2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：3.3.2 简单的线性规划问题 (一)

3．3.2 简洁的线性规划问题(一)

明目标、知重点 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简洁的实际问题．

1．线性规划中的基本概念

名 称 意 义

约束条件 关于变量x ，y 的不等式(组) 线性约束条件 关于x ，y 的一次不等式(组)

目标函数 欲求最大值或最小值的关于变量x ，y 的函数解析式

线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 由全部可行解组成的集合

最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

2.目标函数的最值

线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z

b ，当z 变化时，方

程表示一组相互平行的直线．

当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．

[情境导学]

已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解答时简洁错误的利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x ，y 的范围，再分别求出2x 及－3y 的范围，然后相加得2x －3y 的取值范围．由于不等式中的

加法法则不具有可逆性，从而使x ，y 的取值范围扩大，得出错误的2x －3y 的取值范围．假如把1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3看作变量x ，y 满足的条件，把求2x －3y 的取值范围看作在满足上述不等式的状况下，求z ＝2x －3y 的取值范围，就成了本节要争辩的一个线性规划问题． 探究点一 线性规划中的基本概念

问题 某工厂用A 、B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲种产品使用4个A 配件耗时1 h ，每生产

一件乙种产品使用4个B 配件耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂全部可能的日生产支配是什么？若生产1件甲种产品获利2万元，生产1件乙种产品获利3万元，接受哪种生产支配利润最大？ 思考1 如何用不等式组表示问题中的限制条件？

答 设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可得二元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2y ≤8，

4x ≤16，

4y ≤12，

x ≥0，y ≥0.

(1)

思考2 你能画出不等式组所表示的平面区域吗？ 答 如图，区域内全部坐标为整数的点P (x ，y )，支配生产任务x ，y 都是有意义的，就代表全部可能的日生产

支配．

思考3 接受哪种生产支配利润最大问题应当转化成怎样的问题来解答？

答 设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ，则z ＝2x ＋3y .这样，上述问题就转化为当x ，y 满足不等式组(1)并且为非负整数时，z 的最大值是多少？

思考4 若把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为定值－23，在y 轴上的截距为z

3的直线，当点P 在可允

许的取值范围变化时，如何求z 的最大值？

答 如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，就能确定一条直线，因而确定出唯一截距z

3

，

可以看到，直线y ＝－23x ＋z 3与不等式组(1)表示的区域的交点坐标满足不等式组(1)，而且当截距z

3最大时，z 取

得最大值．

因此，在区域内找一个点P ，使直线经过点P 时截距z 3最大．由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z

3

经过直线x ＝4

与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z 3的值最大，最大值为14

3，这时2x ＋3y ＝14.所以，每天生产甲产品

4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元．

小结 (1)线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

(2)线性目标函数：关于x 、y 的一次式z ＝2x ＋y 是欲达到最大值或最小值的关于变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

(3)线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

(4)可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．由全部可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 探究点二 生活中的线性规划问题

例 养分学家指出，成人良好的日常饮食应当至少供应0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪，1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元．为了满足养分专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg? 将已知数据列成下表：

食物/kg 碳水化合物/kg

蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B

0.105

0.14

0.07

解 设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，那么

⎩⎪⎨⎪

⎧ 0.105x ＋0.105y ≥0.075，

0.07x ＋0.14y ≥0.06，

0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，

⇒⎩⎪⎨⎪

⎧

7x ＋7y ≥5，

7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.

目标函数为z ＝28x ＋21y .

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，

把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－43x ＋z 21，它表示斜率为－43且随z 变化的一族平行直线.z

21是直线在y 轴

上的截距，当截距最小时，z 的值最小．

如图可见，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距最小，即z 最小．

解方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6得M 点的坐标为⎝

⎛⎭⎫

17，47. 所以z min ＝28x ＋21y ＝16.

答 每天食用食物A 17 kg ，食物B 4

7 kg ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．

反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最终离开可行域，则这样的点即为最优解，再留意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．

跟踪训练 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．

解 作出二元一次不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧

1≤x ＋y ≤5，

－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即为可行域．

设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为2

3

，且随z 变化的一族平行直线．

－1

3

z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件