二重积分单独讲解

x第九章 重积分与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”． 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而重积分的被积函数是二元函数或三元函数，积分范围是平面上的一个区域或空间中的一个区域． 它们之间存在着密切的联系，重积分可以通过定积分来计算．第一节 二重积分的概念与性质本节主要内容1 引例2 二重积分的概念3 二重积分的性质讲解提纲：一、引例引例1 求曲顶柱体的体积设有曲顶柱体，它的底是xoy 面上的闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，顶是曲面),(y x f z =，这里0),(≥y x f 且在上D 连续，求其体积V ．引例2 求非均匀平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy 面上的闭区域D ，它在点),(y x 处的面密度为),(y x μ，这里0),(≥y x μ且在D 上连续，求薄片的质量M ．二、二重积分的定义：设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数．将闭区域D 任意分成n 个小闭区域：n σσσ∆∆∆,,,21 ，以i σ∆表示第i 个小闭区域的面积，以i λ表示i σ∆的直径，并令λi λmax =．在每个i σ∆上任取一点),(i i ηξ，作和式：∑=∆ni i i i f 1),(σηξ．如果当0→λ时，该积分和的极限存在，则称此极限值为),(y x f 在区域D 上的二重积分，记作⎰⎰Dd y x f σ),(，即∑⎰⎰=→∆=ni iiDi f d y x f 1),(lim ),(σηξσλ． 其中),(y x f 称为被积函数，σd y x f ),(称为积分表达式，σd 称为面积元素，y x ,称为积分变量，D 称为积分区域．三、二重积分的性质性质1 设α，β为常数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([．性质2 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D 分为两个闭区域1D 与2D ，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ．这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性．性质3 如果闭区域D 上，1),(=y x f ，σ为D 的面积，则⎰⎰⎰⎰=⋅=DDd d σσσ1．性质4 设在D 有),(),(y x g y x f ≤，则⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ),(),(．性质5 设M 、m 分别是),(y x f 在闭区域上的最大值和最小值，σ为D 的面积，则有 σσσM d y x f m D≤≤⎰⎰),(．性质6（中值定理）设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ，使σηξσ⋅=⎰⎰),(),(f d y x f D．例题选讲：例1 不作计算估计σd y xI D⎰⎰++=)944(22的值，其中D 是圆域：422≤+y x ．解： D 的面积为ππσ4)2(2==．由于2594922≤++≤y x ，故ππ001I 36≤≤．例2估计二重积分⎰⎰++=Dy x d I 22cos cos 100σ的值， 其中积分区域D 为闭区域10≤+y x （如右图）．解： D 的面积为200)210(2==σ．由于1021≤++≤y x 22cos cos 10011001，故100200I 102200≤≤， 即2I 96.1≤≤．例3 判断⎰⎰≤+≤+122)ln(y x r dxdy y x 的符号（0>r ）． 解 当1≤+≤y x r 时，220yx +<2)(y x +≤1≤．故0)ln(22≤+y x ．又当1<+y x 时，0)ln(22<+y x ，于是0d d )ln(122<+⎰⎰≤+≤y x r y x y x ．例4 积分dxdy y x D⎰⎰--3221有怎样的符号，其中 4:22≤+y x D ．解： 把积分域分为321,,D D D ，如右图：则 原式＝⎰⎰--1d d 1322D y x y x ⎰⎰---2d d 1322D y x y x⎰⎰---3d d 1322D y x y x＜⎰⎰1d d D y x ⎰⎰--3d d 133D y x＝)34(23--ππ)21(3-=π0<．例5 比较积分⎰⎰+Dd y x σ2)(与⎰⎰+Dd y x σ3)(的大小，其中D 是圆域： 2)1()2(22≤-+-y x ．解： 积分域D 的边界为圆周：2)1()2(22=-+-y x ，它与x 轴交于点)0,1(，与直线1=+y x 相切，而域D 位于直线的上方， 故在D 上1≥+y x ，从而32)()(y x y x +≤+32)()(y x y x +≤+．课堂练习1．将二重积分定义与定积分定义进行比较， 找出它们的相同之处与不同之处． 2．试用二重积分表示极限∑∑==++∞→n i nj n j i n en 1122221lim．