微商与微分
积分中的dx是什么意思
积分中的dx是什么意思
dx 是微分符号。
通常把自变量^x 的增量x 称为自变量的微分，记作dx，即dx = ^x。
于是函数y = f(x) 的微分又可记作dy = f'(x)dx。
函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。
因此，导数也叫做微商。
d(5x+11) 可以理解为自变量(5x+11) 的微分，d(5x+11) = 5dx，所以dx = 1/5
d(5x+11）。
拓展资料：
定义
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2],
(x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。
可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n）。
该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分。
并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数，而不是一个函数。
根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：
特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为。
微分
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)
自然指数函数
d/dx(e^x)=e^x
应用
法线
我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的
斜率。
假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线
接近所求的斜率m，当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。
当x = 3 +Δx时，y = 9+ Δy，也就是说，
（展开）
（两边减去9）
（两边除以△x）
∵ （m为曲线在(3,9)上的斜率，为直线斜率）
∴
运算法则
乘法律
连锁律
除法律
（微分连锁律）
（微分乘法律）
（微分除法律）
导数
的斜率m：
m=dy/dx在(x1,y1)的值
所以该切线的方程式为：
y-y1=m(x-x1)
由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：
y-y1=(-1/m)(x-x1)
增函数与减函数
微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。
谢谢观看
切线
当自变量为固定值
需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。
然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率 。微分最早就是为了
从数学上解决这一问题而产生的。
以y=x2为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越
微分概念及其计算
y f (x0 x) f (x0) f (x0 )x f (x0 x) f (x0) f (x0)x
令 x x0 x f (x) f (x0) f (x0)(x x0 )
使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近.
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
说明
由定理4.5，我们得到
dy f (x0 )x
当 y x 时，y' 1,dy dx 1 x x,
称x为自变量的微分, 记作 则有 dy f (x) dx
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f (x0 )
y x
f (x0 )
( lim 0 ) x0
故Hale Waihona Puke y f (x0 )x x f(x0)x o(x)
即 dy f (x0 )x
线性主部
定理4.5 函数 在点
在点 可微的充要条件是
处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
第四章 微商与微分
第二节 微分概念及其计算
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
多元函数在某点极限连续偏微商全微分之间的关系
多元函数在某点极限连续偏微商全微分之间的关系首先，我们来看多元函数在特定点的极限。
多元函数的极限是指当自变量趋近于其中一点时，函数的取值趋近于一些确定的值。
对于多元函数来说，自变量可能是n维的，函数的取值可能是m维的，所以极限会有一些特殊之处。
对于多元函数 f(x1, x2, ..., xn) 来说，我们考虑自变量点 (a1,a2, ..., an) 附近的一个小邻域 V((a1, a2, ..., an))。
如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当 (x1, x2, ..., xn) ∈V((a1, a2, ..., an)) 且0 < √(x1-a1)²+(x2-a2)²+...+(xn-an)² <δ 时，有，f(x1, x2, ..., xn) - L，< ε 成立，那么我们说函数在点 (a1, a2, ..., an) 处存在极限 L，记作：lim_(x1, x2, ..., xn)→(a1,a2,...,an) f(x1, x2, ..., xn) = L 其次，我们来看多元函数在特定点的连续性。
多元函数在特定点连续，意味着当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点的取值。
如果多元函数在点 (a1, a2, ..., an) 处存在极限 L，并且对于点 (a1, a2, ..., an) 的任意一个邻域 V((a1, a2, ..., an))，存在另一个邻域 V'(L)，使得当(x1, x2, ..., xn) ∈ V((a1, a2, ..., an)) 时，有 f(x1,x2, ..., xn) ∈ V'(L)，那么我们说函数在点 (a1, a2, ..., an) 处连续。
然后，我们来看多元函数的偏微商。
多元函数的偏微商是指函数在其中一点沿着其中一方向的变化率。
