P4 5: ; 5: ;
2P4 5: ;
2;R4
-P5" /P50P51 $P5
% & 其 中 # Q52P4Q52P4ST!52P4"U2P:54!5+ UV ;+ PW5
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从图 "97所示实验结果看出:速度;航向;距离的估计用衰减记忆自适应滤波方法明显比
纯 卡 尔 曼 方 法 好 :主 要 表 现 在 收 敛 的 速 度 上 和 估 计 参 数 的 误 差 大 小 上 <
态 $它 有 着 严 格 的 数 学 模 型 * 纯 方 位 目 标 跟 踪 及 参 数 估 计 是 一 种 复 杂 的 非 线 性 问 题 $在 使 用 卡
尔曼滤波方法之前同样要将处理过程线性化*由于此时对线性化的过程直接使用卡尔曼滤波
方法$我们得到的状态向量为状态增量$这样系统就 不得不 记录 每个时刻的 标称 轨迹$因而在
第 F个观测时刻状态为)
G+I
0 E5F6.
/+
5%6
H/0J 若 考 虑 系 统 噪 声 影 响 !5#6可 改 写 为 )
+K 5-6. LE5-6A M 其中 E5-6."+!0!/+!/0&O 为状态向量’
跟踪算法 卡尔曼滤波
跟踪算法卡尔曼滤波卡尔曼滤波（K a l m a n F i l t e r）是一种经典的跟踪算法，它被广泛应用于多个领域，如机器人导航、目标跟踪、航空航天、无线通信等。
本文将详细介绍卡尔曼滤波算法的原理、应用以及一步一步的实现过程。
1.引言在实际应用中，我们经常需要对物体进行连续的跟踪，以获取其运动状态的估计或预测。
然而，由于存在噪声、不确定性等因素，我们无法直接获得准确的测量值。
卡尔曼滤波算法通过融合过去的状态估计和当前的测量信息，可以准确地估计出物体的状态，从而实现对物体的跟踪。
2.卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波算法基于贝叶斯滤波理论，将状态估计问题建模为一个线性系统，并假设系统的噪声为高斯噪声。
根据贝叶斯推断，卡尔曼滤波算法通过递归地更新状态估计和协方差矩阵，以不断优化跟踪结果。
卡尔曼滤波算法的核心有两个步骤：2.1.预测步骤在预测步骤中，根据系统的动力学模型和上一时刻的状态估计，预测出当前时刻的状态估计和协方差矩阵。
具体地，可以使用状态转移矩阵A 和控制输入矩阵B来描述系统的动力学模型，通过以下公式进行预测：\h a t{x}_{k k-1}=A\h a t{x}_{k-1}+B u_{k-1}P_{k k-1}=A P_{k-1}A^T+Q其中，\h a t{x}_{k k-1}是当前时刻的状态估计，\h a t{x}_{k-1}是上一时刻的状态估计，P_{k k-1}是当前时刻的协方差矩阵，P_{k-1}是上一时刻的协方差矩阵，Q是系统的过程噪声协方差矩阵。
2.2.更新步骤在更新步骤中，利用当前时刻的测量值，根据测量模型和预测结果，计算出当前时刻的状态估计和协方差矩阵的更新值。
具体地，可以使用测量矩阵C和测量噪声协方差矩阵R来描述测量模型，通过以下公式进行更新：\t i l d e{y}_k=z_k-C\h a t{x}_{k k-1}S_k=C P_{k k-1}C^T+RK_k=P_{k k-1}C^T S_k^{-1}\h a t{x}_{k k}=\h a t{x}_{k k-1}+K_k\t i l d e{y}_kP_{k k}=(I-K_k C)P_{k k-1}其中，\t i l d e{y}_k是测量的残差，z_k是当前时刻的测量值，S_k是残差协方差矩阵，K_k 是卡尔曼增益，\h a t{x}_{k k}是当前时刻的状态估计，P_{k k}是当前时刻的协方差矩阵。
卡尔曼滤波算法总结
