高中数学必修二 第六章 平面向量及其应用 章末测试(提升)(含答案)

第六章 平面向量及其应用 章末测试(提升)
一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分) 1．(2021·陕西·绥德中学高一月考)下列命题正确的是( ) A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c = B ．若a b a b +=-，则0a b ⋅= C ．若//a b ，//b c ，则//a c D ．若a 与b 是单位向量，则1a b ⋅=
【答案】B
【解析】若0a =，则对任意的,b c ，都有a b a c ⋅=⋅，A 错；
a b a b +=-，则2
2
a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，0a b ⋅=，B 正确；
若0b =，则对任意的,a c ，//a b ，//b c ，但//a c 不一定成立，C 错； a 与b 是单位向量，只有它们同向时，才有1a b ⋅=，否则1a b ⋅<，D 错；
故选：B ．
2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==，若2,cos CB CD CDB =∠=，则下列说法错误的是( )
A ．ABC 的面积为8
B ．AB
C 的周长为8+C ．ABC 为钝角三角形
D ．3sin 10
CDB ∠=
【答案】D
【解析】如图，在BCD △中，因2,cos CB CD CDB =∠=，由余弦定理得2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅∠，
则有2249CD CD =++
，即230CD -=，而0CD >，解得CD BC =
又由余弦定理得222cos 2BD BC CD B BD BC +-==
⋅，在ABC 中，由余弦定理得：
AC =
显然sin B =
ABC 的面积1
sin 82
ABC
S AB BC B =
⋅=，A 正确；
ABC 的周长为8AB BC AC ++=+B 正确；
显然AB 是最大边，2223
cos 025AC BC AB ACB AC BC +-∠==-<⋅，角ACB ∠为钝角，C 正确；
sin CDB ∠=，D 不正确. 故选：D
3．(2021·河北·张家口市第一中学高一月考)已知点P 是ABC 所在平面内一点，若21
33
AP AB AC =+，则ABP 与ACP 的面积之比是( ) A ．3:1 B ．2:1
C ．1:3
D ．1:2
【答案】D
【解析】点P 是ABC 所在平面上一点，过P 作//,//PE AC PF AB ，如下图所示：
由21
33
AP AB AC AE AF =
+=+， 故:2:1:AE EB PC PB ==，
所以ABP △与ACP △的面积之比为:1:2BP PC =， 故选：D ．
4．(2021·贵州·威宁民族中学高一月考)已知ABC 的三边上高的长度比分别为2，若ABC 的最短边与最长边的长度和为6，则ABC 面积为( )
A ．
B
C
D ．2
【答案】B
【解析】不妨设
ABC 的三边a 、b 、c 上对应的高的长度分别为t 、2t ，
由三角形的面积公式可得1112
222at b c t ==⋅，所以2a c ==，所2a c
b =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
所以c 为最短边，a 为最长边，所以36a c c +==，所以4a =，2c =，b =
所以22216483cos 22424a c b B ac +-+-===⨯⨯，则B
为锐角，故sin B ==
所以11sin 4222ABC
S
ac B =
=⨯⨯=故选：B.
