混沌系统的平衡点

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混沌系统的平衡点

混沌系统的平衡点
混沌系统是一种非线性动力学系统，其行为具有高度的不确定性和复杂性。

在这种系统中，微小的变化可能会导致系统的行为发生巨大的变化，这使得混沌系统的研究变得非常困难。

然而，混沌系统中也存在着一些平衡点，这些平衡点可以帮助我们更好地理解混沌系统的行为。

平衡点是指系统中的某个状态，在该状态下系统的各个部分之间的相互作用达到了平衡，系统不再发生变化。

在混沌系统中，平衡点通常是指系统中的某个稳定状态，即系统在该状态下不会发生任何变化。

这些平衡点可以帮助我们更好地理解混沌系统的行为，同时也可以用来控制混沌系统的行为。

在混沌系统中，平衡点通常是非常稀有的，因为混沌系统的行为通常是非常复杂和不确定的。

然而，一旦我们找到了一个平衡点，我们就可以利用它来控制系统的行为。

例如，在混沌系统中，我们可以通过改变系统的初始条件来控制系统的行为，使其趋向于某个平衡点。

这种方法被称为控制混沌。

控制混沌的方法有很多种，其中一种常用的方法是使用反馈控制。

反馈控制是指通过测量系统的输出并将其与期望输出进行比较，然后根据比较结果来调整系统的输入，以使系统的输出趋向于期望输出。

在混沌系统中，我们可以使用反馈控制来将系统的行为控制到
某个平衡点附近。

混沌系统中的平衡点是非常重要的，它们可以帮助我们更好地理解混沌系统的行为，同时也可以用来控制混沌系统的行为。

虽然在混沌系统中找到平衡点是非常困难的，但是一旦我们找到了平衡点，我们就可以利用它来控制系统的行为，使其趋向于某个稳定状态。

不确定统一混沌系统平衡点的渐近稳定

不确定统一混沌系统平衡点的渐近稳定沈志萍;邬依林【摘要】研究不确定统一混沌系统平衡点的渐近稳定问题.利用滑模控制理论,给出了此类系统的滑模控制器的设计新方法和控制律算法.该控制器使得误差空间任一点出发的运动都在有限时间到达滑动模态,并沿切换面渐近到达原点,以达到将统一混沌系统控制到平衡点的目的.与现有文献所得结论相比,该文所设计的控制器算法具有抖振小、平稳性好和保守性小等优点.运动方程分析和仿真结果都验证了结论的有效性.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2016(033)001【总页数】8页(P98-105)【关键词】统一混沌系统;滑模控制;渐近稳定【作者】沈志萍;邬依林【作者单位】河南师范大学数学与信息科学学院,大数据统计分析与优化控制河南省工程实验室,河南新乡453007;广东第二师范学院计算机科学系,广东广州510310;华南理工大学自动化科学与工程学院,广东广州510640【正文语种】中文【中图分类】TP273†通信作者.E-mail:************.cn;Tel.:+8620-34115714.本文责任编委:席在荣.国家自然科学基金项目(61273109, 60774057),广东第二师范学院教授博士科研专项经费项目(2014ARF25),河南师范大学博士科研启动经费(5101019170158)资助. Supported by National Natural Science Foundation of China (61273109, 60774057), Appropriative Researching Fund for Professors and Doctors, Guangdong University of Education (2014ARF25) and Foundation for Ph.D. of Henan Normal University, China (5101019170158).当代英文中“Chaos”的词意指“混乱无序”,其涵义与科学和工程学中非线性系统理论中所描述的“确定性的随机现象”比较贴近,因而被借用来称呼这些异常现象.从现象看,混沌运动貌似随机过程,而实际上混沌运动与随机过程有着本质的区别,混沌有着如下的特性[1]:初值敏感性、有界性、随机性、遍历性、普适性、分维性和正的最大Lyapunov指数等.需要指出的是,混沌的识别仍是一个尚未完全解决的课题,识别混沌各种数值特征的适用性、相互关系以及算法的改进等都有待深入研究.在许多情况下都可以观察到混沌运动的存在.由于混沌信号固有的连续宽带和似噪声等特性,为保密通信提供了高度保密的手段,混沌控制、同步及在保密通信中的应用吸引了众多学者的注意[1–11].但是,由于混沌系统对初值的极其敏感性和长时间的不可预测性,混沌控制已成为混沌应用的关键环节.自从1987年, V. V. Alekseev 等人[12], 1989年A. Hubler[13]发表了控制混沌的论文以及1990年E. Ott[14]等人提出OGY方法以来,国内外已经提出许多不同的混沌控制方法,主要有以下几类:反馈控制法[15–16]、自适应控制法[17]、神经网络控制法[18]和滑模控制[4,19]等.2002年,陈关荣等人提出一个新的混沌系统,该系统将Lorenz吸引子和Chen吸引子连接起来, Lü系统是它的一个特例,故称其为统一混沌系统[20].由于统一混沌系统所具有的特殊性质,例如形式非常简单且仅有一个参数,可以用能量壁垒原理等进行系统的动力学行为分析:连接了Lorenz系统和Chen系统,并且实现了在整个参数谱上从一个系统到另一个系统的连续演变等等.从一开始对它的控制就引起了不少人的注意.文献[21]研究了统一混沌系统的反馈控制同步问题;文献[22]研究了统一混沌系统的投影同步与控制问题;文献[23]对系统具有未知参数时,运用滑模变结构控制实现了平衡点的镇定.文献[24]根据Pontryagin最小值原理为统一混沌系统设计约束控制器,将统一混沌系统的状态镇定到它的不稳定的平衡点,并提出了bang-bang控制和逻辑切换相结合的方式以克服bang-bang控制的局限性,文献[25]根据无源控制理论,提出了统一混沌系统的无源等效控制方案,实现了系统不同平衡点的稳定控制.目前的各种混沌控制方法中没有一种方法是全面的,或是唯一有效的.本文利用滑动模态和非线性输入研究了一类具有外部扰动统一混沌系统的渐近稳定控制问题[20].给出滑动模态稳定的充分条件、新的控制律算法和滑模到达时间.所设计的控制律算法,与文献[19]所得控制律算法相比,二者都能够保证系统的运动到达切换面,从而保证误差系统渐近稳定,但文献[19]所给的控制律算法,不能提供到达速度的大小,快速性无法保证且保守性大,而本文所给的控制律算法改进了滑模到达运动的快速性,也有效地削弱了滑动模态的抖振,系统动态性能得到明显改善,另外该算法也减少了控制器参数设计的保守性.运动方程分析和仿真结果都证实了这一点. 考虑如式(1)所示的一类统一混沌系统平衡点的调节问题:其中参数α∈[0,1],对于α∈[0,1]系统(1)均为混沌态,α由0逐渐增加到1时,系统(1)也由Lroenz系统逐渐过渡到Chen系统,按照文献[20]的定义,当α∈[0, 0.8)时,系统(1)属于广义Lroenz系统,满足a12a21> 0;当α∈(0.8,1]时,系统(1)属于广义Chen系统,满足a12a21< 0;而当α= 0.8时,系统(1)满足a12a21= 0,具有连接广义Lroenz系统和Chen系统的重要作用.这一系统为混沌控制与同步的研究提供了新的数学模型,使得基于统一模型的混沌同步在保密通信工程中得到实际应用,但仍有很多问题进一步完善,比如把统一混沌系统同步方法研究与先进控制理论和方法相结合、提高统一混沌系统同步性能研究、基于统一混沌系统通信的非线性电路研究等.本文的目的是设计控制器,使具有不确定性外部扰动的受控统一混沌系统的状态收敛到平衡点(x01,,).设被控系统为假设Δf为系统的不确定性,满足|Δf| 6 γ||x||,γ为一正实数;假设ψ(u)为非线性控制并满足:例如:其图像如图1所示.设(,,)是统一混沌系统(1)的平衡点,则下式成立:记ei= xi−, i = 1,2,3,将式(2)减式(4)得误差系统于是平衡点的调节问题,就转化为误差系统(5)的渐近稳定问题.即e(t) = 0.