初中中考圆题型总结

圆的基本题型

一、圆的性质及重要定理的考查

基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.(3)圆周角定理及推论 （4）圆内接四边形性质

【例1】（江苏镇江）如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ． （1）OCD ∠的平分线CE 交⊙O 于E ，连结OE ．求证：E 为弧ADB 的中点； （2）如果⊙O 的半径为1，3CD =， ①求O 到弦AC 的距离；

②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为1

2

． 【解析】（1）OC OE =，E OCE ∴∠=∠ 又OCE DCE ∠=∠，E DCE ∴∠=∠． OE CD ∴∥．

又CD AB ⊥，90AOE BOE ∴∠=∠=． E ∴为弧ADB 的中点．

（2）①CD AB ⊥，AB 为⊙O 的直径，3CD =，

13

2CH CD ∴==．又1OC =，3

32sin 1CH COB OC ∴∠===．

60COB ∴∠=， 30BAC ∴∠=．

作OP AC ⊥于P ，则11

22OP OA ==．

②3.

【例2】 （安徽芜湖）如图，已知点E 是圆O 上的点，

B 、

C 分别是劣弧A

D 的三等分点， 46BOC ∠=， 则AED ∠的度数为 ．

【解析】由B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点知，圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD, 又46BOC ∠=，所以∠AOD=138º.

根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有AED ∠＝69º.

A

B

D

E O C

H

二、直线与圆的位置关系

基础知识链接：

1、直线与圆的位置关系有三种:

⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.

⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.

⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.

2、直线与圆的位置关系的判定；

3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

4. 和圆有关的比例线段

（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；

（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

5. 三角形的内切圆

（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；

6、圆的切线的性质与判定。

【例1】（甘肃兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE CD

⊥，垂足为E，DA平分BDE

∠．

O

E D

C

B

A

（1）求证：AE 是⊙O 的切线；

（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．

【解析】（1）证明：连接OA ，DA 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠．

OA OD ODA OAD =∴∠=∠，．OAD EDA ∴∠=∠．

OA CE ∴∥．

AE DE ⊥，9090AED OAE DEA ∴∠=∠=∠=，．

AE OA ∴⊥．AE ∴是⊙O 的切线．

（2）BD 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=． 3060DBC BDC ∠=∠=，，120BDE ∴∠=．

DA 平分BDE ∠，60BDA EDA ∴∠=∠=．

30ABD EAD ∴∠=∠=．

在Rt AED △中，90302AED EAD AD DE ∠=∠=∴=，，

． 在Rt ABD △中，903024BAD ABD BD AD DE ∠=∠=∴==，，

． DE 的长是1cm ，BD ∴的长是4cm ．

【例2】（广东茂名）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ． （1）求证：∠ADB =∠E ；

（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分） 【解析】（1）在△ABC 中，∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠C ．

∵DE ∥BC ，∴∠ABC =∠E ， ∴∠E =∠C ． 又∵∠ADB =∠C ， ∴∠ADB =∠E ．

（2）当点D 是弧BC 的中点时，DE 是⊙O 的切线．

D E C

B

O

A

D

E C

B

O

A

O

E

D

C B A

O

F

C

B

A

理由是：当点D 是弧BC 的中点时，则有AD ⊥BC ，且AD 过圆心O ． 又∵DE ∥BC ，∴ AD ⊥ED ． ∴ DE 是⊙O 的切线．

（3）连结BO 、AO ，并延长AO 交BC 于点F ，

则AF ⊥BC ，且BF =21

BC =3．

又∵AB =5，∴AF =4．

设⊙O 的半径为r ，在Rt△OBF 中，OF =4－r ，OB =r ，BF =3， ∴ r 2＝32＋（4－r ）2

解得r ＝

825，∴⊙O 的半径是8

25． 【例4】 已知：如图7，点P 是半圆O 的直径BA 延长线上的点，PC 切半圆于C 点，CD ⊥AB 于D 点，若PA ：PC ＝1：2，DB ＝4，求tan ∠PCA 及PC 的长。

图7

证明：连结CB

∵PC 切半圆O 于C 点，∴∠PCA ＝∠B ∵∠P ＝∠P ，∴△PAC ∽△PCB ∴AC ：BC ＝PA ：PC

∴ ∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90° 又∵CD ⊥AB ∴

∴AB ＝AD ＋DB ＝5 ∵

∴

【例5】 已知：如图8，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D 。

求证：（1）AC 是⊙D 的切线； （2）AB ＋EB ＝AC