人教课标版高中数学必修2《多面体与旋转体概念、棱柱》教学设计

1．1 空间几何体的结构1．1．1 多面体与旋转体概念、棱柱一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解多面体与旋转体的概念、了解棱柱的定义．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想．（二）学习目标1．了解多面体的顶点，棱，表面，对角面的定义．2．结合定义，会判断一个几何体是否为棱柱．3．知道直棱柱，正棱柱，平行六面体的定义．（三）学习重点1．准确理解棱柱的定义．2．棱柱的分类．3．棱柱的表示方法．（四）学习难点1．判断某个几何体是否为棱柱．2．正确区分棱柱的体对角线和面对角线，棱柱的侧面和底面，棱柱的高和侧棱．3．对旋转体的直观理解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第2，3页，观察课本P2图1．1-1的物体，这些图片中的物体具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？填空：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等．2．预习自测（1）下列几何体是棱柱的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D．【知识点】棱柱的结构特征【解题过程】由棱柱的定义可知，棱柱中，有两个面互相平行，则可以排除②⑤，又棱柱中，有两个互相平行的底面，其余各面都是四边形，则可以排除④⑥．【思路点拨】由棱柱定义来判断（2）三棱柱共有（）个顶点A．4B．5C．6D．7【答案】C．【知识点】棱柱的结构特征【解题过程】n棱柱的顶点个数为2n个，故选C．【思路点拨】熟悉棱柱的定义．（3）四棱柱有（）个表面A．5B．6 C．7D．8【答案】B．【知识点】四棱柱的定义【解题过程】四棱柱有上下两个底面和四个侧面，故选B．【思路点拨】棱柱有多少个表面，可以先找两个底面，再数其侧面个数即可．(二)课堂设计1．知识回顾2．问题探究探究一归纳提炼出多面体与旋转体，棱柱的定义★●活动①归纳提炼概念请同学们观察课本P2图1．1-1的物体，学生观察思考，发现上图中的物体大体可分为两大类．其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16)具有相同的特点:组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形；(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12)具有相同的特点:组成它们的面不全是平面图形．想一想,我们应该给上述两大类几何体取个什么名称才好呢？学生各抒己见，然后老师归纳总结．第一类：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．按围成多面体的面数，多面体分为：四面体、五面体、六面体、……我们后面即将学习的棱柱、棱锥、棱台均是多面体．思考：一个多面体最少有个面答案：4第二类：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体．【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动②深入挖掘概念与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？让学生积极思考，积极发言，为引出棱柱的概念做准备．教师总结：共同特点：有两个面平行，其余的面都是平行四边形．像这样的几何体我们称为棱柱．师生共同完成棱柱的定义：两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱．分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……【设计意图】通过对多面体内涵与外延的理解，引出本节课重点：棱柱的定义．探究二通过点、面、线等要素对棱柱进行直观分析●活动①认识棱柱的顶点，底面，侧面，侧棱，对角线等结合棱柱的定义，请学生看下图后回答问题．让学生分别指出这些几何图形是几棱柱，它们有几个顶点，有几个表面，它有几条侧棱，有几个对角面，有几条体对角线，有几条面对角线．教师阐述棱柱的表示方法：用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如上图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；【设计意图】通过直观图形，加深对棱柱概念的理解．●活动②对概念的反面理解思考：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？教师变更棱柱的定义，让学生判断正误，进一步加深对棱柱定义的理解答：不一定是棱柱．可举反例．如下图几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱．【设计意图】从反面加深对棱柱的认识．探究三棱柱的其他探讨★●活动①棱柱的另一种分类方式按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱．侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．直棱柱的每个侧面都是矩形．侧棱和底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱．请学生思考回答，下图中有几个直棱柱？答案：有两个直棱柱．老师补充两个概念，为以后的教学做铺垫．平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．【设计意图】对直棱柱和正棱柱有直观印象，为后面的学习做铺垫．●活动②巩固基础，检查反馈例1 以下那种几何体属于多面体？（）A．球B．圆柱C．圆锥D．四面体【知识点】多面体与旋转体的定义．【数学思想】【解题过程】选项A，B，C均为旋转体，故答案为D．【思路点拨】直接套用定义．【答案】D．例2 下列说法中正确的是（）A．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱中所有的棱长都相等C．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行【知识点】棱柱的定义．【数学思想】【解题过程】棱柱的侧面也可能互相平行，比如正方体，故A错误．棱柱的棱长未必全部相等，比如一般的长方体，故B错误．棱柱的底面可以是任意多边形，故C错误．棱柱的上下底面一定互相平行，故D正确．【思路点拨】正确理解棱柱的定义．【答案】D．同类训练在棱柱中（）A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行【知识点】棱柱的定义．【数学思想】【解题过程】四棱柱的相对表面可以互相平行，故A错误．棱柱的侧棱和底面的边可以相交，故B错误．棱柱的底面可以是三角形，故C错误．由棱柱的定义可知D正确．【思路点拨】正确理解棱柱的定义．【答案】D．【设计意图】巩固棱柱的概念．●活动③强化提升、灵活应用例3 如下图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是______．【知识点】棱柱的直观认识．【数学思想】空间想象． 【解题过程】由棱柱的定义可得有3个．分别为：三棱柱DQ D AP A 11-，三棱柱CF C BE B 11-，四棱柱DCFQ ABEP -【思路点拨】逐一分析． 【答案】3个．3．课堂总结知识梳理（1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．