面面垂直的判定定理和性质定理

定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 a a P' b 二.?「a// ■- 面平行。符合表示：a//b 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。符号表示： a広o a//? =■ a//b a -: -b 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 n 〃b " m // a a"b = M m □ n = N 符号表示： 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 a //P ] 符号表示：: =| = l//d （更加实用的性质：一个平厂L： d 面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面符号表示:

$:三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

符号表示: oA 二、： po -: 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。）四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 a _ ■ ,a---: 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面：=b, a x 上，a_b= a -:

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线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系 1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。推理模式: 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。 2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理:(线面垂直?面面垂直) 如果 ,那么这两个平面互相垂直。推理模式: 两平面垂直的性质定理:(面面垂直?线面垂直) 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明. 例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC. (1)求证:平面PAC ⊥平面PBC; (2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.

2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥ 证明:平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .

高中数学线面、面面垂直的判定与性质

线面、面面垂直的判定与性质知识回顾 1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述： ⎭ ⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表述： ⎭⎪⎬⎪ ⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示： ⎭ ⎪⎬⎪ ⎫a ⊥β ⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角

二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C 例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为() A．4 B．3 C．2 D．1 答案：A 例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中， ∵E、F分别是B1C1、B1B的中点， ∴△BB1E≌△CBF， ∴∠B1BE＝∠BCF， ∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．

线线垂直、线面垂直、面面垂直判定和性质

空间中的垂直关系 1．线面垂直直线与平面垂直的判断定理：假如，那么这条直线垂直于这个平面。推理模式：直线和平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。 2．面面垂直两个平面垂直的定义：订交成的两个平面叫做相互垂直的平面。两平面垂直的判断定理：（线面垂直面面垂直）假如，那么这两个平面相互垂直。推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。一般来说，线线垂直或面面垂直都可转变为线面垂直来剖析解决，其关系为：线线垂直判断判断线面垂直面面垂直．这三者之间的关系特别亲密，性质性质能够相互转变，以前面推出后边是判断定理，而从后边推出前面是性质定理．同学们应该学会灵巧应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中包含着低一级的垂直关系，下边举例说明．

例题： 1．如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点， PA⊥平面 ABC．（1）求证：平面 PAC⊥平面 PBC；（2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的双侧，试写出图中全部相互垂直的各对平面． 2、如图，棱柱ABC A 1 BC 11 的侧面 BCC 1 B 1 是菱形，B1C A1B 证明：平面 AB1C平面 A1 BC1 3、如下图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M 和 C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面 A1B1M 1

4、如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面 ABC．若 AE⊥ PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是 PB 上随意一点，求证：平面 AEF⊥平面 PBC． 5、如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1中，AC ＝ BC ＝1，∠ACB ＝ 90°，AA1＝2 ， D是 A1B1中点．（ 1）求证 C1D ⊥平面 A1B ；（2）当点 F 在 BB1上什么地点时，会使得 AB1⊥平面 C1DF 并证明你的结论

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系之青柳念文创作 1．线面垂直直线与平面垂直的断定定理：如果，那末这条直线垂直于这个平面. 推理形式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那末这两条直线. 2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面. 如果，那末这两个平面互相垂直. 推理形式：若两个平面互相垂直，那末在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另外一个平面. 一般来讲，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析面垂直．这三者之间的关系非常紧密亲密，可以互相转化，从前面推出后面是断定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会矫捷应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2 3AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4 Ｏ的直径，ＣABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面 A 1 B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论 6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC. 7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，正面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD S A B

(完整版)面面垂直的判定+性质定理(例题)

面面垂直的判定 1、如图,棱柱111C B A ABC -的侧面11B BCC 是菱形，且11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 2、如图，AB 是 ⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点,求证：平面PAC ⊥平面PBC. 3、如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，求证：平面PBE ⊥平面PAB ； 4、如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ,点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1）直线EF ∥平面ACD ；(2）平面EFC ⊥平面BCD .

5、如图,在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N. (I）求证:SB∥平面ACM；（II）求证:平面SAC⊥平面AMN. 面面垂直的性质 1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，求证AB ⊥BC.

2、在四棱锥中,底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD 3、如图,平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD 。求证:AB DE ⊥ w 。w 。w 。k 。s 。5.u 。c 。o 。m 4、如图，在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ， ∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD V D C B A S A C B

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系之袁州冬雪创作 1．线面垂直直线与平面垂直的断定定理：如果，那末这条直线垂直于这个平面. 推理形式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那末这两条直线. 2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面. 如果，那末这两个平面互相垂直. 推理形式：若两个平面互相垂直，那末在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另外一个平面. 一般来讲，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析面垂直．这三者之间的关系非常紧密亲密，可以互相转化，从前面推出后面是断定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会矫捷应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．