八面体应力
应力理论
与对应的两个主应力夹角为45chapter34最大剪应力八面体剪应力正八面体chapter34最大剪应力八面体剪应力八面体剪应力chapter34最大剪应力八面体剪应力八面体剪应力八面体正应力平均正应力第二应力不变量有关应力理论chapter外力内力与应力柯西公式与应力转换公式主应力与应力不变量最大剪应力八面体剪应力平衡微分方程chapter35平衡微分方程笛卡尔坐标系中的平衡微分方程考虑物体中axyz点其应力状态用直角坐标表示如下如图标注而临近一点bxdxydyzdz的应力状态也用直角坐标示出根据应力为位置函数的概念将应力在附近展开保留一级微量连同应计入的增量可得
基本概念和方法 理论体系 实际应用
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
问题描述 建立模型 模型应用
Chapter 3
外力、内力与应力
外 力
问题描述 -分类 -明确已知未知
Chapter 3.1
外力、内力与应力
外 力
体 力
即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为 质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。
Chapter 3.1
柯西公式
斜截面上的应力 x3
11
柯西公式
斜截面上的应力
( ) ?
x2
四面体OABC，由三个负 面和一个法向矢量为
x3
x2
22
21 12
13
1e1 2 e2 3e3 i ei
土体本构模型-高等土力学
[D]
式中[D]叫刚度矩阵，如果应力和应变分量取一般形式，各 有6个分量，则矩阵[D]为6×6，共36个元素。如果用主应 力和主应变分量，则矩阵[D]为3×3，共9个元素。二维问 题的应力分量为 x , y , xy ，应变分量为 x , y , xy ，因 此其矩阵[D]也是3 ×3 的，将上式展开可写成：
图5-8
岩土工程研究所
§1.应力和应变
2.应力路径 在应力空间内，代表应力状态的点移动的轨迹， 叫应力路径。它表示应力变化的过程，或者加荷的方 式。
岩土工程研究所
§1.应力和应变
设土体中一点初始应力状态如图 5-9应力空间内Ａ点所示，受力
后变化到Ｂ。从Ａ到Ｂ，可以有
各种方式，如σ１、σ２和σ３按 比例增加；初期σ３增加得多，
面体面在几何空间内的八个挂限都有，而 π 面只存在于应力 空间内的第一挂限和与其相对的挂限，其它挂限内的等倾面并
不是π面。空间主对角线也只存在于这两个挂限。
岩土工程研究所
§1.应力和应变
利用π面可以较好地反映应力状态。图5-4中点M的坐
标代表主应力分量。通过M点作π面。它到原点的距离为
OO 1 3
式中 2－ 3 ， 1 2 ， 1 3 为三个应力摩尔圆的
直径，见图5-3
还有一个参数b也反映了中主应力接近大主应力的程度。
若 2＝ 1 ，b=1；若 2＝ 3 ,b=0
岩土工程研究所
b
2 3 1 1 3 2
力情况，ｑ＝ 1 3
岩土工程研究所
§1.应力和应变
可以推知相应的应变分量
体积应变： v 1 2 3
第六章岩石强度破坏准则
4、库伦一纳维尔破坏准则(coulomb-Navier criterion)
4、库伦一纳维尔破坏准则(coulomb-Navier criterion)
4、库伦一纳维尔破坏准则(coulomb-Navier criterion)
4、库伦一纳维尔破坏准则(coulomb-Navier criterion)
（a）( 1 1 3 3 )28 t ((2 2 m m ))28 t m 24 m t
应力圆方程： （b）
(m)22m 2
（a）代入（b）得： (m)224m （c）
（c）式是满足强度判据的极限莫尔应力圆的表达式
求切点：（c）式对 m 求导得
2 (m ) 4t m 2t (d)
(d)代入(c）得
制成表
谢谢！
4、库伦一纳维尔破坏准则(coulomb-Navier criterion)
5、莫尔-库伦强度破坏准则(Mohr-coulomb criterion)
5、莫尔-库伦强度破坏准则(Mohr-coulomb criterion)
莫尔于1900年提出，当一个面上的剪应力与 正应力之间满足某种函数关系时，即
2、最大正应变强度理论
岩石强度条件可以表示为：
maxm
εmax ——岩石内发生的最大应变值，可用 广义胡克定律求出； ε —单向压缩或单向拉伸试验时岩石破坏
m
的极限应变值，由实验求得
试验证明，这种强度理论只适用于脆性岩石， 不适用于岩石的塑性变形。
3、最大剪应力强度理论
最大剪应力张度理论也称为屈瑞斯卡（H.Tresca）强度 准则，是研究塑性材料破坏过程中获得的强度理论。试 验表明，当材料发生屈服时,试件表面将出现大致与轴线 呈45°夹角的斜破面。由于最大剪应力出现在与试件轴 线呈45°夹角的斜面上，所以，这些破裂面即为材料沿 着该斜面发生剪切滑移的结果。一般认为这种剪切滑移 是材料塑性变形的根本原因。因此，最大剪应力强度理 论认为材料的破坏取决于最大剪应力。当岩石承受的最 大剪应力τmax达到其单轴压缩或单轴拉伸极限剪应力 τm时，岩石便被剪切破坏。
岩石的破坏准则[详细]