考虑到系统(2)和(5)中含有不确定项,本文采用滑动模态控制,借助滑动模态的不变性来保证e(t) = 0的实现.为证明主要结论,先给出几个引理.引理1若系统A稳定且是对角矩阵,则存在实数λ,使得||eAt|| 6 e−λt.证对于对角矩阵A,可写为A = diag{λ1,λ2, ···,λn},其中λi,i = 1,2,···,n为矩阵A 的对角线元素,同时也是矩阵A特征根,记λmax= max{λ1,λ2, ···,λn},则由对角阵的矩阵指数函数性质可得从而令λ=−λmax> 0,则有||eAt|| 6 e−λt.证毕.引理2若系统A稳定且是对角矩阵,同时则系统渐近稳定.证解方程(6)得从而记−λ为A的特征根的最大实部,由引理1可得证毕.基于上述引理,给出滑动模态的设计.定理1取切换函数为s(t) =−(1−δ)e1(t) + e2(t),δ> 0,则滑动方程渐近稳定.证取切换函数s(t) = c1e1(t) + c3e3(t) + e2(t), (7)其中c1,c3为待定参数.在切换面上s(t) = 0,从而由式(7)可得e2(t) =−c1e1(t)−c3e3(t).(8)将式(8)代入误差方程(5)的第1和第3个方程,得滑动方程:写成矢量形式:其中Υ= (25α+ 10).取c1=−1 +δ,δ> 0, c3= 0,则式(9)变为解式(10)的第1个方程得e1(t) =e1(0)e−(25α+10)δt→0,从而e1(t)指数稳定.进而指数趋于零,由引理2可得,从而可得滑动模态渐近稳定.证毕.定理1讨论了系统在切换面上的稳定性,下面将给出系统控制器设计,使得误差空间任一点出发的运动都在有限时间内到达切换面.定理2取控制律其中：参数k > 0,ϵ> 0, s(t)为式(7)所示的切换面.则从误差空间任一点出发的运动,都能在有限时间到达切换面,且到达切换面的时间为证首先证明从误差空间任一点出发的运动,都能在有限时间到达切换面.容易验证式(12)和式(13)可重写为分两种情形考虑:1)当s(t) > 0时,由式(11)(16)有u = u+6 0,从而可得上式两边同除u < 0,得β2u 6 ψ(u) 6 β1u.于是由式(5)得其中Φ= (28−35α−x03).2)当s(t) < 0时,由式(11)(17),有u=u−> 0,从而ψ(u) >β1u,可得由式(18)–(19)可得,从误差空间任一点出发的运动,都能在有限时间到达切换面.其次求解到达切换面的时间.对于到达时间的计算,解式(18)–(19)得进而求解式(20)得记到达切换面的时间为T,则由切换面上s(t) = 0,由上式可得由此解得证毕.注1 定理2中控制律算法,与文献[19]所给的控制律算法相比,虽然都能够保证系统运动能够到达切换面,从而保证误差系统渐近稳定,但定理2的控制律算法具有以下优点：1)文献[19]所给控制律算法,只能保证s(t)˙s(t) < 0,不能提供到达速度的大小,快速性无法保证;但本文定理2中的控制律算法可保证{到达切换面时间为,快速性好.2)文献[19]的控制律中使用的是|Γ(s,e)|,本文定理2的控制律中使用的是Γ(s,e),保守性小,抖振小,平稳性好.law)从式(20)可以看出,定理2中的控制律,只限制了最低到达速度: |˙s| > |ks| +ϵ.没有限制最高到达速度,这就可能出现,到达速度过快,从而使滑动模态产生剧烈抖振.比如：当s > 0,且(≪表示远小于),由式(11)(16),有u = u+= 0,进而类似的,当s < 0,且时,由式(11)和式(17),有u = u−= 0,从而式(21)–(22)表明,按控制律(11)–(14)设计的控制器,有可能会出现即到达切换面速度很大的情况,从而导致滑动模态势必产生剧烈的抖振,系统动态品质差.为了克服上述缺点,对定理2的控制律作如下改进,取即给出如下改进控制器的定理,该定理可改变因到达速度过快,从而使滑动模态产生剧烈抖振.定理3取控制律则从误差空间任一点出发的运动,都能在有限时间到达切换面,且到达切换面的时间为同时使得到达切换面的速度不会很大.证分4种情形考虑:1)当s > 0,|ks|+ϵ+Γ(s,e)+γ||x|| > 0时,有从而由切换面方程可得2)当s > 0,|ks|+ϵ+Γ(s,e)+γ||x|| < 0时,有u ==(|ks| +ϵ+Γ(s,e) +γ||x||) > 0.由式(3)可得ψ(u) 6 β2u,代入切换面方程可得˙ 6Γ(s,e) +ψ(u) +γ||x|| 63)当s < 0,−|ks|−ϵ+Γ(s,e)−γ||x|| > 0时, 有u ==(|ks|+ϵ−Γ(s,e)+γ||x||) < 0.由式(3)可得ψ(u) >β2u,代入切换面方程可得4)当时,有,从而可得ψ(u) >β1u,代入切换面方程可得由式(26)–(29)可得定理3的结论成立. 证毕.两个控制律比较:从定理2和定理3的证明可以看出:当时,由定理2控制律所得到达速度为由定理3控制律所得到达速度为由上面两式可以看出两个控制律都得出同样的到达速度,但当时,按定理2所给控制律,可得进而将控制律代入切换面计算得而按定理3所给控制律,此时将控制律代入切换面计算得从式(30)–(31)可以看出,改进的控制律可抑制到达切换面速度过快的情况,通过k > 0,ϵ> 0两参数的适当选取,既可保证好的快速性,又可减小抖振,改善系统的动态品质. 本节给出仿真说明定理3的有效性,同时与文献[19]所得控制律算法作对比.当α= 1,统一混沌系统(1)代表Chen氏吸引子,即利用Simulink仿真,图2所示其混沌图像,初值(x1(0),x2(0),x3(0)) = (1.00,−1.00,−1.01).容易求出系统(1)的3个平衡点:带有扰动的被控系统为其中外部扰动Δf = 0.5cos(3πt)||x||, x = (x1,x2,x3)T.显然参数γ= 0.5,非线性输入ψ(u(t)) = [0.8 + 0.2sin u(t)]u(t).则由式(3)得参数β1= 0.6,β2= 1.0,其仿真结果如图1所示.只考虑将具有外部扰动的混沌系统(33)控制到平衡点O1,其它平衡点的仿真与此平衡点类似.由式(33)和平衡点O1可得误差方程6.1 利用本文所给控制律仿真(Simulation example using this paper control law)依据本文定理1可取切换函数其中取参数δ= 2,根据本文定理3中式(25),以及式(14)(23)–(24)取控制律:参数取k = 1,ϵ= 0.5, c1=δ−1 = 1.6.2 利用文献[19]所给控制律仿真(Simulation example using paper [19] control law)依据文献[19]中式(5)–(6)取相应的切换面为根据文献[19]定理1中式(11)取控制律为利用Simulink仿真,结果分别如图3–7所示,其中所有曲线中实线为本文所给控制律算法仿真所得的结果,虚线为文献[19]所给控制律算法的仿真结果.即图像中e1(t),e2(t),e3(t),s(t),u(t)表示本文所给控制律算法仿真所得的结果,e′1(t),e′2(t),e′3(t), s′(t),u′(t)表示文献[19]所给控制律算法仿真所得的结果.图3–5是误差曲线,可以看出两个控制器都可以将误差变量很快控制到平衡点附近,但实线部分即本文所给的控制器算法所得的仿真在快速性、平稳性都优于文献[19]所给控制律算法即虚线部分.图6为切换函数关于时间的变化曲线,可以看出本文的方法有效削弱了滑动模态的抖振,远远小于文献[19]滑动模态的抖振.图7为控制函数关于时间的变化曲线,比较可以看出,本文控制律具有较小抖振、平稳性好等优点. 本文所给的控制律算法很好的实现了具有外部扰动的混沌控制,而且对不确定性有很好的抑制能力,与现有文献所得控制律算法相比,改进了滑模到达运动的快速性,也有效的消弱滑动模态的抖振,另外该算法也减少了控制器参数设计的保守性,运动方程分析和仿真结果都证实了结论的有效性.参考文献(References):[1] MIN Fuhong. 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混沌系统稳定性分析与控制技术研究