2015.12.12void Kalman_Filter(float Gyro,float Accel){Angle+=(Gyro - Q_bias) * dt;Pdot[0]=Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0];Pdot[1]= - PP[1][1];Pdot[2]= - PP[1][1];Pdot[3]=Q_gyro;PP[0][0] += Pdot[0] * dt;PP[0][1] += Pdot[1] * dt;PP[1][0] += Pdot[2] * dt;PP[1][1] += Pdot[3] * dt;Angle_err = Accel - Angle;PCt_0 = C_0 * PP[0][0];PCt_1 = C_0 * PP[1][0];E = R_angle + C_0 * PCt_0;K_0 = PCt_0 / E;K_1 = PCt_1 / E;t_0 = PCt_0;t_1 = C_0 * PP[0][1];PP[0][0] -= K_0 * t_0;PP[0][1] -= K_0 * t_1;PP[1][0] -= K_1 * t_0;PP[1][1] -= K_1 * t_1;Angle += K_0 * Angle_err;Q_bias += K_1 * Angle_err;Gyro_x = Gyro - Q_bias;}首先是卡尔曼滤波的5个方程：(|1)(1|1)()X k k AX k k Bu k -=--+（1）先验估计(|1)(1|1)'P k k AP k k A Q -=--+（2）协方差矩阵的预测 ()(|1)'/(|1)')Kg k P k k H HP k k H R =--+（3）计算卡尔曼增益(|)(|1)()(()(|1))X k k X k k Kg k Z k HX k k =-+--（4）进行修正5个式子比较抽象，现在直接用实例来说：一、卡尔曼滤波第一个式子对于角度来说，我们认为此时的角度可以近似认为是上一时刻的角度值加上上一时刻陀螺仪测得的角加速度值乘以时间，因为d dt θω=⨯，角度微分等于时间的微分乘以角速度。
卡尔曼滤波方法资料课件
线性最小方差估计方法的优 点
适用于线性系统状态估计，计算量较小，易于实现。
线性最小方差估计方法的 缺点
对非线性系统效果不佳，需要先验知识或模 型参数。
04
卡尔曼滤波方法的实现 和应用案例
卡尔曼滤波方法的软件实现
软件平台
可以使用Python、C、Matlab等编程语言实现卡尔曼滤波算法。
卡尔曼滤波方法在控制系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在控制系统中主要用于估计系统的状态变量。
案例分析
通过实际控制系统的数据和实验，验证卡尔曼滤波方法在控制系统中的可行性和稳定性。
卡尔曼滤波方法在雷达系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在雷达系统中主要用于 目标跟踪和运动参数估计。
VS
案例分析
卡尔曼滤波方法的基本概念和原理
基本概念
卡尔曼滤波方法是一种递归估计方法，通过建立状态方程和观测方程，对系统状态进行最优估计。
原理
卡尔曼滤波方法基于最小均方误差准则，通过不断更新估计值来逼近真实值，具有计算量小、实时性 强的优点。
卡尔曼滤波方法的应用领域
机器人
用于机器人的定位、路径规划、 避障等。
描述系统状态和观测之间的关系。
定义初始状态和误差协方差
02
确定系统初始状态和误差协方差的估计值，为后续的滤波过程
提供初始条件。
选择合适的模型参数
03
根据实际情况选择合适的模型参数，如系统动态参数、观测参
数等，以更好地描述系统特性。
预测步骤
01
根据上一时刻的状态和误差协方 差，预测当前时刻的系统状态和 误差协方差。
卡尔曼滤波及其算法实现
卡尔曼滤波及其算法实现目标跟踪技术在现代社会中有非常重要的应用价值。
虽然目标跟踪的概念在上世纪中期就已经提出，但目标跟踪技术的真正形成是在卡尔曼滤波理论在机动目标跟踪中成功应用之后。
目标跟踪就是雷达取得目标位置、运动参数数据后，进行关联、跟踪、滤波、平滑、预测等运算，精确估计出目标位置和相关的运动参数（角度，角速度，角加速度等）。
