高考数学考点归纳之函数模型及其应用

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高中数学复习：函数模型及其应用

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第九节函数模型及其应用
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教 1.几种常见的函数模型材 2.三种增长型函数模型的图象与性质研读 3.解函数应用题的步骤（四步八字）
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考考点一用函数图象刻画变化过程
点突
考点二应用所给函数模型解决实际问题
破考点三构建函数模型解决实际问题
教材研读
教材研读栏目索引
3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是 ( D )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
答案 D 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0. 98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.
间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的
是 (B)
考点突破栏目索引
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(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 ( D )
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知识拓展形如f(x)=x+ a (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:
x
(1)该函数在(-∞,- a )和( a ,+∞)上单调递增,在[- a ,0)和(0, a ]上单调递减. (2)当x>0时,在x= a 处取最小值2 a , 当x<0时,在x=- a 处取最大值-2 a .

高考文科数学函数模型及其应用考点讲解

1.几类不同增长的函数模型
线性函数
指数函数
对数函数
幂函数
y=kx+b
(k>0) 增长的速度
y=ax
(a>1) 先慢后快,指数爆炸
y=logax
(a>1) 先快后慢,增长平缓
y=xn
(n>0) 介于指数函数与对数函数之间,相对平稳
增长速度不变
图象的变化
随x值的增大,图象随x值的增大,图象随n值的不同而不所有理想化模型均忽略对所研究直线上升问题无影响的因素 ,是研究问题的与x轴接近平行与y轴接近平行同一种理想方法.在高中学习的理想模型还有:点电荷、理想气体、弹簧振子、点光源等.
目录 Contents
考情精解读
考点一常见的函数模型
考点二几类不同增长的函数模型
考点三函数模型的应用
高考复习讲义
考情精解读 1
函数模型及其应用
考纲解读
1
命题规律
了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线
上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
命题趋势
2
了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
高考复习讲义
考点全通关 4
函数模型及其应用考点三函数模型的应用
函数模型的应用有两个方面:一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解决实际问题. 建立函数模型解应用问题的步骤如下: (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; 所有理想化模型均忽略对所研究 (4)还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原到实际问题中. 问题无影响的因素,是研究问题的一种理想方法.在高中学习的理想返回目录模型还有:点电荷、理想气体、弹簧振子、点光源等.