混沌系统稳定性分析与控制技术研究1. 引言混沌系统是一类表现出无序、不可预测行为的非线性动力学系统。

由于其具有高度不确定性和复杂性，混沌系统的稳定性分析和控制一直是研究的热点和挑战。

本文将对混沌系统的稳定性进行分析，并探讨一些常用的控制技术。

2. 混沌系统的数学模型混沌系统可以用一组非线性微分方程或差分方程来描述。

这些方程通常具有敏感依赖于初始条件的特性，导致系统状态的微小变化引发系统行为的巨大变化。

常见的混沌系统包括洛伦兹系统、声波迭代映射系统等。

研究者们通过数学建模和仿真分析来研究混沌系统的行为。

3. 混沌系统的稳定性分析混沌系统的稳定性分析是研究混沌系统行为的重要一环。

传统的稳定性分析方法往往无法适应混沌系统的复杂性。

近年来，研究者们提出了一些新的稳定性分析方法，例如Lyapunov指数法、Poincaré截面法等。

这些方法可以从数学角度揭示混沌系统的稳定性特点，并通过相应的数值计算方法求解系统的稳定解。

4. 混沌系统的控制技术为了克服混沌系统带来的不可预测性和不稳定性，研究者们提出了一系列控制技术来实现对混沌系统的控制。

其中，最常见的方法是反馈控制。

通过在系统中引入反馈环路，可以实现对混沌系统的稳定化控制。

此外，研究者们还提出了一些其他控制技术，例如滑模控制、自适应控制等，这些方法在不同的混沌系统中都取得了一定的效果。

5. 混沌系统的应用混沌系统的研究不仅仅是理论上的探索，还有着广泛的应用前景。

混沌系统的无序和随机性特性使其在密码学、通信和图像处理等领域得到了广泛的应用。

通过利用混沌系统的特点，可以实现数据加密、无线通信技术的安全性提升等。

6. 混沌系统的挑战和展望虽然混沌系统的研究取得了一定的进展，但仍然存在一些挑战。

首先，混沌系统的复杂性导致了一些数学模型难以精确描述和分析。

其次，混沌系统的控制技术还需要进一步完善和优化。

未来的研究将集中于改进稳定性分析方法和开发新的控制技术，以应对混沌系统的挑战。

具有隐藏吸引子的混沌系统的动力学分析

第!"卷第#期宁夏大学学报!自然科学版"$"%&年&月!'()*!"+(*#,(-./0)(1+2/34205/267.829:!+09-.0);<27/<7=>292(/";7?@$"%&!文章编号#"$A #B $#$C !$"%&""#B "$$!B "A具有隐藏吸引子的混沌系统的动力学分析王文静$!安新磊$!于欢欢!兰州交通大学数理学院$甘肃兰州D #""D ""摘!要#对一个具有隐藏吸引子的混沌系统进行了基本的动力学分析$找出了系统的平衡点$通过分岔图与]:0B-/(6指数分析了参数对该系统动力学行为的影响*利用U 09)0Q 软件仿真出系统的相图$分析了系统的吸引子是隐藏的*最后$求得该系统的哈密顿能量函数$验证了能量函数的正确性$并对系统的能量转移进行了讨论*关键词#隐藏吸引子%周期解%]:0?-/(6指数%哈密顿能量分类号#!中图"J !%A @A 文献标志码#K收稿日期#$"%&B "%B %%基金项目#甘肃省自然科学基金资助项目!%D ,P A P K "&E"作者简介#王文静!%&&#&"$女$硕士研究生$主要从事非线性动力学研究*!!吸引子理论是混沌学的重要组成部分$常见的吸引子有#'0/>7.\()$V 7)(-8(6B S N 0Q (92/8I :$](.7/M $P (88)7.吸引子$以及其他混沌系统的吸引子$这些吸引子都位于不稳定的固定点的邻域$称之为自激吸引子*$"%"年$G -M /798(6等在经典的a N -0系统中首次发现了一类特殊的混沌吸引子$这些吸引子的吸引盆不包含平衡点的邻域!特别地$没有奇点或者仅有稳定奇点的动力系统中的混沌吸引子都是隐藏的"$将其称为隐藏吸引子'%&!(*近年来$关于隐藏吸引子问题的研究已成为混沌领域的热点*隐藏吸引子不是由不稳定平衡点激发的$它与自激吸引子有着完全不同的动力学特征'A (*在实际的工程应用中$隐藏的振荡行为是不期望的动力学行为$因而对于隐藏吸引子动力学行为的研究有着重要的工程应用意义*生物个体的新陈代谢+信号传播+动力系统以及多体系协作$能量供给是非常关键的因素'E (*非线性混沌系统都伴随着一定的能量转换和迁移'D (*稳定性是非线性系统需要考虑的一个重要指标'C($通过求出系统的能量函数$我们可以将复杂系统的状态分析转移到系统的能量函数上来'C (*本文对一个具有隐藏吸引子的混沌系统进行了基本的动力学分析$基于亥姆霍兹定理计算了其哈密顿能量函数$并对系统的能量损耗进行分析*%!具有隐藏吸引子的动力系统&U &!V *C *G %W K MG =//系统的描述,010.2和;?.(99'&(提出了系统!%"所示的一个特殊三维自治系统^5%4$^4%65*4\$^\%656$546<5\/1$!%"式中#5$4$\为系统状态变量%$$<为系统参数(当$%%A $<%%$初始状态!5$4$\"%!"$"@A $"@A "$仿真时间为.%%""8时$系统!%"生成一个混沌系统(此时吸引子在各坐标上的投影和时间序列见图%和$(&U '!平衡点与稳定性基于上述参数条件$令系统!%"的^5%"$^4%"$^\%"求得系统的平衡点为!"$"$\"$其中\*,$并且系统没有其他的平衡点!即\轴是该系统的线平衡"(对于平衡点的稳定性$通过其,0<(Q 20/矩阵%"%"6%\46%6%A 46\6%A 56>@A5!$"及特征多项式第#期王文静等#具有隐藏吸引子的混沌系统的动力学分析图&!吸引子在三个坐标平面的投影图'!仿真时间/X&11A内的时间序列3!'"%'#6\'$*'!#"计算得'%%"$!'$$#%\_\$6槡!$(!!"从计算结果看$一个特征值为"$另外两个特征值分别为'$$#%\_\$6槡!$(由图%的投影可知$\的范围为!6$$%"(当\*!6$$""时$'%%"$P7'$'"(X O'$%"$P7'#'"$X O'#'"$由P(-9N B`-.W29M稳定判据知$此时平衡点是稳定的%当\*'"$%"时$'%%"$P7'#%"$X O'#'"$平衡点是不稳定的(&U(!隐藏吸引子定义&!如果吸引子的吸引盆不包含平衡点的邻域$则这些吸引子被称作隐藏吸引子(例如$在没有稳定点+没有不稳定的稳定点或无穷多个稳定点!如具有线平衡点"的非线性系统中$观察到的吸引子$都是隐藏吸引子(在许多实际系统中!如a N-0电路"$各种自激吸引子与隐藏吸引子!吸引子"共存(以下将讨论系统!%"的隐藏吸引子(通过U09)0Q数值仿真$可得在参数$%%A$<%%条件下系统!%"的相图!图#"(在此参数下$系统吸引子是隐藏的$原因为在平衡线上有无数的不稳定点$其中只有极小的部分接触混沌吸引子的盆地(因此$平衡不能帮助找到吸引子(通过仿真$可以从图#看出$蓝色部分为此系统的隐藏吸引子$红色部分为系统的平衡点'%"((图(!系统!&"在初值!1Y1$1U2$1U2"条件下的吸引子$!动力学分析'Y&!O=%#B*G9映射图\(2/<0.7映射是分析复杂动力系统的有效方式$可通过观察截面上截点的分布情况$判断系统的混沌性*若运动是混沌的$则其\(2/<0.7截面上是一些成片的具有分形结构的密集点*由初值为!"$"@A$"@A"$!"$i"@A$"@A"状态下的截面!图!"可知$系统为混沌系统*'Y'!参数的影响为了能够研究系统!%"的复杂动力学行为$运用数值方法对系统在不同参数条件下的动力学行为进A$$宁夏大学学报!自然科学版"第!"卷行分析!表%"$得到了%周期吸引子$$周期吸引子和混沌吸引子!图A "*图E 给出了不同参数值$的]:0?-/(6指数谱及在固定参数<j %时系统!%"关于$的分岔图和时间序列图*图-!不同初值下的O =%#B *G 9映射图表&!不同参数条件下系统!&"的动力学行为参数值吸引子]:0?-/(6指数相图$j $!