对雷达量测数据进行处理可以有效的抑制测量过程中引入的随机误差。
目标跟踪可分为非机动目标跟踪和机动目标跟踪。
机动是指目标改变原来的运动，比如采取转向、俯冲、加速、减速、蛇形机动等。
在目标跟踪概念刚提出的时候，目标速度和机动性不高，可以假设其运动轨迹在一定的时间内为匀速运动。
不过，随着科技的发展，由于各种需要，比如躲避攻击或者发起攻击，目标常常要采取机动措施，这时候目标的机动性就十分强，如果再用跟踪匀速的模型来跟踪就会丢失目标。
由于机动的随机和多样性，迄今为止没有一种通用的技术适合于各种跟踪情况。
这就需要我们根据各自需求，选择最适合的模型和算法。
这也是机动目标跟踪两个核心的问题。
随着现代航空航天技术的发展，各种飞行器的机动性能越来越高。
在这个背景下，提高对机动目标的跟踪性能成为越来越重要的问题，而研究更合理的机动目标模型以及拥有良好性能的跟踪滤波方法成为重中之重。
随着第一部跟踪雷达站SCR-28的出现，以及其他声纳、红外、激光等目标跟踪系统的出现和发展，目标跟踪问题逐渐成为了研究的热门领域之一。
在目标跟踪的发展历程中，卡尔曼滤波理论绝对算的上是一个里程碑。
随着它的出现，目标跟踪技术才越来越受到大家的重视，发展也越来越迅猛。
近二十年来，随着其他一些新技术的出现，比如扩展卡尔曼滤例子滤波、交互式多模型、多速率处理等，结合这些技术，研究学者们提出了很多创新的方法，取得了长足的进步。
但是在现在目标的运动速度和机动性变得越来越高的情况下，扩展卡尔曼滤（Extend Kalman Filter，EKF）、不敏卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）、联邦卡尔曼滤波、自适应卡尔曼滤波等这些在目标运动模式基本固定的情形下能获得良好滤波效果的算法就出现了跟踪精度下降的问题。
加权最小二乘法与卡尔曼滤波实时稳像技术
了利用 FAST 获取特征点的位置信息，再通过光流法结合 NCC 匹配得到参考帧特征点在当前帧的位置信息，在此基础 上，结合 RANSAC 算法剔除错误匹配的特征点对的改进算法。为了提高运动矢量估计的精度，应用加权最小二乘法得 到相邻帧间的刚性变换矩阵，并经过卡尔曼滤波进行运动平滑得到扫描运动矢量并补偿，最终得到实时的稳定视频。 实验表明，视频序列稳像后的帧间变换保真度有所提高，并且能够达到实时处理速度。 关键词：电子稳像技术；特征点匹配；最小二乘法；卡尔曼滤波；运动补偿 中图分类号：TP391.41 doi: 10.3969/j.issn.1001-3695.2018.05.0355
0
引言
在车载摄像机或者小型无人机拍摄出来的视频中，由于平
台不能一直保持很稳定的状态，就会出现视频抖动的情况。消 除视频中的抖动，提高视频的质量和观看感受是视频稳定技术 研究的重点。目前国内外防抖技术的研究方法包括了机械、光 学、 机电以及电子防抖等[1]。 对比于其他方法， 电子稳像技术因 具有成本低廉，对于硬件设备要求不高，而且稳像效果很好的 优势，成为一种广受关注的研究对象。 电子稳像技术首先利用运动矢量估计得到运动补偿参数， 然后平滑补偿参数，最后将平滑后的补偿参数对原始抖动序列 进行补偿，从而得到稳定的视频。其中，运动矢量的计算的准 确度对整体算法的影响最大，因此如何精确地获取运动矢量变
表1
检测方法 特征点数/帧
常用特征点检测算法的比较
平均检测时间/ms/帧 平均每个特征点检测时间/ms
FAST SIFT SURF
300.501 300.320 299.899
0.583 385.357 96.291
0.0019 1.2832 0.3208
1
三坐标卡尔曼滤波及外推算法
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警，对每条航迹给出目标的运动参数，如加速度、航向、加速度、未来位置等，最后送到显 示器上显示出来。
•
•
Tu (k ) = r (k +1) − r (k )
（3－2）
式（3－1）称为距离方程，式（3－2）称为加速度方程。设加速度 u (k ) 是一个零均值的平
