专题41 高中数学函数模型的应用(解析版)

专题41 函数模型的应用1．常用函数模型

常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)

(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

(3)指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

(4)对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)

(5)幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)

(6)分段函数模型y＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧ax＋b(x

cx＋d(x≥m)

2．函数模型应用的两个方面

(1)利用已知函数模型解决问题．

(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．

3．用函数模型解决实际问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．

(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．

(3)求模：求解函数模型，得到数学结论．

(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．

可将这些步骤用框图表示如下：

4．数据拟合

(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．

(2)数据拟合的步骤

①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；

②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；

③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；

④做必要的检验．

题型一 函数模型的选择问题

1．如表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )

x 4 5 6 7 8 9 10 y

15

17

19

21

23

25

27

A.一次函数模型 B ．二次函数模型 C ．指数函数模型

D ．对数函数模型

[解析] 自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.

2．有一组实验数据如下表所示：

t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u

1.5

4.04

7.5

12

18.01

则能体现这些数据关系的函数模型是( )

A ．u ＝log 2t

B ．u ＝2t

－2 C ．u ＝t 2－1

2

D ．u ＝2t －2

[解析]可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．

由散点图可知，图象不是直线，排除选项D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，排除B ，故选C.

3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y ＝ka x (k ∈R ，a >0且a ≠1)的模型的是( )

A ．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)

B ．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系

C ．如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么此人骑车的平均速度v 与时间t 的函数关系

D ．信件的邮资与其重量间的函数关系

[解析]A 中的函数模型是二次函数；B 中的函数模型是指数型函数；C 中的函数模型是反比例函数；D 中的函数模型是一次函数．故选B ．

4．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点．当点P 沿路线A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y ＝f (x )的图象大致是( )

[解析]由题意得，当0

2

x ；

当1

4； 当2

4

.结合各选项可知，A 选项符合题意． 5．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随生源利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？

[解析]借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x 的图象(如图所示)，观察图象可知， 在区间[5,60]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x 的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在 y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．

6．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加．据测，2015年、2016年、2017年大气中的CO 2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模型每年CO 2浓度增加的单位数y 与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r (其中p ，q ，r 为常数)或函数g (x )＝a ·b x ＋c (其中a ，b ，c 为常数)，又知2018年大气中的CO 2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？

[解析]若以f (x )＝px 2＋qx ＋r 作模拟函数，

则依题意，得⎩⎪⎨⎪

⎧

p ＋q ＋r ＝1，

4p ＋2q ＋r ＝3，

9p ＋3q ＋r ＝6，

解得⎩⎨⎧

p ＝12

，q ＝12，

r ＝0.

∴f (x )＝12x 2＋1

2

x .

若以g (x )＝a ·b x

＋c 作模拟函数，则⎩⎪⎨⎪

⎧

ab ＋c ＝1，

ab 2＋c ＝3，

ab 3

＋c ＝6.

解得⎩⎨⎧

a ＝83

，b ＝32，

c ＝－3.

∴g (x )＝83·⎝⎛⎭

⎫32x

－3.

利用f (x )，g (x )对2018年CO 2浓度作估算，