对于多元函数 f(x1, x2, ..., xn) 来说，在点 (a1, a2, ..., an) 处沿着第 i 个坐标轴的偏微商记作∂f/∂xi(a1, a2, ..., an)，表示当其他自变量固定在 a1, a2, ..., an的值时，函数 f 在点 (a1, a2, ..., an) 沿着坐标轴 xi 的方向的变化率。
微分学,积分是什么(最全的总结)
目录
总论 .................................................................................................................................................. 1 不定积分........................................................................................................................................... 2 定积分 .............................................................................................................................................. 2 偏导数 .............................................................................................................................................. 3 微分 ................................................................................................................................................ 10 [编辑本段 ] ............................................................................................................................. 11 一元微分 ............................................................................................................................... 11 [编辑本段 ] ............................................................................................................................. 11 几何意义 ............................................................................................................................... 11 [编辑本段 ] ............................................................................................................................. 11 多元微分 ............................................................................................................................... 12 微分教学过程............................................................................................................................. 12
数学分析5.5微分(含习题详解)
第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。
定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。
若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。
因此导数也常称为微商。
二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。
第四章 微商与微分(4)
= (cos x )
(n)
nπ = cos( x + ). 2
——逐阶整理法
例4. f ( x) = (1 + x)α ,
(α ∈ R )
f ′( x ) = α (1 + x )α −1， f ′′( x ) = α (α − 1)(1 + x )α − 2 ， L
f
(n)
( x) = α (α − 1)(α − 2) L (α − (n − 1))(1 + x)
C nk ( a x ) ( n − k ) (ln x ) ( k ) ∑
k =0
n
n
(−1) k −1 (k − 1)! k = ∑ Cn a x (ln a ) n − k ⋅ . k x k =0
SUN YAT-SEN UNIVERSITY
中山大学信科院计算机科学系 李聪明 2007
10
注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是 重复应用一阶导数的法则. 如：
ψ ′′ ( t )ϕ ′ ( t ) − ψ ′ ( t )ϕ ′′ ( t ) = . 3 (ϕ ′ ( t ))
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d2y 例7. x = a cos t ， y = b sin t ，求 . 2 dx
dy b 解： = − ctgt， dx a
P ′( x ) = na 0 x n −1 + ( n − 1) a1 x n − 2 + L + a n −1 , P ′′( x ) = n ( n − 1) a 0 x n − 2 + ( n − 1)( n − 2 ) a1 x n − 3 + L + a n − 3 . LL
数学分析简明教程答案(尹小玲邓东皋)第四章
x0
x
lim
x0
3x02x 3x2 x0 x
x3
3x02 ;