第二节 二重积分的计算本节主要内容1利用直角坐标系计算二重积分 2利用极坐标系计算二重积分讲解提纲：一、利用直角坐标系计算二重积分对-X 型区域：)}()(,|),{(21x y x b x a y x ϕϕ≤≤≤≤，有⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x baDdy y x f dx dxdy y x f ϕϕ；对-Y 型区域：)}()(,|),{(21y x y d y c y x ψψ≤≤≤≤，有⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(y y dcDdx y x f dy dxdy y x f ψψ．注：（1）有的情况下积分区域既是-X 型区域又是-Y 型区域（如右图），不妨设为)}()(,|),{(21x y x b x a y x D ϕϕ≤≤≤≤=)}()(,),{(21y x y d y c y x ψψ≤≤≤≤=， 则⎰⎰⎰⎰=bax x Ddy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ⎰⎰=dcy y dx y x f dy )()(21),(ψψ．为计算方便，可以选择积分次序，在必要时也可交换积分次序． （2）若积分区域较复杂，可将其分成若干个互不相交的-X 型区域或-Y 型区域．如右图中：321D D D D ++=，则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=DD D D 123．（3）利用被积函数的奇偶性及积分区域D 的对称性，常会大大化简二重积分的计算．设函数),(y x f 在闭区域D 上连续，且D 关于x 轴对称，位于x 轴上方的部分记为1D ，则在D 上 若),(),(y x f y x f =-，则⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Ddxdy y x f dxdy y x f ；若),(),(y x f y x f -=-，则0),(=⎰⎰Ddxdy y x f ．当区域关于y 轴对称，函数关于变量x 有奇偶性时有类似的结果．在利用这种方法时，要同时兼顾到被积函数),(y x f 的奇偶性和积分区域D 的对称性两方面．)(2y ψx =例题选讲：例１计算,⎰⎰Dxyd σ其中D 是(1) 由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域； (2) 由抛物线x y =2和直线2-=x y 所围成的闭区域． 解： （１）解法1． 将D 看作X –型区域， 则⎩⎨⎧≤≤≤≤211:x xy D ．于是，=I ⎰21d x ⎰xy y x 1d []⎰=21221d 1x xy x []⎰-=2121321d x x x 89=．解法2． 将D 看作Y –型区域， 则⎩⎨⎧≤≤≤≤212:y x y D ．于是，=I⎰21d y ⎰2d y x y x []⎰=21221d 2 y y y x []⎰-=21321d 2y y y 89=． （２） 为计算简便，先对 x 后对 y 积分，则⎩⎨⎧≤≤-+≤≤212:2y y x y D ．于是，=I ⎰-21d y ⎰+22d y yx y x[][]⎰⎰---+=+=2152212221d )2( 21d 2 y y y y y y y y x []21623461234421--++=y y y y 845=．例 2 计算σd y x y D⎰⎰-+221， 其中D 是直线1-==x x y 、和1=y 所围成的闭区域．解： D 既是X –型区域，又是Y –型区域， 显然利用X –型区域做法简单，于是12y=I ⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+11122d 1x dy y x y x []⎰⎰----=-+-=113112322)1( 31d 1)1( 31dx x x x y x 21)1(32103=--=⎰dx x ．例3 求,||2⎰⎰-Ddxdy x y 其中D 为10,11≤≤≤≤-y x ． 分析：当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号．2x y =将D 分为两部分1D 和2D ． 解：=I ⎰⎰-1)(2D d x y σ⎰⎰-+2)(2D d y x σ101154+=．例４求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成的立体的体积．解：设这两个圆柱面的方程分别为：222R y x =+和222R z x =+．利用立体关于坐标平面的对称性，只须求出它在第一卦限部分的体积1V ，然后再乘以8就行了．由于{}R x x R y y x D ≤≤-≤≤=0,0|),(22，于是，σd x R V D⎰⎰-=221dx dy x R Rx R ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-002222[]dx y x R R x R ⎰--=02222dx x R R⎰-=022)(332R =从而，所求立体的体积为313168R V V ==．例５ 交换下列二次积分的积分次序 （1）)0(d ),(d 20222>=⎰⎰-a y y x f x Ia ax x ax ；解：ax y 2=ay x 22=⇒，22x ax y -=22y a a x -±=⇒．