第4页/共8页
稳白噪声过程，且在时间间隔T 之间不相关，即 E ⎡⎣u (k +1) u (k )⎤⎦ = 0 。这种对飞行体加速
度的假设是相当合理的，因为由发射机推力的短时间不规则性或阵风等因素引起的加速度基
而 r (k ) 和 r (k +1) 表示对平均距离 R 的偏移量，这正是所要估计的量。假定 r (k ) 是均值为
零的随即过程。
•
设目标的径向速度为 r (k ) 。由于 T 不是太大，所以可以取一阶近似，有
•
r (k +1) = r (k ) + T r (k )
（3－1）
••
同样，设目标在 k 时刻的径向速度 r (k ) = u (k ) ，有
可得矢量模型为：
第5页/共8页
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
s1 s2 s3 s4 s5 s6
(k (k (k (k (k (k
+ 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1)
卡尔曼滤波目标跟踪算法
卡尔曼滤波目标跟踪算法1. 引言1.1 背景介绍在目标跟踪领域，卡尔曼滤波算法是一种广泛应用的估计方法，它通过处理传感器测量数据和系统动态模型，实现对目标状态的预测和更新。
随着目标跟踪应用的普及和需求的增加，卡尔曼滤波算法在实时目标跟踪中发挥着重要作用。
卡尔曼滤波算法最初由R.E. Kalman和R.S. Bucy在20世纪60年代提出，被广泛应用于航空航天领域。
随着计算机技术的不断发展和普及，卡尔曼滤波算法被应用到了更多领域，包括机器人导航、目标追踪、人脸识别等。
在目标跟踪中，卡尔曼滤波算法能够通过对目标状态的动态建模和传感器测量的融合，实现对目标位置、速度等信息的精准估计。
这为实时目标跟踪系统提供了重要支持，使得系统能够更好地适应复杂环境和动态场景。
本文将介绍卡尔曼滤波算法的原理、在目标跟踪中的应用，同时分析其优缺点并提出改进的方法，最后通过案例分析展示其在实际应用中的效果。
通过本文的研究，可以更深入了解卡尔曼滤波目标跟踪算法的原理和实际应用，为进一步研究和应用提供参考和借鉴。
1.2 研究意义卡尔曼滤波目标跟踪算法在目标跟踪领域具有重要的研究意义。
目标跟踪是计算机视觉和机器人领域的重要研究方向，涉及到目标识别、运动估计、位置预测等问题。
传统的目标跟踪算法往往受限于噪声、运动模型不准确等因素，难以取得准确的跟踪结果。
而卡尔曼滤波算法通过对系统的动态模型和观测模型进行建模，并根据最小均方误差准则对系统状态进行优化估计，能够有效地解决这些问题。
卡尔曼滤波目标跟踪算法在目标跟踪任务中具有较高的准确性和鲁棒性，能够适应各种复杂的场景。
卡尔曼滤波算法还能够自适应地根据实时观测数据对系统进行调整，具有较强的实时性和稳定性。
深入研究和应用卡尔曼滤波目标跟踪算法可以为目标跟踪技术的发展提供重要的理论支持和技术保障，推动相关领域的进步和发展。
研究卡尔曼滤波目标跟踪算法不仅有助于提高目标跟踪的精度和效率，还对实际应用具有重要的意义。
卡尔曼滤波算法
惯性导航系统是一种自主式导航系统，它依靠自身测量的载体运动加速度来连续推算 载体的速度和位置。初始对准是惯性导航系统正常工作的基本条件之一，对准的精度直接 影响到系统的工作性能。这是因为系统中有许多状态量是未知的，比如平台误差角等。根 据对准过程中使用参考基准信息的不同，初始对准可分为自对准、传递对准和空中对方 法。自对准使用天然基准信息重力加速度和地球自转角速度；传递对准以主惯导为基准， 使子惯导建立的导航坐标系重合于主惯导建立起来的导航坐标系；空中对准从惯导相对其 他导航系统提供的导航参数（如速度等）的偏差中估计出惯导系统的失准角并校正之。
设离散系统的状态空间方程，如式 2-1~2-2 所示，其动态模型如图 2-1：
图 2-1 卡尔曼滤波系统动态模型
过程方程：
x(k + 1) = Φ(k + 1, k)x(k) + w(ห้องสมุดไป่ตู้)
（2-1）
测量方程：