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim x3 0 0,
x0
x
x0 x
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim x3 0 0,
第四章 微商与微分
第一节 微商的概念及其计算
1.求抛物线y x2在A(1,1)点和B(2, 4)点的切线方程和法线方程。
解：函数y x2的导函数为y ' 2x,则它在A(1,1), B(2, 4)的切线斜率分别为
y '(1) 2, y '(2) 4;
于是由点斜式可以求得在这两点的切线方程分别为y 2x 1, y 4x 4.
由于法线斜率与切线斜率的乘积为 1, 故可以求得在这两点的法线斜率分别为
k1
1 2
,
k2
1； 4
那么由点斜式可以求得在这两点的法线方程分别为y 1 x 3 , y 1 x 9 . 22 42
2.若S vt 1 gt2,求 2
(1)在t 1,t 1 t之间的平均速度(设t 1, 0.1, 0.01); (2)在t 1的瞬时速度。 解：(1)可以求得
x
令
lim f (3 x) f (3) lim a(3 x) b 32 lim 3a a x b 9 6,
x0
x
x0
x
x0
x
那么必有
解得：a 6,b 9.
3a b 9 0 a 6
微商的概念及其计算
这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导. 30
4. 对数函数 y ln x (x 0)
lim y lim ln(x x) ln x
x0 x x0
x 等价无穷小替代
lim
ln 1
x x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
(ln x) 1
x
31
例8
y loga x (a 0, x 0) , 求y .
(3)
u( x) u( x)v( x) u( x)v( x)
v(
x)
v2 ( x)
( v(x) 0)
36
在证明这些公式时, 用到下列表达式：
u u(x x) u(x)
u(x x) u(x) u
37
(1) 证明 (u(x) v(x)) u(x) v(x)
(u(x) v(x)) lim (u(x x) v(x x)) (u(x) v(x))
x0 x x0
x
6
二.导数的概念
1. 导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
x0
x
x0 x
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
点 x0 处的导数. 记为 f (x0 ) a， y'|xx0 a,
x)
1 x ln
a
ae
(ln x) 1 x
33
5. 指数函数 y ax (a 0)
lim y lim a xx a x a x lim ax 1
(整理)高阶微商与高阶微分
§4 高阶微商与高阶微分1．高阶微商物体运动规律)(t S 瞬时速度 ()v t ＝()s t '＝ds dt瞬时加速度 ()a t ＝()v t '＝(())s t ''，或 ()a t ＝dvdt＝()d ds dt dt ． 由此产生了高阶导数的概念．一般地，设()y f x =在(,)a b 可导，则()f x '仍是(,)a b 上的函数．若()f x '也在(,)a b 可导，则称()f x '的微商(())f x ''为()f x 的二阶微商(二阶导数)，记为()f x ''或(2)()fx 或22d ydx类似地可定义()f x ''的微商为()f x 的三阶微商(三阶导数)，记为 ()f x '''或(3)()fx 或33d y dx．定义(1)()n f x -的微商为()f x 的n 阶微商(n 阶导数)，记为 ()()n f x 或n n d ydx＝11()n n d d y dx dx --．下面给出几个常用的n 阶导公式 例1例2 设sin y x =，求()n y解 'c o s y x =，''s i n y x =-，'''c o s y x =-，(4)y s i n x =。
设n y x = (n 是正整数)，若n k ≤，则 k n k x k n n n y -+--=)1()1()( 若n k >，则 0)(=k y研究规律，得 'c o s y x =s i n ()2x π=+，''y =cos()2x π+＝sin()22x ππ++＝2sin()2x π+，'''y =2cos()2x π+＝2sin()22x ππ++＝3sin()2x π+由此我们不难归纳出对于cos y x =，则 c o s s i n ()2y x x π==+()n y =sin()22n x ππ++cos()2n x π=+例3 设arctan y x =，求()n y 解 21'1y x=+211t a n y =+2c o s y =； 方程两边再对x 求导并注意y 是x 的函数，得 =-='⋅-=''y y y y y y 2cos 2sin sin cos 22cos y sin 2(2y π+)；2'''[2c o s s i n s i n 2()2c o s 2()c o s ]'22y y y y y y y ππ=-+++32c o s [c o s 2()c o s s i n s i n 2()]22y y y yy ππ=+-+ )3c o s (c o s 23π+=y y ＝332c o s s i n (3)2y y π+)2(3s i nc o s 23π+=y y ； 若()(1)!cos sin ()2n n y n y n y π=-+，则x y sin =()n y = sin()2n x π+ x y cos = )(n y cos()2n x π=+(1)n y +1(1)![c o ss i n s i n ()c o s c o s ()]'22n nn n y y n y ny n y y ππ-=--+++1()!cos [cos cos ()sin sin ()]22n n y y n y y n y ππ+=+-+1!cos cos[(1)]2n nn y n y π+=++1!cos sin(1)()2n n y n y π+=++由数学归纳法得例4高阶微商的运算法则：若,u v 都是x 的函数 1、 ()()n u v ±＝()n u ()n v ±． 2、若v u y ⋅=，则()n y ＝()()nk n k k nk C u v -=∑，n ＝1，2…． （莱布尼兹公式） 这里，函数的零阶导数理解为函数本身．下面用数学归纳法证明．