故 原式⎰=a yd ⎰--2222d ),(y a a ay x y x f ⎰+ayd ⎰-+a y a a x y x f 222d ),(⎰+aay 2d ⎰aay x y x f 222d ),(．（2）⎰⎰⎰⎰-+2280222202),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx ．解： 积分域由两部分组成：⎩⎨⎧≤≤≤≤200:2211x x y D 和⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤22280:22x xy D ． 将21D D D +=视为Y –型区域 ， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤2082:2y y x y D ，于是，⎰⎰=Dy x y x f I d d ),(⎰=2d y⎰-282d ),(y yx y x f ．例6 证明：⎰⎰⎰----=-b a n xan b ady y f y b n dy y f y x dx )()(11)()(12． 证明：⎰⎰--xan b ady y f y x dx )()(2⎰⎰--=byn badx y f y x dy )()(2⎰---=baby n y x n dy y f ])(11[)(1⎰---=b an dy y f y b n )()(111．例7 计算,)1ln(2⎰⎰++Ddxdy y y x 其中积分区域D 由曲线x y x y 3,42-=-=与1=x 所围成．解：令)1ln(),(2y y x y x f ++=，21D D D +=（如图所示）．显然在1D 上，),(),(y x f y x f -=-；在2D 上，),(),(y x f y x f -=-．于是，⎰⎰++=1d d )1ln(2D y x y y x I ⎰⎰+++2d d )1ln(2D y x y y x 0=．二、利用极坐标系计算二重积分有些二重积分，其积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等． 此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分．2极坐标系下的面积微元为 θσrdrd d =，直角坐标与极坐标之间的转换关系为,cos θr x = ,sin θr y =从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式：⎰⎰⎰⎰=DDrdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),(．若积分区域可表示成：}),()(|),{(21βθαθϕθϕθ≤≤≤≤r r ，则有⎰⎰⎰⎰=βαθϕθϕθθθ)()(21)sin ,cos (),(rdr r r f d dxdy y x f D．特别地，若积分区域可以表示成： }20),(0|),{(πθθϕθ≤≤≤≤r r ，则⎰⎰⎰⎰=πθϕθθθ20)(0)sin ,cos (),(rdr r r f d dxdy y x f D．例题选讲：例1 化下列积分为极坐标形式的二次积分 （1）⎰⎰21),(x dy y x f dx ； （2）⎰⎰-22020),(y ay ady y x f dx ．解：略． 例2 计算,)(22⎰⎰+-Dy xd e σ其中D 是由圆)0(222>≤+a a y x 所围成的区域．解： 在极坐标系下⎩⎨⎧≤≤≤≤πθ200:ar D ，故原式⎰⎰-=Dr r r eθd d 2⎰=πθ20d r er ar d 02⎰-ar e 02212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-π)1(2a e --=π． 注：由于2x e -的原函数不是初等函数，故本题无法用直角坐标计算．yo例 3 计算⎰⎰++Ddxdy y x y x 2222)sin(π， 其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域．解：由对称性，可只考虑第一象限部分14D D =．由被积函数的对称性，得到⎰⎰++Ddxdy yx y x 2222)sin(π⎰⎰++=12222)sin(4D dxdy yx y x π⎰⎰=2 1sin 42rdr rrd πθπ4 -=． 例4 求dxdy y x D⎰⎰+22，其中{}x y x y x D ≤++=22|)(．解：D 的边界曲线,22x y x =+化为极坐标方程的θcos =r ，极点在边界上，令0=r ，由0cos =θ得2πθ±=，从而：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-θπθπcos 022:r D ，则⎰⎰+Ddxdy y x 22⎰⎰-=22cos 02ππθθdr r d94cos 31223==⎰-ππθθd ．例5dxdy xy y x D ⎰⎰-+)(22,D 是由轴21x y -=和x 轴所围的半圆形区域．解：πθ≤≤0:D ，10≤≤r ．于是，dxdy xy y x D)(22-+⎰⎰rdr r r d ⋅-=⎰⎰)cos sin (012θθθπθθθπd r r ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0143sin cos 43θθπd ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=02sin 813110162cos 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=θπ3π=．