5．(2021·浙江省兰溪市第三中学高一月考)扇形OAB 的半径为1，圆心角为23
π，P 是AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为( ) A
．B ．0
C ．1
2
-
D ．1
2
【答案】C
【解析】
由题设，AP OP OA =-，BP OP OB =-，
∴2
()()()OP OA OP OB OP OP O AP B B P A O OA OB ⋅=⋅=---⋅++⋅，
∴12
OA OB ⋅=-，2
1OP =，
∴1
()2
OP OA O A B B P P ⋅=
-⋅+，要使AP BP ⋅的最小，即,OP OA OB +同向共线. 又||||1OA OB OP +==， ∴min 11()122
AP BP -⋅=-=. 故选：C
6．(2021·江西·南昌县莲塘第一中学 )已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若43
b c a +=
，且2
cos 3
B =
，则( ) A ．2A B = B ．A B = C ．90A B +=︒ D ．2A B =
【答案】A
【解析】由题意得22
2
2
2
4
()()()23cos 2223
a c
b a
a c
b a
c b c b B ac ac ac +-⨯+-+-+===
=，
所以43a b =，又4
3b c a +=，
所以7
9
c b =，
所以222
222
49161819cos 72929
b b b
b c a
A bc
b b +
-+-=
=
=-⨯，
2
2
21cos 22cos 12139B B ⎛⎫
=-=⨯-=- ⎪⎝⎭
，
所以cos cos2A B =，因为,(0,)A B π∈，A B π+<， 所以2A B =，故A 正确，B 、D 错误；
sin A B ==
==
，
所以1222cos(+)cos cos sin sin 09327A B A B A B ⎛⎫=-=-⨯=-≠ ⎪⎝⎭， 所以90A B +≠︒，故C 错误. 故选：A
7．(2021·黑龙江·哈师大附中高一期中)已知ABC 中，π
3
A =，2A
B =，若满足上述条件的三角形有两个，则B
C 的范围是( ) A
．
2⎤⎦
B
．
)
2
C ．()2,+∞
D
．
)
+∞
【答案】B
【解析】如图，点C 在射线3AC 上移动，从点B 向射线3AC 引垂线，垂足为D
，由题意可知BD =，
若三角形有两个，则点C 应在点D 的两侧(如：12,C C )，而AB =2，所以BC
的范围是)
2.
故选：B.
8．(2021·江苏·泰州中学高一期中)
骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜
爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A (前轮)，圆D (后轮)的直径均为1，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为1的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP BD ⋅的最大值为( )
A ．3
B ．3
C ．3
D ．【答案】B
【解析】以D 为坐标原点，AD 为x 轴，过D 做AD 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则(2,0)A -，32B ⎛- ⎝⎭，12C ⎛- ⎝⎭
圆D 的方程为22
14x y +=
，可设11cos ,sin 22P αα⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以11cos 2,sin 22AP αα⎛⎫
⎪⎭=+⎝．3,2BD =⎛ ⎝⎭
故3113cos 2sin cos 32224AP BD αααα⎛⎫⋅=⨯+= +⎪⎝⎭36πα⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭．
所以AP BD ⋅的最大值为3+故选：B ．
二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分) 9．(2021·江苏·滨海县八滩中学高一期中)在ABC ，下列说法正确的是( ) A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解
C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >
D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形 【答案】BC
【解析】对于A ，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或22180A B +=即
90A B +=，ABC ∴为等腰或直角三角形，故A 错误；
对于B ，1sin 40sin 2540sin3040202
a B =<=⨯=，即sin a B
b a <<，ABC ∴必有两解，故B 正确； 对于C ，
ABC 是锐角三角形，2
A B π
∴+>
，即
02
2
A B π
π
>>
->，由正弦函数性质结合诱导公式得
sin sin cos 2A B B π⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
，故C 正确；
对于D ，利用二倍角的余弦公式知22212sin 12sin 12sin 1A B C -+--+<，即222sin sin sin 0A B C +->，即
2220a b c +->，cos 0C ∴>，即C 为锐角，不能说明ABC 为锐角三角形，故D 错误. 故选：BC
10．(2021·重庆南开中学高一期中)已知ABC 面积为12，6BC =，则下列说法正确的是( )
A ．若cos
B =
3sin 5A =
B ．sin A 的最大值为
12
13
C ．c b
b c +的值可以为92
D ．2c b b c +的值可以为92
【答案】AD
【解析】设,,A B C 所对的边为,,a b c ，因为ABC 面积为12，故1
sin 122
ac B =，
故sin 24ac B =.
对于A ，若cos B =
，结合B 为三角形内角可得sin B =，故ac =
因为6a =，故c =，故23680220b =+-⨯=，故b =
由正弦定理可得6sin A ==，故3
sin 5A =，故A 正确.
对于B ，由余弦定理可得222cos 36b c bc A +-=，
所以22=2cos +362b c bc A bc +≥即()181cos bc A ≥-，当且仅当b c =时等号成立. 而1sin 122bc A =，故24sin bc A =，故()24181cos sin A A ≥
-，整理得到3
tan 24
A ≤，
而22tan
22sin 2sin cos 1221tan tan 22
tan 2
A
A A A A A A ==
=++， 因为30tan 24A <≤，故125
tan 212tan 2
A A +≥
，故sin A 的最大值为2425， 当且仅当5b c ==时等号成立，故B 错误.
