概率论与数理统计教案1

概率论与数理统计教案讲 稿第一章 概率论的基本概念一、基本概念 1. 随机试验 |2. 样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。

通常用大写的希腊字母Ω表示（本书用S 表示）每个结果叫一个样本点. 3．随机事件Ω中的元素称为样本点，常用ω表示。

(1) 样本空间的子集称为随机事件(用A,B 表示)。

(2) 样本空间的单点子集称为基本事件。

(3) 实验结果在随机事件A 中，则称事件A 发生。

(4) 必然事件Ω。

(5) | (6) 不可能事件Φ。

(7) 完备事件组（样本空间的划分） 4．概率的定义（公理化定义） 5．古典概型随机试验具有下述特征：1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个； 2）每个基本事件出现的可能性是相等的； 称这种数学模型为古典概型。

；)(A P ===基本事件总数包含的基本事件数A n k 。

6．几何概型的长度（面积、体积）的长度（面积、体积）Ω=A A p )(7．条件概率设事件B 的概率0)(>B p .对任意事件A ，称P(A|B)=)()(B P AB P 为在已知事件Ｂ发生的条件下事件Ａ发生的条件概率。

8．条件概率的独立性A 、B F ∈,若P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A 、B 是相互独立的，简称为独立的。

设三个事件A,B,C 满足 .P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C 相互独立。

二、事件的关系的关系与运算 １.事件的包含关系若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包含了A ， 记作B A ⊂。

２. 事件的相等 、设A,B Ω⊂,若B A ⊂，同时有A B ⊂，称A 与B 相等，记为A=B ，３.并(和)事件与积(交)事件“A 与B 中至少有一个发生”为A 和B 的和事件或并事件。

记作B A ⋃ . “A 与B 同时发生”这一事件为A 和B 的积事件或交事件。

记作B A ⋅或B A ⋂ ４.差事件“A 发生B 不发生”这一事件为A 与B 的差事件，记作B A - ５.对立事件称“A -Ω”为A 的对立事件或称为A 的逆事件，记作A 。

`A A A =⋃-Φ=-A A ６.互不相容事件（互斥事件）若两个事件A 与B 不能同时发生，即Φ=AB ，称A 与B 为互不相容事件（或互斥事件）。

７.事件的运算法则1)交换律 BA AB A B B A =⋃=⋃,2)结合律 ()()()()BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃, 3)分配律 ()()()C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃ )()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂ ]4)对偶原则 B A B A ⋂=⋃ ，B A B A ⋃=⋂三、常用公式 1.加法公式（1）对任意两个事件A 、B ，有P(B A ⋃)=P(A )+P(B )-P(AB ) （2）对任意三个事件A 、B ，C)()()()()()()()(ABC p BC p AC p AB p C P B P A P C B A p +---++=⋃⋃2.减法公式若A ⊂B 则P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)≥P(A)&P(A-B)= P(A)-P(AB)3.对立事件概率公式对任一随机事件A ，有 P （A ）=1-P （A ）； 4.乘法公式当0)(>A p 时:)|()()(A B P A p AB p =)|()|()()(AB C p A B P A p ABC p = 5全概率公式定理1：设 n B B B ,,,21 是 一列互不相容的事件，且有Ω=⋃=i ni B 1,对任何事件A ，有P(A)=)(1∑=ni iB P )(i B A P？6、贝叶斯公式定理2：若n B B B ,,,21 是一列互不相容的事件，且Ω=⋃=i ni B 1则对任一事件A 有∑==nj jji i i B A p B p B A p B p A B p 1)|()()|()()|(两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段； 两个公式的不同点：全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果”贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因” 7.贝努里概型 {贝努里试验:若试验E 只有两个可能的结果A 及-A ，称这个试验为贝努里试验。

贝努里概型设随机试验E 具有如下特征： 1）每次试验是相互独立的；2）每次试验有且仅有两种结果：事件A 和事件A ；3）每次试验的结果发生的概率相同 0)(>=p A p q p A p =-=1)(称试验E 表示的数学模型为贝努里概型。

若将试验做了n 次，则这个试验也称为n 重贝努里试验。

记为nE 。

设事件A 在n 次试验中发生了X 次，则n k p p C k X P kn k k n ,,2,1,)1(}{ =-==-&四、举例例1.已知)()(B A p AB p =，p A p =)(，求)(B p【解】 )]()()([1)()()(AB p B p A p B A p B A p AB p -+-=⋃==p B p -=1)(例2.已知,81)(,0)()(,41)()()(======AC p BC p AB p C p B p A p 求A,B,C 至少有一个发生的概率。

【解】 )()()()()()()()(ABC p BC p AC p AB p C P B P A P C B A p +---++=⋃⋃=8500810414141=+---++ 例3.（摸球模型不放回用组合问题求解）在盒子中有6个球，4个白球、2个红球，从中任取两个（不放回）。