y(k) = H(k)x(k) + v(k)
（2-2）
式 2-2 中x(k)表示 k 时刻系统状态矢量，为 n 维矩阵； Φ(k)表示 k 时刻系统状态转
x(k, k − 1) = Φ(k, k − 1)x(k − 1, k − 1)
（2-6）
一步预测误差协方差矩阵方程：
P(k, k − 1) = Φ(k, k − 1)P(k − 1, k − 1)[Φ(k, k − 1)������ + ������(������ − 1)] （2-7）
滤波增益矩阵方程：
自适应卡尔曼滤波算法可根据测量值及滤波值在线估计系统的过程噪声和量测噪声,实
时跟踪噪声的变化,修正滤波器参数,以提高滤波效果。自适应卡尔曼滤波的类型比较繁琐,
最小二乘Unscented卡尔曼滤波在伪卫星定位中的应用
Pk=P
k
-Kk
Sk
KT k
（19） （20） （21）
上述步骤中， 通过最小二乘法对伪卫星的位置误差进行
实时估计，修正伪卫星位置；并且利用无迹卡尔曼滤波算法对
用户进行定位解算， 减小星历误差和线性化误差对导解的影
响，提高伪卫星的定位精度。
2 伪卫星定位系统模型
根 据 文 献 [7]，建 立 接 收 机 用 户 静 态 下 的 离 散 系 统 状 态
摘要： 为了提高伪卫星的定位精度，在研究伪卫星星历误差传递规律和伪距观测方程线性化误差的基础上，提出一
种最 小 二 乘 Unscented 卡 尔 曼 滤波 算 法 。 该算 法 首 先利 用最 小二 乘 法 估计 出 伪 卫星的 位 置误 差 ， 并 对伪 卫星的位 置
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
进行修正，以减小伪卫星位置误差对导航解算精度的影响；然后利用无迹卡尔曼滤波算法对用户位置进行解算。 仿真
根据随机变量 X 的均值 X 和方差阵 PXX，构造 Sigma 点集
姨 姨 姨
X軍
i=0
χi
=
姨姨姨X軍+
姨
姨姨（n+k）PXX
姨 i
i=1，… ，n
（2）
姨 姨姨姨X軍-
姨
姨（n+k）PXX
姨i=n+1，… ，2n i
式 （2）中 ，k=α2（n+λ）-n 为 尺 度 参 数 ，调 整 它 可 以 提 高 逼
由于受到临近空间各种干扰的影响使得其自身位置存在误 传统的扩展卡尔曼滤波算法相比，提出的算法能够有效减小
差，从而影响到用户最终的定位精度。 因此，需要对伪卫星飞 伪卫星位置误差对用户定位精度的影响，提高独立组网伪卫
基于容积卡尔曼滤波的三维纯角度跟踪算法研究
基于容积卡尔曼滤波的三维纯角度跟踪算法研究在虚拟现实技术发展的当下，人们更加渴望获得更加逼真的虚拟现实经历。
三维纯角度跟踪技术就是通过测量头部的三维角度，来追踪用户的头部的位置及动作，这成为了实现完美的虚拟现实体验的关键技术。
更为精确的头部跟踪技术，是实现更加逼真的虚拟现实体验的关键因素。
因此，诸多研究者致力于开发更好的三维纯角度跟踪算法，其中容积卡尔曼滤波（VEC）技术也成为了研究重点。
本文主要是针对容积卡尔曼滤波（VEC）技术进行研究，内容包括对容积卡尔曼滤波（VEC）技术的理论分析，对容积卡尔曼滤波（VEC）技术在三维纯角度跟踪算法中的应用，实验结果的分析以及未来研究方向的探讨等。
1、容积卡尔曼滤波（VEC）技术的理论分析容积卡尔曼滤波（VEC）技术属于一种非参数滤波技术，是由卡尔曼滤波（KF）技术和容积滤波（VS）技术的结合而来，它是一种用于处理和估计时间序列信号的有效技术。
它有正确估计外参量，且抗噪声能力较强的特点。
基本原理上，容积卡尔曼滤波（VEC）技术结合了卡尔曼滤波（KF）和容积滤波（VS）的优点，用于处理多变量时间序列信号，主要包括：（1）识别模型的结构；（2）估计系统状态值；（3）估计系统参数；（4）确定预测模型；（5）更新预测模型；（6）调整滤波器参数。
2、容积卡尔曼滤波（VEC）技术在三维纯角度跟踪算法中的应用三维纯角度跟踪是指用三个维度的角度来表达用户头部的位置及动作，它需要一种较为准确的算法，才能实现更加逼真的虚拟现实体验。
