1自然数的序数理论与基数理论

性质11：(最小数原理 最小数原理)自然数集的任何非空子集都存在 性质 最小数原理 一个最小数。 三、数学归纳法 定理12：（第一归纳法原理）： 定理 ：（第一归纳法原理）： ：（第一归纳法原理 设 p(n) 是一个与自然数有关的命题， 如果： （1）命题 p(n) 对某个自然数 n0 成立； （2）假设命题 p(n) 对自然数 n = k ( k ≥ n0 ) 成立时， 命题 p(n) 对 n = k + 1 也成立。 那么，对一切不小于 n0 的自然数命题 p(n) 都成立。
n = k + 1 也成立。
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那么，对一切不小于 n0 的自然数命题 p(n) 都成立。
定理14（第三归纳法）： 定理 （第三归纳法）： 设 p(n) 是一个与自然数有关的命题， 如果： （1）命题 p(n) 对无穷多个自然数成立 （2）假设命题 p(n) 对自然数 n = k ( k ≥ n0 ) 成立时，命题
a = bc
那么c叫做a被b除得的商，记作 三、自然数集的性质 性质8：自然数集是全序集。 性质 ： 。
c=a÷b
、
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这条性质是说，任何两个自然数都可以在运算的意义下 比较大小。 性质9：自然数集具有阿基米德性质（即对任何两个 性质 自然数a，b，一定存在自然数 c，使 ac > b 性质10：自然数集具有离散性（即对任何两个相邻自然数 性质 a , a ′ 之间都不存在第三个自然数）。
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1.2、自然数的序数理论 一、自然数的皮亚诺公理 定义10： 定义 ：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本 关系叫“后继”（ 用符号“ˊ”表示），并且这个集合以及 这个关系满足下面五条公理: 1∈ N （1） （2）对任意 a ∈ N , a ′ ≠ 1 （3）对任意 a ∈ N 有且仅有唯一的后继元 即 a = b a ′ = b′ （4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继， a ′ = b′ a = b 即 （5）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足 （归纳公理）
a = b, a > b
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a , b, c 是三个自然数， a+c<b+c a+c>b+c
a < b 那么 （2）若 a > b 那么
（3）若 a = b 那么
a+c=b+c
推论：设 a , b, c , d 是四个自然数，并且 a < b, c < d 推论 （或 a > b, c > d ），那么 a + c < b + d （或 a + c > b + d ）。 自然数的加法还满足加法消去律： 定理6：设 a , b, c 是三个自然数， 定理
CA = A B
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定理1：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意 a , b, c ∈ N 有 （1） (a+b)+c = a+(b+c) （2） a+b = b+a （证明略）
初
2、自然数的乘除法 定义8：设A、B是两个有限集，由集合A、B作成的 笛卡尔直积 A × B = {(a , b) | a ∈ A, b ∈ B } 的基数 A × B 叫做 A 与 B 的乘积，记为 A × B = A B
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A> B
按照这个定义，自然数有下列大小关系
0 <1< 2 < 3 <L
二、自然数的四则运算 1、自然数的加减法 定义6：设A、B是两个有限集，并且 A I B = Φ 则称集合 A U B 的基数是集合A与B的基数的和，记为
AU B = A+ B
定义7：设A、B是两个有限集，并且 A I B = Φ , A > B 集合C是集合A中与B对等的子集， 用符号 C A 表示集合C在集合A中的余集 (由所有不属于C但属于A的元素作成的集合） 则称集合 C A 的基数是 A 与 B 的差，记为
Φ=0
其余的自然数按下列规则构造：
{Φ } = 1
{Φ ,{Φ }} = 2
{Φ ,{Φ},{Φ,{Φ }}} = 3
………………………… 依照上述规则，全体自然数就构造出来： 0，1，2，……，n，…… 全体自然数作成的集合叫做自然数集，用N表示 N N = {0,1, 2,L , nL} 即 4、自然数的大小 定义5：设A、B是两个集合，C是集合A的真子集， 如果B∽C，则称
+ c < b + c 那么 a < b a>b （2）若 a + c > b + c 那么 （3）若 a + c = b + c 那么 a = b
（1）若 a 3、减法 、 定理7：对于任意两个自然数 a , b 定理 当 a > b 时，必存在自然数c，使 a = b + c 定 + c 成立的自然数c叫做a减b的差 记为 c=ab
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n +n +1 2
个互不相通的平面区域
第一讲 自然数的基数理论与序数理论 1.1、自然数的基数理论 1.2、自然数的序数理论
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第一讲 自然数的基数理论与序数理论 1.1、自然数的基数理论 一、自然数的概念 1、集合的对等 自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论 中，如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应关系，就 称集合A与B对等，记作A∽B 集合的对等是一种等价关系，即对等关系满足 （1）反身性：A∽A； （2）对称性：A∽B，则B∽A； （3）传递性：若A∽B，B∽C，那么A∽C 定义1：如果一个集合能与自己的一个真子集对等，这样 的集合叫无限集；否则叫做有限集
