数学《数列极限》讲义

第二章数列极限

1. 教学框架与内容

教学目标

①掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法．

②掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限．

③掌握单调有界定理；理解柯西收敛准则．

教学内容

①数列极限的分析定义，数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念与几何意义；利用放缩法证明数列收敛或发散.

②数列极限性质（唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则）的证明与应用，数列的子列及有关子列收敛的定理．

③单调有界定理的证明及应用；柯西收敛准则，用柯西收敛准则判别数列的敛散性．

2. 重点和难点

①数列极限的N

ε-语言，数列极限证明中N的存在性.

②数列极限性质的分析证明, 数列极限性质的应用．

③数列单调有界定理的证明和应用，利用柯西收敛准则判别数列的敛散性．

3. 研究性学习选题

● 数列极限证明的技巧

将书后习题分类，首先自己总结数列极限证明的技巧，然后进行小组交流和讨论.

● 如何利用单调有界原理求迭代数列的极限

课后自己总结单调有界原理求极限的方法与步骤，选用经典习题小组讨论，进行讲解并评分.

4. 综合性选题，尝试写小论文：

★不等式技巧在数列极限证明中的应用.

★数列极限存在的常用结论.

5. 评价方法

◎课后作业，计20分.

◎研究性学习选题计30分.

◎小论文计20分.

◎小测验计30分

§1数列极限概念

一、数列

若函数f 的定义域为全体正整数集合Z +(或N )，则称:f N R → 或()f n n N ∈为数列. 通常记为

()n a f n =.

或 12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ .

数列表示法：通项、递推公式、1{}n n a ∞=或0{}n n a ∞

=.

特殊数列：常数数列、单调数列、有界数列、等比数列、等差数列. 二、数列极限------反映变量在某个变化过程中的变化趋势 [作图]

1

{}n

、(1){}n n -、 {}n 、{(1)}n -、 {(1)}n n - 变化趋势： 1) 有一定的变化趋势; 无限接近于某数a ----收敛;

震荡、无限增大、无限减小----定向发散;

2) 无一定变化趋势----不定向发散.

数列{}n a 收敛于a ，||0n a a -→(n a 与a 的距离越来越接近). 1、定义

下面我们首先给出数列收敛及其极限的精确定义.

定义1 ()N ε- 设{}n a 为数列, a 为一定数, 若对任给的正数0ε>，总存在 正整数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ，而a 称为

{}n a 的极限. 记作 lim n n a a →∞

= 或 n a a →(n →∞).

若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛或发散, 也称{}n a 为发散数列.

例1验证下列极限:

1) 1

lim 0n n →∞=;

2) 1

lim 02n n →∞=;

3) lim 0n n q →∞

=, ||1q <;

4) 2

23lim 33

n n n →∞=-.

注1 ε的任意性.ε的作用在于刻画数列{}n a 与定数a 之间的接近程度.ε越小表示接近度越好，而正数ε—可任意小说明n a 与a 可以无限接近，ε虽具有任意性， 但一经给出，就可看作暂时固定的数,并由此确定N ,从而N 与ε有关系. 同时，

ε主要用于刻画n a 与a 的逼近程度，因而n a a ε-<中的ε可用22

ε

ε,2,εk ε

(0k >常数)等代替，同时n a a ε-<可改写成n a a ε-≤.

注 2 N 的相应性. 前面说过N 与ε有关，可记作()N ε但并不意味着N 由ε唯一确定. 这里我们主要强调N 的存在性(一般来说,ε愈小,相应的N 越大)，同

时n N ≥时(对大于N 的任一n )有n a a ε-<.如对11,1000

n a n ε==，相应的

1001, 1002N =都可.

例2 1) 0n →∞

=;

2) 1(1)n a =>;

3) 1n =;

4) 2

lim 04

n n n →∞=.

思考 考虑1n =, 3

lim 04

n n n →∞=?

2、几何意义 当n N >时,n a a ε-

⇔所有下标大于N 的项n a 都落在a 的 邻域(,)U a ε内，而在(,)U a ε之外，数列{}n a 至多只有有限项(至多N 项). 定义1’任给0ε>，若在(,)U a ε之外{}n a 至多只有有限项，则称{}n a 收敛于a . 例3 改变或去掉数列的有限项，不改变数列的敛散性.

例4 设n a a →,则n k a a +→. 这里k 为某固定的正整数.

例5 设lim lim n n n n x y a →∞

→∞

==， 作数列{}n z 1122,,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

验证: lim n n z a →∞

=. 思考 用N ε-定义如何证明?

3、收敛的否定

n a a →0, , ||d

n N n N a a εε⇔∀>∃∀>-<：;

0, (,)U a εε⇔∀>之外至多有{}n a 的有限项.

n a →a 00000,, ||n N n N a a εε⇔∃>∀∃>-≥：

; ⇔存在某00ε>,使数列{}n a 有无穷多项落在邻域0(,)U a ε之外.

{}n a 收敛, 0, , ||n a R N n N a a εε⇔∃∈∀>∃∀>-<：. {}n a 发散0000, 0, , ||n a R N n N a a εε⇔∀∈∃>∀∃>-≥：

.