容积卡尔曼滤波（VEC）技术作为一种非参数滤波技术，由于具有正确估计外参量及抗噪声能力较强的特点，因此已经被广泛用于三维纯角度跟踪算法的研究和应用中。
容积卡尔曼滤波（VEC）技术在三维纯角度跟踪算法中的主要作用如下：（1）容积卡尔曼滤波（VEC）技术可以结合卡尔曼滤波（KF）和容积滤波（VS），有效地过滤掉跟踪系统中的噪声；（2）容积卡尔曼滤波（VEC）技术可以改善跟踪系统中的信号模型，改善三维纯角度跟踪的准确性；（3）容积卡尔曼滤波（VEC）技术可以有效地对比度减少，提升跟踪系统中的头部信号被跟踪的稳定性。
基于小二乘-卡尔曼滤波的wMPS系统跟踪定位算法研究
基于小二乘-卡尔曼滤波的wMPS系统跟踪定位算法研究端木琼;杨学友;邾继贵【期刊名称】《传感技术学报》【年(卷),期】2012(025)002【摘要】wMPS(workspace Measuring Position System) is a newly network-type three-dimensional measuring system based on plane intersection principal. The dynamic tracking problem was studied based on the static measurement research. In order to reduce the errors produced by movement, motion model and Kalman filter were used. The static-location of receiver was used as pseudo-observations, which was estimated by least square method, and the results were used by Kalman filter for further processing. This method avoids nonlinear errors in observation equation and the precision tracking was achieved. Compared with least square method and least square-Kalman filter method in experiments, the results show that the accuracy of least square-Kalman filter method is higher than least square method.%wMPS(workspace Measuring Position System)是一种新型的基于平面交会原理的网络式测量系统,在静态测量研究的基础上,研究了动态跟踪测量的问题.为了减小运动引入的测量误差,利用运动方程提高测量精度,采用了最小二乘法对接收器的位置进行静态估算,将其结果作为伪观测值,然后利用卡尔曼滤波做进一步处理,该方法避免了观测方程中的非线性误差,实现了接收器在运动过程中的高精度跟踪定位.通过试验对最小二乘法和最小二乘-卡尔曼滤波法进行了比较,结果表明最小二乘-卡尔曼滤波法的估值精度远高于最小二乘法.【总页数】4页(P236-239)【作者】端木琼;杨学友;邾继贵【作者单位】天津大学精密测试技术及仪器国家重点实验室,天津300072;天津大学精密测试技术及仪器国家重点实验室,天津300072;天津大学精密测试技术及仪器国家重点实验室,天津300072【正文语种】中文【中图分类】TB92【相关文献】1.基于扩展卡尔曼滤波算法的室内定位跟踪系统 [J], 凌海波;周先存2.被动声探测系统机动当前模型的卡尔曼滤波跟踪算法研究 [J], 李杰;尚雅玲;陈文聪;王艳梅3.基于无迹卡尔曼滤波的全球导航卫星系统精密定位算法研究 [J], 周少波;魏征;李灯熬4.基于改进卡尔曼滤波的车道线与车辆跟踪系统算法研究 [J], 陈洋;黄孝慈;吴训成5.GPS动态定位中卡尔曼滤波模型的建立及其强跟踪算法研究 [J], 房建成;申功勋;万德钧因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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可求得对目标位置估计的方差 :