事实上，1=n 时就是导数的乘积公式，设公式对n 成立，则 (1)()()0()'nn kn k k n k yC u v +-==∑ (1)()()(1)0[]n kn k k n k k nk C u v u v -+-+==+∑ arctan y x =()n y ＝(1)!cos sin ()2n n y n y π-+xy 1=1)(!)1(+-=n nn x n y(1)()()(1)nnk n k k k n k k nn k k C uvC u v -+-+===+∑∑ （令j k =+1） 1(1)()1(1)()1nn kn k k k n k k nn k k C uvC u v +-+-+-===+∑∑ 0(1)(0)1(1)()(0)(1)1()nn k k n k k n n nn n n k C uvC C u v C u v +--++==+++∑ 1(1)()10n k n k k n k C uv +-++==∑ 其中用等式 001n n C C +=，11n n n n C C ++=， kn k nk n C C C 11+-=+ 由数学归纳法知公式对一切正整数n 成立。
微分的概念——精选推荐
第二节 微分 §2.1 微分的概念一、微分概念的引入在实际测量中，由于受到仪器精度的限制，往往会产生误差。
例如x 0为准确数，实际测量出是x *＝x 0＋Δx 为x 0的近似数，由此产生的误差为Δx 相应产生的函数值的误差Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，往往需要估计Δy 的值。
如果f(x 0＋Δx)，f(x 0)计算很复杂。
因此计算Δy 也很麻烦或者实际中只知道近似数x *与误差｜Δx ｜≤δ，又如何估计Δy? 假设f ′(x)存在，则0x lim →∆x )x (f )x x ("f 00∆-∆+＝0x lim →∆xy ∆∆＝f ′(x ０)，有 xy ∆∆＝f ′(x ０)＋α，0x lim →∆α＝0，于是 Δy ＝f ′(x 0)Δx ＋αΔx ，而0x lim →∆xx ∆∆∂＝０ (1) 即 αΔx ＝0(Δx)(Δx →0)因此，当｜Δx ｜很小时，Δy ≈f ′(x 0)Δx在实际中如果不知道x 0，只知道x *，由x 0，x *相差很小，则Δy ≈f ′(x *)Δx ，从而可以估计出Δy 。
从(1)式我们看到，f ′(x 0)相对Δx 是一个常数，αΔx 是Δx 的高阶无穷小，如果Δy ＝A Δx ＋0(Δx)(Δx →0)，则Δy ≈A Δx ，由此得到微分的概念。
二、微分的概念定义 设y ＝f(x)在x 0的某领域U(x 0)内有定义，若Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)可表示为Δy ＝A Δx ＋o(Δx) (Δx →0)其中A 是写Δx 无关的常数，A Δx 称为Δy 的线性部。
则称y ＝f(x)在点x 处可微，称线性部A Δx 为y ＝f(x)在点x 处的微分，记为dy ，即dy ＝A Δx 。
三、可微与可导的关系从概念的引入，我们可以看到可导必可微，反之也是正确的。
因此有定理 函数y ＝f(x)在点x 可微的充要条件是函数y ＝f(x)在点x 处可导。
微商与微分
第四章 微商与微分概念清楚，运算熟练与准确，是本章的基本要求．§1 微商概念及其计算1．微商概念例1 质点作变速直线运动的瞬时速度．设质点P 沿直线作变速运动，运动规律 )(t S S =， 问题：求质点P 在时刻0t 的瞬时速度0()v t ．从0t 到t t ∆+0一段时间内，质点P 所走过的路程为 )()()(000t S t t S t S -∆+=∆ 平均速度为 tt S t t S tS v ∆-∆+=∆∆=)()(00当||t ∆愈小，则平均速度t S v ∆∆=就愈接近瞬时速度0()v t ，因而当t ∆0→时，平均速度的极限就是瞬时速度，即0()v t ＝0lim t ∆→t S∆∆＝0lim t ∆→tt S t t S ∆-∆+)()(00例2 非均匀棒的密度．均匀的棒：它的任何一段的质量，都与它的长度成正比，ρ=L M ，常数ρ是棒的单位长的质量，称为均匀棒的(线)密度．非均匀棒：在棒的某些地方物质分布得密一些，有些地方则不太密， 因而棒的同样长度的两段，一般说来就有不同的质量．设棒位于数轴的],0[a 上，],0[a x ∈∀，对应的],0[x 这一段的质量是)(x M ， 问题：求],0[0a x ∈∀出棒的密度)(0x ρ。
考虑从0x 到0x +x ∆之间的一段上的质量)()()(000x M x x M x M -∆+=∆ 平均密度为 xx M x x M xM ∆-∆+=∆∆=)()(00ρ||x ∆愈小，则平均密度xM ∆∆=ρ就愈精确地描写棒在0x 的密度情况，因而当x ∆0→时，平均密度的极限 xx M x x M xM x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(limlim)(0000ρ例3 曲线切线的斜率．设函数 )(x f y =，],[b a x ∈问题：求曲线上))(,(00x f x P 点切线的斜率。
切线定义：曲线上Q P ,两点作成的割线，当Q 点沿曲线无限接近P 点时的极限位置。
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则
dy | x x0 , 或df | x x0 , 即 dy | x x0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 dy f ( x)dx .
dy 由于 f ( x) ，即函数的导数等于函数的微 dx 分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
证
d(u v) (u v)dx (u v)dx
udx vdx du dv.
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
u 定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 可微, v u vdu udv 且有 d ( ) . 2 v v
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc xdx.
2
d sec x sec x tan xdx. d csc x csc x cot xdx.
1 d arsin x dx. 2 1 x 1 d arccos x dx. 2 1 x
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体 积增量
3 2 2 V ( x0 x) 3 x0 3 x0 x (3x0 (x) 2 (x) 3 ).