$<j %周期%'"$i "@"!EA $i "@!E %D (图#0$j %&$<j %周期$'"$i "@%C #$$i "@#%!!(图#Q $j %A $<j %混沌'"@"D %D $"$i "@A $#$(图#<图2!系统!&"在不同参数下的相图!!表%中$固定参数<$参数$分别为$!$%&$%A 时$得到的相图分别见图A 0$A Q $A <(由图A 可知$上述参数值下$系统!%"的运动状态分别为%周期+$周期和混沌$即系统既具有周期态也存在混沌现象(由图E 和D 的]:0?-/(6指数谱+分岔图及5!."的时间序列图可以看出$当$*'%!$%D(时$系统没有周期行为$处于混沌状态!$%%%A "%当越过$%%D 之后$系统出现周期现象$呈现典型的$$周期!$$%%D @#"$$周期!$#%%&"$%周期!$!%$!"(由此可以得出$系统!%"具有典型的倒倍周期现象$从分岔图和时间序列图中可以更清晰地看出$系统具有混沌向周期态发展的趋势(图3!关于参数的Z "*ME #=Q 指数谱和分岔图E$$第#期王文静等#具有隐藏吸引子的混沌系统的动力学分析图4!状态变量 ! "的时间序列图#!`0O2)9(/函数为了分析系统!%"的`0O2)9(/能量函数$将系统!%"简记为^5%3!5"$!A"式中5*,#$3!5"为光滑函数(由文献'E(知$3!5"满足以下关系#3!5"%3)!5"*3`!5"$!E"式中#3)!5"为涡旋场%3`!5"为梯度场(能量的变化来自于电场的做功$K!5$4$\"作为`0O2)9(/能量$它满足以下方程##K[.3)!."%"$!D"^K%>K>.%#K[3)!."$!C"则$对于系统!%"$可以得到3)!5"%465656$5>@A4$!3`!5"%"4\6>?@A<5\(!&"由!&"式可知$`0O2)9(/能量函数K!5$4$\"服从以下偏微分方程#47K75*!65"7K74*!656$54"7K7\%"(!%""求解!%""式$有K!5$4$\"%%$$5$64*\(!%%"同时$可以验证其微分系数与时间的关系$即^K%%$$.$5.^56^4*^\%$5.!4"6!65*4\"*!6\6$546<5\"%$54*564\656$546<5\%64\6<5\%"*!6%"!4\"*!6<5\"%#K[.3`(以下讨论由!%%"式中定义的`0O2)9(/能量对系统!%"的能量转移(当参数$%%@A$<%%$初始值为!"@!!E$"$"@A$"@A"时$系统!%"的能量仿真图如图C所示(显然$一些尖峰的出现$使系统进入准周期时轨道增长缓慢(一旦发生混沌$能量和时间响应的一些尖锐峰值同时显著地出现(但更为显著的是$振幅的较大值对应于较小的能量值$仅仅是因为剧烈的混沌振荡消耗了大量的能量(图5!状态变量和R*H%0/=#能量的时间响应图D$$宁夏大学学报!自然科学版"第!"卷从这些观测和能量守恒定律来看$当系统!%"具有复杂的振荡时$能量以大振幅振荡*例如$混沌运动比准周期运动消耗更多的能量$以平滑的幅度体现在能量函数上*研究还发现$瞬态混沌现象对能量函数的振荡有较大的变化*!!结语本文针对,010.2B ;.(99系统$通过数值仿真$模拟出此系统的运动轨迹$判断了系统在一定条件下是混沌的$并分析了系统的一些更为复杂的动力学行为$包括周期吸引子$混沌吸引子以及隐藏吸引子*利用分岔图和]:0?-/(6指数谱等$发现了系统由混沌通向周期的现象*最后$讨论计算了系统的`0O 2)9(/能量函数进而分析系统的能量转移*参考文献#'%(!赵汇涛*非线性动力系统的分支周期解与隐藏吸引子'H (*昆明#昆明理工大学$$"%!*'$(!,K F K P X ;$;\P J [[,a *=)7O 7/90.:b-0>.092<<N 0B (92<1)(W 8W 29N/(7b -2)2Q .20',(*\N :82<8]7997.8;7<B 92(/K Z 7/7.0)K 9(O 2<h ;()2>;9097\N :82<8$$"%#$#D D !&"#E &&B D "$*'#(!UJ ]K X =U $,K F K P X ;$;\P J [[,a $790)*;2O ?)7<N 0(92<1)(W 8W 29N(/7890Q )77b-2)2Q .2-O ',(*X /97./0B 92(/0),(-./0)(1V 21-.<092(/0/>a N 0(8$$"%#$$#!%%"#D *'!(!^=X S N (-<N 0(*H :/0O 2<0)Q 7N 062(.8(10<N 0(92<8:8B 97O W 29N/(7b -2)2Q .20',(*\N :82<8]7997.8K $$"%%$#D E !$"#%"$B %"C *'A (!包涵$包伯成$林毅$等*忆阻自激振荡系统的隐藏吸引子及其动力学特性',(*物理学报$$"%E $E A !%C "#%B %$*'E (!王春妮$王亚$马军*基于亥姆霍兹定理计算动力学系统的哈密顿能量函数',(*物理学报$$"%E $!$!"##"B #A *'D (!;J +Z _2/)2/$,X +^-:2/$UK,-/*=/7.3:>7?7/>B 7/<7(/9N 77)7<9.2<0<92629278(10/7-.(/',(*a N 2/787\N :82<8V $$"%A $$!!%$"#%B E *'C (!徐耀群$何少平$刘健*三角函数自反馈混沌神经网络能量函数研究'a (--中国智能自动化会议$$""&#A C B E #*'&(!,K F K P X ;$;\P J [[,a *;2O ?)7<N 0(92<1)(W 8W 29N 0)2/77b -2)2Q .2-O ',(*a N 0(8;()29(/8h F .0<90)8$$"%#$A D !!"#D &B C !*'%"(!H 5H G J^;G XH $,K F K P X;$G K \X [K +X K G [$790)*`2>>7/099.0<9(.82/>:/0O 2<0)8:897O 8',(*\N :8B 2<8P 7?(.98$$"%E $E #D #C *!"#*H %B7#*0"A %A =CI <*=/%B K "A /9H A:%/<R %>>9#7//G *B /=G A Z $#F Z H #G /#F $&#"/#P H /$0J K J $#E J $#!;<N (()(1U 09N 7O 092<80/>\N :82<8$]0/M N (-,20(9(/35/267.829:$]0/M N (-D #""D "$a N 2/0"7F A /G *B /#[N 280?7.89->2789N 7>:/0O 2<8(10<N 0(92<8:897O W 29NN 2>>7/099.0<9(.8$W N 7.7Q :Q 0)0/<7(2/9(19N 78:897O281(-/>(-90/>9N 72/1)-7/<78(1?0.0O 797.8(/9N 7>:/0O 2<Q 7N 062(.280/0):M 7>9N .(-3N 9N 7Q 21-.<092(/>203.0O0/>9N 7]:0?-/(62/>74*[N 7?N 087>203.0O82O -)097>Q :U09)0Q8N (W 89N 099N 7099.0<9(.8(19N 78:897O28N 2>>7/*F 2/0)):$9N 7`0O 2)9(/20/7/7.3:1-/<92(/(19N 78:897O28(Q 902/7>$9N 7/298<(..7<9/7882867.2127>$0/>9N 77/7.3:9.0/817.(19N 78:897O281-.9N 7.>28<-887>*+9":=G >A #N 2>>7/099.0<9(.%?7.2(>2<8()-92(/%]:0?-/(62/>74%`0O 2)9(/7/7.3:!责任编辑+校对!张!刚"C$$。