考点10 高中数学-函数模型及其应用-考点总结及习题

考点10函数模型及其应用【命题趋势】从近几年高考可以看出，越来越注重对应用问题的理解以及阅读能力的考查，而对函数模型的考查可以涉及此部分知识点，所以我们要引起重视，具体掌握以下几点：（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.【重要考向】一、二次函数模型的应用二、指数函数、对数函数模型的应用三、分段函数模型的应用四、函数模型的比较二次函数模型的应用函数模型函数解析式一次函数模型()f x ax b =+(,a b 为常数，0a ≠)反比例函数模型()kf x b x=+(,k b 为常数且0k ≠)二次函数模型2()f x ax bx c =++（,,a b c 均为常数，0a ≠）指数函数模型()x f x ab c =+（,,a b c 均为常数，0a ≠，0b >，1b ≠）对数函数模型()log a f x m x n =+（,,m n a 为常数，0,0,1m a a ≠>≠）幂函数模型()n f x ax b =+（,,a b n 为常数，0,1a n ≠≠）解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.用框图表示如下：建模审题、转化、抽象问题解决解模运算还原结合实际意义【巧学妙记】1.某电动小汽车生产企业，年利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万/辆，年销售量为10000辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x .同时年销售量增加的比例为0.6x .（1）写出本年度预计的年利润y （万元）与投入成本增加的比例x 的函数关系式；（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？【答案】（1）26002002000y x x =-++（01x <<）；每辆车投入成本增加的比例为16时，本年度的年利润最大，且最大年利润是60503万元.【解析】（1）由题意，得()()()1.210.75111000010.6y x x x ⎡⎤=⨯+-⨯+⨯⨯+⎣⎦（01x <<），即26002002000y x x =-++（01x <<）.实际问题数学问题数学问题答案实际问题结论（2）2216050600200200060063y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.∴当16x =时，y 取得最大值，为60503，∴每辆车投入成本增加的比例为16时，本年度的年利润最大，且最大年利润是60503万元.2.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前()n n ∈*N 年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元.（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.【解析】（1）由题意得：2255()5590(5)509022f n n n n n n =--+=-+-由()0f n >得25509002n n -+->即220360n n -+<，解得218n <<由n ∈*N ，设备企业从第3年开始盈利.（2）方案一总盈利额25()(10)1602f n n =--+，当10n =时，max ()160f n =故方案一共总利润16010170+=，此时10n =方案二：每年平均利润()536550()502022f n n n n =-+-⨯=≤，当且仅当6n =时等号成立故方案二总利润62050170⨯+=，此时6n =比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.【名师点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.（1）利用n 年的销售收入减去成本，求得()f n 的表达式，由()0f n >，解一元二次不等式求得从第3年开始盈利.（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；方案二：利用基本不等式求得6n =时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.指数函数、对数函数模型的应用（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为()1xy N p =+(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.【巧学妙记】3.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是()A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元【答案】D【解析】设该公司的年收入为x 万元(x >280)，则有280×p %＋(x －280)(p ＋2)%x ＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元．4.某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年【答案】D 【解析】设从2016年起，过了n (n ∈N *)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg2013lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2016＝2020.故选D.5.一片森林原来面积为a ,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为2a .为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林面积为22a .（1）求p %的值;（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?（3）今后最多还能砍伐多少年?【解析】（1）由题意得()101%2a a p -=,即()1011%2p -=,解得1101%1()2p =-.（2）设经过m 年，森林面积变为22a ,则()1%2ma p a -=,即1102111())2210,2(m m ==，解得m =5,故到今年为止,已砍伐了5年.（3）设从今年开始,以后还可砍伐n 年,则n 年后的森林面积为()21%2na p -,令()211%24n a p a -≥,即()21%4np -≥,3102(11())22n≥,3102n ≤,解得n ≤15,故今后最多还能砍伐15年.分段函数模型的应用（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．【巧学妙记】6.已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )x ，0<x ≤40，－40000x2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润．【解析】(1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40000x－16x ＋7360.所以W 6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40000x－16x ＋7360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6104，所以W max ＝W (32)＝6104；②当x >40时，W ＝－40000x －16x ＋7360，由于40000x＋16x ≥240000x×16x ＝1600，当且仅当40000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值5760.综合①②，当年产量为32万只时，W 取最大值6104万美元．7.某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品，产品在上市20天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间∈∗天的关系满足：= 10s 1≤≤10，−10+200, 10<≤20，op =−2+20o1≤≤20)，产品每件的销售利润为ℎ(p =40, 1≤≤15，20, 15<≤20(单位：元)（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品的日销售利润为op ，写出op 的函数解析式；（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【解析】（1）由题意可得：当1≤≤10时，日销售量为10+−2+20=−2+30，日销售利润为：40−2+30；当10<≤15时，日销售量为−10+200+−2+20=−2+10+200，日销售利润为：40−2+10+200；当15<≤20时，日销售量为−10+200+−2+20=−2+10+200，日销售利润为：20−2+10+200.综上可得：op =40⋅(−2+30p ， 1≤≤10，40⋅(−2+10+200)， 10<≤15，20⋅(−2+10+200)，15<≤20.（2）当1≤≤10时，由40(−2+30p ≥5000，解得5≤≤10；当10<≤15时，由40(−2+10+200)≥5000，解得10<≤15；当15<≤20时，20(−2+10+200)≥5000，无解.故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于5000元.函数模型的比较函数性质()1x y a a =>()log 1a y x a =>()0n y x n =>在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓介于指数函数与对数函数之间,相对平稳图象的变化随x 的增大，图象与y 轴接近平行随x 的增大，图象与x 轴接近平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个0x ，当0x x >时，有log n xa x x a <<【巧学妙记】10.某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系.模拟函数1:by ax c x=++；模拟函数2:x y m n s =⋅+.（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.【解析】（1）若用模拟函数1：by ax c x=++，则有1012221333a b c b a c b a c ⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩，解得125,3,22a b c ==-=，即32522x y x =-+，当4x =时，13.75y =．若用模拟函数2：xy m n s =⋅+，则有23101213mn smn s mn s=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得18,,142m n s =-==，即3142xy -=-，当4x =时，13.5y =．所以选用模拟函数1较好．（2）因为模拟函数1：32522x y x =-+是单调增函数，所以当12x =时，生产量远大于他的最高限量；模拟函数2：3142xy -=-也是单调增函数，但生产量14y <，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：3142xy -=-好．当6x =时，3614213.875y -=-=，所以预测6月份的产量为13.875万件.一、单选题1．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y 表示离开家的距离，t 表示所用时间.A ．④①②B ．③①②C ．②①④D ．③②①2．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷､0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是（）A ．y =0.2xB ．210=x yC ．y =110x 2+2x D ．160.2log y x =+3．2021年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的关系是：贫困户年总收入y （元）=1200+4.1⨯年扶贫资金（元）+4.3⨯年自投资金（元）900+⨯自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力，2016年自投资金5000元，以后每年的自投资金均比上一年增长10%，2016年获得的扶贫资金为30000元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少5000元，则该贫困户在2021年的年总收入约为()51.1 1.6≈（）A ．48100元B ．57900元C ．58100元D ．64800元4．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强I 与标准声强0I (0I 约为1210-，单位：2W /m )之比的常用对数称作声强的声强级，记作L (贝尔)，即0lg I L I =.取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y (分贝)与喷出的泉水高度x (m )之间满足关系式2y x =，甲､乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70m ，60m .若甲同学大喝一声的声强大约相当于n 个乙同学同时大喝一声的声强，则n 的值约为（）A ．10B ．100C ．200D ．10005．已知声音强弱的等级()f x (单位：dB)由声音强度x (单位：2W/m )决定．科学研究发现，()f x 与lg x 成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为2100W/m 声音强弱的等级为140dB ；某动物发出的鸣叫，声音强度为21W/m ，声音强弱的等级为120dB ．若某声音强弱等级为90dB ，则声音强度为（）2W/m A ．0.001B ．0.01C ．0.1D ．16．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3v N v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（）A ．135B ．149C ．165D ．1957．当x 越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（）A ．100y x =B ．e 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2log y x=D ．100y x =二、解答题8．某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为(01)<<x x ，并预计8年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.（1）求x 的值；（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的2，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的116？9．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t N ∈，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为()p t .（1）求()p t 的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？10．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不大于90万箱时，()991708p x x =--；当产量超过90万箱时，()1001002000p x x x =+--，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（Ⅰ）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（Ⅱ）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？11．杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x ⎧-<≤⎪=⎨+->⎪+⎩（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．12．某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足函数：21400,0400280000,400x x x R x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（1）将利润()f x （单位：元）表示成月产量x 的函数（2）当月产量x 为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）一、单选题1．（2007·湖南高考真题（文））设2:40p b ac ->（0a ≠），:q 关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）有实数，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2．（2015·四川高考真题（文））某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（ 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．21小时3．（2015·北京高考真题（文））某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升4．（2014·北京高考真题（文））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟二、填空题5．（2009·上海高考真题（文））某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点______为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短．三、解答题6．（2008·广东高考真题（文））某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）7．（2013·全国高考真题（文））经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x（单位：t，100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（Ⅰ）将T 表示为x 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率.8．（2015·上海高考真题（文））如图，O ,P ,Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后原地等待.设时乙到达P 地.2t t =时乙到达Q 地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.9．（2009·湖北高考真题（文））围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．10．（2011·湖北高考真题（文））提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．一、单选题1．（2021·江西高三其他模拟（文））科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ可定义为0.6lg I γ=.2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（）倍．A ．2B ．10C ．100D ．10002．（2021·江苏南京市·高三三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为12010I -=（瓦/平方米）.对于一个声音的声强I ，用声强I 与0I 比值的常用对数的10倍表示声强I 的声强级，单位是“分贝”，即声强I 的声强级是010lg I I （分贝）.声音传播时，在某处听到的声强I 与该处到声源的距离s 的平方成反比，即2k I s=（k 为常数）.若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声强不小于0I ）的位置到声源的最大距离为（）A ．100米B ．150米C ．200米D ．1510米3．（2021·内蒙古包头市·高三二模（文））地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级M 与所释放的能量E 的关系如下： 4.81.510M E +=（焦耳）10 3.16≈），那么8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的（）A ．30.6倍B ．31.6倍C ．3.16倍D ．3.06倍4．（2021·湖北武汉市·高三三模）2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利.湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”.已知某品种脐橙失去的新鲜度h 与其采摘后的时间t (天)满足关系式：t h m a =⋅.若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度（）(已知lg 20.3≈，结果四舍五入取整数)A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天5．（2021·全国高三其他模拟）生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y （单位：mg ）与时间t （单位：年）近似满足数学函数关系式()1t y eλλ-=-，其中λ为抗生素的残留系数．经测试发现，当23t =时，910y λ=，则抗生素的残留系数λ的值约为（）()ln10 2.3≈A ．10B ．110C ．100D ．11006．（2021·湖北武汉市·高三其他模拟）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M 用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：max 0lg A M A =（其中常数0A 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；max A 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E 是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． 4.8 1.51010M E =⨯（单位：焦耳），其中M 为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的310倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A ，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（）A ．2A B ．10A C ．100A D ．1000A7．（2021·全国高三其他模拟）在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量()P t (t 的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为()0.420.4211tt e P t e K =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中K 为环境最大容量.当()027.31K P t K K e =-+时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为（）A ．63B ．65C ．66D ．698．（2021·全国高三其他模拟）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q 成正比，且当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法：①v 与3log 100Q 的正比例系数为13k =；②当2m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700；③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速1m /s v e=.则说法正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．39．（2021·江西南昌市·高三三模（文））某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（）A ．1180元B ．1230元C ．1250元D ．1152元10．（2021·上海市七宝中学高三一模）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(50)()1t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()*0.95I tK =时，标志着己初步遏制疫情，则*t 约为（）A ．59B ．61C ．63D ．65二、填空题11．（2021·湖南高三其他模拟）2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图"见图.。

