能控性和能观性

状态能控性判据（三）
如果输入u(t)对状态X(t)的传递函数（阵） 没有零极点对消，那么系统可控，否则系 统不可控。
( sI − A ) −1 B
状态能控性判据例子5
状态能控性判据 MATLAB 实现
MATLAB中可以用ctrb(A,B)函数求系统的能 控判别矩阵M，并用RANK（M）求M的秩。
A=[1 2 0;3 -1 1;0 2 0]; B=[2;1;1]; C=[0 0 1]; D=0; To1=obsv(A,C) [Ao1,Bo1,Co1,Do1]=ss2ss(A,B,C,D,To1)
Ex_2ObsvI.m
离散时间系统的可控性/可观性
（略，自学）
若系统（A,B）具有两两相异的特征值， 则系统状态完全能控的充要条件为：系统 经过线性变换成对角规范型后， + Bu ⎥ λn ⎥ ⎦
B 不包含元素全为0的行。
状态能控性判据例子3
⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 5 ⎥ u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 7 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 4 0 ⎥ ⎡ u1 ⎤ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢u ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 7 5 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 0 ⎥ u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 9 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
状态完全能控
状态不完全能控 x2不能控
状态能控性判据（二b）
若系统（A,B）具有重特征值，则系统状 态完全能控的充要条件为：系统经过线性 变换成约当规范型后，
⎡ J1 z = ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0 ⎤ ⎥ z + Bu ⎥ Jn⎥ ⎦
B 与每个约当块的最后一行相应的所有行 元素不全为0
状态能控性判据例子4
能控性和能观性
基本概念 线性定常连续系统的能控性 线性定常连续系统的能观性 对偶系统和对偶原理 系统能控标准型和能观标准型
基本概念
能控性(Controllability)和能观性 (Observability)是两个重要的概念， 由卡尔曼(Kalman)在1960年提出， 是最优控制和最优估计的设计基础。
线性定常连续系统的能控性
对于单输入n阶线性定常连续系统 X = AX + BU 若存在一个分段连续的控制函数u(t)，能在有限 的时间段[t0，tf]内把系统从t0时刻的初始状态X(t0) 转移到任意指定的终态X(tf) ，那么就称系统在t0 时刻的状态X(t0)是能控的； 如果系统每一个状态X(t0)都能控，那么就称系统 是状态完全可控的。反之，只要有一个状态不可 控，我们就称系统不可控。 可假设t0=0，X(tf)=0 ，即0时刻的任意初始状态 ， 在有限时间段转移到零状态（原点）。
状态不完全能观
状态完全能观
状态能观性判据（二b）
若系统（A,C）具有重特征值，则系统状 态完全能控的充要条件为：系统经过线性 变换成约当规范型后，
⎡ J1 z = ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0 ⎤ ⎥ z; ⎥ Jn⎥ ⎦ y = Cz
C 与每个约当块的首行相应的各列元素不
全为0。
状态能观性判据例子3：
基本概念
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状 态的可观测性，它反映系统的内部状态（通常是 不可以直接测量的）被系统的输出量Y(t)（通常 是可以直接测量的）所反映的能力。 能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入 U(t)对系统内部状态X(t)的控制能力，另一种是 控制输入U(t)对系统输出y(t)的控制能力。但是 一般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
Ex_Obsv.m
对偶系统和对偶原理
对偶系统和对偶原理
如果将∑1模拟结构图中信号线反向；输入端变 输出端，输出端变输入端；信号综合点变信号引 出点，信号引出点变信号综合点，那么形成的就 是 ∑2的模拟结构图.