例15计算⎰⎰+Ddxdy y x )(22，其中D 为曲线,222y y x =+ y y x 422=+及直线,03=-y x 03=-x y 所围成的平面闭区域．解：因为y y x 222=+θsin 2=⇒r ， y y x 422=+θsin 4=⇒r ， 03=-x y 32πθ=⇒， 03=-y x 61πθ=⇒，所以，⎰⎰+Dy x y x d d )(22⎰=36d ππθ⎰⋅θθsin 4sin 22d r r r )32(15-=π．课堂练习1. 变换下列二次积分的次序：⎰⎰+-212),(x dy y x f dx ．2. 计算,2dxdy e Dy ⎰⎰ 其中D 由1,==y x y 及y 轴所围． 3． 计算二次积分⎰⎰121sin xdy y dx ．4． 计算⎰⎰Dd xy σ|，其中222:a y x D ≤+ )0(>a ．第三节 三重积分的概念及其计算法本节主要内容1三重积分的定义2利用直角坐标计算三重积分 3利用柱面坐标计算三重积分 4利用球面坐标计算三重积分讲解提纲：一、三重积分的定义：与二重积分的定义相仿，我们来定义三重积分． 背景：空间一非均匀物体的质量．定义：设),,(z y x f 是空间有界闭区域Ω上的有界函数，把Ω任意分成n 个小闭区域xy24n v v v ∆∆∆,,,21 ，其中i v ∆表示第i 个小闭区域的体积．在每个i v ∆上任取一点（i i i ζηξ,,），作和式iiiinv f ∆∑=),,(11ζηξ．若当0→λ时，该和式的极限存在，就称此极限值为函数),,(z y x f 在区域Ω上的三重积分，记为⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(，即⎰⎰⎰∑Ω=→∆=ni iiiiv f dv z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ，其中dv 称为体积元素，其它的记号类似二重积分．在直角坐标系中，如果用平行于三个坐标面的三族平面来划分Ω，则有i i i i z y x v ∆∆∆=∆，进而dxdydz dv =，于是三重积分记作：⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z y x f dv z y x f ),,(),,(，其中dxdydz 为直角坐标系中的体积元素．当≡),,(z y x f 1时，设积分区域Ω的体积为V ，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=⋅=dv dv V 1， (4．2)这个公式的物理意义是：密度为1 的均质立体Ω的质量在数值上等于Ω的体积．二、利用直角坐标系计算三重积分方法一 ： 投影法（“先一后二法”） 积分区域Ω可表示为：}),(),(,),(),,{(21y x z z y x z D y x z y x ≤≤∈，其中D 是Ω在xoy 面上的投影，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z dz z y x f dxdy dv z y x f ),(),(21),,(),,(；方法二 ： 截面法（“先二后一法”）积分区域Ω可表示为：}),(,),,{(z D y x b z a z y x ∈≤≤， 其中z D 是平面z Z =截积分区域Ω所得的平面闭区域，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩabD zdxdy z y x f dz dv z y x f ),,(),,(．方法三 ： 三次积分法将投影法中的二重积分化为二次积分即可，即积分区域Ω可表示为：}),(),(),()(,),,{(2121y x z z y x z x y y x y b x a z y x ≤≤≤≤≤≤，则dz z y x f dy dx dv z y x f bax y x y y x z y x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω)()(),(),(2121),,(),,(．注：利用对称性同样可以化简三重积分计算．一般地，如果积分区域Ω关于xOy 平面对称，且被积函数),,(z y x f 是关于z 的奇函数， 则三重积分为零； 如果被积函数),,(z y x f 是关于z 的偶函数， 则三重积分为Ω在xOy 平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍． 当积分区域Ω关于yOz 或xOz 平面对称时，也有完全类似的结果．例题选讲：例１计算三重积分⎰⎰⎰Ω++,)(dxdydz z y x 其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的闭区域．解：积分区域Ω可表示为：}10,10,10),,{(y x z x x y z y x --≤≤≤≤-≤≤．于是，⎰⎰⎰--++=yx Ddz z y x d I 10)(σ81))(()1(212==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--=⎰⎰ dxdy y x y x y x D例2计算三重积分z y x z d d d 2⎰⎰⎰Ω，其中1:222222≤++Ωc z b y a x ．解： ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤≤-Ω2222221::c z b y a x D cz c z ，=⎰⎰⎰Ωz y x z d d d 2⎰-ccz z d 2⎰⎰zD y x d d⎰--=cc z c z b a zd )1(2222π 3154c b a π=z例3求积分,12dxdydz x y ⎰⎰⎰Ω- 其中Ω由221z x y ---=，,122=+z x 1=y 所围．分析：若用“先二后一”， 则有z x x y y I yD d d 1d 21⎰⎰⎰-=- z x x y y yD d d 1d 21⎰⎰⎰-+．计算较繁！采用“三次积分”较好．解： 1,1,1222==+---=Ωy z x z x y 由所围，故可表为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤---≤≤--≤≤---Ω111111:2222x x z x y z x ，故⎰⎰⎰--------=11111122222d d 1z x x xy y dz x x I 4528== ．例４计算dxdydz z y x z y x z ⎰⎰⎰Ω++++++1)1ln(222222，其中}.1|),,{(222≤++=Ωz y x z y x提示：原式 =⎰⎰≤+122d d y x y x 0=z ．三、利用柱面坐标系三计算重积分设点M 的直角坐标为),,(z y x ，柱面坐标为),,(z r θ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞<<∞-≤≤+∞<≤⎪⎩⎪⎨⎧===z r z z r y r x πθθθ200sin cos ； 柱面坐标系中的三族坐标面分别为=r 常数：以z 轴为中心轴的圆柱面；=θ常数：过z 轴的半平面；=z 常数：与xOy 面平行的平面．柱面坐标系中的体积微元： dz rdrd dv θ=，因此dz rdrd z r F dxdydz z y x f Dθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),,(),,(1-其中),sin ,cos (),,(z r r f z r F θθθ=．注：柱面坐标解三重积分适用的范围：（1） 积分域用柱面坐标表示时方程简单；（2） 被积函数用柱面坐标表示时变量相互分离．四、利用球面坐标系计算三重积分点M 的直角坐标),,(z y x 与柱面坐标),,(θϕr 之间的关系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤≤≤≤+∞<≤⎪⎩⎪⎨⎧=====πϕπθϕθϕθθϕθ0200cos sin sin sin cos sin cos r r z r OP y r OP x ； 球面坐标系中的三族坐标面分别为=r 常数：以原点为球心的球面；=ϕ常数：以原点为顶点，z 轴为对称轴的圆锥面； =θ常数：过z 轴的半平面．球面坐标系中的体积微元： θϕϕd drd r dv sin 2=，因此θϕϕθϕd drd rr F dxdydz z y x f Dsin ),,(),,(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω，其中)cos ,sin sin ,cos sin (),,(ϕθϕθϕθr r r f z r F =．例题选讲：例１计算三重积分,22⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x z ，其中Ω是由柱面x y x 222=+与平面0),0(,0=>==y a a z z 所围成的半圆柱体．解： 在柱面坐标系下⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωaz 020cos 20:πθθρ，于是 原式＝z z d d d 2θρρ⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰=θπρρθcos 202200d d d az zθθπd cos 342032⎰=a 398a =例２ 计算dxdydz yx⎰⎰⎰Ω++2211， 其中Ω是抛物面224y x z +=和平面h z =所围成，其中0>h ．解： 在柱面坐标系下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθρ20204:2h h z r ，故原式 =⎰⎰⎰+h hz 4202202d d 1d ρπρρρθ ⎰-+=h d h 2022)4(12ρρρρπ ]4)41ln()41[(4h h h -++=π．例３ 计算三重积分,⎰⎰⎰Ωzdxdydz 其中Ω是由222y x R z --=与0=z 所围．解： 在球面坐标系下⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθπϕ20200:Rr ，于是⎰⎰⎰⋅=Rdr r r d d I 022020 sin cos ϕϕϕθππ441R π=．