高考中常用函数模型归纳及应用

高考中常用函数模型．．．．归纳及应用一．常数函数y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。

关于方程解的个数问题时常用。

例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+3π)=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（）A ．[-2，2] B.[3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)解析；令y=2sin(x+3π), y=a 画出函数y=2sin(x+3π)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( 3,2)，选D二．一次函数y=kx+b (k ≠0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。

常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。

有定义域限制时，要考虑区间的端点值。

例2．不等式2x 2+1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（）A ．-2≤x ≤2 B.431- ≤x ≤0 C.0≤x ≤471+ D.471-≤x ≤413- 解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x 2+1若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需⎩⎨⎧≥-≥0)2(0)2(f f ，解之可得答案D三．二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。

很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。

比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。

例3．（1）.若关于x 的方程x 2+ax+a 2-1=0有一个正根和一个负根，则a 的取值范围是（）解析：令f(x)= x 2+ax+a 2-1由题意得f(0)= a 2-1 ＜0,即-1＜a ＜1即可。

高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用

高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用第1篇：高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用导语：常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等，下面就由小编为大家带来高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用，大家一起去看看怎么做吧！1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数y=kx+b(k≠0)，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，指数函数y=ax(a>0且a≠1)，对数函数y=logax(a>0且a≠1)，幂函数y=xa(a为常数)2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一步，审清题意，设立变量;第二步，根据所给模型，列出函数关系式;第三步，利用函数关系求解;第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答.3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：(1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图;(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线;(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式;(4)利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.4.解疑释惑(1)怎样理解“数学建模”和实际问题的关系?一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”. (2)怎样才能搞好“数学建模”?在“数学建模”中要把握好下列几个问题：1理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.2数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.3求解模型：以所学的数学*质为工具对建立的数学模型进行求解.○4检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效*，如果不满意，要考虑重新建模.5评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进，并重复上述步骤.(3)“数学建模”中要注意什么问题?1有的应用题文字叙述冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意.2解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数*质或方程观点来求解，则可使应用题化生为熟，尽快得到解决.5.规律总结(1)如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，可考虑用分段函数来表示它.另外，在实际问题的计算中应注意统一单位.(2)分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见，应引起充分注意.(3)建立“数学模型”常用的分析方法：(1)关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.(2)列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.(3)图象分析法：即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法.第2篇：高一数学函数模型及其应用知识点函数部分的知识最主要的是怎样运用，在考试中考察的也是应用及模型，因此掌握数学函数模型及其应用知识点是掌握本课内容的基础，希望大家可以认真学习。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第9节：函数模型及其应用(学生版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第9节函数模型及其应用考试要求1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)与指数函数相关的模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与对数函数相关的模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与幂函数相关的模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度.()2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.114.(2022·江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝B log21＋SN来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为()A.0.1WB.1.0WC.3.2WD.5.0W5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.6.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－f（b）－f（a）b－a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是__________.考点一利用函数图像刻画变化过程1.已知高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像是()2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图像，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )－720x ＋1，0＜x ≤1，15＋920x －12，1＜x ≤30.则下列说法错误的是()A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%3.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水.则一定正确的论断是________(填序号).4.(2021·西安调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝12t＋a；④y＝t＋a中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.考点二二次函数模型例1(1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100kg.训练1(1)(2021·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.(2)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为30－52R万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A.[4，8]B.[6，10]C.[4%，8%]D.[6%，10%]考点三指数、对数函数模型例2(1)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是()A.6B.5C.4D.3(2)(2021·唐山联考)尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取10＝3.2)训练2(2021·贵阳调研)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？考点四分段函数模型例3小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？训练3某校高三(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个社会实践小组，决定利用暑假八月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)满足如图所示的函数关系，已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系(具体数据如下表所示).t(天)281624Q(斤)38322416(1)根据提供的图像和表格，写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式；(2)写出销售水果的日收入y(元)与t的函数关系式，并求这30天中第几天的日收入最大？最大为多少元？1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是()2.(2022·绵阳诊断)某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.0021000≈7.37，lg 7≈0.845)()A.y ＝0.25xB.y ＝1.002xC.y ＝log 7x ＋1D.y ＝x10－13.(2021·全国大联考)如图，矩形花园ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ 足够长，则围成该花园所需要篱笆的()A.最大长度为8米B.最大长度为42米C.最小长度为8米D.最小长度为42米4.(2022·兰州质检)设光线通过一块玻璃，光线强度损失10%，如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后光线的强度为y，则y＝k·0.9x(x∈N+)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃的块数为(参考数据：lg3≈0.477)()A.9B.10C.11D.125.(2021·济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lgx1×10－13.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同D.前6个月的平均收入为40万元7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为________米.8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.9.(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元.(参考数据：1.02255≈1.118，1.04015≈1.217)10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q 10 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝42a－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＋2，80≤a≤120，，120<a≤160，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？12.(2022·保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，其计算式子为U＝kcq2·(1R＋1R＋x1－x2－1R＋x1－1R－x2)，其中，kc为静电常量，x1，x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R＋x1－x2＝1＋x1－x2R R＋x1＝R1＋x1R R－x2＝R1－x2R(1＋x)－1≈1－x＋x2，则U的近似值为()A.kcq2x1x2R3B.－kcq2x1x2R3C.2kcq2x1x2R3D.－2kcq2x1x2R313.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1).其中星等为m i的天体的亮度为E i(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)()A.1.24B.1.25C.1.26D.1.2714.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg n A来记录A菌个数的资料，其中n A为A 菌的个数.现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<P A<5.5(注：lg2≈0.3).则正确的说法为________(写出所有正确说法的序号).。