系统的平衡点

系统的平衡点
平衡点是当所有的微分同时为0的点动⼒系统中所有状态变量对时间的导数全为零的状态叫做：定态。

定态在相空间中的代表点称为：平衡点。

定点、不动点、平衡点、平稳点、奇点、临界点都是对同⼀客体的不同名称。

他们定义了轨迹上速度为0的点，相对应的系统处在静⽌状态，因为所有变量都是恒定的并且不随时间变化，因此平衡点满⾜⽅程f（x）=0，x即为状态向量的平衡点的值f为线形则系统线形，则只有⼀个平衡点（系统矩阵为⾮奇异的）。

⾮线形系统可能有多个。

平衡点有稳定与不稳定之分，所谓稳定是指系统在受到扰动时偏离平衡点，但仍可以⾃动返回此平衡点；反之，若系统在受到扰动后偏离此运动状态，则称为不稳定平衡点。

平衡点是动态系统⾏为的真实特性，我们可以从它们的特性中得出有关稳定性的结论。

线形系统的稳定性是完全独⽴于输⼊的，也独⽴与有限的初始状态，当系统被⼩⼲扰后仍回到围绕平衡点的⼩区域内，就在该平衡点是局部稳定。

⾮线形系统稳定性取决于输⼊的类型、幅值、和初始状态，这些因素在定义⾮线形系统的稳定性时必须加以考虑。

判断平衡点的稳定性，可以有李雅普诺夫第⼀法和第⼆法，第⼀法⼜叫间接法，是把⾮线性⽅程在平衡点领域内线性化，然后⽤线性⽅程来判断平衡点的稳定性；第⼆法⼜叫直接法，是⽤构造李雅普诺夫函数的⽅法，⽤能量法来判断平衡点的稳定性。

⾮线性⽅程⼀般都⽆法求出解析解，故研究系统的平衡点的稳定性就具有了重要意义，是研究分岔、混沌等复杂动⼒学⾏为的必不可少的⼿段。

New混沌动力系统ch2

1, 2
p p 2 4q 2
p (a d ), q ad bc
2.2 非线性系统的线性化和平衡点的类型
只要知道线性系统的系数矩阵的特征值，就可确定向平面上的除平衡点外的轨道形状。做非奇异变换
的非奇异矩阵 . 1 1 1 z M x0 z M x M AM z 0
虚线是平衡点的子空间。轨线从平衡点子空间出发，平行于平衡点子空间移动。
2.2 非线性系统的线性化和平衡点的类型
小结：六种情况 Im
A+A
(4) (6) (5)
(1)
(3)
(2) Re
结论：平衡点的类型完全由A的特征值所在的位置决定。系统的整个相平面特性由平衡点的类型决定。
2.2 非线性系统的线性化和平衡点的类型三、线性近似系统与非线性系统之间的关系
显然是不可能的．通过将非线性系统的线性化来研究其性质，只能研究局部性质．即只能研究非线性系统中一个平衡点的邻域内解的性质．
f ( xe ) 0
不失一般性，令
xe 0,当f C 1时，定义
f A x
Df ( xe )
x 0
2.2 非线性系统的线性化和平衡点的类型
f A x
0 k1
1 k2
2.2 非线性系统的线性化和平衡点的类型
(2) 平衡点
ˆ xx 0 ˆ1 ˆ2 x x ˆ f ( x) f [ x 0 ] f x ˆ ˆ ˆ k sin( x ) k x 1 2 2 2 1
鞍点 ( sa d d le ), 不稳定鞍点 ( sa d d le ), 不稳定

一类三维混沌系统的分叉及稳定性分析

E + 处有一个 H opf分叉. 证明: 由方程 ( 4)得,
b=
-
3
2 + c + 2a( 2c- a ) 2 + 2( a+ b - c) + bc
因而有
b ( b0 ) =
-
3
2+
2 + c + 2a ( 2c- a ) 2 4ac- 2a2 + ( c2 + 3ac-
2a2 )
c
和
=
c2 + 3ac- 2a2 i
b0 ) ( c- a) -
KMa2 -M2a)Y+ 1 ( (c( c- a) -KMa2 -M2a) LM ac
(2a- 3c) - 2M (aMb0 - aM (c- a) )+ c(KMa2 -
Z
=
1 La2M
(2a2M2 +
b0 c(c-
a-
b0
) )X
+
LMba02c( aM 2
+
(L
+K
3c) c
-
2MR
+
P
)Z
+
(a(4c- 2a) Lc b0 c
+
Fb0 c a2M
)X
2
+
(a(4c- 2a) ( 2a- 3c) - 2FM )Z2 + ( 4c- 2a+
Lc2 b0 c
c
Lc
值, 相应的特征相量分别记为 v1, v2, v3, 则可计算向
量 = v2 + v3 = ( 1 1 2 a2
引言
随着非线性科学的广泛应用, 混沌控制已成为一个热门的研究领域. 1963 年, Lorenz[ 1 3 ] 在一个