按围成多面体的面数，多面体分为：四面体、五面体、六面体、……（2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．（3）两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．（4）按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……（5）按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱．（6）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．（7）底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．重难点归纳：棱柱定义的三个核心要素（1）两个平面互相平行．（2）其余各面都是四边形．（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列说法错误的是（ ）A ．多面体至少有四个面B ．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C ．长方体、正方体都是棱柱D ．三棱柱的侧面为三角形【知识点】多面体和棱柱的概念．【数学思想】 【解题过程】多面体中四面体的面最少，有四个，故A 正确．由棱柱定义知道B ，C 正确．棱柱的侧面均为平行四边形，故D 错误．【思路点拨】准确理解棱柱定义．【答案】D ． 2．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（ ）A ．E F D CB A ⊆⊆⊆⊆⊆B ． E D F BC A ⊆⊆⊆⊆⊆ C ．E FD B A C ⊆⊆⊆⊆⊆D ．它们之间不都存在包含关系【知识点】特殊棱柱的关系．【数学思想】【解题过程】根据它们的定义分析即可．【思路点拨】仔细区分各种特殊棱柱．【答案】B ． 3．一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）．A ．棱锥B ．棱柱C ．平面D ．长方体【知识点】棱柱定义．【数学思想】运动变化的思想 【解题过程】首先排除A ，C注意到题目说“不平行于矩形所在平面”，排除D．选择B【思路点拨】正确理解题目讲述的运动过程．【答案】B．4．右图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）A．B．C．D．【知识点】旋转体的定义．【数学思想】运动变化的思想【解题过程】三角形旋转产生圆锥，直角梯形旋转产生圆柱，选择A．【思路点拨】熟悉简单平面图形旋转后产生的几何体．【答案】A．5．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）条A．20 B．15 C．12 D．10【知识点】棱柱对角线的定义．【数学思想】枚举．【解题过程】正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D．【思路点拨】正确理解对角线的含义．【答案】D．6．如下图所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征．【知识点】旋转体的定义．【数学思想】运动变化的思想 【解题过程】圆在转动过程中产生球，圆环转动过程中产生一个大球和一个小球，故本题形成的几何体为一个中间空心的球体．【思路点拨】想象出圆转动产生球的过程． 【答案】一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球．能力型 师生共研7．如下图，正方形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，沿AE ，AF ，EF 将其折成一个多面体，则此多面体共有 条棱．【知识点】多面体展开图．【数学思想】【解题过程】此多面体由四个面构成，故为四面体，它有六条棱．【思路点拨】想象出该多面体的形状． 【答案】6．8．在下图所示的三棱柱ABC －111C B A 中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个四面体．【知识点】四面体的概念．【数学思想】【解题过程】如下图，连接A 1B ，BC 1，A 1C ，则三棱柱ABC －A 1B 1C 1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A 1－ABC ，A 1－BB 1C 1，A 1－BCC 1．【思路点拨】不断尝试构造符合题意的分割方式．【答案】如图．探究型多维突破9．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到下面的平面图形，则标“△”的面的方位是（）A．南B．北C．西D．下【知识点】柱体展开图．【数学思想】运动变化．【解题过程】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B．【思路点拨】发挥空间想象能力将正方体还原．【答案】B．10．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是________【知识点】长方体对角线长度公式．【数学思想】方程思想．【解题过程】设该长方体的长宽高分别为z,，由已知可得：yx,2=xy ；3=yz ；6=xz ，解得3,1,2===z y x对角线6222=++=z y x d ．【思路点拨】设未知数，用它们表示已知条件． 【答案】6．自助餐1．棱柱至少有（ ）个表面．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【知识点】棱柱定义．【数学思想】【解题过程】三棱柱表面最少，有五个表面．【思路点拨】考察极端情形．【答案】C ． 2．给出下列命题，其中正确的个数为（ ）．（1）直线绕定直线旋转形成柱面；（2）曲线平移一定形成曲面；（3）直角三角形绕它的一条边旋转形成一个圆锥；（4）半圆绕定直线旋转形成球．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【知识点】旋转体定义．【数学思想】 【解题过程】（1）可能形成锥面；（2）可能形成平面；（3）绕斜边旋转形成两个圆锥；（4）半圆未必绕直径旋转；故全部错误．【思路点拨】尽量寻找反例． 【答案】A ．3．正方体有 个对角面．【知识点】正方体的性质．【数学思想】枚举法【解题过程】逐一考察知正方体有六个对角面． 【思路点拨】枚举时制定一个分类标准，做到不重不漏．对于棱柱，不相邻的两条侧棱确定的面叫做对角面．正方体是特殊棱柱．【答案】6．4．下列判断正确的是________ （填序号）．（1）直平行六面体是长方体；（2）正四棱柱是长方体；（3）各个侧面都是矩形的四棱柱是长方体；（4）底面是矩形的四棱柱是长方体．【知识点】特殊柱体的定义．【数学思想】【解题过程】（1）底面可能是菱形；（2）正确；（3）底面可能是三角形；（4）可能是斜四棱柱，故只有（2）正确．【思路点拨】弄清各种特殊棱柱的定义．【答案】（2）．5．下图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．【知识点】柱体展开图．【数学思想】分类讨论【解题过程】爬行路线如下图(1)—(6)所示：分别展开，算出直线距离．可知AB 间的最短距离为A 、B 两点间的线段的长51222=+．【思路点拨】平面内，两点间线段最短． 【答案】5．6．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，求每条侧棱的长度．【知识点】棱柱的顶点和侧棱定义．【数学思想】 【解题过程】n 棱柱有2n 个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm ，可知每条侧棱长为12 cm ．【思路点拨】设未知数，列方程求解． 【答案】12 cm ．。