函数模型及其应用知识点与题型归纳

●高考明方向1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.★备考知考情1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点．2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力．3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.一、知识梳理《名师一号》P35感谢下载载知识点一几类函数模型知识点二三种增长型函数之间增长速度的比较1.指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)：在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n.感谢下载载2．对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)：对数函数y＝log a x(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时，有log a x＜x n由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n＞log a x.注意：《名师一号》P36 问题探究问题1、2问题1 解决实际应用问题的一般步骤是什么？(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；感谢下载载(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：问题2 在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？(1)函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型．(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．二、例题分析：（一）三种函数模型增长速度的比较例1.《名师一号》P36 对点自测5、6感谢下载载5.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )(2)幂函数增长比直线增长更快．( )(3)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.( )(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x、h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√思考：如何证明：任意x∈(4，＋∞)，x2<2x恒成立。

掌握高考数学中的函数模型与应用技巧有哪些关键点

掌握高考数学中的函数模型与应用技巧有哪些关键点高考数学中，函数模型与应用是一个相对重要的考点，也是考察学生对数学知识的理解和运用能力的一个关键点。

掌握函数模型与应用的技巧将有助于学生在高考中获得更好的成绩。

本文将介绍一些掌握高考数学中函数模型与应用的关键点。

一、了解并掌握各类常见函数模型在高考数学中，常见的函数模型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