例４ 计算,)(222⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x其中Ω是锥面222z y x =+与上半球面)0(2222≥=++z Rz y x 所围的立体．解： 在球面坐标系下⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθπϕ20400:R r ，于是，z y x z y x d d d )(222++⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰=Rr r d 044020d d sin ππϕϕθ)22(515-=R π．课堂练习1．设Ω由六个平面,,42,1,2,0x z y x y x x ==+=== 2=z 围成的闭区域， 试将⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为三次积分．2．计算,⎰⎰⎰ΩxyzdV 其中Ω是由曲面1222=++z y x 所围成的立体区域．3．计算三重积分,⎰⎰⎰Ω=zdV I 其中Ω为上半球体：0),0(2222≥>≤++z a a z y x ．第四节 重积分的应用本节主要内容1 立体体积2 曲面面积3 物体的质心4 物体的转动惯量5 物体的引力讲解提纲：一、立体体积曲顶柱体的顶为光滑曲面),(y x f z =，且D y x ∈),(，则曲顶柱体的体积为 ⎰⎰=Ddxdy y x f V ),(；占有空间有界域Ω的立体的体积为 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz V ．二、曲面的面积空间连续曲面),(y x f z =且D y x ∈),(，设曲面的面积为A ，则dxdy y x f y x f A Dy x ⎰⎰++=),(),(122⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=Ddxdy y z x z 221； 同理可给出若连续曲面的方程分别为yz D z y z y g x ∈=),(),,(或xz D z x z x h y ∈=),(),,(时的曲面面积公式．若光滑曲面的方程为隐式0),,(=z y x F ，且0≠z F ，xy D y x ∈),(，则曲面面积A 为dxdy F F F F A xyD zz y x ⎰⎰++=222．三、物体的质心1平面薄片的质心设有一平面薄片，占有xoy 面上的闭区域D ，在点),(y x 处的面密度为),(y x μ，假定),(y x μ在D 上连续，则该薄片的质心坐标),(y x 为⎰⎰⎰⎰=D D dxdyy x dxdy y x x x ),(),(μμ ， ⎰⎰⎰⎰=DD dxdyy x dxdy y x y y ),(),(μμ． 2空间物体的质心设有一空间物体，占有空间有界闭区域Ω、在点),,(z y x 处的密度为),,(z y x μ（假设),,(z y x μ在Ω上连续），则物体的质心坐标),,(z y x 为⎰⎰⎰Ω=dv z y x x Mx ),,(1μ ， ⎰⎰⎰Ω=dv z y x y My ),,(1μ ， ⎰⎰⎰Ω=dv z y x z Mz ),,(1μ．其中，⎰⎰⎰Ω=dv z y x M ),,(μ为该物体的质量．四、物体的转动惯量1 平面薄片的转动惯量有一平面薄片，则其对于x 轴的转动惯量x I 、关于y 轴的转动惯量y I 及关于原点的转动惯量o I 分别为：σμd y x y I Dx ),(2⎰⎰= ， σμd y x x I Dy ),(2⎰⎰= ， σμd y x y x I Do ),()(22⎰⎰+=．2空间物体的转动惯量设有一空间物体，则物体关于三坐标轴及原点的转动惯量分别为,),,()(22⎰⎰⎰Ω+=dv z y x z y I x μ ,),,()(22⎰⎰⎰Ω+=dv z y x z x I y μ⎰⎰⎰Ω+=dv yz x y x I z ),()(22μ， ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x z y x I o ),,()(222μ．五、物体的引力1 平面薄片对其外一点处单位质量的质点的引力平面薄片外一点),(000y x P 处有一单位质量的质点，设物体对质点的引力为),(y x F F F =，则其中dxdy r y x x x G F Dx ⎰⎰-=30),()(μ ， dxdy r y x y y G F Dy ⎰⎰-=30),()(μ G 为引力常数，2020)()(y y x x r -+-=．2 空间物体对其外一点处单位质量的质点的引力在空间物体外一点),,(0000z y x P 处有一单位质量的物体，则物体对于质点的引力为},,{z y x F F F F =⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdv r z y x z z G dv r z y x y y G dv r z y x u x x G 303030),,()(,),,()(,),,()(μμ其中202020)()()(z z y y x x r -+-+-=．例题选讲：立体的体积例1 求半径为a 的球面与半顶角为α 的内接锥面所围成的立体的体积． 解： 在球坐标系下空间立体所占区域为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθαϕϕ200cos 20:a r ，于是立体的体积为⎰⎰⎰Ω=z y x V d d d ⎰⎰⎰=ϕαπϕϕθcos 202020d d sin d a r rϕϕϕπαd sin cos 316033⎰=a )cos 1(3443απ-=a ．