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五、岩石的破坏准则对岩石试样的室内及现场试验,可获得岩石试样的强度指标,但对复杂应力状态下的天然岩体,又是如何判断其破坏呢？因此,就必须建立判断岩石破坏的准则(或称强度理论).岩石的应力、应变增长到一定程度,岩石将发生破坏.用来表征岩石破坏条件的函数称为岩石的破坏准则.岩石在外力作用下常常处于复杂的应力状态,许多试验指出,岩石的强度及其在荷载作用下的性状与岩石的应力状态有着很大的关系.在单向应力状态下表现出脆性的岩石,在三向应力状态下具有延性性质,同时它的强度极限也大大提高了.许多部门和学者从不同角度提出不同的破坏准则,目前岩石破坏准则主要有:最大正应力理论最大正应变理论最大剪应力理论(H.Tresca)八面体应力理论莫尔理论及库伦准则格里菲思理论(Griffith)伦特堡理论(Lundborg)经验破坏准则1、最大正应力理论这是较早的一种理论,该理论认为岩石的破坏只取决于绝对值最大的正应力.即岩石内的三个主应力中只要有一个达到单轴抗压或抗拉强度时,材料就破坏.适用条件: 单向应力状态.对复杂应力状态不适用.写成解析式:破坏2、最大正应变理论该理论认为岩石的破坏取决于最大正应变,即岩石内任一方向的正应变达到单向压缩或拉伸时的破坏数值时,岩石就发生破坏.则破坏准则为式中ε——岩石内发生的最大应变值;m axε——单向拉、压时极限应变值;u这一破坏准则的解析式为(由广义虎克定律)R —R t或R c推出:实验指出,该理论与脆性材料实验值大致符合,对塑性材料不适用.3、最大剪应力理论(H.Tresca)该理论认为岩石材料的破坏取决于最大剪应力,即当最大剪应力达到单向压缩或拉伸时的危险值时,材料达到破坏极限状态.其破坏准则为:在复杂应力状态下,最大剪应力231 max σστ-=单位拉伸或压缩时,最大剪应力的危险值则有 R ≥-31σσ或写成 {}{}{}0)][)][)][221222232231=------R R R σσσσσσ这个理论适用于塑性岩石,不适用于脆性岩石. 该理论未考虑中间主应力的影响.4、八面体剪应力理论(Von.米ises)该理论认为岩石达到危险状态取决于八面体剪应力.其破坏准则为已知单元体1σ,2σ,3σ ,作一等倾面(其法线夹角相同).为研究等倾面上的应力,取一由等倾面与三个主应力面围成的四面体来研究.N 与x 、y 、z 的夹角分别为γβα、、,且 γβα＝＝. 设:l =αcos ,m =βcos ,n =γcos设等倾面ABC 面积为S,则三个主应力面(1σ,2σ,3σ面)的面积分别为根据力的平衡条件∑=0X , ∑=0Y , ∑=0Z推出:⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅=∑∑∑γσβσασcos 0cos 0cos 0321S S p Z S S p Y S S p X z y x , 而 等倾面S 上合力:222z y x p p p p ++=所以另,等倾面S 上的法向应力为各分力p x 、p y 、p z 在N 上的投影之和,即S oct ττ≥,推出适用条件:塑性,5、莫尔理论及莫尔库伦准则该理论是目前应用最多的一种强度理论.该理论假设,岩石内某一点的破坏主要取决于它的大主应力和小主应力,即σ1和σ3,而与中间主应力无关.也就是说,当岩石中某一平面上的剪应力超过该面上的极限剪应力值时,岩石破坏.而这一极限剪应力值,又是作用在该面上法向压应力的函数,即)(στf = .这样,我们就可以根据不同的σ1、σ3绘制莫尔应力图. 每个莫尔圆都表示达到破坏极限时应力状态.一系列莫尔圆的包线即为强度曲线一方面与材料内的剪应力有关,同时也与正应力有关关于包络线:抛物线:软弱岩石双曲线或摆线:坚硬岩石直线:当σ＜10米Pa 时为简化计算,岩石力学中大多采用直线形式:c ——凝聚力(米Pa) ϕ——内摩擦角.该方程称为库伦定律,所以上述方法合称为:莫尔库伦准则. 当岩石中任一平面上f ττ≥ 时,即发生破坏.即: ϕσττtg c f ⋅+=≥下面介绍用主应力来表示莫尔库仑准则. 任一平面上的应力状态可按下式计算①②α(σ1)力圆,可建力之间关系1)c和ϕ值与σ1、σ3和α角关系在σ1~σ3的应力圆上,找出2α的应力点T(T米为半径为231σσ-) 则,与直径T米垂直且与圆相切的直线即为ϕστtgc⋅+=根据几何关系,902)2180(90-=--=ααϕ,得出代入ϕστtg c ⋅+=中,得到另由公式推导:将σ1、σ3表示的 σ 和 τ 代入ϕστtg c ⋅+=中,导出对α求导,01=ασd d 推出:245ϕα+= 破坏面与最大主应力面的夹角而与最大主应力方向的夹角2)．用主应力σ1、σ3表达的强度准则 将 σ 和 τ 的表达式代入 ϕστtg c ⋅+=中,ϕασσσσασσtg c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-2cos 222sin 2313131利用关系:ααϕ2sin )902cos(cos =-= ααϕ2cos )902sin(sin -=-= 化简得:当σ3=0时(单轴压缩):ϕϕσsin 1cos 21-==c R c ,令ϕϕϕsin 1sin 1-+=N ,则,σ1当σ1=0时(单轴抗拉该值为 )(στf =但与实测的R t 线段进行修正.岩石破坏的判断条件:ϕ>, 破坏sin极限ϕ<,稳定sin6、格里菲思(Griffith)理论以上各理论都是把材料看作为连续的均匀介质,格里菲思则认为:当岩石中存在许多细微裂隙,在力的作用下,在缝端产生应力集中,岩石的破坏往往从缝端开始,裂缝扩展,最后导致破坏.方向成β角.且形状接近于椭圆,的局部抗拉强度,的边壁就开始破裂.1).任一裂隙的应力.假定:①椭圆可作为半元限弹性介质中的单个孔洞处理, ②二维问题处理,取0=z σ椭圆参数方程:αcos a x =,αsin b y = 椭圆的轴比为:ab m =椭圆裂隙周壁上偏心角的α的任意点的切向应力 可用弹性力学中英格里斯(Inglis)公式表示:由于裂缝很窄,轴比很小,形状扁平,所以最大应力显然发生在靠近椭圆裂隙的端部,即α很小的部位,当0→α时,αα→sin ,1cos →α又由于米,α很小,略去高次项,则有米为定值,当1σ,2σ,3σ确定时,y σ、xy τ也为定值,则b σ仅随α而变.这是任一条裂隙沿其周边的切向应力.显然在椭圆周边上,随α不同b σ有不同的值,对α求导.2mτxy则,2)．岩块中的最大切向应力所在的裂隙上面导出了 某一条裂隙上的最大切向应力,但在多条裂隙中,哪一条裂隙的b σ 最大？