了解这些函数模型的定义、性质和特点，对于解题时的分析和应用至关重要。

以线性函数为例，它表示为y = kx + b的形式，其中k和b分别表示斜率和截距。

掌握线性函数的斜率表示一条直线的倾斜程度，截距表示直线与y轴的交点。

二次函数的标准形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

理解二次函数的顶点坐标和对称轴，通过这些特点可以快速分析和绘制函数图像，并应用于求解问题。

指数函数和对数函数是一对互逆函数。

指数函数的一般形式为y =a^x，对数函数的一般形式为y = logₐx。

掌握指数函数和对数函数的性质和公式，有助于求解相关的问题，如解指数方程和对数方程等。

三角函数是高考数学中的一个重要的函数模型，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

掌握三角函数的周期性、对称性和性质，能够应用于解决相关的几何、物理问题等。

二、灵活应用函数模型进行问题转化在高考数学中，经常会出现需要将问题进行函数化的情况，即将问题所描述的条件和要求转化为函数模型，并运用函数的性质进行问题的求解。

以最简单的线性函数为例，当遇到有关于等比例关系或者变化速度的问题时，可以通过函数的斜率来求解。

当遇到两个变量之间存在一定的线性关系时，可以建立对应的线性函数模型，并利用此模型来解决问题。

对于二次函数，可以通过求解顶点坐标、对称轴、零点等关键信息，来分析函数的图像和性质，并应用于相关的问题。

比如，如何找到一个二次函数的最大值或最小值，或者求解满足特定条件的二次方程等。

2024版高考数学总复习：函数模型及其应用教师用书

第九节函数模型及其应用考试要求：1．在实际情景中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．2．结合现实情景中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．一、教材概念·结论·性质重现1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)．(2)反比例函数模型：f (x )＝��(k 为常数，k ≠0)．(3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)．(4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(5)指数型函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)．(6)对数型函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)．(7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．(8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋��01．不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化各有不同值的比较存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)幂函数增长比直线增长更快．(×)(2)不存在x0，使��0<�0�<log a x0.(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．(√) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×) 2．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝0.001e x B．y＝1000ln xC．y＝x1000D．y＝1000·2xA解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增长速度越快．故选A.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B. 4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2xD解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.5．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_________．3解析：设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形的面积为y，则y＝x·24−4�＝2x(6－x)＝－2(x－3)22＋18，∴当x＝3时，y最大．考点1利用函数的图象刻画实际问题——基础性1．如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()B解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；开始时，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B.故选B. 2．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()B解析：由函数图象可判断出该容器的形状不规则，又函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.3．(多选题)(2022·北京东城区模拟)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的是()A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本BC 解析：由题图(1)可设y 关于x 的函数为y ＝kx ＋b ，k ＞0，b ＜0，k 为票价，当k ＝0时，y ＝b ，则－b 为固定成本．由题图(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则－b 变小，固定成本减小，故A 错误，B 正确；由题图(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，即k 变大，票价提高，b 不变，即－b 不变，固定成本不变，故C 正确，D 错误．4．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (单位：千克)随时间x (单位：天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．1909解析：前10天满足一次函数关系．设为y ＝kx ＋b .将点(1，10)和点(10，30)的坐标代入函数解析式得10=�+�，30=10�+�，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709.当x ＝6时，y ＝1909.1．解决这类问题一般要根据题意构建函数模型，先建立函数模型，再结合模型选图象，并结合五个幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第3题，根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证答案是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点2已知函数模型解决实际问题——综合性汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d 表示停车距离，d 1表示反应距离，d 2表示制动距离，则d ＝d 1＋d 2.如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．序号速度(km/h)停车距离14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d ＝av ＋b ；模型②：d ＝av 2＋bv ；模型③：d ＝av ＋��；模型④：d ＝av 2＋��(其中v 为汽车速度，a ，b 为待定系数)进行拟合．如果根据序号3和序号7两组数据分别求出四个函数模型的解析式，并通过计算120km/h 时的停车距离与实验数据比较，则拟合效果最好的函数模型是()A．d ＝av ＋b B．d ＝av 2＋bv C．d ＝av ＋��D．d ＝av 2＋��B 解析：若选择模型①，则60�+�=35.7，100�+�=85.4，解得a ＝1.2425，b ＝－38.85.故d ＝1.2425v －38.85.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为1.2425×120－38.85＝110.25.若选择模型②，则3600�+60�=35.7，10000�+100�=85.4，解得a ＝0.006475，b ＝0.2065.故d ＝0.006475v 2＋0.2065v .当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.006475×1202＋0.2065×120＝118.02.若选择模型③，则60�+�60=35.7，100�+�100=85.4，解得a ＝0.9996875，b ＝－1456.875.故d ＝0.9996875v －1456.875�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.9996875×120－1456.875120＝107.821875.若选择模型④，则3600�+�60=35.7，10000�+�100=85.4，解得a ＝15.9951960，b ＝379.2857143.故d ＝15.9951960v 2＋379.2857143�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为15.9951960×1202＋379.2857143120＝120.675.由实验数据可知当v ＝120时，停车距离为118m．模型②的预测值更接近118m，故模型②拟合效果最好．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．→→→1．某市家庭煤气的使用量x (单位：m 3)和煤气费f (x )(单位：元)满足关系f (x )＝�，0<�≤�，�+��−�，�>�.已知某家庭2021年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费1月份4m 34元2月份25m 314元3月份35m 319元若4月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元A 解析：根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝4，0<�≤5，4−5，�>5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，该企业考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：年份2018201920202021…投资成本x 35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．解：(1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得1=3�+�，2=5�+�，解得�=12，�=−12，所以y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)，得1=��3，2=��5，解得�=24，�=2，所以y ＝24·(2)x＝2�−32当x ＝9时，y ＝29−32＝8，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)，得1=log �3+�，2=log �5+�，解得�=2，�=−1，所以y ＝log 2(x －1)．当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系．(2)令log 2(x －1)＞6，则x ＞65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．考点3构造函数模型解决实际问题——应用性考向1二次函数、分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝50�−115，3≤�≤6，�∈�，−3�2+68�−115，6＜�≤20，�∈�.(2)对于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，显然当x＝6时，y max＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3�−＋8113，6＜x≤20，x∈Z，当x＝11时，y max＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成．如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(1)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年B解析：若2018年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元．故选B.(2)基本再生数R 0与世代间隔T 是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒感染初始阶段，可以用指数模型I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B 解析：因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28−16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t .设在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38�＋�1＝2e 0.38t ，所以e 0.38�1＝2，所以0.38t 1＝ln 2，所以t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8(天)．故选B.(1)要先学会合理选择模型．与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．1．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．无法判断盈亏情况C．没有盈利也没有亏损D．略有亏损D解析：设买入股票时的价格为m (m >0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m ×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m <m ，所以该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D.2．某汽车销售公司在A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元C解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－110·�−＋110×2124＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．3．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e-8b＝12a.故e-8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b，则t＝24，所以再经过16min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．课时质量评价(十四)A组全考点巩固练1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x(分钟)的函数图象为()D解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.2．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用()A．300天B．400天C．600天D．800天B 解析：使用n 天的平均耗资为3202�+2�+48元，当且仅当320000�＝2n 时取得最小值，此时n ＝400.3．(2023·济南月考)某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)，河水污染质量指数m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝��+�0−e −��(m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年C 解析：由题意可知，m (t )＝�0e−180�＝0.1m 0，则e −180�＝0.1，即－180t ＝ln 0.1≈－2.30，所以t ≈184，则要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是184天，即半年．故选C.4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元D解析：设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p－20)＝－p 3－150p 2＋11700p －166000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0；当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0.故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23000.5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)8解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%×1−≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.6．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x ，在理想情况下，对折次数n 有下列关系：n ≤23·log 2��(注：lg 2≈0.3)．根据以上信息，一张长为21cm，厚度为0.05mm 的纸最多能对折________次．8解析：由题知n ≤23log 24200＝23log 24+log 21000+log ＝232+3log 210+log 2因为log 210＝1lg 2≈10.3，0<log 22120<1，所以n ≤8＋23log 22120，n 的最大值为8.B 组新高考培优练7．(2022·聊城一模)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm 3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%.当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm 3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为()(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)A．5B．7C．8D．9C 解析：设该污染物排放前过滤的次数为n (n ∈N *)，由题意1.2×0.8n≥6，两边取以10为底的对数可得lg≥lg 6，即n lg2＋lg 3，所以n ≥lg 2+lg 31−3lg 2.因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以lg 2+lg 31−3lg 2≈0.3+0.4771−3×0.3＝7.77，所以n ≥7.77，又n ∈N *，所以n min ＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．故选C.8．(多选题)(2022·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，则下列结论正确的是()A．当x >1时，甲走在最前面B．当x >1时，乙走在最前面C．当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲CD 解析：甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A 不正确；当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以B 不正确．根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，所以C 正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确．9．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，有多部数学著作，其中《益古演段》主要研究平面图形问题，求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是________步、________步(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)．2060解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．10．(2023·泰安模拟)某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y (单位：微克)随着时间x (单位：时)变化的函数关系式近似为y＝≤�≤6，12−�6＜�≤12．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？解：(1)设服用1粒，经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克，可得0≤�≤6，2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果．(2)设经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克．若0≤x ≤6，药物浓度2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.若6＜x ≤12，药物浓度(12－x �−6x 2－20x ＋100≥0，所以6＜x ≤12；若12＜x ≤18，药物浓度12－(x －6)≥4，解得x ≤14，所以12＜x ≤14.综上，x 14，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时．。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解18---函数模型的应用