混沌系统不稳定平衡点的镇定及其在蔡氏电路中的应用

Stabilization of unstable equilibria of chaotic systemsand its applications to Chua’s circuitAbstractBased on the ergodicity of chaos and the state PI regulator approach, a new method was proposed for stabilizing unstable equilibria and for tracking set point targets for a class of chaotic systems with nonlinearities satisfying a specific condition.A criterion was derived for designing the controller gains, in which control parameters could be selected by solving a Lyapunov matrix inequality. In particular, for piecewise linear chaotic systems, such as Chua’s circuit, the control parameters can be selected via the pole placement technique in linear control theory. More importantly, this method has high robustness to system parametric variations and strong rejection to external constant disturbances. For verification and demonstration, the design method is applied to the chaotic Chua’s circuit, showing satisfactory simulation results.Key words: Chua’s circuit; unstable equilibrium point; stabilization; P I regulator1.IntroductionIn the past decade, much attention has been paid to chaos control, and many methods have been proposed for suppressing chaos[1,2]. For instance, the delayed feedback control (DFC) method[3]is based on the difference between the current system output and the time_delayed output signals, which does not require any knowledge of the target points.However, this approach in general cannot specify the target setting point and is subject to the so_called odd number eigenvalue limitation[4~6]. On the other hand, the OGY method[7],which is a local control scheme, and the methods[8,9]that are based on precise state feedback control usually fail with system parameters variation and are inconvenient for practical engineering systems. In this paper, based on the ergodicity of chaos and state PIregulator approach[10], a feedback control design method is proposed for stabilizing unstable equilibria and for set-point tracking for a class of chaotic systems with nonlinearities satisfying a specific condition. The proposed method combines a state feedback and an integral of the difference between the target output and the current output signals. The output signal is a simple function (e.g., linear combination) of the state variables of the chaotic system. In particular, if a suitable linear combination is selected and used as the output feedback, the target output signal can become zero, and then no information about the target equilibrium is needed in the integral part of the controller. Moreover, this control method has satisfactory control performance and robustness. It will also be demonstrated that this control method can reject external bounded constant-disturbances asymptotically. Based on the Lyapunov stabilization theory, a criterion is derived for choosing the proportional and integral gains. The control parameters can be selected via solving aLyapunov matrix inequality. In particular, for piece-wise linear chaotic systems, such as Chua’s circuit, the control parameters can be chosen via the pole placement technique in linear control theory2. Working with Chaos: Building the circuitThe hardest part in building the circuit is getting the correct value of the inductance （电感）. I used a simple RL filter to tune the inductance. I used a known R and applied a sinusoid at the input. Since I know the frequency and amplitude of the sinusoid, I can use the frequency response of the circuit to obtain the value of the inductance I want. In order to measure the series resistance of the inductor, use a simple ohm-meter. I even used an ohm-meter to figure out across which pins in the T1105 is the coil actually connected. Screenshots:3. Other possible component values for Chua's circuitThe list below shows some other possible component values for Chua's circuit. Please note that the nonlinear resistor (Chua Diode) is the same as shown in the schematic from the Simulation section. You can refer to the schematic shown at the banner on top of the page.①L=8mH, C2=47nF, C1=3nF, R=1.85k②L=18mH, C2=50nF, C1=4.7nF, R=2.1k4 Stabilizing unstable equilibria of a class of chaotic systems Consider a controlled chaotic system of the form =.x Ax+g(x)+u (1) Where n R x ∈is the state vector, n R u ∈ is the control input to be designed, A ∈×a constant matrix, and g(x) is a continuous nonlinear function satisfying the following condition[11]: ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-~,~~)()(x x M x g x g x x (2) where ~,x x M is a bounded matrix that depends on both x and ~x . Remark1 Many chaotic systems can be described by (1) and (2), such as the classic Chua’s circuit[12],the modified Chua’s circuit with a sine function, the modified Chua’s circuit with nonlinear quadratic function x | x |[13],and the MLC circuit.Let s x be an unstable equilibrium of (1) when u =0,that is,0)(=+s s x g Ax (3)The objective is to design a controller u such that the states of system (1) are stabilized to s x , which is a constant vector independent of time. Later, the objective will also be extended to tracking a constant set point. According to the state PIregulator theory, a controller is constructed as follows:)])()(([0τλd y y k x x K B u t s s ⎰-+-= (4)Where B ∈1⨯n R is a constant gain matrix, K ∈1⨯n R is the proportional state feedback gain vector, k ∈R s the integral gain, y = Cx is the output with a constant matrix C ∈1⨯n R ,s s Cx y = is the observation of the target equilibrium s x ,andWhere x Ω denotes the neighborhood of the unstable equilibrium s xRemark2 Because of the ergodicity of chaos, the trajectory will visit or access Ωx sat times. When the trajectory accesses x Ω, the controller (4) is turned on, and the trajectory will converge to s x asymptotically under the controller (4), in which the control parameters will be chosen to ensure the error dynamic system is asymptotically stable, as further described below.Remark3 In control law (4), if we choose r y s = , where is a constant set point for tracking, then the output y can track this set point asymptotically.Remark 4 If there exists an external bounded constant disturbance w, whose value is unknown but bounded, in the system (1), then we can easily prove that the chaotic system can be stabilized at the targeted unstable equilibrium point by using the similar procedure above.5. Applications of ChaosBelieve it or not, there are tons of applications for Chaos. Here are a few: The stock market (finance) ,Power systems (electrical engineering) ,Population Dynamics (biology) ,Communication Systems (electrical engineering) There are also very interesting chaotic processes in the human brain. Here are two excellent papers by French scientists on this topic (pubmed links to both articles):Conclusion and discussion In this paper, a new method for stabilizing unstable equilibria has been developed for a class of chaotic systems based on the state PI regulator method.. The proposed method is robust to a certain level of external disturbances as well as system parameters variation. Based on the Lyapunov stabilization theory, a precise criterion is derived to accomplish the stabilization of the target unstable equilibria of the chaotic system. The control parameters can be selected via solving a Lyapunov matrix inequality. Particularly, for piece wise linear chaotic systems such as Chua’s circuit, they can be selected via the simple pole placement technique. This new design method is better than the state feedback control method in the sense that even the given.出处：Control Theory & Applications 2003.V ol.20.No.5摘要基于混沌系统的遍历性和状态PI调节器理论,提出一类混沌系统不稳定平衡点的镇定和设定点跟踪新方法,给出用于控制器参数设计的Lyapunov矩阵不等式.对于分段线性混沌系统,如蔡氏电路,可通过控制理论中的极点配置技术来设计控制器参数.该方法对系统参数变化具有很强的鲁棒性,能够消除外部定值扰动.将该方法用于蔡氏混沌电路不稳定平衡点的镇定,取得了满意的结果.关键词:混沌系统蔡氏电路;不稳定平衡点;镇定; PI调节器1.简介在过去的十年中，混沌控制受到了很大重视，提出了许多控制混沌的方法。

