二重积分单独讲解

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第九章 重积分

与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”． 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而重积分的被积函数是二元函数或三元函数，积分范围是平面上的一个区域或空间中的一个区域． 它们之间存在着密切的联系，重积分可以通过定积分来计算．

第一节 二重积分的概念与性质

本节主要内容

1 引例

2 二重积分的概念

3 二重积分的性质

讲解提纲：

一、引例

引例1 求曲顶柱体的体积

设有曲顶柱体，它的底是xoy 面上的闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，顶是曲面),(y x f z =，这里0),(≥y x f 且在上D 连续，求其体积V ．

引例2 求非均匀平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xoy 面上的闭区域D ，它在点

),(y x 处的面密度为),(y x μ，这里0),(≥y x μ且在D 上连续，求薄片的质量M ．

二、二重积分的定义：

设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数．将闭区域D 任意分成n 个小闭区域：

n σσσ∆∆∆,,,21 ，以i σ∆表示第i 个小闭区域的面积，以i λ表示i σ∆的直径，并令

λi λmax =．在每个i σ∆上任取一点),(i i ηξ，作和式：∑=∆n

i i i i f 1

),(σηξ．如果当0

→

λ

时，该积分和的极限存在，则称此极限值为),(y x f 在区域D 上的二重积分，记作

⎰⎰D

d y x f σ),(，即

∑⎰⎰=→∆=n

i i

i

D

i f d y x f 1

),(lim ),(σηξσλ

． 其中),(y x f 称为被积函数，σd y x f ),(称为积分表达式，σd 称为面积元素，y x ,称为积分变量，D 称为积分区域．

三、二重积分的性质

性质1 设α，β为常数，则

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+D

D

D

d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([．

性质2 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D 分为两个闭区域1D 与2D ，则

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2

1

),(),(),(D D D

d y x f d y x f d y x f σσσ．

这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性．

性质3 如果闭区域D 上，1),(=y x f ，σ为D 的面积，则

⎰⎰⎰⎰=⋅=D

D

d d σσσ1．

性质4 设在D 有),(),(y x g y x f ≤，则

⎰⎰⎰⎰≤D

D

d y x g d y x f σσ),(),(．

性质5 设M 、m 分别是),(y x f 在闭区域上的最大值和最小值，σ为D 的面积，则有 σσσM d y x f m D

≤≤

⎰⎰),(．

性质6（中值定理）设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ，使

σηξσ⋅=⎰⎰),(),(f d y x f D

．

例题选讲：

例1 不作计算估计σd y x

I D

⎰⎰++=

)944(22

的值，其中D 是圆域：422≤+y x ．

解： D 的面积为ππσ4)2(2==．由于259492

2≤++≤y x ，故ππ001I 36≤≤．

例2估计二重积分⎰⎰++=

D

y x d I 22cos cos 100σ

的值， 其中积分区域D 为闭区域

10≤+y x （如右图）．

解： D 的面积为200)210(2

==σ．

由于

1021≤++≤y x 22cos cos 10011001，故100

200

I 102200≤≤， 即2I 96.1≤≤．

例3 判断

⎰⎰

≤+≤+1

2

2)ln(y x r dxdy y x 的符号（0>r ）． 解 当1≤+≤y x r 时，2

20y

x +<2)(y x +≤1≤．

故0)ln(2

2

≤+y x ．又当1<+y x 时，0)ln(2

2

<+y x ，于是

0d d )ln(1

22<+⎰⎰

≤+≤y x r y x y x ．

例4 积分

dxdy y x D

⎰⎰

--3

221有怎样的符号，其中 4:22≤+y x D ．

解： 把积分域分为321,,D D D ，如右图：则 原式＝

⎰⎰

--1

d d 13

22D y x y x ⎰⎰---2

d d 1322D y x y x

⎰⎰---3

d d 1322D y x y x

＜

⎰⎰1

d d D y x ⎰⎰

--3

d d 133

D y x

＝)34(23--ππ

)21(3-=π

0<．