对于C ，2
2
3
sin 2cos 362cos 2bc A bc A
c b b c bc A b c bc bc bc
-+-+===，
故3sin 2cos 2c b A A b c +=+
，而35
sin 2cos 22A A +， 故5
2c b b c +≤，故C 错误. 对于D ，若292c b b c +
=，则可得4c b
=或1
2c b =， 若4c b =，则224sin 242cos 36
c b
bc A b c bc A =⎧⎪
=⎨⎪+-=⎩ ，消元后得到：222
sin 6178cos 36b A b b A ⎧=⎨-=⎩ ， 所以
sin 1
=178cos 6
A A -，整理得到6sin 8cos =17A A +，
但6sin 8cos 10A A +≤，故矛盾即
4c
b
=不成立. 若1
2c b =，则222sin 242cos 36
b c
bc A b c bc A =⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，消元后得到：222
sin 1254cos 36c A c c A ⎧=⎨-=⎩， 所以
sin 1
=54cos 3
A A -，整理得到3sin 4cos =5A A +，
结合22sin cos 1A A +=可得34
sin ,cos 55
A A ==
，此时c b ==
故D 正确. 故选：AD.
11．(2021·山东日照·高一期末)下列结论正确的是( ) A ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．在ABC 中，若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．在ABC 中，若360b A ==︒，，三角形面积S =【答案】ABC
【解析】对于A ，在ABC 中，由>⇒>A B a b ，利用正弦定理得2sin 2sin sin sin R A R B A B >⇒>，故A 正确.
对于B ，由锐角三角形知02A π
<<，则222
cos 02b c a A bc
+-=>，2220b c a ∴+->，故B 正确.
对于C ，由cos cos a B b A c -=，利用正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()()sin sin A B A B +=-，故A B A B π++-=，即2
A π
=
，则ABC 是直角三角形，故C 正确.
对于D ，11sin 322S bc A c ==⨯⨯=4c =，利用余弦定理知
2221
2cos 91623413
2a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯
=，所以a =1313260R ===，
R =
D 错误. 故选：ABC
12．(2021·浙江杭州·高一期中)任意两个非零向量和m ，n ，定义：m n
m n n n
⋅⊗=
⋅，若平面向量,a b 满足||2||0a b ≥>，
a 与
b 的夹角πθ0,
3，且a b ⊗和b a ⊗都在集合4n n Z ⎧⎫
∈⎨⎬⎩⎭
中，则a b ⊗的值可能为( ) A ．5 B ．4
C ．3
D ．2
【答案】CD
【解析】首先观察集合311113{|},1,,,,0,,,,1,4424424n n Z ⎧⎫
∈=⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭
，从而分析a b ⊗和b a ⊗的范围如下：
因为(0,)3πθ∈，∴1cos 12θ<<，而cos b
b a b a a a a
θ⋅⊗==⋅，且||2||0a b ≥>，
可得1
0cos 2
b a
θ<<
， 又∵b a ⊗∈{|}4n n Z ∈中，∴1cos 4b a θ=，从而1
4cos b a θ
=， ∴2cos 4cos a a b a b b b b θθ===⋅⋅⊗，又21cos 14θ<<，所以214cos 4a b θ⊗<=<．且a b ⊗也在集合{|}4
n n Z ∈中，
故有2a b ⊗=或3． 故选：CD.