y σ,xy τ与1σ,3σ的关系为:βσσσσσ2cos 223131--+=y , βσστ2sin 231--=xy代入 m ax ,b σ中,显然m ax ,b σ与β有关,对其求导,便可求得b σ为最大的那条裂隙,即确定出β角. 即取 0m ax ,=⋅βσd d m b则①02sin =β,有β＝0或 90代入m ax ,b σ中,β＝0时, mb 3max ,2σσ= 或 0 β＝ 90时,mb 1max ,2σσ=或0. 共四个可能极值,与σ1平行或垂直的裂隙.②将)(22cos 3131σσσσβ+-=代入 m ax ,b σ中,共有两个极值,即与σ1斜交裂隙中有两个方向裂隙的切向应力达极值.因为β＝0或 90时,12cos =β或－1.因此,与σ1斜交时,必须β≠0或 90, 即 12cos <β 时 才是与σ1斜交,则要求或 0331>+σσ此时,裂隙的最大拉应力为(*)如果0331<+σσ, 则1)(23131>+-σσσσ,则3σ必为负值(拉应力)此时由12cos ≥β推出12cos =β,即β为0或90°,表明裂隙与σ1平行或正交.因为03<σ,考查β＝0, 90的极值,则3max ,2σσ=b m (**) 为最大拉应力.式(*)(**)即为岩石中的m ax ,b m σ达到某一临界值时就会产生破坏. 为了 确定米值,做单轴抗拉试验,使σ3垂直裂隙面(椭圆长轴),则这时的t R -=3σ 推出 t b R m 2max ,-=σ 这说明裂隙边壁最大应力m ax ,b m σ与米乘积必须满足的关系.此时,格菲思强度理论的破坏准则为:I. 由(**)式,,t b R m 2max ,-=σ, 则 322σ=-t RII. 由(*)式,代入 t b R m 2max ,-=σ, 则有:等于0,处于极限状态; 大于0, 破坏; 小于0, 稳定.上面的准则是用σ1、σ3表示的,也可用y σ,xy τ表示 将t b R m 2max ,-=σ 代入 )(122max ,xy y y b mτσσσ+±=中, 222xyy y t R τσσ+±=- 推出:t y xy y R 222+=+±στσ,22224)2(t y t y xy y R R +=+=+σστσ 在0<σ时的包线更接近实际.7、修正的格里菲思理论格里菲思理论是以张开裂隙为前提的,如果压应力占优势时裂隙会发生闭合,压力会从裂隙一边壁传递到另一边,从而缝面间将产生摩擦,这种情况下,裂隙的发展就与张开裂隙的情况不同.麦克林托克(米eclintock)考虑了这一影响,对格里菲思理论进行了修正.麦克林托克认为,在压缩应力场中,当裂缝在压应力作用下闭合时,闭合后的裂缝在全长上均匀接触,并能传递正应力和剪应力.由于均匀闭合,正应力在裂纹端部不产生应力集中,只有剪应力才能引起缝端的应力集中.这样,可假定裂纹面在二向应力条件下,裂纹面呈纯剪破坏.其强度曲线如图.由图可知 OC ＝c τBD=)(2131σσ-(半径)OD=)(2131σσ+(圆心)EB=τ, OE=σ,ED=OD-OE=)(2131σσ+-σAB=EB ϕcos ⋅＝ϕτcos ⋅ϕsin ⋅=ED DA ＝ϕσϕσσsin sin )(2131⋅-+由 AB=BD-AD,可推出式中,摩擦系数ϕtg f =另外,推出tyt xy R R στ+=12取y σ为c σ,裂隙面上的压应力,则有②当c σ很小时,取c σ＝0时(勃雷斯Brace)＝t R 4当时c σ<0时(拉应力),上两式不适用.低应力时,格里菲思与修正的格里菲思理论较为接近,高应力时差别大(当σ3>0时).8、伦特堡(Lundborg)理论定限度,于晶体破坏,大抗剪强度.的破坏状态:σ,τ——研究点的正应力和剪应力(米Pa)τ——当没有正应力时(σ=0)岩石的抗切强度(米Pa)i τ——岩石晶体的极限抗切强度(米Pa)A ——系数,与岩石种类有关.当岩石内的剪应力τ和正应力σ达到上述关系时,岩石就发生破坏.式中的τ实际上是代表最大的剪应力,因而是强度.上式中的0τ,i τ,A 由试验确定,见P55表3-5.9、经验破坏准则现行的破坏理论并不能全面的解释岩石的破坏性态,只能对某一方面的岩石性态做出合理的解释,但对其它方面就解释不通.因此,许多研究者在探求经验准则,目前应用较多的经验破坏准则为霍克(Hoke)和布朗(Brown)经验破坏准则.①Hoke和Brown发现,大多数岩石材料(完整岩块)的三轴压缩试验破坏时的主应力之间可用下列方程式描述:R c—完整岩石单轴抗压强度(米Pa); 米—与岩石类型有关的系数米值是根据岩石的完整程度,结晶及胶结情况,通过大量试验结果及经验而确定的.岩石完整、结晶或胶结好,米值就越大,最大的为25.②对于岩体,Hoke和Brown建议:米和S——常数,取决于岩石的性质以及在承受破坏应力σ1和σ3以前岩石扰动或损伤的程度.完整岩块S=1,岩石极差时S=0.当取σ3=0时,可得到岩体的单轴抗压强度:由于s ＝0～1,则c cm R R ≤ 如果令σ1=0,则得到岩体的单轴抗拉强度.从R厘米和R t 米中可看出,当S=1时,R 厘米=R c 为完整岩块,当S=0时,R t 米=R 厘米=0为完全破损的岩石.因此,处于完整岩石和完全破损岩石之间的岩体,其S 值在1~0之间.。
第三章应力分析应变分析屈服准则复习讲诉
a 0 0
1 ij
0
b
0
0 0 0
ab
2
ab 2
0
2 ij
a
b 2
ab 2
0
0
0 0
一、应力张量不变量及其应用
例题解答
对于
1 ij
J1 a b0 a b
J2
a 0
0b
b0
00
00
0
a
ab
a00 J3 0 b 0 0
000
同理，对于
2 ij
J1
a
2
b
a
2
b
0
a
b
ab
J2
试问上述应变场在什么情况下成立？
例题解答
2 xy xy
1 2
2 x y 2
2 y x2
(1)
2 xy 2 (2bxy) 2b xy xy
1
2
2 x y 2
2 y x2
1
2
2
a x2 y2 y 2
2
axy
x2
a
a 2b 即当a 2b时，上述应变场存在。