函数增量 V 分成两部分，一部分是 x 的线性部分
2 3x0 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
1 d arctan x dx . 2 1 x 1 d arccot x dx . 2 1 x
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 u v , u , v可微， 且有
微分
第二节 微分§2.1 微分的概念一、微分概念的引入在实际测量中，由于受到仪器精度的限制，往往会产生误差。
例如x 0为准确数，实际测量出是x *＝x 0＋Δx 为x 0的近似数，由此产生的误差为Δx 相应产生的函数值的误差Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，往往需要估计Δy 的值。
如果f(x 0＋Δx)，f(x 0)计算很复杂。
因此计算Δy 也很麻烦或者实际中只知道近似数x *与误差｜Δx ｜≤δ，又如何估计Δy?假设f ′(x)存在，则0x lim→∆x )x (f )x x ("f 00∆-∆+＝0x lim →∆x y∆∆＝f ′(x ０)，有 xy∆∆＝f ′(x ０)＋α，0x lim →∆α＝0，于是Δy ＝f ′(x 0)Δx ＋αΔx ，而0x lim →∆xx∆∆∂＝０(1)即 αΔx ＝0(Δx)(Δx →0)因此，当｜Δx ｜很小时，Δy ≈f ′(x 0)Δx在实际中如果不知道x 0，只知道x *，由x 0，x *相差很小，则Δy ≈f ′(x *)Δx ，从而可以估计出Δy 。
从(1)式我们看到，f ′(x 0)相对Δx 是一个常数，αΔx 是Δx 的高阶无穷小，如果Δy ＝A Δx ＋0(Δx)(Δx →0)，则Δy ≈A Δx ，由此得到微分的概念。
二、微分的概念定义 设y ＝f(x)在x 0的某领域U(x 0)内有定义，若Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)可表示为Δy ＝A Δx ＋o(Δx) (Δx →0)其中A 是写Δx 无关的常数，A Δx 称为Δy 的线性部。
则称y ＝f(x)在点x 处可微，称线性部A Δx 为y ＝f(x)在点x 处的微分，记为dy ，即dy ＝A Δx 。
三、可微与可导的关系从概念的引入，我们可以看到可导必可微，反之也是正确的。
因此有定理 函数y ＝f(x)在点x 可微的充要条件是函数y ＝f(x)在点x 处可导。
一、微分的概念
f ( x ) (Δ x )2 f ( x ) (d x )2 .
或写作 d 2 y f ( x )d x 2 , 称为 f 的二阶微分.
注 由于 Δ x 与 x 无关, 因此 x 的二阶微分 d(Δ x )
d(d x ) d 2 x 0, 它与 d x 2 (d x )2 , d( x 2 ) 2 x d x
sin x x, tan x x, ln1 x x , e x 1 x .
例5 试求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ). π π π ), 取 f ( x ) sin x , x0 , 解 sin 33 sin( 6 60 6 x π , 由公式 (9) 得到 60
果已知测量值 x0 的误差限为 x , 即
| Δ x | | x x0 | x ,
则当 x 很小时, 量 y0 的绝对误差估计式为:
| Δ y | | f ( x ) f ( x0 ) | | f ( x0 )Δ x | | f ( x0 ) | x .
Δ x 的线性部分 2 xΔ x 和 Δ x 的高阶部分( Δ x )2.因
此, 当边长 x 增加一个微小量 Δ x 时, Δ S 可用 Δ x
的线性部分来近似. 由此产生的误差是一个关于
2 ( Δ x ) 的高阶无穷小量 , 即以 Δ x 为边长的小 Δx
正方形(如图).
x2
2
xΔ x
Δx
xΔ x
d (sin x ) cos x dx ;
ห้องสมุดไป่ตู้
d (a ) a ln a dx .
x
x
二、微分的运算法则
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:
第四节微商与微分
y x
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不0可导.
xo
x
不可导
点
4. 微商的计算
原料
基本初等函数 的微商公式
加工
四则运算 复合运算
微商法则
产品
初等函数 的微商
基本初等函数的微商公式
（1）常值函数 y c '
c' 0 （2） y xn : 其中 n 是正整数
(xn ) ' nxn1 （3）正弦函数 y sin x 与余弦函数 y cos x
第四章 微商与微分
微商概念来自一个连续量随另一 个速度量变化的“瞬时”变化率。
§1 微商的概念及其计算
例1 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
特别：
x ' 1 2x
1 x
'
1 x2
总结：
ln x ' 1
x
98页 微商公式表和运算法则。要求：熟记
例7 y sin x2 ，求 y '
解： y sin x2 可视为y sin u 和 u x2 的复合，故
y ' sin u ' x2 ' cos u 2x 2x cos x2
例13
设
f
x
x sin
0,
1 x
,
x0 x0
当 x 0 时，函数 f x 是可导的：
f
'x
sin
1 x
1 x
第四章 微商与微分 .doc
第四章 微商与微分
一、学习要求：
（1）正确理解微商的概念；
（2）知道微商的几何意义与物理意义；
（3）掌握可导与连续的关系；
（4）牢固掌握求导的四则运算公式、复合函数求导的法则和反函数求导的法则，能迅速正确地求初等函数的导数；
（5）熟悉基本初等函数的求导公式；
（6）掌握隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程确定的函数的求导法；
（7）正确理解微分概念；
（8）了解可微与可导的关系，知道导数与微分的区别与联系；
（9）正确理解一阶微分的形式不变性，并会用它求导．
二、学习的重点与难点
重点：微商与微分的概念，求导的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本
初等函数的求导公式．
难点：复合函数的求导法则，一阶微分的形式不变性．
三、导数的常用计算方法
（1）利用微商的定义求导；