三、填空题(每题5分，共20分)
13．(2021·内蒙古包头·高一期末)在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2sin b A =，则cos cos cos A B C ++的取值范围是_______
【答案】32⎤⎥⎝⎦
【解析】∵ 2sin b A =，
由正弦定理可得2sin sin B A A ， 又ABC 为锐角三角形，∴ sin 0A ≠
∴ sin B =，又B 为锐角， ∴ 3
B π
=
∴ 2cos cos cos =cos cos cos(
)3
3
A B C A A π
π
++++-
∴11cos cos cos cos cos 22A B C A A A ++=+-+
∴11cos cos cos cos 22
A B C A A ++=
+ ∴ 1
cos cos cos sin()62
A B C A π++=++，
又ABC 为锐角三角形，3
B π
=，∴ 02
A π
<<且3
2
A π
π
+
>
，
∴ 6
2
A π
π
<<
，故
2+
3
6
3
A π
π
π<<
，
sin(+)16
A π
<≤
∴
3
cos cos cos 2
A B C ++≤，
∴ cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤
⎥⎝⎦，
故答案为：32⎤
⎥⎝⎦
.
14．(2021·河北·石家庄市华西高级中学高一月考)如图，在平面四边形ABCD 中，
,,120,1AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=︒==．若点E 为边CD 上的动点，则EA EB ⋅的最小值为_________．
【答案】
21
16
【解析】延长,CD BA 交于点H ，因为,,120AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=︒，所以60BCD ︒∠=，30DHA ︒∠=，
在Rt ADH 中，30DHA ︒∠=，1AD =，所以2,AH DH ==
在Rt BCH △中，30CHB ︒∠=，3BH =，所以CH BC ==
所以DC BC ==()01DE DC λλ=≤≤，则3DE λ=，且DE 与AB 的夹角为6π
，DA 与AB 的
夹角为
3
π， 则()()
EA EB DA DE ED DA AB ⋅=-⋅++
DA ED DA DA DA AB DE ED DE DA DE AB =⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-⋅ 2
20cos
30cos
3
6
DA DA AB DE AB π
π
λ=++⋅+--⋅
221331303222
λλλ=++-=-+，
所以14λ=时，EA EB ⋅取最小值2
1313213424216
⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭.
故答案为：
2116
. 15．(2021·安徽·合肥艺术中学 高一月考)ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，已知
sin cos sin cos a B C c B A +=
，b =a b >，则2a c +的最大值为________.
【答案】
【解析】由题得sin sin cos sin sin cos A B C C B A B +=, 因为sin 0B ≠,
所以sin cos sin cos A C C A +=
所以sin()sin A C B +=
∴=
因为a b >，所以,3
A B B π
>∴=
.
由正弦定理得2,2sin ,2sin sin sin a c a A c C
A
C
==∴==.
所以24sin 2sin 4sin 2sin()5sin 3
a c A C A A A A π
+=+=++=
)A ϕ=+,
所以2a c +
的最大值为sin()1A ϕ+=.
故答案为：16．(2021·广东·深圳市龙岗区布吉中学高一期中)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角
B 为钝角．设△AB
C 的面积为S ，若()222
4bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．
【答案】9
8
【解析】由题设，1
sin 2
S ac B =
，则2222sin ()b c ab a c B a +=-， ∴222sin cos sin()22
B A A bc b c a π
-=+==-，又 B 为钝角即A 为锐角，
∴2B A ππ+-=，即2B A π
=+，又()C A B π=-+，
∴cos cos()sin 2B A A π=+=-且sin sin()cos 2
B A A π
=+=，
而22sin sin sin sin()sin (1cos )cos sin sin cos cos A C A A B A B A B B B B
+=++=++=--2219
1cos 2cos 2(cos )48B B B =--=-++，
∴当1
cos 4B =-时，sin sin A C +的最大值为98.
故答案为：9
8
四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)
17．(2021·全国·高一课时练习)如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知45,60ABC BCD ∠=∠=，记,AB a AC b →
→
→
→
==.
(1)试用,a b →→表示向量,AD CD →→
;
(2)若1b →
=，求AB CD →→
⋅.
【答案】(1)
AD a →
→
=，)
1CD a b →
→
→
=+
；1.