应变分析问题小 结
max min
2
C
2.2 单向拉伸时的Tresca屈服准则
2.2 Tresca yield criterion in uniaxial stretch test
三、应变连续方程问题
知识要点回顾
小应变几何方程
2 x y2
2 y2
u x
2 xy
u
y
(1)
2 y x2
2 x2
v y
2 v xy x
(2)
名词解释
外力：物体与物体之间的相互作用称之为力。
在这里我们称之为外力。
面力：作用在物体表面的力称之为面力。
面力可分为集中力和分布力。
体力：作用在物体内各质点上的力为体力。
如重力、磁力、惯性力。
内力：在外力的作用 下，物体内各质点间就会产生相互作用，这种质点间的相互为内力。
应力：单位面积上的内力。
全应力：用L 面截受力体，得面积为A ，在A 面上取一点Q ，围绕Q 取一很小面积为ΔF ，设ΔF 上的内力合力为ΔP, 则有F P S lin F ∆∆=→∆0=dF dP 为A 面上Q 点的全应力。
正应力：将全应力分别向法向和切向分解垂直于A 平面方向的分量为正应力。
剪应力：将全应力分别向法向和切向分解平行于A 平面方向的分量为剪应力。
主平面：过质点可以做无数个微分面，在这无数个微分面中，总存在这样三个相互垂直的微分面，在这三个微分面上剪应力为零，即：τ=0 ；这样的平面为主平面。
主方向：主平面的三个法线方向为主方向。
主应力：主平面上的正应力为主应力。
主轴：与主方向的方向一致的坐标轴为主轴。
主剪平面：剪应力有极值的微分面。
主剪应力：主剪应力面上的剪应力为主剪应力。
最大剪应力：主剪应力中绝对值最大者为最大剪应力，并以τmax 表示。
八面体面：以物体内任意点Q 为原点，以该点的应力主轴为坐标轴，过Q 点做等倾线，在无限靠近Q 点处做一垂直于等倾线的平面，该平面的法线方向与三条轴的夹角相等。
在三维空间中有八个卦限，这样的平面共有八个，这八个平面形成一个八面体，所以叫八面体面。
八面体应力：八面体上的应力叫八面体应力。
轴对称应力状态：当旋转体受到的外力为对称于旋转轴的分布力而且没有周向力则物体内的质点处于轴对称应力状态。
变形：从宏观上讲，当一个物体在外部条件的作用下，它的形状和尺寸发生了时候，我们说该物体产生了变形。
刚性位移：物体仅仅发生了平动和转动；质点间的位置并没有发生改变，叫刚性位移。
例如，圆棒被弯曲后，棒的中间一般发生了变形，但是在棒的两端并没有发生变形，我们说两端只发生了刚性位移。
高等土力学部分知识总结
第七章 土的固结理论1.固结：所谓固结，就是在荷载作用下，土体孔隙中水体逐渐排除，土体收缩的过程。
更确切地说，固结就是土体超静孔隙水应力逐渐消散，有效应力逐渐增加，土体压缩的过程。
（超静孔压逐渐转化为有效应力的过程）2.流变：所谓流变，就是在土体骨架应力不变的情况下，土体随时间发生变形的过程。
次固结：孔隙压力完全消散后，有效应力随时间不再增加的情况下，随时间发展的压缩。
3.一维固结理论假定：一维（土层只有竖向压缩变形，没有侧向膨胀，渗流也只有竖向）； 饱和土，水土二相； 土体均匀，土颗粒和水的压缩忽略不计，压缩系数为常数，仅考虑土体孔隙的压缩； 孔隙水渗透流动符合达西定律，并且渗透系数K 为常数； 外荷载为均布连续荷载，并且一次施加。
固结微分方程：ðu ðt=C vð2u ð2zu 为孔隙水压力，t 时间，z 深度C v =K m v γω=K(1+e)a γω渗透系数越大，固结系数越大，固结越快；压缩系数越大，土体越难压缩，固结系数就小。
C v 土的固结系数，与土的渗透系数K 成正比和压缩系数m v 成反比。
初始条件：t=0，u =u 0(z); 边界条件：透水面 u=0不透水面ðu ðz=04.固结度：为了定量地说明固结的程度或孔压消散的程度，提出了固结度的概念。
任意时刻任意深度的固结度定义为当前有效应力和总应力之比U=σ′σ=σ−u σ=1−uσ平均固结度：当前土层深度内平均的有效应力和平均的总应力之比。
U =1−∫udz H0∫σdzH 0固结度U 是时间因数Tv 的单值函数。
5.太沙基三维固结理论根据土体的连续性，从单元体中流出的水量应该等于土体的压缩量ðεv ðt =ðq xðx+ðq yðy+ðq zðz由达西定律：q i=−K iγw ðuði若土的各个方向的渗透系数相同，取K i=K将达西定律公式代入连续方程：ðεv ðt =−Kγw(ð2uð2x+ð2uð2y+ð2uð2z)=−Kγw∇2uεv=εx+εy+εz=1−2vE(σ1′+σ2′+σ3′)=1−2vE(σ1+σ2+σ3−3u)太沙基三维固结理论假设三向总应力和不随时间变化即：d(σ1+σ2+σ3)dt=0ðεv ðt =−3(1−2v)Eðuðt=−Kγw∇2u即3(1−2v)Eðuðt=Kγw∇2uðu ðt =E3(1−2v)Kγw∇2u=C v3∇2u C v3=E3(1−2v)Kγw6.轴对称问题固结方程砂井排水引起的土中固结，在一个单井范围内可以看成轴对称的三维问题，包含竖向和径向两个方向水的流动。
八面体应力
八面体应力八面体应力是指在三维空间中，物体受到的应力是沿着三个坐标轴方向的正应力和三个面对角线方向的剪应力组成的八个应力分量。
这种应力状态在工程中非常常见，因此对于八面体应力的研究和分析具有重要的意义。
我们需要了解八面体应力的基本概念和计算方法。
在三维空间中，物体受到的应力可以用一个三维矢量来表示，即应力矢量。
应力矢量可以分解为三个正应力和三个剪应力，分别沿着x、y、z三个坐标轴方向和三个面对角线方向。
这八个应力分量可以用一个八面体来表示，因此称为八面体应力。
对于八面体应力的计算，可以采用应力分析法或应变分析法。
应力分析法是指通过应力平衡方程和材料力学原理，求解物体内部的应力分布。
应变分析法则是通过测量物体的应变分布，反推出物体内部的应力分布。
这两种方法都可以用来计算八面体应力，但应变分析法更加常用，因为它可以通过实验测量得到应变分布，而应力分析法需要通过假设应力分布的形式来求解。