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第18讲函数模型的应用考向预测核心素养考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，各种题型均有可能，中档难度.数学建模一、知识梳理1．六种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b logax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)“对勾”函数模型y＝x＋ax(a为常数，a>0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝logax(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程常用结论1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．2．“对勾”函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时f (x )取最小值2a .二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 152例6改编)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y (单位：毫克)与时间x (单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y 与x 的关系，则应选用的函数模型是( )A ．y ＝ax ＋bB.y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b (a >0)C ．y ＝x a ＋b (a >0) D.y ＝ax ＋b x(a >0，b >0)解析：选 B.由散点图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b 的图象为一条曲线，且当a >0时，该函数单调递减，符合题意，故选B.2.(多选)(人A 必修第一册P 155习题4.5T 9改编)如图，某池塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法中正确的是( )A ．浮萍每月的增长率为1B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2C ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3 解析：选ABD.把(1，2)代入y ＝a t ，可得函数解析式为y ＝2t ，因为2t ＋1－2t2t ＝1，所以每月增长率为1，A 对；当t ＝5时，y ＝32>30，所以B 对；第2个月增加2 m 2，第3个月增加4 m 2，C 错；由2t 1＝2，2t 2＝3，2t 3＝6，所以2t 1·2t 2＝2t 3，故t 1＋t 2＝t 3，D 对．3．(人A 必修第一册P 96习题3.4T 5改编)下表是弹簧伸长长度x (单位：cm)与拉力F (单位：N)的相关数据：x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 F12345写出能反映这一变化现象的函数为________．(不唯一)解析：根据点的分布特征，可以考虑用函数x ＝kF ＋b (k ≠0)作为刻画弹簧伸长长度与拉力关系的函数模型．取两组数据(1，14.2)，(4，57.5)，则⎩⎨⎧k ＋b ＝14.2，4k ＋b ＝57.5，解得⎩⎨⎧k ≈14.4，b ≈－0.2，所以x ＝14.4F －0.2.将已知数据代入上述解析式，或作出函数图象，可以发现，这个函数模型与已知数据拟合程度较好．答案：x ＝14.4F －0.2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( )(2)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏1．(函数模型选择易误)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100x B.y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD.y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证可知选C.2．(指数函数、对数函数性质不明致误)下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中正确的为( )A ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越快B ．f (x )的衰减速度越来越快，g (x )的衰减速度越来越慢C ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越慢D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快解析：选C.在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为：f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢，故选C.3．(平均增长率概念不清致误)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．解析：设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，所以x＝（1＋p）（1＋q）－1.答案：（1＋p）（1＋q）－1考点一用函数图象刻画变化过程(自主练透)复习指导：能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述．1．一种叫万年松的树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的散点图如图所示．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是( ) A．y＝2t B.y＝log2tC.y＝t3D.y＝2t2解析：选B.由图知，函数的增长速度越来越慢，排除A，C，D.选B.2．(2022·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h ＝f(t)的图象大致是( )解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )解析：选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.4．(多选)(2022·福建厦门高三质检)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( )A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时解析：选AD.当t ＝1时，y ＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4，解得a ＝3，所以y ＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132，药物刚好失效的时间⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132小时，药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5微克，故C 错误．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点二已知或选择函数模型解决实际问题(综合研析)复习指导：1.已知函数模型，用待定系数法确定解析式； 2．根据几种常见函数的增长差异选择函数模型．(1)(2022·江西高三月考)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知在一定时间内，某种水果失去的新鲜度y 与其采摘后时间t (小时)近似满足的函数关系式为y ＝k ·m t (k ，m 为非零常数)，若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%.那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度(参考数据：lg 2≈0.3，结果取整数)( )A ．33小时 B.23小时 C ．35小时D.36小时(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t60100 180 种植成本Q 11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，则①西红柿种植成本最低时的上市天数是________； ②最低种植成本是________元/100 kg. 【解析】 (1)由题意⎩⎨⎧k ·m 20＝20%k ·m 30＝40%，两式相除得m 10＝2，m ＝2110，代入得k ＝5%，所以y ＝5%·2t10，由50%＝5%·2t 10得2t10＝10，取对数得t 10lg 2＝1，t ＝10lg 2≈100.3≈33(小时)． (2)由题意知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎨⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩⎨⎧a ＝0.01，m ＝80，所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.【答案】 (1)A (2)①120 ②80已知或选择函数模型解决实际问题的注意点(1)已知模型的实际问题，根据待定系数法确定模型，再利用模型求解实际问题．(2)选择模型的问题可结合函数图象，函数值的增长特点(增减、增长快慢)等选用合适的函数模型．|跟踪训练|(多选)纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：有下列函数模型：①y ＝a ·b x －2 018；②y ＝a sin πx2 018＋b (参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则( )A ．选择模型①，函数模型解析式y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系B ．选择模型②，函数模型解析式y ＝4sin πx2 018＋2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系C ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨解析：选AD.若选y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，计算可得对应数据近似为4，6，9，13.5，若选y ＝4sin πx2 018＋2 018，计算可得对应数据近似值都大于2 014，显然A 正确，B 错误；按照选择函数模型y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，令y >40，即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>40，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>10，所以x －2 018>log 3210，所以x －2 018>lg 10lg 32＝1lg 3－lg 2≈5.678 6，所以x >2 023.678 6，即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C 错误，D 正确．考点三构建函数模型解决实际问题(多维探究)复习指导：1.分析题意，寻找实际问题中起决定作用的两个变量． 2．确定两个变量间的关系，选择合适的函数模型．角度1 构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(链接常用结论2)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值，为9万元．当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值，为15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．角度2 构建指数函数、对数函数模型(1)(2022·长春高三摸底考试)2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N 0只，则达到最初的16 000倍只需经过(参考数据：ln 1.05≈0.048 8，ln 16 000≈9.680 3)( )A ．191天 B.195天 C.199天D.203天(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】(1)设过x天能达到最初的16 000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16 000N0，所以x＝ln 16 000ln 1.05≈198.4，又x∈N，故经过199天能达到最初的16 000倍．(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg A1A，则A1A＝109，5＝lg A2－lg A0＝lgA2A，则A2A＝105，所以A1A2＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．【答案】(1)C (2)6 10 000(1)建模解决实际问题的三个步骤①建模：抽象出实际问题的数学模型．②推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．