【解析】(1)因为,AB a AC b →
→
→
→
==，所以CB AB AC a b →
→
→
→
→
=-=-，
由题意可知， //,AC BD BD ==， 所以
BD →
=，则AD AB BD a →
→
→
→
=+=，
)
1CD AD AC a b →→→→
→
=-=+
(2)因为1b →
=，所以a →
=
，cos 2114a b a b π⋅=⋅== ，
所以
)
)
2
11211AB CD a a b a a b →→→
→
→
→
→→
⎡⎤⋅=⋅+
=+
⋅==⎢⎥⎣
⎦
18．(2021·湖北·大冶市第一中学高一月考)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已
知a =
cos (cos )cos 0C B B A +=． (1)求角A 的大小；
(2)
若b =ABC 的面积； (3)求2b c +的取值范围． 【答案】(1)
3
π
；
(2)3
(3)(
8, 【解析】(1)
∵()
cos cos cos 0C B B A +=， ∴(
)cos cos cos cos 0A B B A B A -++=，
cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B B A B A -++=，
sin sin cos 0A B B A =，
∵sin 0B >，
∴sin A A =， 又cos 0A ≠，
∴tan A = 02
A π
<<
，
3
A π∴=
； (2)∵2222cos a b c bc A =+-，
21
12822
c =+-⨯⨯，
∴c =
∴1
sin 32
ABC
S
bc A ==； (3)
由正弦定理可得：
24
sin sin 3
a R A =
==，
228sin 4sin 8sin 4sin 10sin 3b c B C B B B B π⎛⎫
+=+=+-=+ ⎪⎝⎭
()
B θ=+，
其中tan θ=
，sin θ=cos θ=θ为锐角，
因为ABC 为锐角三角形，则6
2
B π
π
<<
，
从而6
2B π
π
θθθ+
<+<+
，得()sin sin 16B πθθ⎛⎫
+<+≤ ⎪⎝⎭
，
sin sin cos cos sin 666πππθθθ⎛⎫
+=+= ⎪⎝⎭
，
()sin 1B θ<+≤，()8B θ<+≤
所以82b c <+≤2b c +的取值范围为(
8,
19．(2021·山东邹城·高一期中)如图所示，在四边形ABCD 中，6
BAC π
∠=
，1BC =，2AB AC +=AB AC <，//AB CD ，点E 为四边形ABCD 的外接圆劣弧CD (不含端点C ，D )上一动点．
(Ⅰ)判断ABC 的形状，并证明；
(Ⅱ)若(),AC xAB yAE x y =+∈R ，设DAE α∠=，()y f α=，求函数()f α的最小值． 【答案】(Ⅰ)ABC 为直角三角形，证明见解析；(Ⅱ)23
．
【解析】(Ⅰ)证明：在ABC 中，
由余弦定理知：2222cos CB AB AC AC AB CAB =+-⋅⋅∠，
∴()(2
12AB AC AC AB =+-⋅，
又因为2AB AC +=AC AB ⋅=
所以AB ，AC 分别为方程(2
20x x -+的两根，
因为AB AC <，所以AB =2AC =，
所以222AC AB BC =+，所以AB BC ⊥，即ABC 为直角三角形；
(Ⅱ)解：如图，
因为AB BC ⊥，
所以AC 是四边形ABCD 的外接圆的直径，AD DC ⊥， 所以四边形ABCD 为矩形，连接DE ，6
AED ACD π
∠=∠=，
设AE 交CD 于F ，作CG 平行于AF 且交AB 于G ， 则四边形AGCF 为平行四边形，所以AC AG AF =+， 又因为(),AC xAB yAE x y =+∈R ，
由平面向量基本定理知：AF y AE =，所以AF
y AE
=， 在ADE 中，因为6
AED π
∠=，DAE α∠=，
所以56
ADE π
α∠=
-， 由正弦定理知：
sin sin AE AD
ADE AED
=∠∠，
所以52sin 6AE πα⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
， 在Rt ADF 中，1
cos cos AD AF αα
=
=， 所以
()1
52cos sin 6AF
f y AE
απαα==
=⎛⎫
⋅- ⎪⎝⎭
2
12sin 26πα=⎛⎫++ ⎪⎝
⎭，0,3πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭， 因为0,3πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以52,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
∴1sin 2,162πα⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦，∴(]12sin 2236πα⎛
⎫++∈ ⎪⎝⎭，
， 所以，当6π
α=
时，()f α取最小值，最小值为2
3
．
20．(2021·吉林·延边二中高一月考)由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB ∠=︒，且在该区域内点R 处有一个路灯，经测量点R 到区域边界PA 、PB 的距离分别为4m RS =，6m RT =，(m 为长度单位).陈某准备过点R 修建一条长椅MN (点M ，N 分别落在PA ，PB 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计)，以供购买冷饮的人休息.