（2）利用求导的四则运算法则及基本初等函数的导数公式求导；
（3）利用反函数求导法则求导；
（4）利用复合函数的链式法则求导；
（5）利用对数求导法则求导；
（6）隐函数求导法；
（7）由参数方程给出的函数的求导；
（8）用莱布尼兹公式求高阶导数．
四、微分的求法
（1）用()dx x f dy '=来求；
（2）利用微分的四则运算公式来求；
（3）利用一阶微分的形式不变性来求复合函数的微分．。
高阶微商与高阶微分
§4 高阶微商与高阶微分1．高阶微商物体运动规律)(t S 瞬时速度 ()v t ＝()s t '＝ds dt瞬时加速度 ()a t ＝()v t '＝(())s t ''，或 ()a t ＝dvdt＝()d ds dt dt ． 由此产生了高阶导数的概念．一般地，设()y f x =在(,)a b 可导，则()f x '仍是(,)a b 上的函数．若()f x '也在(,)a b 可导，则称()f x '的微商(())f x ''为()f x 的二阶微商(二阶导数)，记为()f x ''或(2)()fx 或22d ydx类似地可定义()f x ''的微商为()f x 的三阶微商(三阶导数)，记为 ()f x '''或(3)()fx 或33d y dx．定义(1)()n f x -的微商为()f x 的n 阶微商(n 阶导数)，记为 ()()n f x 或n n d ydx＝11()n n d d y dx dx --．下面给出几个常用的n 阶导公式 例1例2 设sin y x =，求()n y解 'c o s y x =，''s i n y x =-，'''c o s y x =-，(4)y s i n x =。
设n y x = (n 是正整数)，若n k ≤，则 k n k x k n n n y -+--=)1()1()( 若n k >，则 0)(=k y研究规律，得 'c o s y x =s i n ()2x π=+，''y =cos()2x π+＝sin()22x ππ++＝2sin()2x π+，'''y =2cos()2x π+＝2sin()22x ππ++＝3sin()2x π+由此我们不难归纳出对于cos y x =，则 c o s s i n ()2y x x π==+()n y =sin()22n x ππ++cos()2n x π=+例3 设arctan y x =，求()n y 解 21'1y x=+211t a n y =+2c o s y =； 方程两边再对x 求导并注意y 是x 的函数，得 =-='⋅-=''y y y y y y 2cos 2sin sin cos 22cos y sin 2(2y π+)；2'''[2c o s s i n s i n 2()2c o s 2()c o s ]'22y y y y y y y ππ=-+++32c o s [c o s 2()c o s s i n s i n 2()]22y y y yy ππ=+-+ )3c o s (c o s 23π+=y y ＝332c o s s i n (3)2y y π+)2(3s i nc o s 23π+=y y ； 若()(1)!cos sin ()2n n y n y n y π=-+，则x y sin =()n y = sin()2n x π+ x y cos = )(n y cos()2n x π=+(1)n y +1(1)![c o ss i n s i n ()c o s c o s ()]'22n nn n y y n y ny n y y ππ-=--+++1()!cos [cos cos ()sin sin ()]22n n y y n y y n y ππ+=+-+1!cos cos[(1)]2n nn y n y π+=++1!cos sin(1)()2n n y n y π+=++由数学归纳法得例4高阶微商的运算法则：若,u v 都是x 的函数 1、 ()()n u v ±＝()n u ()n v ±． 2、若v u y ⋅=，则()n y ＝()()nk n k k nk C u v -=∑，n ＝1，2…． （莱布尼兹公式） 这里，函数的零阶导数理解为函数本身．下面用数学归纳法证明．事实上，1=n 时就是导数的乘积公式，设公式对n 成立，则 (1)()()0()'nn kn k k n k yC u v +-==∑ (1)()()(1)0[]n kn k k n k k nk C u v u v -+-+==+∑ arctan y x =()n y ＝(1)!cos sin ()2n n y n y π-+xy 1=1)(!)1(+-=n nn x n y(1)()()(1)nnk n k k k n k k nn k k C uvC u v -+-+===+∑∑ （令j k =+1） 1(1)()1(1)()1nn kn k k k n k k nn k k C uvC u v +-+-+-===+∑∑ 0(1)(0)1(1)()(0)(1)1()nn k k n k k n n nn n n k C uvC C u v C u v +--++==+++∑ 1(1)()10n k n k k n k C uv +-++==∑ 其中用等式 001n n C C +=，11n n n n C C ++=， kn k nk n C C C 11+-=+ 由数学归纳法知公式对一切正整数n 成立。
dx计算公式
dx计算公式
微积分dx计算公式：dx = δx。
然后函数y = f (x)的微分又记作dy = f' (x)dx。
微分是微积分的基本概念之一。
通常把自变量x的增量δx称做自变量的微分。
微分在数学里的定义：由函数b=f(a)，得出a、b两个数集，在a中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割的。
由于函数因变量的微分与自变量的微分之商等同于该函数的导数。
因此，导数也叫作
微商。
微积分（calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(differentiation)、积分(integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科，内容主
要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的
理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
3微分的定义
(2) 当x 0时，y dy o(x).
