流体力学讲义

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第六章、 流體動量分析（Momentum analysis of

flow systems ）

牛頓第二定率 – 動量守衡

牛頓第二定律： ∑==

=F dt

V m d dt V d m a m

)

(

{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=⎪

⎭

⎪

⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧)(viscous pressure forcces surface force body system the of m om entum the of change of rate tim e

⎰∑=sys

sys F V d V Dt D

ρ 假設系統與控制容積於時間 t 時互相重疊，如下圖所示：

∑∑=CV

coincident the of contents sys F F

則由雷諾轉換定理，

∑∑⎰⎰⎰⎰-+∂∂=∙+∂∂=in in in in out out out out CV

CS CV

sys V A V V A V V d V t dA n V V V d V t V d V Dt D ρρρρρρ

)(

或

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⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧....V C the of out m om entum of flow of rate net V C coincident the of m om entum the of change of rate tim e system coincident the of m om entum the of change rate tim e 故以控制容積而言

∑∑∑⎰⎰⎰=-+∂∂=∙+∂∂CV

the

of contents in in in in out out out out CV CS CV

F V A V V A V V d V t dA n V V V d V t ρρρρρ

)( （注意：上式中，每一項單位均為 kg.m/s ，並為一向量方

程式，故有三分量。） 此式可以下式表示之：

∑=+-CV

the

of contents F S I O

∑=⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅i

i F s m kg CV the in m om entum of rate torage S s m kg m om entum of rate nflow I s m kg m om entum of rate utflow O )/()/()/(

此為控制容積法表示之動量守衡定律。

力之種類

流體控制容積所遭受之力可分為與控制容積體積大小有關之物體力(body force)，如重力(gravitational force)、磁力(magnetic force)等，與只與控制容積表面有關之表面力(surface force)，例如壓力及黏滯力(viscous force)。

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Gravitational force: dV g F d gravity

ρ=， k g g -=

Total body force acting on a C.V.: g m dV g F CV CV

body

==⎰∑ρ

表面力可由第一章之剪應力張量(shear tensor)表示：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij σσσσσσσσσσ

其中p zz yy xx -===σσσ 代表流體表面所受到之垂直力，即靜壓（hydrostatic pressure ）。

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其他項代表與控制容積表面切線方向之力。

Surface force: dA n F d ij surface

∙=σ

Total surface force:dA n

F CS

ij surface

∙=∑⎰σ 故 dA n dV g F F F CS

ij CV

surface body

∙+=

+=∑⎰⎰∑∑σρ

動量方程式為向量方程式，故可分解為三個方向之分量，例如下圖為流體在U 型管路內流動時垂直方向之動量平衡，其中W 為流體與管路之重量，P 為壓力(使用表壓 Why?)，F R 為外力(此處為固定此控制容積之固定力 anchoring force)，此問題中流體與管路之磨擦力(即黏滯力viscous force)不須考慮(Why?)。注意每個力之方向，外力 F 之方向可任意定之，其真正方向由計算外力結果之正負值而決定。

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特殊情況之動量方程式

移動控制容積：

∑⎰⎰=∙+∂∂CV

the of contents CS r CV

F dA n V V V d V t )(

ρρ 其中 V r = V – V CS 為流體相對於控制容積邊界之速度。 穩定狀態：

∑⎰=∙CV

the of contents CS

F dA n V V )( ρ

有限進出口之控制容積：

進出口之質流量率 C ave CS

A V dA n V m

ρρ=∙=⎰)(

進出口之動量流量率

ave ave C ave CS

V m

V A V dA n V V

==∙⎰ρρ)(

其中進出口之速度假設為一常數，如下例所示：