(1)求点S 到点T 的距离； (2)求点P 到点R 的距离；
(3)为优化经营面积，当PM 等于多少时，该三角形PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值.
【答案】(1)；(3)PM =【解析】(1)连接ST 、PR ， 在RST 中，60SRT ∠=︒，
由余弦定理可得：22246246cos6028ST =+-⨯⨯⨯︒=，∴ST =
(2)在RST 中，由余弦定理可得，222cos 2ST RT SR STR ST RT +-∠==
⋅
在PST 中，sin cos PTS STR ∠=∠=
由正弦定理可得：
sin sin120SP ST PTS =∠︒，解得：sin sin120ST PTS SP ∠==
︒.
在直角SPR △中，2
222211243PR RS SP =+=+=⎝⎭
，∴PR =
(3)1sin1202PMN
S
PM PN PN =
⋅=︒⋅⋅， 11
462322
PMN PRM PRN S S S PM PN PM PN =+=
⨯+⨯=+△△△.
23PM PN PM PN ⋅=+≥∴128PM PN ⋅≥
，当且仅当PM =
因此，PMN S PN =
⋅≥△21．(2021·江苏江宁·高一期中)已知函数()π2cos sin 6f x x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭.
(1)求()f x 的最小正周期及()f x 在区间ππ,64⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值
(2)在锐角ABC 中，f (
2
A )=3
2，且a
b +
c 取值范围. 【答案】(1)最小正周期为π，最大值3
2
；
(2). 【解析】
(1)1()2cos sin cos 2f x x x x ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝
⎭
1cos 2π12sin(2)262x x x +=+=++， 所以()f x 的最小正周期为π.
因为ππ
64x -
≤≤，所以ππ2π2663
x -≤+≤ 于是，当π
π26
2
x +=，即π
6x =
时，()f x 取得最大值32
(2)在ABC 中，πA B C ++=
π13()sin()2622A f A =++=，πsin()16A ∴+=，πππ2(0,),(,π)2663A A ∈∴+∈，πππ
,623
A A ∴+=∴=. 由正弦定理
2sin sin sin a b c
A B C
===，2sin ,2sin b B c C ∴==， ()π2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 3b c B C B A B B B ⎛⎫
∴+=+=++=++ ⎪⎝⎭
π
2sin sin 3sin )6B B B B B B =+==+，
ππ00ππ222π
π620π0322B B B B C ⎧
⎧
<<<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨
⎨
⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩
⎩
，
]ππ2ππ(,)sin()6336B B ∴+
∈∴+∈，，
π
)6b c B ∴+=+∈.
22．(2021·浙江浙江·高一期末)在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、
c ，若cos 2B B =，cos cos
B C b c += (1)求角B 的大小和边长b 的值； (2)求ABC 面积的最大值．
【答案】(1)3
B π
=
，b =
.
【解析】(1)因为cos 2B B =，所以1cos 12B B +=，sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，
因为角B 是锐角，所以3
B π
=，
因为cos cos
B C b c += 所以由正弦定理与余弦定理易知，222222
22a c b a b c abc abc +-+-+=
整理得222a abc =
b =. (2)因为
1sin sin sin a b c
A B C
===，所以sin a A =，sin c C =， 因为02
A π
<<
，02
C <<
π
，23A C π+=
，所以,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
则11sin sin sin sin 2223ABC S ac B A C A A △π⎛⎫==⨯-⨯ ⎪⎝⎭
221cos cos sin sin 33sin 2A A A A A A ππ⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
-+
)233sin sin 21cos 2816cos A A A A A ==-
3sin 222166A A A π⎛⎫=
=- ⎪⎝
⎭ 因为,62A ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以52666A ，
πππ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
，
则1sin 2,16
2A
π
326A π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭⎝⎦，
故ABC S △∈⎝⎦
，ABC .。