导数判定极值

导数判定极值

一、导数的定义和性质

1.1 导数的定义

导数是微积分中的一个重要概念，描述了函数在某一点上的变化率。对于函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下极限定义得到：

f′(x)=lim

Δx→0f(x+Δx)−f(x)

Δx

其中，Δx表示自变量的增量。

1.2 导数的性质

•导数存在性：如果函数在某一点上的导数存在，那么该点称为可导点；如果导数不存在，则称为不可导点。

•导数的几何意义：导数可以表示函数曲线在某一点上的切线斜率。

•导数的代数意义：导数可以用于求函数的极值。

二、极值的定义和判定准则

2.1 极值的定义

极值是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。极大值是函数在某一点上的函数值比其邻近的函数值都要大，而极小值是函数在某一点上的函数值比其邻近的函数值都要小。

2.2 极值的判定准则

导数可以帮助我们判定函数的极值。具体判定准则如下：

•极值点：如果函数在某一点的导数存在，且导数在该点的左右两侧符号相反，那么该点就是函数的极值点。

•极大值点：如果函数在某一点的导数存在，且导数在该点的左侧为正，右侧为负，那么该点就是函数的极大值点。

•极小值点：如果函数在某一点的导数存在，且导数在该点的左侧为负，右侧为正，那么该点就是函数的极小值点。

三、极值判定的步骤和例题

3.1 极值判定的步骤

判定函数的极值可以按照以下步骤进行：

1. 求导：首先求出函数的导数。

2. 找出导数为零或不存在的点：将导数等于零或不存在的点找出来，这些点可

能是函数的极值点。

3. 判定符号：在导数为零或不存在的点的左右两侧选取一个数代入导数，判断

导数的符号。

4. 判定极值：根据符号的变化判定极值。

3.2 极值判定的例题

例题1：

考虑函数f (x )=x 3−3x 2+2x +1在区间[-2, 3]上的极值。

解：

1. 求导：计算f′(x )=3x 2−6x +2。

2. 导数为零的点：解方程3x 2−6x +2=0，得到x =1±

√33。 3. 判定符号：选取x =0代入导数，得到f′(0)=2，符号为正。 4. 判定极值：根据符号的变化，可以判定x =1−

√33为极大值点，x =1+

√33为极小值点。 例题2：

考虑函数f (x )=e x −x 2在整个实数域上的极值。

解：

1. 求导：计算f′(x )=e x −2x 。

2. 导数为零的点：解方程e x −2x =0，可以通过数值方法得到x ≈

−0.351733711。

3. 判定符号：选取x =−1代入导数，得到f′(−1)≈−0.735758882，符号为负。

4. 判定极值：根据符号的变化，可以判定x ≈−0.351733711为极大值点。

四、总结

通过导数判定极值的方法，我们可以快速判断函数在某一点的极值类型。具体步骤包括求导、找出导数为零或不存在的点、判定符号和判定极值。这个方法在微积分中有着广泛的应用，可以帮助我们解决很多与极值相关的问题。