四面体外接球的球心、半径求法教师

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为
2
22c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即22
22c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒
=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=
A B C D z x y
四、四面体是正四面体
外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，
根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为
a 4
6。

典型例题1——球的截面
例 1 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．
【练习】过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．
典型例题2——球面距离
例2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．
A ．有且只有一个
B ．一个或无穷多个
C ．无数个
D ．以上均不正确
例3 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6
1，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．
分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．
说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．
例4 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为
R 2π，求过A 、B
的平面中，与球心的最大距离是多少？
说明：利用关系式2
22d R r -=不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径r 与球心到截面的距离d 之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角AOB ∠有关，而球心角AOB ∠又直接与AB 长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索． 典型例题3——其它问题
例5．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．
分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．
说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．
例6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．
分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．
典型例题4——球与几何体的切、接问题
例7 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放
入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，
锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．
例8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．
说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 4
1=(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=．
例9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
作业
1. 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面
相切．求球的表面积与体积．
2. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
3 在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为2
49cm π和2400
cm π．求球的表面积．。