例2计算z y x =++122上任一点的切平面与曲面22y x z +=所围立体体积． 解： 曲面1S 在点),,(000z y x 处的切平面方程为：202000122y x y y x x z --++=，它与曲面22y x z +=的交线在xoy 面上的投影为1)()(2020=-+-y y x x （记所围域为D ），故[]y x y x y x y y x x V Dd d 12222202000⎰⎰----++=()[]y x y y x x Dd d )()(12020⎰⎰-+--=（θθsin ,cos 00r y y r x x =-=-令）⎰⎰⋅-=Dr r r θπd d 2r r d d 1320⎰⎰-=πθπ2π=．曲面的面积例3 计算双曲抛物面xy z =被柱面222R y x =+所截出的面积．解： 曲面在 xoy 面上投影为222:R y x D ≤+，则y x z z A Dy x d d 122⎰⎰++=y x y x Dd d 122⎰⎰++=r r r Rd 1d 0220⎰⎰+=πθ])1)1([32232-+=R π例4 计算半径为a 的球的表面积．解：方法1 利用球面坐标．设球面方程为：a r =，则球面面积元素为θϕϕd d sin d 2a A =，于是，⎰⎰=ππϕϕθ0202d sin d aA 24a π=方法2 利用直角坐标方程． (见书 P109)物体的质心例５ 求位于两圆θsin 2=r 与θsin 4=r 之间的均匀薄片的质心． 解： 利用对称性可知0=x ；而⎰⎰=D y x y A y d d 1⎰⎰=D r r θθπd d sin 312 ⎰=πθθπ0d sin 31r r d sin 4sin 22⎰θθθθππd sin 95604⎰= θθππd sin 2956204⎰⋅=37221432956=⋅⋅⋅⋅=ππ42Do yxC例６求半球形222y x a z --=的形心．解：由对称性知：0,0==y x ，VdV z z V ⎰⎰⎰=)( ⎰⎰⎰-=22020323r a azdz rdr d a πθπ⎰⎰-=adr r a r d a 0222032)(23πθπ 83834a a a ==ππ．物体的转动惯量例７求半径为R 的圆盘（密度为μ）对中心轴的转动惯量o I 和对直径的转动惯量D I ． 解：⎰⎰+=)(22)(σσμd y x I o ⎰⎰⋅=Rd d 0220ρρρθμπ24R μπ=22mR =，由对称性知，y x D I I I ==，而o y x I I I =+，故o D I I 21=42mR =．例８设一均匀的直角三角形薄板（面密度为常量ρ），两直角边长分别为b a 、，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量．解：设三角形的两直角边分别在 x 轴和y 轴上，如图所示． 对y 轴的转动惯量为：dxdy x I Dy ⎰⎰=2ρ ⎰⎰-=ba b ydx x dy 0 )1( 02ρρb a 3121=． 同理对 x 轴的转动惯量为：dxdy y I Dx ⎰⎰=2ρρ3121ab =．例９ 求半径为R 的球体（密度为μ）对直径的转动惯量D I ． 解：⎰⎰⎰+==)(22)(V z D dv y x I I μ⎰=πθμ20d⎰πϕ0d⎰⋅Rd 0222sin sin ρϕρϕρπμ2⋅=⎰πϕϕ03sin d⎰Rd 04ρρ532225R ⋅⋅⋅=πμ 5158R μπ=．物体的引力例１０ 求面密度为常量、半径为R 的均匀圆形薄片：,222R y x ≤+ 0=z 对位于z 轴上的点),0,0(0a M 处的单位质点的引力)0(>a ．解： 由对称性知引力),0,0(z F F =，=z F d dadG⋅-2d σμμa G -=23222)(a y x d ++σ，于是，⎰⎰-=D z a G F μ23222)(a y x d ++σμa G -=⎰πθ20d ⎰R2322)(a r rdr +(2μπa G =)1122a a R -+．例1１设半径为R 的匀质球(其密度为常数0ρ)占有空间区域}|),,{(2222R z y x z y x ≤++=Ω．求它对位于),0,0(a M )(R a >处的单位质量质点的引力．解： 利用对称性知引力分量0==y x F F ，=z F ⎰⎰⎰Ωv a z y x az G d ])([23222-++-ρ⎰--=RRza z G d )(ρ⎰⎰-++zD a z y xyx 23222])([d d⎰--=R Rza z G d )(ρ⎰⎰--+πθ20232222])([d d z R a z r r rρπG 2=⎰-⎪⎪⎭⎫+-- ⎝⎛--RRz a z a R z a a z d 211)(22 ⎢⎣⎡=ρπG 2R 2-⎰---RR a z a )(1⎥⎦⎤+-222d a az R 2a M G -=课堂练习1． 求球体22224a z y x ≤++被圆柱面ax y x 222=+ )0(>a 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积2． 求均匀半球体的质心．3． 求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量．4． 