求取出的两个球都是白球的概率，两球颜色相同的概率，至少有一个白球的概率。

<【解】设A ：两个球都是白球，B ：两个球都是红球，C ：至少有一个白球 基本事件总数为26C =15A 的有利样本点数为624=C , P(A)=6/15=2/5B 的有利样本点数为122=C , P(B)=1/15P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15P(C)=1-P(B)=14/15例4. （摸球模型有放回用二项分布求解）在上题中，取球方法改成有放回，结果如何【解】用X 表示取到白球数 ，P(A)=}2{=X p =022232132⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛C =94P(B)= }0{=X p =9132132202=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛CP(A+B)=P(A)+P(B)=5/9P(C)=1-P(B)=8/9例5（抽签原理）有a 个上签，b 个下签，2个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，证明每个人抽到上签的概率都是ba a+ 【证】放回抽样结论是显然的； 不放回可用全概率公式证明ba a p +=例6：（几何概型）在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于21的概率为______．'【解】以x 和y 分别表示甲乙约会的时间，则 {=Ω}10,10|),(<<<<y x y x 两人到会面出时间差不超过15分钟25.0,10,10),{(≤-<<<<=y x y x y x A43)(==ΩS S A p A例7：某工厂有三条生产线生产同一中产品，该3条流水线的产量分别占总产量的20%，30%，50%，又这三条流水线的不合格品率为5%，4%，3%，现在从出厂的产品中任取一件， （1）问恰好抽到不合格品的概率为多少(2)已知抽到不合格品，求该产品来自一车间的概率{【解】(1)设i B ：表示产品来自第i 条生产线A ：表示抽到不合格品 由题意 5.0)(,3.0)(,2.0)(321===B p B p B p03.0)|(,04.0)|(,05.0)|(321===B A p B A p B A pP(A) 03.05.004.03.005.02.0)|()(31⨯+⨯+⨯==∑=i iiB A p B p= (2)371003.05.004.03.005.02.005.02.0)|()()|()()|(3111=⨯+⨯+⨯⨯==∑=i iiB A p B p B A p B p A B p 【点评】通过该题细心体会贝叶斯公式和贝叶斯公式的用法。

：例8甲乙两人同时射击同一目标，甲命中的概率为，乙命中的概率为。

已知已命中目标，求是甲命中目标的概率。

【分析】咋看这个题目觉得应用贝叶斯公式求解，但仔细分析个目中只有一个过程，应用条件概率求解。

【解】A:甲命中，B:乙命中，C ：命中，C=A+B())()()()()()()()()(|B p A p B p A p A P B A P A p AC P AC p C A p -+=+===435.06.05.06.06.0=⨯++例9：一个盒子中有4件产品，3件一等品，1件二等品，从中任取两件，设事件A 表示“第一次取到一等品”， B 表示“第二次取到一等品”，求()A B p |。

【解】()3/24/32/14/3/)()(|2423====C C A P AB p A B p 这一结果的意义是明显的？例10：假定某人做10个选择题，每个题做对的概率均为41；求 （1）该同学做对3道题的概率； (2) 该同学至少做对3道题的概率； 【解】}3{=X p =733104341⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C1-+=}0{X p +=}1{X p }2{=X p =1-1000104341⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C -911104341⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C -922104341⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 【点评】“至少……”,通过对立事件求解。

例11： 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p (0<p <1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 }(A) 2)1(3p p -． (B) 2)1(6p p -.(C) 22)1(3p p -． (D) 22)1(6p p -． [ C ] 例12：设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有(A) ()()P A B P A ⋃> (B) ()()P A B P B ⋃>(C) ()()P A B P A ⋃= (D) ()()P A B P B ⋃= [ C ] 例13：设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有 (A) ！ (B) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ]教学后记\??<(教案(2) 难点是一维随机变量函数的分布、主要内容一、分布函数的定义与性质 1. 随机变量 2. 分布函数 二、离散型随机变量1.概念2.分布律及其表示 三、连续型随机变量*1.一维连续型随机变量的概念2.密度函数)(x f 具有下述性质：四、常见分布五、一维随机变量函数的分布1.一维离散型随机变量函数的分布2.一维连续型随机变量函数的分布教学方法讲授式 讲练结合]参考资料 《概率论与数理统计》余长安编，武汉大学出版社 《概率论与数理统计》吴传生编，高等教育出版社 思考题P31-3 4 p36-12 13 p44-20 p48-27第二章 一维随机变量及其分布一、分布函数的定义与性质1. 随机变量 ?定义1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）ω唯一地对应一个实数)( X ，则称实变量X 为随机变量，通常用大写字母X,Y ,Z 等表示随机变量，例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数X 为随机变量，X 的可能取值为0，1，2……例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量X ,的可能取值为X =]5,0[。