流体力学讲义

140第六章、 流體動量分析（Momentum analysis offlow systems ）牛頓第二定率 – 動量守衡牛頓第二定律： ∑===F dtV m d dt V d m a m)({}⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧)(viscous pressure forcces surface force body system the of m om entum the of change of rate tim e⎰∑=syssys F V d V Dt Dρ 假設系統與控制容積於時間 t 時互相重疊，如下圖所示：∑∑=CVcoincident the of contents sys F F則由雷諾轉換定理，∑∑⎰⎰⎰⎰-+∂∂=∙+∂∂=in in in in out out out out CVCS CVsys V A V V A V V d V t dA n V V V d V t V d V Dt D ρρρρρρ)(或141⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧....V C the of out m om entum of flow of rate net V C coincident the of m om entum the of change of rate tim e system coincident the of m om entum the of change rate tim e 故以控制容積而言∑∑∑⎰⎰⎰=-+∂∂=∙+∂∂CVtheof contents in in in in out out out out CV CS CVF V A V V A V V d V t dA n V V V d V t ρρρρρ)( （注意：上式中，每一項單位均為 kg.m/s ，並為一向量方程式，故有三分量。

） 此式可以下式表示之：∑=+-CVtheof contents F S I O∑=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅ii F s m kg CV the in m om entum of rate torage S s m kg m om entum of rate nflow I s m kg m om entum of rate utflow O )/()/()/(此為控制容積法表示之動量守衡定律。

力之種類流體控制容積所遭受之力可分為與控制容積體積大小有關之物體力(body force)，如重力(gravitational force)、磁力(magnetic force)等，與只與控制容積表面有關之表面力(surface force)，例如壓力及黏滯力(viscous force)。

142Gravitational force: dV g F d gravityρ=， k g g -=Total body force acting on a C.V.: g m dV g F CV CVbody==⎰∑ρ表面力可由第一章之剪應力張量(shear tensor)表示：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij σσσσσσσσσσ其中p zz yy xx -===σσσ 代表流體表面所受到之垂直力，即靜壓（hydrostatic pressure ）。

143其他項代表與控制容積表面切線方向之力。

Surface force: dA n F d ij surface∙=σTotal surface force:dA nF CSij surface∙=∑⎰σ 故 dA n dV g F F F CSij CVsurface body∙+=+=∑⎰⎰∑∑σρ動量方程式為向量方程式，故可分解為三個方向之分量，例如下圖為流體在U 型管路內流動時垂直方向之動量平衡，其中W 為流體與管路之重量，P 為壓力(使用表壓 Why?)，F R 為外力(此處為固定此控制容積之固定力 anchoring force)，此問題中流體與管路之磨擦力(即黏滯力viscous force)不須考慮(Why?)。

注意每個力之方向，外力 F 之方向可任意定之，其真正方向由計算外力結果之正負值而決定。

144特殊情況之動量方程式移動控制容積：∑⎰⎰=∙+∂∂CVthe of contents CS r CVF dA n V V V d V t )(ρρ 其中 V r = V – V CS 為流體相對於控制容積邊界之速度。

穩定狀態：∑⎰=∙CVthe of contents CSF dA n V V )( ρ有限進出口之控制容積：進出口之質流量率 C ave CSA V dA n V mρρ=∙=⎰)(進出口之動量流量率ave ave C ave CSV mV A V dA n V V==∙⎰ρρ)(其中進出口之速度假設為一常數，如下例所示：145例：欲固定下圖物體，須施與多少固定力（anchoring force ）？解： k w i u V+=∑=-x F V A u V A u 111222ρρ ∑=-z F V A w V A w 111222ρρAx F V A V V A V =-111121cos ρθρAz F V A V A V =-11121)0(sin ρθρ)cos 1()cos 1(121θθρ--=--=V m AV F Ax θθρsin sin 121V mAV F Az == （此固定力之方向為何？）Question: 當進出口之速度分佈非一常數時應如何修正? 動量流率修正因子(momentum-flux correction factor, β) 當控制容積之進出口速度非常數時，可用一動量流率之修正因子 β 修正之：146∑∑⎰∑-+∂∂=inave out ave CV V m V mV d V t Fββρ對任一進出口而言，若流體密度不變，且進出口流體流動方向垂直於進出口截面，則修正因子為： dA V V A V A V dAn V V V mdAn V V CSaveCaveC ave CSave CS2)(1)()(⎰⎰⎰=∙=∙=ρρρβ例：計算圓管內層流(laminar flow)之動量流率修正因子。