非双曲平衡点

非双曲平衡点引言在动力系统理论中，非线性系统的平衡点是指系统状态不随时间变化的特殊点。

一般来说，我们关注的是系统在稳定状态下的平衡点，也就是系统在该点附近的状态趋向于该点。

然而，在某些情况下，系统可能存在非双曲平衡点，这些平衡点的稳定性特征与传统的平衡点有所不同。

什么是非双曲平衡点非双曲平衡点是指动力系统中的平衡点，其稳定性特征不属于双曲型的情况。

在双曲平衡点的情况下，系统状态在平衡点附近指数衰减或指数增长，并且不存在周期性或发散解。

然而，在非双曲平衡点的情况下，系统可能出现周期解或发散解，这使得系统的稳定性分析变得更加复杂。

非双曲平衡点的背景非双曲平衡点的研究早在20世纪70年代就有所涉及，当时一些学者在对某些非线性动力系统进行分析时发现了非双曲平衡点的存在。

这些非双曲平衡点的性质违背了传统的双曲型平衡点的稳定性理论，引起了学术界的广泛关注。

非双曲平衡点的稳定性分析在传统的平衡点稳定性分析中，我们通常使用雅可比矩阵和线性稳定性理论来判断平衡点的稳定性。

然而，在非双曲平衡点的情况下，线性分析方法往往失效，我们需要采用其他更加复杂的方法来进行稳定性分析。

周期解的存在与稳定性在非双曲平衡点的情况下，系统可能存在周期解。

这些周期解可以通过转化为一个正常形式来分析其稳定性。

正常形式是将非线性系统在平衡点附近展开为一组非线性常微分方程，并通过特征值的计算来判断周期解的稳定性。

发散解的存在与稳定性除了周期解，非双曲平衡点的系统还可能存在发散解。

发散解是指系统状态在平衡点附近发散的解。

对于这类解的稳定性分析，我们需要采用分叉理论和中心流形理论等方法。

分叉理论可以用于判断发散解的产生条件和稳定性的变化规律，而中心流形理论可以用于描述平衡点周围解的动力学行为。

实际应用中的非双曲平衡点非双曲平衡点的研究不仅仅局限于理论分析，还涉及到各个领域的实际应用。

以下是一些实际应用中常见的非双曲平衡点的例子。

生态系统中的非双曲平衡点生态系统中的物种竞争模型常常具有非双曲平衡点。

新混沌系统及其特性分析

：一＿０一。
中发现了一个与Ｌ０ｅｚ系统不拓扑等价的新混沌吸引子ｒｎＣｈｎ系统。２０ｅ０２年，吕金虎等进一步发现了Ｌ系统。
２００４年，刘崇新等又提出了Ｌｉｕ系统。同年，Ｌｕ等对Ｌｒｎｏｅｚ系统进行修改，发现了一类Ｌｒｎｏｅｚ混沌系统，并对该混沌系统进行了详细分析。近年来，随着人们对混
（２）
当一ａＯ—ｃ＋＞Ｏ时，系统（）耗散的，且以如下指数１是
形式收敛
：Ｐ
沌现象的深入研究，对其动力学行为和基本特性的逐步了解，混沌在工程领域的应用已取得了一定进展。国内外对
混沌和超混沌生成及应用的研究已成为一个热点。
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ｅｕｌｒｍｐｉｔｑｉｉｉｕｂｏｎｓ
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ｌａｕｏｅｐｎｎｙｐｎｖｘｏｅｔ、ｐｉｃｒｄａｒｍｓｎｆａｔｌｉｎｉｎ．ｏｎａｅｉｇａａｄｒｃａｍｅｓｄｏ
Ｋｅｗｏｄｃａｔｓｓｅｙｒｓ：ｈｏｉｙｔｍ；ｄｎｍｉｐｏｅｔｓ；Ｌｙｐｎｖｘｏｅｔｃｙａｃｒｐｒｉｅａｕｏｅｐｎｎ
程中均含有非线性顷。分析了该新系统的混沌吸引子相图、平衡点及其性质、Ｌａｕｏ指数和分形维数等非线性动力学特性。ｙｐｎｖ
关键词：混沌系统；动力学特性；Ｌａｕｏ指数ｙｐｎｖ
ＴｈＰｒｅｔＡｎａｙｓｓｅｏｐｒｙｌｉｏｆＮｅａｗＣｈｏ从确定性规律但具有随机性的运动，是一种

chen混沌系统方程_解释说明

chen混沌系统方程解释说明1. 引言1.1 概述混沌系统是指具有不可预测性和高度敏感依赖于初始条件的动力学系统。

这些系统在数学上表现出复杂的、非周期的行为，其演化过程无法由常规的微分方程描述。

Chen混沌系统是其中一种经典的混沌系统模型，由Chen等人在20世纪90年代提出，并引起了广泛关注。

1.2 文章结构本文将首先介绍混沌系统方程的背景知识，包括其理论基础、历史发展和应用领域。

接着详细解释Chen混沌系统方程的定义和属性，并探讨其数学表达式、相空间描述以及Lyapunov指数和混沌性质。

随后，我们将对Chen混沌系统方程进行动力学行为分析和模拟探究，包括平衡点和稳定性分析、流场特征与相轨迹演化以及参数选择与动力学行为模拟。

最后，文章将总结对Chen混沌系统方程的研究成果，并展望未来研究的方向与挑战。

1.3 目的本文旨在对Chen混沌系统方程进行全面的解释和说明。

通过详细介绍Chen混沌系统方程的数学表达式、属性特征以及动力学行为分析，读者能够对该混沌系统模型有更深入的理解。

此外，本文还将探讨未来研究该方程可能面临的挑战和可行的研究方向，为相关领域的学者提供参考和启示。

2. 混沌系统方程的背景2.1 理论基础混沌系统是一类具有无规则行为和高度敏感依赖于初始条件的动力学系统。

与传统的线性系统不同，混沌系统表现出不可预测性和复杂性，其运动轨迹在相空间中呈非周期性而且高度复杂。

正是这种无规律的行为给混沌系统带来了很多新奇的特性和应用。

混沌理论的发展起源于随机过程和动力学领域，早期由著名数学家洛伦茨所提出的洛伦兹吸引子模型成为了研究混沌现象的重要基础。

此后，多个混沌模型被提出并广泛研究，其中包括经典的Henon映射、Logistic映射以及Chua电路等。

2.2 历史发展Chen混沌系统方程是由陈氏夫妇于1999年提出的一种三维非线性动力学方程。

这个方程通过调节参数可以实现从周期运动到混沌现象的转变，在控制理论、信息加密等领域得到了广泛应用。

二平衡点非线性系统的混沌动力学特征

文章编号：１００６—５４（０８００３４Ｘ２０）３— ４０—０４
二平衡点非线性系统的混沌动力学特征
陆安山，李尚平２
（．广西师范大学物理与电子工程学院，广西桂林５１０；２１４０４．钦州学院物理与电子工程系，广西钦州５５０）３００
摘
要：由三平衡点非线性Ｌｒｚｏｅ系统、Ｃｅ系统和Ｌ系统线性部分的系数矩阵行列式的特征，构ｎｈｎｎ
造了一个二平衡点三维非线性动力学系统，并从平衡点性质、Ｌａｕｏ指数、吸引子特性、相轨迹和ｙｐｎｖ
庞卡莱映射等方面研究其混沌动力学行为，表明该系统具有混沌特征。
收稿日期：２０ｏ —１０７一７０
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０６０１５３５０）作者简介：陆安山（９０，男，讲师，研究方向：电子技术、混沌同步及控制研究。１７一）
第３期
陆安山等：二平衡点非线性系统的混沌动力学特征
＝
叉式分岔。式（）在平衡点处进行线性化，得线性化矩１阵，即其Ｊｃｂ矩阵为ａｏｉ
间中点（）切向量ｅ的演化方程为ｔ处匆：（￡）Ｔ＝（），。（）３
式中，是Ｆ的Ｊｃｂ矩阵，（）的解可以表示为ａｏｉ式３
研究，在此基础上，１９９９年Ｃｅ用混沌反ｈｎＧＲ利控制方法发现了Ｃｅ统；用同样方法，２０ｈｎ系０２年Ｌｎ和Ｃｅｈｎ又发现了系统和统一系统；统一系统把Ｌｒｎ统、Ｃｅ统和Ｌｏｅｚ系ｈｎ系ｎ系统联系起来，当Ｏ分别为０、０８时统一系统分别ｔ、１．的数学模型分别为

混沌动力系统稳定性分析

混沌动力系统稳定性分析混沌动力系统是指一类非线性动力系统，其运动具有高度敏感性和不可预测性。

混沌动力系统的稳定性分析是研究系统在不同初始条件下是否趋向于一个确定的稳定状态，并通过对系统的特征指标进行分析和计算来评估系统的稳定性。

本文将对混沌动力系统的稳定性进行详细分析，并讨论不同参数对系统稳定性的影响。

混沌动力系统的稳定性可以从两个方面进行衡量，即局部稳定性和全局稳定性。

局部稳定性是指系统在某个特定的状态附近是否趋向于该状态，而全局稳定性是指系统在整个状态空间内是否趋向于稳定状态。

为了评估系统的稳定性，我们可以计算系统的雅可比矩阵的特征值和特征向量，通过判断特征值的实部是否小于零来确定系统的稳定性。

在混沌动力系统中，系统的稳定性主要受到参数的影响。

参数的改变会导致系统的动力学变化，从而影响系统的稳定性。

例如，在经典的洛伦兹系统中，系统的稳定性受到控制参数r的影响。

当r小于某个临界值rc时，系统处于混沌状态；当r大于rc时，系统趋向于一个吸引子。

因此，我们可以通过改变参数r的值来控制系统的稳定性。

除了参数的影响，初始条件也是影响混沌动力系统稳定性的重要因素。

在混沌系统中，微小的初始条件变化可能会导致系统的演化轨迹巨大的差异。

这被称为混沌系统的敏感性依赖于初始条件。

因此，在混沌动力系统的稳定性分析中，我们不仅需要考虑参数的影响，还需要对初始条件的选择进行严格的控制。

另一个影响混沌动力系统稳定性的因素是外部干扰。

外部干扰可以打破系统的平衡状态，导致系统从一个吸引子转移到另一个吸引子，或者使系统趋于无穷远。

对于存在外部干扰的混沌动力系统，我们需要对系统的敏感性进行分析，并通过控制干扰的强度和频率来维持系统的稳定性。

在实际应用中，混沌动力系统的稳定性分析对系统的设计和控制具有重要的意义。

通过评估系统的稳定性，我们可以预测系统的演化轨迹并设计合适的控制策略。

例如，在通信系统中，混沌动力系统被广泛应用于数据加密和调制技术。

新三维混沌系统的动力学分析及电路实验

新三维混沌系统的动力学分析及电路实验通过代数方法，构造出来一个具有复杂混沌吸引子的非线性混沌自治三维系统.从理论和数值两方面对吸引子进行了分析和仿真，得到了系统在平衡点处不稳定的参数范围。