(3) 当| x | 很小时，y dy.
三、可导与可微的关系
分析 f ( x)在点x0处可微
y Ax o(x)
y A o(x)
x
x
y lim A
x0 x
y ( x2 ) 2x, y(1) 2.
dy |xx0 f ( x0 )x 0.02.
五、微分与导数
dy f ( x)x
自变量x的微分 dx x
函数 y 的微分 dy f ( x)dx
f ( x) dy dx
导数可以表示成函数微分与自变量微分之商, 故导数也叫微商. 有了微分的概念后, dy和dx有了独立的含义, dy可以看成分式了.
dx
六、小结
1 面积增量问题 3 可微与可导的关系
2 微分的定义 4 微商的来历
第一项 是 x 的线性函数, 好计算;
第二项 是 x 的高阶无穷小, 当|x|很小时, 可以忽略.
(x)2 x
x0x x0
当| x | 很小时,S 2x0x.
二、微分的定义
定义 设函数 f (x)在 x0的某个邻域内有定义，当自变量在点x0处获得增 量 x 时，如果相应的函数增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) Ax o(x), 那么称函数 y=f (x)在点x0处可微, Ax 称函数 f (x)在点x0处的微分, (A为常数)，记为dy xx0 , 即 dy xx0 Ax.
定理 函数y f ( x)在点x0处可导 函数y f ( x)在点x0处可微, 且 dy |xx0 f ( x0 )x
四、举例
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或
链式法则的物理意义：
在单位时间由 决定的变化率
=（ 在单位时间内 的变化率）*（ 在单位时间内 的变化率）
(6)幂函数 在 的微商 。
，
基本初等函数的微商公式：
(1) ；
(2) ； ， ， ；
(3) ， ；
(4) ， ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
抽去实际意义，在数学上有共同的数量关系：
函数的增量 比自变量的增量 当 的极限
定义4．1设函数 在 点附近有定义．对于自变量在 点的任一增量 ，函数在该点的相应改变量为
＝ ．
若极限 ＝
存在，则称函数 在 点可导，并称极限值为 在 的微商(differential quotient)或导数(derivative)，记为
证明(i)因为
＝
＝ ，
所以 ＝ ＝ 。
(ii)由于
＝ ＋
＝ ＋
注意到可导必连续，则
＝
＝
(iii)由于
＝
＝
＝
同样利用可导必连续得
定理4.2证完。
利用商的微商运算法则，立得
反函数的求导法则
定理4.3若函数 在 点附近连续且严格单调，又 ，则其反函数 在点 ＝ 可导，且
＝
证明由 在 附近连续且严格单调，则反函数 在 点附近连续且严格单调．因此，
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12)
其次，我们有微商的运算法则：
(1) ＝ ；
(2) ＝ ；四则运算法则
(3) ＝ ；
(4) ＝ 反函数求导法则
(5) ＝ 链式法则
根据这张微商表和微商法则．
我们能够“机械化”地计算一切初等函数的微商。
这是引入微商概念(瞬时变化率)的重要原因。
例7设 ，求 。
例8设 ，求 。
复合函数微商法则
基本初等函数的微商公式
(1)常值函数 ． ＝0．
＝ ＝ ＝0
(2) ,其中 是正整数
＝
＝
因此 ＝ ，
(3)正弦函数 ， （用到重要极限）
余弦函数 ，
(4)对数函数 ，
＝
＝ ，（用到重要极限）
微商的四则运算法则．
定理4.2若函数 和 在 点可导，则
(i) =
(ii) ＝
(iii) ＝ 。
或 或 ，
例3求 在 的微商．
解 ＝( )
＝ ，
＝ ＝2
例4求 在 的微商．
解 ＝ ( ) 2 ( + )sin ，
因此 ，
2．可导与连续的关系
在 点可导 存在
＝ ＋
在 点连续
定理4.1若 在 点可导，则 在 点连续．
函数 在 点不连续，则它在 点一定不可导。
例5函数 ，它在 点连续，但在 点不可导
＝ ＝
例2非均匀棒的密度．
均匀的棒：它的任何一段的质量，都与它的长度成正比，
，常数 是棒的单位长的质量，
称为均匀棒的(线)密度．