在工程中，八面体应力的研究和分析非常重要。
例如，在机械设计中，需要对机械零件的应力状态进行分析，以确定零件的强度和耐久性。
在土木工程中，需要对建筑物和桥梁等结构的应力状态进行分析，以确保其安全可靠。
在材料科学中，需要对材料的应力状态进行分析，以研究材料的力学性能和变形行为。
除了应力分析和应变分析之外，还有一些其他的方法可以用来研究八面体应力。
例如，有限元分析法可以将物体分成许多小的单元，通过求解每个单元的应力分布来得到整个物体的应力状态。
另外，还有一些实验方法可以用来测量物体的应力分布，例如应变测量法、光栅法和电子衍射法等。
八面体应力是工程中非常常见的应力状态，对于工程设计和材料研究具有重要的意义。
通过应力分析、应变分析、有限元分析和实验方法等多种手段，可以对八面体应力进行研究和分析，以确保工程设计的安全可靠和材料的力学性能。
八面体应力
八面体应力八面体应力是指在三维空间中，物体受到的应力是八个方向上的应力都不相同。
这种应力状态在工程设计和材料研究中非常常见，因此对其进行深入了解和研究具有重要意义。
下面将从以下几个方面详细介绍八面体应力。
一、什么是八面体应力1.1 定义八面体应力是指物体在三维空间中受到的应力是八个方向上的应力都不相同的一种应力状态。
1.2 特点八面体应力具有以下特点：（1）正、负半轴上的主应力不相等；（2）剩余主应力也不相等；（3）最大剪切应变与最小剪切应变之间存在一定关系。
二、八面体应力分析方法2.1 应变测量法通过对物体表面或内部进行测量得到物体所受到的各个方向上的主应变和剪切应变，从而计算出各个方向上的主应力和剪切应力。
2.2 应变计法通过在物体表面或内部放置多个电阻片型或电容式传感器，测量它们所受到的应变，从而计算出各个方向上的主应力和剪切应力。
2.3 数值模拟法通过有限元分析等数值模拟方法，对物体在八面体应力状态下的应力进行计算和分析。
三、八面体应力的影响因素3.1 材料性质不同材料在八面体应力下表现出不同的性质，例如某些材料在正半轴上表现出较高的强度，而在负半轴上则表现出较低的强度。
3.2 应变速率在八面体应力状态下，应变速率也会对材料性能产生影响。
一些材料在高速加载下会表现出更好的性能，而另一些材料则相反。
3.3 加载方向不同方向上的加载会导致物体所受到的八面体应力状态不同，从而影响物体的性能。
四、八面体应力与工程设计4.1 应用领域八面体应力状态广泛存在于各种工程设计中，例如航空航天、汽车制造、建筑结构等领域。
4.2 设计优化对于需要承受复杂载荷和多方向加载的产品或结构，需要进行八面体应力分析和设计优化，以确保其性能和可靠性。
4.3 材料选择在进行工程设计时，需要根据实际情况选择合适的材料，以满足所需的八面体应力状态下的性能要求。
五、八面体应力与材料研究5.1 研究领域八面体应力状态也是材料研究中一个重要的研究领域。
高等土力学作业
1.说明土与金属材料的应力应变关系有什么主要区别。
土体的应力应变关系主要特点是其非线性与非弹性。
如下图，左边为金属材料，下图为土的材料。
金属材料开始时有一段直线。
而土体应力应变曲线显示出其很明显的非线性关系。
其应变很大一部分是塑性应变，而且土的变形为非弹性。
图1应力-应变关系图2什么是八面体正应力和八面体剪应力，八面体法向应变和八面体剪切应变？为什么土力学中常用P,q, v ε和_ε表示它们？等于一个土单元，应力作用点处主应力的方向为坐标轴时，同三个主应力平面斜角且同每个坐标轴夹角均相等。
等倾面上的正应力和剪应力称为八面体正应力，八面体剪应力。
等倾面上的法向应变和剪切应变称为八面体正应力，八面体剪应力。
土力学屈服主要由两部分组成，体积变化屈服，剪切屈服。
p,v ε表征体积变化。
而q，_ε表征剪切变化。
3部分准则破坏线可绘制在π平面上，能否绘制在八面体上。
不可以。
八面体是真实的物理空间面，π平面是为研究而定的物理空间面。
这是两者本质的不同。
对于八面体来说，这点他的屈服准则应该是固定的（真是的土粒物理面）。
4.什么是应变硬化？应变软化？典型的应力应变曲线土的宏观变形主要是由于土颗粒之间的位置的变化引起。
在不同应力条件下相同应力增量而引起的应变增量是不同的。
对于压密的砂土，超固结土来说，前一段曲线是上升的，应力达到峰值强度后，转为下降曲线。
即应力在减少，应变在增加。
这就是土的应变软化。
对于软土松砂来说，应力应变曲线一直上升，直至破坏，这种形态称为土的应变硬化。
图3 土的三轴试验a 1(13)~σσε−b 1~v εε5.土的压硬性？土的剪胀性？解释它们的微观机理。
随着压缩过程的进行，土的压缩模量和刚度逐步提高的现象称为土的压硬性。
由剪应力引起的体积变化称为土的剪胀性。
土的压硬性，表现在微观领域，是土颗粒与颗粒间的间距更近，土颗粒与土颗粒的粘结更加有效。
而土的剪胀性表现在微观领域，为土颗粒之间位置产生了变化。
《金属塑性成形原理》习题答案
《金属塑性成形原理》习题答案一、填空题1. 衡量金属或合金的塑性变形能力的数量指标有伸长率和断面收缩率。
2. 所谓金属的再结晶是指冷变形金属加热到更高的温度后，在原来变形的金属中会重新形成新的无畸变的等轴晶，直至完全取代金属的冷变形组织的过程。
3. 金属热塑性变形机理主要有：晶内滑移、晶内孪生、晶界滑移和扩散蠕变等。
4. 请将以下应力张量分解为应力球张量和应力偏张量＝＋5. 对应变张量，请写出其八面体线变与八面体切应变的表达式。
＝；＝。
6.1864 年法国工程师屈雷斯加（H.Tresca ）根据库伦在土力学中研究成果，并从他自已所做的金属挤压试验，提出材料的屈服与最大切应力有关，如果采用数学的方式，屈雷斯加屈服条件可表述为。
7. 金属塑性成形过程中影响摩擦系数的因素有很多，归结起来主要有金属的种类和化学成分、工具的表面状态、接触面上的单位压力、变形温度、变形速度等几方面的因素。
8. 变形体处于塑性平面应变状态时，在塑性流动平面上滑移线上任一点的切线方向即为该点的最大切应力方向。