设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离， 求此半圆的重心坐标及关于x 轴(直径边)的转动惯量．第五节 含参变量的积分本节主要内容被积函数含参变量的积分 积分限含参变量的积分内容要点：一、 被积函数含参变量的积分 1 定义设函数),(y x f 是矩形区域},{βα≤≤≤≤y b x a 上的连续函数． 则积分⎰βαdyy x f ),(定义了一个在],[b a 上的函数，记为).(),()(b x a dy y x f x ≤≤=⎰βαϕ其中x 记为参变量，上式称为含参变量积分．2 含参变量积分的性质——连续性、可积性、可微性定理1（连续性） 若函数),(y x f 在矩形},{βα≤≤≤≤y b x a 上连续， 由积分)1()(),()(b x a dy y x f x ≤≤=⎰βαϕ确定的函数)(x ϕ在],[b a 上也连续．定理2（可积性） 若函数),(y x f 在矩形区域},{βα≤≤≤≤y b x a 上连续， 则⎰⎰⎰⎰=βαβα.]),([]),([dy dx y x f dx dy y x f baba上式也可写成.),(),(⎰⎰⎰⎰=babadx y x f dy dy y x f dx βαβα定理3（可微性）如果函数),(y x f 及其偏导数),(y x f x 都在矩形区域},{βα≤≤≤≤y b x a 上连续，那么含参积分函数)(x ϕ在],[b a 上可微分，并且⎰⎰=='βαβαϕ.),(),()(dy y x f dy y x f dxd x x二、 积分限含参变量的积分 1 定义设函数),(y x f 是在)}()(,{x y x b x a ψϕ≤≤≤≤上的连续函数． 则 ).(),()()()(b x a dy y x f x x x ≤≤=⎰ψϕϕ也是参变量x 的函数．2 含参变量积分的性质——连续性、可微性定理3设函数),(y x f 是在)}()(,{x y x b x a ψϕ≤≤≤≤上的连续函数， 其中函数)(x ϕ与)(x ψ在区间],[b a 上连续， 则⎰=)()(),()(x x dyy x f x ψϕϕ在],[b a 上也连续．定理4 如果函数),(y x f 及其偏导数),(y x f x 都在矩形区域上},{βα≤≤≤≤y b x a 连续， 又函数)(x α与)(x β在区间],[b a 上可微， 并且),()(,)(b x a x x ≤≤≤≤≤≤βψαβϕα则⎰=)()(),()(x x dy y x f x ψϕϕ],[b a 上可微， 并且).()](,[)()](,[),(),()()()()()(x x x f x x x f dy y x f dy y x f dxd x x x x x x ϕϕψψψϕψϕ'-'+==Φ'⎰⎰例题选讲：例1 求()b a dx xx x I ab <<-=⎰0ln 01．解：由被积函数的特点想到积分：y x bayd ⎰ab y x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ln x x x ab ln -=，于是， y x x I bay d d 1⎰⎰=)],[]1,0[(上连续在b a x y ⨯x x y yb ad d 1⎰⎰=y y x bay d 1011⎥⎦⎤+⎢⎣⎡=⎰+y y b a d 11⎰+=11ln ++=a b ．例2 计算定积分()dx x x I 211ln 01++=⎰．解：考虑含参变量 t 的积分所确定的函数：x x x t d 1)1ln()(12⎰++=ϕ，显然上连续在]1,0[]1,0[1)1ln(2⨯++x x t ，0)0(=ϕ ，I =)1(ϕ．由于x x t x x t d )1)(1()(12⎰++='ϕ[]x xt tx t x x t d 1111121022+-++++=⎰ 122)1ln(arctan )1ln(2111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=x t x t x t [])1ln(42ln 21112t t t +-++=π 故)0()1(ϕϕ-=I []t t t t d )1ln(42ln 211121+-++=⎰π01arctan 2ln 21t = 012)1ln(8t ++π t t t d 1)1ln(102⎰++- I -=2ln 4π，因此得，2ln 8π=I ．例3设(),sin 2dy y xyxx x ⎰=Φ 求()x Φ'． 解： =')(x ϕy y x x xd cos 2⎰x x x 2sin 23⋅+ 1sin 2⋅-xx xx x y x 2sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡= x x 3sin 2+ x x 2sin - xx x 23sin 2sin 3-=．本章小结：在这一章中，主要是给出了二重积分和三重积分的定义及其算法，以及二重积分和三重积分的在几何、物理以及其他方面的应用问题．在这一章的学习中要注意以下几个方面的问题：一、重积分的基本计算方法——累次积分法1、选择合适的坐标系，使得积分域与被积函数在该坐标系下的表达简洁．2、选择易计算的积分次序，使得积分域分块要少、累次积分容易计算．3、掌握确定积分限的方法：作图法、列不等式法．二、重积分计算的基本技巧1、交换积分顺序的方法；2、利用积分域的对称性以及被积函数的奇偶性简化计算；3、消去被积函数中绝对值的方法：分块积分法、利用对称性．。