非均匀棒：在棒的某些地方物质分布得密一些，有些地方则不太密，
因而棒的同样长度的两段，一般说来就有不同的质量．
设棒位于数轴的 上， ，
对应的 这一段的质量是 ，
问题：求 出棒的密度 。
，或 ，或
若令 ，则也有
＝
注1质点运动的速度是路程 对时间 的导数；
非均匀细棒的密度是质量 对长度 的导数；
曲线切线的斜率是函数 对自变量 的导数。
（这也是导数的几何意义）
注2记号 是整体，不是商（至少现在是这样）
注3导数是逐点定义的，它依赖于给定的点 。当 在定义域的某子
集 上变动时，导数均存在。则构成导函数，记为
例函数 ，在定义域内连续，但
＝ ，
当 时，
几何上表示曲线在 处的切线平行于y轴。
故 在 点不可导，导函数在 第二类间断（无穷型）。
例设 ，
当 时，
显然 在 连续．而由于极限
＝ ＝
不存在，故 在 点不可导，导函数在 第二类间断（振荡型）。
我们知道，当 时， 不断地在1和－1之间摆动，从图形上看就是当 点沿曲线趋于原点时，割线 在直线 之间摆动
考虑从 到 + 之间的一段上的质量
平均密度为
愈小，则平均密度 就愈精确地描写棒在 的密度情况，因而当 时，平均密度的极限
例3曲线切线的斜率．
设函数 ，
问题：求曲线上 点切线的斜率。
切线定义：
曲线上 两点作成的割线，当 点沿曲线无限接近 点时的极限位置。
割ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的斜率：
曲线上 点切线的斜率
上面三个例子讨论了三个不同的问题：物理的，几何的
第四章微商与微分
概念清楚，运算熟练与准确，是本章的基本要求．
§1微商概念及其计算
1．微商概念
例1质点作变速直线运动的瞬时速度．
设质点 沿直线作变速运动，运动规律 ，
问题：求质点 在时刻 的瞬时速度 ．
从 到 一段时间内，质点 所走过的路程为
平均速度为
当 愈小，则平均速度 就愈接近瞬时速度 ，因而当 时，平均速度的极限就是瞬时速度，即
这里又提供了一种求极限的新方法。
利用导数求和
例对任意正整数 有（1） ；
（2）
证（1）令 ，则
令 即得 。
（2）
两边对 求导得
令 即得 。
注3此例中的和式在概率论中求二项分布的均值和方差时会用到。
例证明：若 ，则存在 ，
当 时，
当 时，
＝ ＝ ＝1，
＝ ＝ ＝－1，
左极限不等于右极限，即差商的极限
不存在，所以 在 点不可导
若 存在，则称 在 点有左导数，记为 ；
若 存在，则称 在 点有右导数．记为 。
若 在区间 可导，而 在 有右导数 ，在 有左导数 ，则称 在闭区间 可导．
3．微商的计算
微商定义和微商的四则
两个重要极限运算法则
反函数的微商法则
若 ，则 ，
且当 时有 ，故由复合函数求极限法则得
＝
＝ ＝
定理4.3证完。
(5)指数函数 （ ）。
特别 ，
（6）反三角函数
，则 ；
，则 ；
，则 ；
，则 。
， 则
， 则
复合函数的求微商法则
定理4.4(复合函数求导法则，链式法则)若函数 在 点可导， 在 点可导，则复合函数 在 点可导，且
或
证明定义函数
注意，并不是割线不断摆动就无切线．例如函数
有 ＝ ，
故
可见 在 点可导，几何上在0点割线的斜率 也是不断摆动的，但它有个极限位置 。
是导函数的第二类间断点。
问题：是否 不存在，则 不存在？
能否这样求导数 ？
是否若 存在，则 必存在？
问题：是否若 存在，则 必存在？
利用导数定义求极限
例
注这两个极限都可以用等价无穷小代换求得。
例9设 ，求 。
对数求导法
例10设 ，求 。
解两边取对数得
上述两边对 求导得
＝ － －
＝ － － ，
因此
例设 ，求
解两边取对数 ，
两边对 求导得 ，
故
解法2因为 ，所以
对数求导法的说明
因为当 时，
当 时，
因此，对于函数 ，取对数时不妨设 。
函数在一点连续但并不可导的例子
函数 ，它在 点连续，
但在 点不可导，导函数在 点第一类间断。
则 ＝ ＝ ＝ ，
故 在 点连续，在恒等式
＝
中令 代入得
两边除以 得
由复合函数的连续性知
＝ ＝ ＝ ，
由于 在 点可导
＝ ，
或
问题：为什么要引入函数 ！下面的证明是否正确：
，
当 时，有 ，故定理结论成立。
注1若 的定义域包含 的值域，且两个函数在各自的
定义域上可导，则导函数为
或 ，
或
注2推广到多个函数的复合情形