σ xT
=
MN D
R2 ,σyT
=
NL D
S2 ,σzT
=
LM D
T2
(7)
3 卡尔曼滤波
前面利用某一时刻各观测站的测量数据 ,根据静态估计理论 ,得到了目标位置的一个最小二乘估计 ,下面 采用卡尔曼滤波作进一步的数据处理 ,提高定位精度 。为了避免测量误差的相关性 ,在 x , y , z 方向上分别进 行卡尔曼滤波 ,这样可以大大简化算法 ,提高系统的定位精度 。下面仅给出 x 方向上的滤波算法 。
( 9)
式中 <k + 1 , k = 1
t ;
01
Γ = k + 1 , k
t2Π2 t
式中 t > tk - 1 - tk ———样本的时间间隔 ;
Wk = ¨xk ,是 x 方向上的加速度分量干扰 ,其统计特性为 :
E[ Wk ] = 0 E[ W2k ] = q
测量公式 : zk = xk + vk , xk 由公式 ( 6) 计算而得 。
第 30 卷第 2 期 红外与激光工程 2001 年 4 月 Vol . 30No. 2 Infrared and Laser Engineering Apr. 2001
i =1
i =1
i =1
N
N
∑ ∑ F =
( l2i + n2i ) yi - mi li xi - mi nizi G =
( m2i + l2i ) zi - ni li xi - mi ni yi
i =1
i =1
由公式 (2) 可求得 li 、mi 、ni , ( xi , yi , zi ) 是已知观测站 i 的坐标 ,因此 ,由上式可求得目标位置的估计值 。同理 ,
4 实验仿真
不失一般性 ,我们考虑两个观测站的情况 。观测站 1 的坐标为 ( 0 , 0 , 0) , 观测站 2 的坐标为 ( 0 , 8km , 0) , 目标的初始位置为 ( 50km , 50km , 8km) ,目标的速度 vx = - 340mΠs , vy = - 340mΠs , vz = 0 。测角精度为 0. 1s 。 实验结果表明 ,最小二乘估计已使定位具有一定的精度 , 卡尔曼滤波进一步提高了定位精度 , 距离估计误差在 0. 5m 之内 ,且收敛很快 。图 2 为 x 方向距离估计误差曲线 , 图 3 是 x 方向距离估计方差收敛曲线 , 图 4 为 y 方向目标速度估计误差曲线 ,图 5 为 y 方向目标速度估计方差收敛曲线 。
LS2Kalman algorithm for passive target location and tracking with bearing2only measurements
QIU Ling , SHEN Zhen2kang
(ATR Lab. , University of National Defense Technology , Changsha 410073 , China)
收稿日期 :2000207228 ; 修订日期 :2000210230 作者简介 :邱玲 (19732) ,女 ,浙江金华人 ,博士 ,从事通信与信息工程方面的研究工作 。
·83 · © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
状态公式预测 : Xk+ 1Πk = < X k+ 1Πk kΠk
方差预测 < < Γ Γ : P = P + q k+ 1Πk
T k + 1 , k kΠk k + 1 , k
T k+1, k k k+1, k
状态估计 : Xk + 1Πk + 1 = Xk + 1Πk + Kk + 1 zk + 1 - H X k + 1 k + 1Πk
定义矢量 Xk 为 :
Xk = xk xk T
( 8)