當管路流體距進口很遠而達到完全成形區(fully-developed region)時，其軸向之速度分佈(velocity profile)為拋物線方程式：)1(2)(22Rr V r V ave -=解： 342)1(4)(122222=-==⎰⎰rdr R r R dA V V A CSave Cππβ 注意：無論速度分佈為何，此修正因子均大於1。

Question: 若以上管流為紊流(turbulent flow)時，修正因之將變大或變小？ 紊流之修正因子 β ~ 1.03。

147例：求下圖截面(1)與截面(2)間之壓力降（pressure drop ）。

解：控制容積（只包括水，不包括管子，故必須考慮流體與管路間之磨擦力）之垂直方向之動量守衡：2211A p W R A p V A w V A w z in in in out out out ---=-∑∑ρρ其中 R z 為管壁磨擦力（注意方向）22111111)()(R w mw w A w V A w in in in πρρρ===∑1482212220102222234])(1[)2(22)(2R w rdrR rw rdrw dA w w V A w RRA out out out πρπρπρρρ=-===⎰⎰⎰∑ (注意：此截面之動量流率修正因子為何?)221122122134A p W R A p R w R w z ---=-ρπρπ 1121213A R A W w p p z++=-∴ρ注意：1. 上式第一項為流體從截面(1)之平滑（uniform ）速度分佈，轉變為截面(2)之拋物線速度分佈，動量流率m w 之增加量。

（即使質流量相等，截面(1)、(2)之動量流率並不相等，非平滑速度分佈之動量流率永遠較平滑速度分佈之動量流率為大， 此即修正因子β 之由來）2. 上式第二項為重力造成之壓力降，當管路為水平時，此項消失。

3. 上式第三項為磨擦力造成之壓力降，當管路為水平，且截面(1)、(2)均位於完全成形區（fully developed149region ）時，此項為造成壓力降唯一的原因，其與流體之黏滯剪應力τ（viscous shear stress ）如下圖流體內控制容積力之平衡所示：τππ r r p p 2)(221=-當 r = R (管壁上)Ar p p wτπ 221=- 其中 τw 為管壁剪應力（wall shear stress ），此例中磨擦力 R 即為管壁上總共之管壁剪應力：w r R τπ 2=壓力降若以位置變率表示：12p p dx dp -≈此稱為壓力梯度（pressure gradient ），當流體向右流動時，此項為負值（Why?）。

150流體無外力(flow with no external forces)當外力(重力、壓力、黏滯力)不存在時(例如衛星或太空火箭等)，動量方程式變為： ∑∑∑∑⎰-+∂∂=-+∂∂=inave out ave CV in ave out ave CV V m V m t V m V m V m V d V t ββββρ)(0 當控制容積內質量為常數時 ∑∑-===∂∂=∂∂outave in ave body CV CV CV CV V m V m F a m t V m t V m ββ)()( 此力body F 即衝力(thrust)，例如火箭之推動力如下圖：Question: 上例中若火箭燃料之質量佔火箭總質量相當大之比例時，動量方程式應如何修正？151例：求下列U 形管之固定力(anchoring force)。

水之質流量為 14 kg/s ，截面積 A 1 為 113 cm 2 ，A 2 為 7 cm 2。

解：z-方向： 0)()(=-=∑∑inz ave z out ave Rz V m V m Fββ故 z-方向無須固定(假設流體與管路重量不計)。

x-方向： )()(1211221,1V V m V m V m A P F gage Rx +-=--=+ βββsm A m V s m A m V /20)0007.0)(1000(14,/24.1)0113.0)(1000(142211======ρρPaz z g V V g P P P gz V P gz V P gage atm 200,202)03.0)8.9(224.120)(8.9)(1000()2(212122122122,1122221211=-+-=-+-==-∴++=++ρρρρρN A P V V m F gage Rx 2591)0113.0)(000,202()24.120)(14)(03.1()(1,112-=-+-=-+-= β故固定力 F Rx 之方向為向左，與先前假設之方向相反。