通过分岔图和Lyapunov指数谱进一步揭示了系统丰富的动力学行为.最后，对该混沌系统的一个混沌吸引子进行了实际电路的设计与实验验证。

标签稳定性；分岔；Lyapunov指数；电路仿真引言1963年，Lorenz得到第一个混沌系统——Lorenz系统后，许多新的混沌系统也相继提出并得到了广泛的研究，并且这些系统的吸引子也被实验电路所验证[1-8]. 1999年，陈关荣利用反控制的方法发现了一个与Lorenz系统不同的混沌系统称为chen系统.2002年，吕金虎等发现了lü系统，实现了从Lorenz系统向Chen 系统的过渡.2004年，刘崇新等又提出了一个含有非线性平方项的新的三维自治混沌系统——Liu系统.文献[9]和[10]提出并实现了两个特殊的吸引子，即多涡旋混沌吸引子和Lyapunov指数恒为常数的吸引子.本文构造了一个新的混沌系统，通过理论推导和数值仿真对其基本动力学特征进行研究，利用分岔和Lyapunov指数揭示了系统丰富的动力学行为。

最后设计了能实现这个系统的混沌吸引子的实验电路，并且进行了实际电路验证。

1、数学模型及动力学特性分析（1）其中为系统状态变量，为实参数且。

系统（1）中仅含有2个非线性项和.可以通过数学证明系统（1）与Lorenz系统族中的任何一个都不具有拓扑等价性，是一个新的混沌系统。

1.1基本性质（1）对称性注意到原系统在的变换下保持不变，所以系统（1）关于轴是对称的，即若是系统的解，则也是系统的解。

显然，轴本身也是系统的一条解轨线。

因此，对于，轴上所有的解轨线都趋于原点。

（2）吸引子的存在性系统（1）的向量场散度和Jacobian矩阵分别为根据Liouville定理，变化率反映为Jacobian矩阵的迹，则其中为矩阵的特征根，为系统的3个指数。

关于智能机器人局部混沌评价全覆盖路径规划

第38卷第4期__________________________计算机仿真____________________________2021年4月文章编号：1006 - 9348 (2021)04 - 0306 - 04关于智能机器人局部混沌评价全覆盖路径规划尤婷h2,张合生2(1.衝州学院电气与信息工程学院，浙江衢州324000;2.上海大学机电工程与自动化学院，上海200444)摘要:针对智能机器人全覆盖路径规划问题，提出了一种局部混沌评价规划方法。

考虑到机器人移动过程中的随机性与不可预知性，设计了具有反馈控制变量的四维混沌系统。

将该系统与机器人运动模型融合，建立得到路径规划模型，同时引人耦合控制参数对系统误差进行调节，根据机器人的起始坐标和混沌起始状态参量，利用微分离散化处理便可计算出移动的路径点。

考虑到路径规划的局部最优解，对机器人移动空间进行网格划分，根据激励计算动态网格活性值，利用网格活性对移动路径规划采取分流，进而得到分流后的局部路径与角位移变化量。

与此同时，针对局部路径规划设计了相应的指标评价，用以校正规划结果。

仿真结果表明，提出的局部混沌评价规划方法具有良好的路径全覆盖效果，同时获得了更低的路径重复率、移动距离，以及路径规划时间，有效提高了机器人的移动效率与控制平稳性。

关键词：智能机器人;局部路径规划；混沌系统;指标评价;全覆盖中图分类号:TP242 文献标识码：BResearch on Full Coverage Path Planning based onIntelligent Robot Local Chaos EvaluationYOU Ting1*2, ZHANG He - sheng2(1. School of Electrical and Information Engineering,Quzhou University ,Quzhou Zhejiang 324000, China ；2. School of Mechuatronic Engineering and Automation,Shanghai University,Shanghai 200444,China)A B S T R A C T：To solve the problem of f u l l coverage path planning f o r i n t e l l i g e n t robots,a lo c a l chaos evaluation planning method was proposed.Considering the randomness and unpredictability of the robot,a four - dimensional chaotic system with feedback control variables was designed.The system i s integrated with the robot motion model,and the path planning model was established,At the same time,the coupling control parameters were introduced t o adjust the system error. According t o the robo t's s t a r t i n g coordinates and chaos parameters,the moving path points can be calculated through d i f f e r e n t i a l discretization.Considering the loc a l optimal solution of path planning,the mobile space of robot was meshed.According t o the dynamic grid a c t i v i t y value,the grid a c t i v i t y was used t o s p l i t the mobile path planning,and then the loc a l path and angular displacement changes a f t e r the s p l i t were obtained.At the same time, the corresponding index evaluation was designed f o r l o c a l path planning t o correct the planning results.The simulat i o n resu l t s show t h a t the proposed method has good path f u l l coverage effect,at the same time,lower path r e petition rate,moving distance and path planning time are obtained,and the efficiency and control s t a b i l i t y of the robot are improved effectively.K E Y W O R D S：I n t e l l i g e n t robot；Local path planning；Chaotic system；Index evaluation；Full coveragei引言智能机器人的发展推动了其在地质勘探、军事侦测、区基金项目：国家自然科学基金青年项目（61603211);浙江省基础公益项目（LGG18E050003)收稿日期:2020 - 06-丨0修回日期:2020- 07 -16—306—域清扫等诸多方面的应用m，伴随使用范围的扩展，对智能机器人的使用性能要求也越来越复杂，关于智能机器人的全覆盖路径规划就是其中的重点[2]。

状态不可测的混沌系统不稳定平衡点控制方法

然后利用观测器观测的状态进行反馈，设计连续混沌系统的状态反馈控制器，同时给出控制器增益矩阵的求解方法；最后以蔡氏电路为例对所提出的方法进行仿真分析，给出最终的仿真图形及结果。分析结果验证了文中方法的正确性和有
ｇｉｖｅｔｈｅｓｏｌｕｉｏｔｎｏｆｓｔａｔｅｏｂｓｅｌｖｅｒｇａｉｎｍａｔｒｉｘ．ＴｈｅｎｄｅｓｉｇｎａｓｔａｅｔｆｅｅｄｂａｃｋｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｏｆｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｃｈａｏｉｔｃｓｙｓｔｅｍｕｓｉｎｇｈｅｔｏｂｓｅｒｖｅｄＳａｔｔｅｖａｒｉａｂｌｅｓ，ｎｄａｇｉｖｅｈｅｔｓｏｌｕｉｔｏｎｏｆｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｇａｉｎｍａｔｒｉｘ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｈｅｔｐｒｏｐｏｓｅｄｃｏｎｔｒｏｌｍｅｈｏｔｄｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｈｅｔＣｈｕａ’ ｓｃｉｒｃｕｉｔ，ｎｄａ
效性。
关键词：连续混沌系统；状态观测器；不稳定平衡点
中图分类号：ＴＰ３０１文献标识码：Ａ文章编号：１６７３ — ６２９Ｘ（２０１５）０１ — ００７９ — ０３
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３ — ６２９Ｘ．２Ｏ１５．Ｏ１．０１８