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4、乘法 、 定义13： 定义 ：（1）设 a ∈ N 定义 例2：求 3 7 解
3 1 = 3, 3 2 = 3 1′ = 3 1 + 3 = 3 + 3 = 6
3 3 = 3 2′ = 3 2 + 3 = 6 + 3 = 9
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定理3：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意 a , b, c ∈ N 有 （1） (a+b)+c = a+(b+c) （2） a+b = b+a （证明略）
初
2、自然数的大小 、 定义12： 定义 ：对于 a , b ∈ N 如果存在 c ∈ N 使
等 数
a+c=b
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则称a小于b，记为 a < b 也称b大于a，记为 b > a 在这个定义下，任何两个自然数都可以比较大小（顺序）。 也就是说，自然数的大小关系具有三歧性：
定理4： 定理 ：任意两个自然数a、b，下面三个关系成立且 只成立一个： a < b, 证明从略 除了三歧性之外，这种顺序还有反对称性和传递性的特点； 若 a<b 则 b>a 若 a < b, b < c （或 a > b, b > c ），则 a < c （或 a > c ）。 在这种大小顺序下，自然数的加法满足加法单调律： 定理5：设 定理 （1）若
a 1= a
（2）设 a , b ∈ N 定义 a b′ = a b + a
3 7 = 3 6′ = 3 6 + 3 = 18 + 3 = 21
跟基数理论一样，可以证明，自然数的乘法满足结合律、 交换律、乘法对加法的分配率，限于时限，这里不再累述
LLLL
5、除法 、 定义14：对于任意两个自然数 a , b 如果存在自然数c，使 定义
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2、集合的基数 定义2：如果两个集合A、B对等，我们称这两个集合具 有相同的基数，集合A的基数记为 A 若 A B 则规定集合A的基数不小于集合B的基数 即
A≥ B
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定义3：有限集的基数叫做自然数 3、冯诺伊曼的自然数体系 定义4：设φ表示空集，规定集合φ的基数为0，即
a、 b
叫做它们的和。
a+b
例1：求3+7 解：按定义11
这个定义实质上给出了加法的具体步骤。
3 + 1 = 3′ = 4 3 + 2 = 3 + 1′ = ( 3 + 1)′ = 4′ = 5
3 + 3 = 3 + 2′ = ( 3 + 2)′ = 5′ = 6
如此一步一步做下去，直到
3 + 7 = 3 + 6′ = ( 3 + 6)′ = 9′ = 10
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定理13：（第二归纳法原理）： 定理 ：（第二归纳法原理）： ：（第二归纳法原理 设 p(n) 是一个与自然数有关的命题， 如果： （1）命题 p(n) 对某个自然数 n0 成立； （2）对满足条件 n0 ≤ r ≤ k 的一切自然数 假设命题 p(r ) 成立，此时如果命题 p(n) 对
p(n) 对 n = k 1 也成立。
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那么，对一切自然数不小于n0的自然数n，命题 p(n) 都成立 第三归纳法也叫柯西归纳法
证明： 用反证法： 如果命题不能对一切不小于n0的自然数都成立 那么将所有使命题不成立的自然数作成一个集合M， 那么这个集合必有一个最小数k， 则比k小的数至多只有有限个，按条件（1），应该有 r>k,使命题在r时成立， 反复应用条件（2），那么命题必然在
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10 20
1∈ M
就可以推出 M = N a ∈ M a′ ∈ M
那么这个集合的元素叫做自然数。
二、序数理论下的自然数四则运算 1、加法 、 定义11： 定义 ：设 a ∈ N 定义 对于 其中的
a + 1 = a′
叫做加数，
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a、b ∈ N, 定义 a + b′ = ( a + b )′
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r 1, r 2,L ,3,2,1
这些自然数处成立， 由于r>k，故上面的自然数 必有一个等于k，从而导致矛盾
思考与练习 1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律 2、利用最小数原理证明定理13. 3、用数学归纳法证明：平面上的n条直线至多可以把 平面分割成 2
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定理2：自然数的乘法满足下列算律，即对于任意 a , b, c ∈ N 有 结合律 (1) (ab )c = a (bc ) ( 2) ab = ba 交换律 (3) a (b + c ) = ab + ac 乘法对加法的分配率 证明略 定义9：对于两个自然数a、b，如果存在自然数c使 bc = a , a , b, c ∈ N 则称c是a除以b的商，记为 c = a ÷ b, a , b, c ∈ N