③评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．(2)构建函数模型解决实际问题，充分体现了数学建模的核心素养．[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．|跟踪训练|1．(多选)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册．要使该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为( )A ．2.5元 B.3元 C.3.2元D.3.5元解析：选BC.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x (x >2)元，则发行量为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5万册，则该杂志销售收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x 万元，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x ≥22.4，化简得x 2－6x ＋8.96≤0，解得2.8≤x ≤3.2，故选BC.2．某种茶水用100 ℃的水泡制，再等到60 ℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y (单位：℃)与经过时间t (单位：min)的函数关系是：y ＝ka t ＋y 0，其中a 为衰减比例，y 0是室温，t ＝0时，y 为茶水初始温度，若室温为20 ℃，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1218，茶水初始温度为100 ℃，则k ＝________，产生最佳口感所需时间是________min.解析：由题意，y ＝ka t ＋20，当t ＝0时，有y ＝ka t ＋20＝k ＋20＝100，k ＝80，则y ＝80a t ＋20，当y ＝60时，即80a t ＋20＝60，所以80a t ＝40，所以a t ＝12，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1218t ＝12，所以t ＝8.答案：80 8[A 基础达标]1．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过的时间是( )A ．12 h B.4 h C.3 hD.2 h解析：选C.设这种细菌由1个分裂成4 096个需经过x次分裂，则4 096＝2x，解得x＝12，故所需时间t＝12×1560＝3 h.2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟赛跑，领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )解析：选B.选项A表示龟兔同时到达；选项C表示兔子没有追赶乌龟；选项D表示兔子先到达终点．3．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利 B.略有亏损C．没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．4．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )A．60安 B.240安C.75安D.135安解析：选D.由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝32064＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.5．(2022·皖南八校联考)某购物网站在2021年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.答案：36．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：87．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e－8b＝12a，故e－8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：168．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x 表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．(1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? 解：(1)用h (x )模拟比较合理，理由如下：因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30；f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5.由此可得h (x )更接近实际值，所以用h (x )模拟比较合理．(2)因为h (x )＝30|log 2x －2|在x ≥4时是增函数，h (16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.9．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元，0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资股票类产品为x 万元，则投资债券类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (20－x )＋g (x )＝20－x 8＋12x ＝－x ＋4x ＋208(0≤x ≤20)．所以当x ＝2，即x ＝4时，收益最大，y max ＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．[B 综合应用]10．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A.12B.13C.16D.110解析：选C.因为[H ＋]·[OH －]＝10－14，所以[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014，因为7.35<－lg[H＋]<7.45，所以10－7.45<[H ＋]<10－7.35，所以10－0.9<[H ＋][OH －]＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg 100.7＝0.7>lg 3>lg 2，所以100.7>3>2，10－0.7<13<12，所以110<[H ＋][OH －]<13.故选C.11．(2022·焦作温县一中10月月考)搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F 遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v (单位：千米/秒)可以用齐奥尔科夫斯基公式v ＝ωln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M 来表示，其中，ω(单位：千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m (单位：吨)表示它装载的燃料质量，M (单位：吨)表示它自身(除燃料外)的质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v 达到第一宇宙速度(7.9千米/秒)，则火箭的燃料质量m 与火箭自身质量M 之比mM约为( )A ．e 1.58 B.e 0.58 C ．e 1.58－1D.e 0.58－1解析：选C.由题设，5ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M ＝7.9，则m M ＝e 7.95－1＝e 1.58－1.12．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )＝⎩⎨⎧－720x ＋1，0<x ≤1，15＋920x －12，1<x ≤30.则下列说法正确的是( )A ．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B ．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C ．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D ．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%解析：选ABC.由函数解析式可知f (x )随着x 的增加而减少，故A 正确；由图象可得B 正确；当1<x ≤30时，f (x )＝15＋920x －12，则f (9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C 正确；f (26)＝15＋920×26－12>15，故D 错误．13．燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁的燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)燕子静止时的耗氧量是________个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是________．解析：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入v ＝5log 2Q 10中可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.(2)将耗氧量Q ＝80代入v ＝5log 2Q 10中，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)．答案：(1)10 (2)15 m/s14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋(b －a )x .这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________．解析：由题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，因为b －c ＝(b －a )－(c －a )，所以(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.因为0<x <1，所以x ＝5－12. 答案：5－12[C 素养提升]15．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t (x )＝⎩⎨⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x ＞0，且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时． (1)该食品在8 ℃的保鲜时间是________小时；(2)已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日13时，甲所购买的食品________保鲜时间．(填“过了”或“没过”)解析：(1)因为食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k ＋6＝16，解得k ＝－12.所以t (8)＝2－4＋6＝4.(2)由图象可知在11时之前，温度已经超过了10 ℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时．而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．答案：(1)4 (2)过了16．(2022·上海高三月考)我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好民俗文化基础设施后任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数f (x )与第x 天近似地满足f (x )＝8＋8x(千人)，且参观民俗文化村的游客人均消费g (x )近似地满足g (x )＝143－|x －22|(元)．(1)求该村的第x 天的旅游收入p (x )(单位：千元，1≤x ≤30，x ∈N *)；(2)若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？(一年以365天计算)解：(1)依据题意，有p (x )＝f (x )·g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋8x ·(143－|x －22|)(1≤x ≤30，x∈N *)＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋968x ＋976（1≤x ≤22，x ∈N *），－8x ＋1 320x ＋1 312（22<x ≤30，x ∈N *）.(2)①当1≤x ≤22，x ∈N *时，p (x )＝8x ＋968x＋976≥28x ·968x＋976＝1 152(当且仅当x ＝11时，等号成立)，因此，p (x )min ＝p (11)＝1 152(千元)．②当22<x≤30，x∈N*时，p(x)＝－8x＋1 320x＋1 312.求导可得p′(x)＝－8－1 320x2<0，所以p(x)＝－8x＋错误!＋1 312在(22，30]上单调递减，于是p(x)min＝p(30)＝1 116(千元)．又1 152>1 116，所以日最低收入为1 116千元．该村两年可收回的投资资金为 1 116×20%×5%×365×2＝8 146.8(千元)＝814.68(万元)，因为814.68万元>800万元，所以，该村在两年内能收回全部投资成本．21 / 21。