式中 xk ———时刻 k 目标在 x 方向上的位置 ; xk ———时刻 k 目标在 x 方向上的速度 。
则在假设目标作匀速直线运动的情况下 ,目标的动力学公式为 :
< Γ Xk + 1 = X k + 1 , k k + W k + 1 , k k
(6)
·84 ·
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
邱 玲 :三维纯角度被动跟踪定位的最小二乘2卡尔曼滤波算法
式中 D = LMN + 2 TRS - S2 M - R2 L - T2 N
·85 ·
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
邱 玲 :三维纯角度被动跟踪定位的最小二乘2卡尔曼滤波算法
所以可以写出 x 方向上的卡尔曼滤波公式如下 :
邱 玲 :三维纯角度被动跟踪定位的最小二乘2卡尔曼滤波算法
2 最小二乘估计
假设每个观测站 i 的位置分别为 ( xi , yi , zi ) , i = 1 ,2 …, N ,目标的位置为 ( xT , yT , zT) ,则由每个观测站 i 测 得的方位角 αi 、俯仰角 βi 可以确定一条空间的定位线 , N 个观测站
Keywords : Bearing2only measurement ; Least squares ; Kalman filter ; Passive target tracking and location
1 引 言
被动式探测器 (如红外 、声纳等) 只能得到角度信息 ,利用角度信息估计目标的距离和速度实质上是一个非 线性状态估计问题 。经典的扩展卡尔曼滤波 ( EKF) 算法性能很不稳定 ,在非线性 、噪声较大时估计误差大 ,甚 至发散 。在多个观测站的情况下 ,希望尽可能利用所得到的方向角数据 ,文中给出的算法 ,首先采用最小二乘 法对目标位置进行粗估计 ,然后进行线性的卡尔曼滤波 ,从而实现了对目标较高精度的定位和跟踪 。
就有 N 条定位线 。在没有观测误差的情况下 ,这 N 条定位线应交于
一点 ,这个交点就是目标的位置 ,但是在有观测误差的情况下 ,这 N
条定位线并不一定交于一点 。应用最小二乘法原理 ,可以认为与 N
条定位线距离和最短的点就是目标的估计位置 ,如 1 图所示 。Li 表 示由观测站 i 得到的定位线 , T ( xT , yT , zT) 是目标的位置 , Ai ( xi0 , yi0 , zi0 ) 表示目标到定位线 Li 的垂足 ,则定位线 Li 的公式为 :
i =1
N
∑ -
mi ni
i =1
N
∑ yT =
[ ( l2i + n2i ) yi - mi li xi - mi nizi \ 〗 (5)
i =1
N
∑ -
li ni
i =1
N
∑ -
mi ni
i =1
N
∑( m2i + l2i )
i =1
zT
N
∑[ ( m2i + l2i ) zi - ni li xi - mi ni yi \ 〗
ui = ( xT - xi ) l2i + ( yT - yi ) mi li + ( zT - zi ) li ni + xi - xT
vi = ( xT - xi ) mi li + ( yT - yi ) m2i + ( zT - zi ) mi ni + yi - yT
wi = ( xT - xi ) li ni + ( yT - yi ) mi ni + ( zT - zi ) n2i + zi - zT
li = sinβi cosαi , mi = sinβi sinαi , ni = cosβi
(2)
由几何关系并经过一定的数学变换 ,可得目标相对于 N 条定位线 Li 的距离的平方和为 :
N
N
∑ ∑ d =
| Ai T | 2 =
( u2i + v2i + w2i )
(3)
i =1
i =1
式中
图 1 目标的最小二乘估计 Fig. 1 Least square estimation of target location
xli
xi
=