对于理想刚塑性材料处于平面应变状态下，塑性区内各点的应力状态不同其实质只是平均应力不同，而各点处的最大切应力为材料常数。
9. 在众多的静可容应力场和动可容速度场中，必然有一个应力场和与之对应的速度场，它们满足全部的静可容和动可容条件，此唯一的应力场和速度场，称之为真实应力场和真实速度场，由此导出的载荷，即为真实载荷，它是唯一的。
10. 设平面三角形单元内部任意点的位移采用如下的线性多项式来表示：，则单元内任一点外的应变可表示为＝。
11、金属塑性成形有如下特点：、、、。
12、按照成形的特点，一般将塑性成形分为和两大类，按照成形时工件的温度还可以分为、和三类。
13、金属的超塑性分为和两大类。
14、晶内变形的主要方式和单晶体一样分为和。
其中变形是主要的，而变形是次要的，一般仅起调节作用。
15、冷变形金属加热到更高的温度后，在原来变形的金属中会重新形成新的无畸变的等轴晶，直至完全取代金属的冷变形组织，这个过程称为金属的。
塑性成形理论课后答案(答案参考)
第一章1-10． 已知一点的应力状态10100015520⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ΛΛΛij σMPa ，试求该应力空间中122=+-z y x 的斜截面上的正应力n σ和切应力n τ为多少？解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：222CB A A ++=l ，222CB A B ++=m ，222CB AC n ++=因此：312)(-211222=++=l ，322)(-212-222-=++=m ；322)(-212n 222=++= S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=3100325031200=⨯-⨯S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 3350321503150=⨯+⨯S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=320032100-=⨯-11191000323200323350313100S S S -=-=⨯-⨯-⨯=++=n m l z y x σ125003200335031002222222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=zyxS S S S4.1391000125002=⎪⎭⎫⎝⎛-=τ1-11已知OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1030205040100ΛΛΛij σ，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。
解：=1J z y x σσσ++=100+50-10=140=2J 222xy xz yz y x z x z y τττσσσσσσ---++=100×50+50×（-10）+100×（-10）-402-(-20)2-302=600=3J 321σσσ=2222xy z xz y yz x xz yz xy z y x τστστστττσσσ---+ =-192000019200060014023=-+-σσσσ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7;7.5630203.3403.53⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='ΛΛΛij σ ;7.460007.4607.46m ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛΛi σσ8=σm =46.71.39)()()(312132322218=-+-+-±=σσσσσστ 1-12设物体内的应力场为3126x c xy x +-=σ，2223xy c y -=σ，y x c y c xy 2332--=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。
第06讲 主切应力和八面体应力
x ' xy xz J 3 yx y ' yz zx zy z '
应力张量的分解
2 2 2 J 2 ( x ' y ' y ' z ' z ' x ') xy yz zx
1 2 2 2 2 [6( x ' y ' y ' z ' z ' x ') 2( x ' y ' z ') ] xy yz zx 6 1 2 2 2 [( x ' y ')2 ( y ' z ')2 ( z ' x ')2 6( xy yz zx )] 6 1 2 2 2 [( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy yz zx )] 6
2、八面体应力的求解
1 2 2 2 lmn 2 1 l 2 2 m 2 3 n 2 ( 1 l 2 2 m 2 3 n 2 ) 2 3
2 2 8 [ ( 12 2 32 ) ( 12 2 32 2 1 2 2 2 3 2 3 1 )]
应力张量的分解
八面体应力
1、八面体应力的概念
八面体：以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠 近该点作等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等， 在主轴坐标系空间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体， 正八面体的每个平面称八面体平面。 八面体应力：八面体平面上的应力称八面体应力。 八面体平面的方向余弦
方程意义：沿某一方向三个应力分量 对x,y,x轴的变化率之各为零。
