高考数学考点归纳之函数模型及其应用

高考数学考点归纳之函数模型及其应用

一、基础知识

1．常见的8种函数模型

(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝k

x (k 为常数，k ≠0)；

(3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (5)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)； (8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋a

x

(a >0)．

(1)形如f (x )＝x ＋a

x (a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：

①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． ②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .

(2)函数f (x )＝x a ＋b

x (a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内

单调递增．

2．三种函数模型的性质

幂函数模型y ＝x n (n >0)可以描述增长幅度不同的变化，当n ,值较小(n ≤1)时，增长较慢；当n 值较大(n >1)时，增长较快.

考点一 二次函数、分段函数模型

[典例] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票

每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

[解] (1)设每团人数为x ，由题意得0

则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

900，0

即y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

900，0

(2)设旅行社获利S 元，

则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧

900x －15 000，0

即S ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

900x －15 000，0

因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000. 又S ＝－10(x －60)2＋21 000，x ∈(30,75]，所以当x ＝60时，S 取得最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润． [解题技法]

二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略

(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．

(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小． (3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．

[题组训练]

1．某市家庭煤气的使用量

x (m 3)和煤气费

f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

C ，0

C ＋B (x －A )，x >A .已

知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：

若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元

D ．10元

解析：选A 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝1

2

，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

4，0

2(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋1

2

×(20－

5)＝11.5.

2．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．

(1)求x 的取值范围；

(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；

(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋5

2(100－x )2(10≤x ≤90)．

(3)因为y ＝5x 2＋5

2(100－x )2

＝15

2x 2－500x ＋25 000 ＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003， 所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003

.

故核电站建在距A 城100

3 km 处，能使月供电总费用y 最少．

考点二 指数函数、对数函数模型

[典例] 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．