高考数学《2.9 函数模型及其应用》

f(x)=4
1
+
1 ��
,人均消费 g(x)(单位:元)与时间 x(单位:天)的函数关系
近似满足g(x)=104-|x-23|. (1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N*) 的函数关系式; (2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资. 思考分段函数模型适合哪些问题?
关闭
4
解析答案
第二章
2.9 函数模型及其应用
知识梳理
核心考点
-9-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1 二次函数模型
例1A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x km处建一核电站给 A,B两城供电,为保证城市安全,核电站与城市距离不得小于10 km. 已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25 倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供电量为每月10亿度.
核心考点
-7-
知识梳理双基自测
12345
4.(教材例题改编P123例2)在某个物理实验中,测量得变量x和变量 y的几组数据,如下表.则x,y最适合的函数模型是( )
x 0.50 y -0.99
0.99
2.01
3.98
0.01
0.98
2.00
A.y=2x C.y=2x-2
B.y=x2-1 D.y=log2x
关闭
(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
答案
第二章
2.9 函数模型及其应用
知识梳理
核心考点
-5-
知识梳理双基自测
12345

函数模型及其应用知识点总结及典例

函数模型及应用一．知识梳理1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.二、典例解析【例1】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【变式训练2】某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。

巩固练习 A 组1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元．一客户购买400吨，单价应该是( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元2．2()f x x =,()2x g x =,2()log h x x =,当(4,)x ∈+∞时,三个函数增长速度比较,下列选项中正确的是（）A. ()f x >()g x >()h xB. ()g x >()f x >()h xC. ()g x >()h x >()f xD. ()f x >()h x >()g x 2．某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（）.A. a (1+x )5元B. a (1+x )6元C. a (1+x 5)元D. a (1+x 6)元某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（）.A. pB. 12pC. (1+p )12D. (1+p )12－13．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12 4．电视台播出的一档节目中有这样一道抢答题:小蜥蜴体长15 cm,体重15 g,已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比,问:当小蜥蜴长到体长为20 cm 时,它的体重大约是( )A.20 gB.25 gC.35 gD.40 g5．进货单价为80元的商品400个，按90元一个可以全部卖出，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少20个，问售价多少元时获得的利润最大？( )A ．85B ．90C ．95D ．1005．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为_ _____台．6．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过节20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重(040)x x <≤克的函数，其表达式为()f x = .7．(2010年浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是______．8．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠； ③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款__ ______ 元．9．如图K3－8－1(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图K3－8－1(2)(3)所示．图K3－8－1给出以下说法：(1) 图(2)的建议是：提高成本，并提高票价；(2) 图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； (3) 图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； (4) 图(3)的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是_______．10．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P 和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是P=42,Q x ax (a>0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元,求 a 的最小值B 组1．为了得到函数y ＝3×3x 的图象，可以把函数y ＝3x的图象( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 2．函数y ＝ln(1－x )的大致图象为( )3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )A BC D4．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－xC ．坐标原点对称D ．直线y ＝x5.一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（）A ．气温最高时，用电量最多B ．气温最低时，用电量最少C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加6.函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（）y=f(x)oyxy=g(x)o yxoyxo yxoyxo yxA B C D7．关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是_ _． 8．已知下列曲线：以下编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号_ _______． 9 作函数()11f x x =-的简图 10.使2log ()1x x -<+成立的x 德取值范围是。

高考数学复习第2章函数模型及其应用

第九节
函数模型及其应用
【知识重温】
一、必记2个知识点
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0,＋∞)上
的增减性
增函数
________
增函数
________
增函数
________
增长速度
________
越来越快
________
越来越慢
相对平稳
函数问题求解.

函数y＝x＋模型的应用

考点二
[例1] “水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，
近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供
水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水
几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段
函数模型求解；
②构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏；
③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)对构造的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化为熟悉的
B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
解析：由所给数据可知,y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D
中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变．故选C.
四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于
)
A．y＝6x
B．y＝log6x

数学高考专题复习第9节函数模型及其应用

ห้องสมุดไป่ตู้
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax
2.几种常见的函数模型函数模型
一次函数模型
反比例函数模型
二次函数模型指数型函数模型对数型函数模型幂函数型模型
“对勾”函数模型
函数解析式 f(x)= ax+b (a,b 为常数,a≠0)
f(x)= k (k≠0) x
f(x)= ax2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0)
C (D)10 km
解析:设出租车行驶 x km 时,付费 y 元,
9,0 x 3,
则
y=
8
2.15
x
3
1,3
x
8,
8 2.155 2.85 x 8 1, x 8.
由 y=22.6,解得 x=9.
3.某种商品进价为4元/件,当日均零售价为6元/件,日均销售100件,当单价每增加1元,
4.(多选题)下列说法中不正确的有( ACD ) (A)函数 y=2x 的函数值在(0,+∞)上一定比 y=x2 的函数值大 (B)在(0,+∞)上,随着 x 的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y=xα(α>0) 的增长速度 (C)不存在 x0,使 ax0< x0n <logax0 (D)幂函数增长比直线增长更快
日均销量减少10件,试计算该商品在销售过程中,若每天固定成本为20元,则预计单价
为多少时,利润最大( )

高考数学 2.9 函数模型及其应用

租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话
费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这
两种方式电话费相差( )
A.10元
B.20元
C.30元
D. 4 0 元
3
(2)(2015·昆明模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积
最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为
m.
【解题提示】(1)根据对应点的坐标分别求出两条直线方程. (2)根据相似三角形的性质,找出比例关系,列出以x为变量的二次函数式表示出阴影部分的面积。
2.教材改编链接教材练一练
(1)(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的
几组数据,如下表:
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y -0.99 0.01 则x,y最适合的函数的是( )
0.98
2.00
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
考点1 一次函数、二次函数模型知·考情
以一次函数、二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中,尤其是二次函数,考查较多,既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中, 属中档题.
明·角度
命题角度1:单一考查一次函数或二次函数模型
【典例1】(1)(2015·西安模拟)某电信公司推出两
种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月
【解析】选B.由题意知h=20-5t(0≤t≤4),故选B.
3.真题小试感悟考题试一试
(1)(2015·泉州模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函
数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25

数学高一级函数模型及其应用知识点梳理

数学高一级函数模型及其应用知识点梳理
函数是数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。

精品小编准备了数学高一级函数模型及其应用知识点，希望你喜欢。

●高考明方向1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.★备考知考情1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点.2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力.3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.数学高一级函数模型及其应用知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。

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函数的模型及其应用课件-2025届高三数学一轮复习

C
A. B. C. D.
【易错点】忽视函数的性质致误，在实际应用问题中，要结合问题的实际意义和函数的性质来确定拟合函数.
解析由题意知，拟定函数应满足：①是增函数，且增长速度先快后慢再快；②在左右增长速度较慢，且的最小值为500. 对于A，在上先减后增，不符合要求；对于B，是指数型函数，增长速度越来越快，不符合要求；对于C，的图象是由的图象平移和伸缩变换得到的，符合题目要求；对于D，是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求.故选C.
C
A.4.0天 B.4.3天 C.4.7天 D.5.1天
解析由已知得两式相除得，即，则，因为，所以，设天后采摘下来的金针菇会失去全部新鲜度，则，又，所以，即，所以，解得（负值已舍去）.故选C.
分段函数模型
典例3 如图，在矩形中，，，是的中点，点沿着边，与运动，记，若将的面积表示为关于的函数，则( ) .
基础知识·诊断
一、几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
,为常数，
二次函数模型
,,为常数，
反比例函数模型
,为常数且
指数函数模型
,,为常数，,且
对数函数模型
,,为常数，,且
幂函数模型
,, 为常数，,
“对勾”函数模型
二、三种函数模型的性质
函数性质
在上的增减性
单调①______
B
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
解析因为，，，所以，所以 .设在该疾病传染的初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以（天）.故选B.
考点聚焦·突破
考点一利用函数图象刻画实际问题［自主练透］