高等土力学(李广信)2.2 应力和应变
α i′ k ，α j′ l 与为新坐标系轴与原坐标系轴夹角的
余弦
3. 应力张量的主应力和应力不变量
I1 = σ x + σ y + σ z
2
＝
2
σ kk
2 2
2 2
I 2 = σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x −τ xy −τ yz −τ zx
I3 = σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ xτ yz − σ yτ zx − σ zτ xy
1 2 2
tg θε
＝
3(ε1 − ε3 )
土力学中常用的应力应变关系表示
线弹性：
p εv = K
p dε v
q ε= 3G
非线弹性：
塑性：
dq dp dε = dε v = 3Gt Kt ∂g ∂g p = dλ dε = dλ ∂p ∂q
[
]
1 J 3 = Sij S jk Ski 3 1 = (2σ1 − σ 2 − σ 3 )( 2σ 2 − σ1 − σ 3 )( 2σ 3 −σ 1−σ 2 ) 27
5. 八面体应力
z
τoct
Soct
σoct
y
x 图2－3 八面体应力 －
三个坐标长度相等
八面体与八面体应力
图2－4 八面体与八面体应力 －
（σ1 − σ 3） 3
图2－6 －
π平面
土力学中常用的三个应力（不）变量
1 p = (σ1 + σ 2 + σ 3 ) 3
1 2 2 2 q= (σ1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ1 ) 2
塑性成形理论课后答案(俞汉青)
第一章1-12设物体内的应力场为3126x c xy x +-=σ，2223xy c y -=σ，y x c y c xy 2332--=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。
解：由应力平衡方程的：0zy x 0xy 3c xy 2c z y x 0x c y 3c x 3c 6y z y x zzy zx 23y z y y x 2322212zxy x x =∂∂+∂∂+∂∂=--=∂∂+∂∂+∂∂=--+-=∂∂+∂∂+∂∂στττστττσ即：()()0x c -3cy 3c 623122=++-（1） 03c 2c 23=-- （2）有（1）可知：因为x 与y 为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，因此，-6-3c 2=0 （3） 3c 1-c 3=0 （4） 联立（2）、（3）和（4）式得： 即：c 1=1，c 2=－2，c 3=31-13． 已知受力物体内一点应力张量为：,MPa 03750875005805005⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=ij σ求外法线方向余弦为l=m=21，n=21的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。
解：S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=24050218021502150+=⨯+⨯+⨯S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 25.372521752150-=⨯-⨯S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=2155.22130********-=⨯-⨯-⨯ S=111.7J1=20 J2=16025J3=-806250σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！ σ1=-138.2, σ2=99.6,σ3=58.61-14． 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为a)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01001-001010-001ij σMPa ；b)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********ij σ MPa ；c)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=6001-025-10-5-01-ij σ MPa1）画出该点的应力单元体；2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。
3-1-3 应力分析_应力偏张量及等效应力
3. 等效应力不代表某一实际表面上的应力，因而不能在某一特定平面上表 示出来。
4. 等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。
等效应力是研究塑性变形的一个重要概念，与材料的塑性变形有 密切关系的参数。
金属塑性成形原理
应力张量的分解
σz τ τ zx zy
τyz
= τxz τxy τyx σy
σx
σm
σm +
σm
a) 任意坐标系
σ3
σm
'
τzx
τzzy τyz
'
τxz τxy τyx y
' x
' 3
σ2 =
σ1 应力张量
σm +
' 2
σm
' 1
b) 主轴坐标系
应力球张量
应力偏张量
金属塑性成形原理
2 zx
1 6
[(
x
y )2
(
y
z )2
(
z
x)2
6(
2 xy
2 yz
2
zx
)]
J 3
x y z
2 xy yz zx
( x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy )
对于主轴坐标系：