对偶系统和对偶原理
对偶系统的传递函数阵互为转置 对偶系统特征方程式相同 对偶原理：若系统∑1＝（A1,B1,C1,）和 ∑2＝（A2,B2,C2,）互为对偶系统，则∑1 的可控性等价于∑2的可观性；∑1的可观性 等价于∑2的可控性。
%Example A=[0 1;2.5 -1.5]; B=[1;1]; M=CTRB(A,B) R=rank(M)
Ex_Ctrb.m
输出能控性判据
x = Ax + Bu y = Cx + Du
x为n维状态向量，y为m维输出向量，u为r
维控制向量， A为n×n矩阵，B为n×r矩阵， C为m×n矩阵，D为m×r矩阵 如果m×(n+1)r阶矩阵
⎡ λ1 z = ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0 ⎤ ⎥ z; ⎥ λn ⎥ ⎦ y = Cz
C 不包含元素全为0的列。
状态能观性判据例子2：
⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ y = [0 4 5] ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡ 3 2 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 3 1 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎦⎢ ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎣ x3 ⎦
系统能控标准型和能观标准型
单输入系统能控标准型Ⅰ型∑c1（Ac1,bc1,Cc1）,
能控Ⅰ型模拟结构图
能控Ⅱ型
单输入系统能控标准型Ⅱ型∑c2（Ac2,bc2,Cc2）,
注意Cc1中的βi与Cc2中的βi不是同一数值
一般动态方程 >>>> 能控I型
x = Ax + bu y = Cx
rank ([b Ab A2b 如果
⎡ x1 ⎤ ⎡ −4 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −4 0 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −2 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢1 0 1 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎦⎢ ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎣ x3 ⎦
一般动态方程 >>>> 能观I型
x = Ax + bu y = Cx
那么可以通过
⎛⎡ C ⎤⎞ 如果 ⎜⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎢ CA ⎥ ⎟ = n rank ⎜⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎢ n −1 ⎥ ⎟ ⎜ CA ⎟ ⎦⎠ ⎝⎣
其中b01中的βi=CAib (i=0,1,…,n-1)。
一般动态方程 >>>> 能观II型
[CB CAB CA B
2
CA B D]
n −1
的秩为m，那么系统是输出可控的。
线性定常连续系统的能观性
x = Ax + Bu y = Cx + Du
若对任意给定的输入u(t)，总能在有限的时 间段[t0,tf]内，根据系统的输入u(t)及系统 观测y(t)，能唯一地确定时刻t0的每一状态 X(t0)，那么称系统在t0 时刻是状态可观测 的。若系统在所讨论时间段内每一时刻都 能观测，则称是完全能观测的。
An −1b]) = n
ai(i=0，1，2，…，n-1)是系统特征多项式的系数 ：
能控Ⅰ型<<>>系统传递函数
根据系统的传递函数可直接写出系统的能控Ⅰ型，反之亦然
求能控Ⅰ型，例子
一般动态方程 >>>> 能控Ⅱ型
x = Ax + bu y = Cx
rank ([b Ab A2b 如果
An −1b]) = n
⎡ x1 ⎤ ⎡ −4 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −4 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 4 ⎥ u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −2 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
状态完全能控
⎡ x1 ⎤ ⎡ −4 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 4 2 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −4 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 0 0 ⎥ ⎡ u1 ⎤ 状态不完全能控 ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢u ⎥ x 不能控 ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −2 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 3 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x = Ax + bu y = Cx
如果能观,那么可以通过
求能观Ⅰ/ II 型，例子
能观Ⅰ型:
能观Ⅰ型与能控Ⅱ型互为对偶系统
能观II型:
能观Ⅱ型与能控Ⅰ型 互为对偶系统
可以直接从能观Ⅱ型中写出 系统的传递函数，或者直接 从系统的传递函数写出系统 能观Ⅱ型
MATLAB求系统的能观I型
%Example Observability I
状态能控性判据（一）
能控的充要条件为能控判别阵： M = [ B AB A2 B An −1 B] 的秩=n (证明略) 当 M 的行数小于列数时，可用 rank(M)=rank(MMT)来计算，较为方便。
状态能控性判据例子1：