J1 0
J 2 J 3
1 [(1
6
1 2 3
2 )2
(
2
3 )2
(
3
1)2
]
应力偏张量用来表示不同的变形类型。如J1=0，表明应力偏张量已不含 平均应力成分； J2与屈服准则有关；J3决定了应变的类型：J3>0属伸长类应 变，J3=0属平面应变，J3<0属压缩类应变。
正交八面体应力空间的强度理论综述_黄辉
论，同样与双剪应力和双剪应变相关。
由此可见双剪概念内涵的丰富性。基于正交八
面体应力空间建立强度理论是一种新的思想，与基于
等倾八面体应力空间的歪形能强度理论有着类似的
思路，但假设的材料破坏面不同，即在一定的应力作
用下的连续变形，当发生最大剪切破坏时的临界单元
体状态是不同的。俞茂宏根据这种临界单元体每一
第四强度理论：该强度理论广泛应用于具有相同 拉伸屈服应力和压缩屈服应力的金属材料。通常也 称为歪形能强度理论（Huber，1904，Henchky，1925， Mises 准则，1913），或等倾八面体剪应力屈服准则 （Ros-Eichinger，1949，Nadai，1931），有时也称为 J2 理论（应力偏量张量的第二不变量），剪应变能理论， 等效应力准则（有效应力或等效应力 e）。Novozhilov （1952）、俞茂宏（1962）和 Pau（l 1968）等分别从统计 平均剪应力 m、均方根剪应力 123 和平方主应力差等 都推导出了相同的结果，沈珠江（1995）则称其为三剪 强度理论，或者称八面体强度理论（J.Wastiels 曾讨论 了混凝土在等倾八面体上的强度模型，1982），P. S. Liu 等（1999，2000，2003）则建立了金属的八面体分析模 型［4］。
与非线性）问题，其理论基础就是 Hooke 定律和广义
Hooke 定律。而对于塑性问题，则主要有全量理论和
增量理论，但都与广义 Hooke 定律密切相关。其中
全量理论是研究材料的应力和全量应变之间的关系，
也称
（1943）-Hencky（1924）理论。在材料
力学和弹性力学中的广义 Hooke 定律，则是弹性范
8=
1+ 2+ 3
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八面体应力
一、什么是八面体应力？
八面体应力是固体力学中的一个重要概念，用于描述物体内部的应力分布。
一个八面体应力是指在物体的一个小立方体元素中，各个面的应力大小和方向都不相同，即呈现出八个不同的面。
这种应力分布模型被广泛应用于研究材料的力学特性和结构的强度设计。
二、八面体应力的特性
八面体应力具有以下特性：
1. 应力大小不同
在一个小立方体元素中，八个面的应力大小不同，即它们的应力值不相等。
这种差异性导致了在物体不同区域的应力分布不均匀，从而影响了物体的力学性能。
2. 应力方向不同
在八个不同的面上，应力的方向也不相同。
这意味着在物体内部不同方向上的应力存在着差异，导致物体在不同方向上的强度和刚度也不尽相同。
3. 应力分量的变化
八面体应力中的每个面上的应力分量都可能随着位置的不同而发生变化。
因此，八面体应力可以通过研究物体内部不同部位的应力分量变化来探究材料的力学性质和结构的强度。
三、八面体应力的应用领域
八面体应力作为固体力学中的重要概念，被广泛应用于以下领域：
1. 材料强度分析
八面体应力可以用于研究不同材料的强度和刚度。
通过在八个不同的面上测量应力，可以得到材料在不同方向上的应力分布情况，从而分析材料的强度和刚度特性。
2. 结构强度设计
在工程领域中，八面体应力可以用于结构的强度设计。
通过分析结构内部的八面体应力分布情况，可以确定结构在不同方向上的受力情况，从而优化结构设计，提高其强度和稳定性。
3. 应力集中区域分析
八面体应力分析还可以用于研究应力集中区域的情况。
当一个物体受到外部加载时，可能会出现应力集中的情况，即某些区域受到的应力远大于其他区域。
通过研究八面体应力在应力集中区域的分布，可以评估该区域的强度和失效风险。
四、八面体应力的测量方法
为了研究和分析八面体应力，需要准确测量各个面上的应力。
常用的测量方法有以下几种：
1.应变片法：将应变片粘贴在被测物体的表面，应变片能够根据受力情况发生
形变，通过测量形变程度可以推算出应力大小和方向。
2.四轴应力测量法：使用四个测力传感器将力传递给被测物体的不同面，在测
力传感器输出的力值基础上计算得到应力值。
3.压电传感器法：利用压电效应，将压电传感器安装在受力物体的不同面上，
测量产生的电荷信号来推算应力大小和方向。
4.光栅法：利用光栅测量被测物体表面的形变，通过形变信息得到应力大小和
方向。
五、八面体应力的数学模型
八面体应力分布模型可以用数学方程来描述。
具体的数学模型依赖于物体的几何形状、力的作用方式和受力边界条件等因素。
常用的数学模型有如下几种：
1.高斯模型：假设八面体中的应力分布服从高斯分布，适用于某些特定的力学
问题。
2.弹性力学模型：基于弹性理论，通过材料的弹性模量和形变信息来计算八面
体应力分布。
3.有限元模型：使用有限元法将物体划分为许多小单元，通过计算每个单元上
的应力，得到整个八面体应力分布情况。
4.弹塑性模型：结合弹性和塑性理论，适用于研究材料在加载过程中的变形和
失效行为。
六、八面体应力的优化设计
基于对八面体应力的研究和分析，可以优化设计物体的结构和材料。
以下是一些常用的优化设计方法：
1.材料选择：通过研究八面体应力分布，选取合适的材料，使其在应力作用下
具有良好的强度和刚度。
2.结构优化：通过分析八面体应力分布，调整结构的形状和尺寸，以提高结构
的稳定性和强度。
3.强度分析：基于八面体应力分布情况，对物体的强度进行分析和评估，从而
确定物体在不同条件下的安全工作范围。
七、结语
八面体应力作为固体力学中的重要概念，对于研究材料力学性质和结构强度设计具有重要意义。
通过测量、分析和优化设计八面体应力，可以提高物体的工程性能和可靠性。
随着科学技术的不断发展，对八面体应力的研究将在更广泛的领域中得到应用和发展。