函数的概念及其表示+大单元教学设计方案

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《函数的概念》教学教案

《函数的概念》教学教案一、教学目标1. 理解函数的定义及概念。

2. 掌握函数的表示方法，包括列表法、图象法、解析式法。

3. 能够判断两个变量之间的关系是否为函数。

4. 理解函数的性质，如单调性、奇偶性等。

二、教学内容1. 函数的定义及概念。

2. 函数的表示方法：列表法、图象法、解析式法。

3. 判断两个变量之间的关系是否为函数。

4. 函数的性质：单调性、奇偶性。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的定义及概念，函数的表示方法，函数的性质。

2. 教学难点：函数的性质的理解与应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究来理解函数的概念。

2. 利用多媒体课件，展示函数的图象，帮助学生直观地理解函数的性质。

3. 开展小组讨论，让学生通过合作交流，加深对函数概念的理解。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考函数的概念。

2. 讲解函数的定义及概念，解释函数的基本要素：自变量、因变量、对应关系。

3. 介绍函数的表示方法，包括列表法、图象法、解析式法，并通过实例进行展示。

4. 讲解如何判断两个变量之间的关系是否为函数，引导学生通过实例进行分析。

5. 讲解函数的性质，如单调性、奇偶性，并通过图象进行展示。

6. 开展小组讨论，让学生通过合作交流，加深对函数概念的理解。

7. 总结本节课的主要内容，布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课后作业：要求学生完成相关的习题，巩固函数的基本概念和性质。

2. 课堂问答：通过提问的方式，检查学生对函数概念的理解程度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和思考深度。

七、教学反思1. 教师需要在课后对自己的教学进行反思，考虑是否有清晰地传达函数的概念和性质。

2. 反思教学方法的有效性，是否激发了学生的兴趣和参与度。

3. 根据学生的反馈和作业情况，调整教学计划和方法，以便更有效地帮助学生理解函数。

八、拓展与延伸1. 鼓励学生探索更复杂的函数性质，如周期性、连续性等。

二次函数大单元整体教学设计

二次函数大单元整体教学设计一、教学目标1. 理解二次函数的定义及其性质；2. 掌握二次函数的基本图像和性质；3. 掌握二次函数的解析式的表示和应用；4. 能够应用二次函数解决实际问题。

二、教学内容1. 二次函数的定义及表示；2. 二次函数的图像和性质；3. 二次函数的解析式及相关知识；4. 二次函数的应用。

三、教学步骤1. 引入引导学生回顾一元二次方程的知识，复习一元二次方程的解及其应用。

提问：一元二次方程的解的个数可能有几种情况？2. 讲授二次函数的定义及表示（1）介绍二次函数的定义和一般形式；（2）讲解二次函数图像的特征，包括顶点、对称轴、开口方向等；（3）通过练习引导学生理解二次函数图像的变化规律。

3. 探究二次函数的性质（1）求解二次函数的零点，了解零点和图像的关系；（2）探究二次函数的最值和变化趋势，引入二次函数的平面内几何表示；（3）通过实例分析二次函数图像的性质。

4. 学习二次函数的解析式及相关知识（1）引入二次函数的一般形式的解析式；（2）通过实例总结求解二次函数的方法和步骤；（3）引导学生探究二次函数解析式中的系数对图像的影响。

5. 进一步应用二次函数解决问题（1）通过实际问题引导学生应用二次函数解决实际问题；（2）引导学生分析实际问题，建立二次函数模型；（3）通过练习提高学生应用二次函数解决实际问题的能力。

6. 总结与拓展（1）对本节内容进行总结，强调二次函数的定义、图像、性质和解析式；（2）进行小结复习，巩固学生对二次函数的理解和掌握；（3）拓展学生对二次函数的应用领域的认识，引导学生进一步探究。

四、教学方法1. 探究教学法：通过引导学生进行探究，自主发现二次函数的定义、图像和性质；2. 演示教学法：通过示范、讲解，让学生掌握二次函数的解析式及应用方法；3. 实践教学法：通过实际问题的应用，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。

五、教学资源1. 教科书资料；2. 钢琴或相关乐器；3. 计算器；4. 多媒体教学设备。

函数概念教学设计方案

一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）理解函数的定义，掌握函数的概念；（2）了解函数的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等；（3）学会运用函数的性质解决实际问题。

2. 过程与方法目标：（1）通过观察、实验、比较等活动，引导学生自主探索函数的性质；（2）通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力；（3）通过实际问题解决，提高学生的数学应用能力。

3. 情感态度与价值观目标：（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养良好的学习习惯；（2）培养学生严谨、求实的科学态度；（3）提高学生的审美情趣，培养数学思维能力。

二、教学内容1. 函数的定义及性质；2. 函数的图像与性质；3. 函数的应用。

三、教学过程1. 导入新课（1）通过实例引入函数的概念，如：速度、路程、时间等；（2）引导学生思考：如何描述这些量之间的关系？2. 新课讲解（1）函数的定义：给出函数的定义，结合实例讲解；（2）函数的性质：讲解奇偶性、单调性、周期性等性质，结合图像进行说明；（3）函数的图像与性质：通过实例，让学生观察函数图像，分析函数性质；（4）函数的应用：举例说明函数在实际问题中的应用，如：物理学、经济学等。

3. 课堂练习（1）巩固函数的定义及性质；（2）运用函数的性质解决实际问题。

4. 小组合作（1）将学生分成小组，每组讨论一个实际问题；（2）要求学生在规定时间内完成问题，并汇报解题思路。

5. 总结与反思（1）回顾本节课所学内容，总结函数的定义、性质及应用；（2）反思自己的学习过程，找出不足之处，提出改进措施。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的发言、互动情况，评价学生的参与度；2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评价学生的掌握程度；3. 实际问题解决能力：通过实际问题解决，评价学生的数学应用能力；4. 学习态度：关注学生的学习态度，评价学生的学习兴趣和自主学习能力。

五、教学资源1. 教材；2. 多媒体课件；3. 实际问题案例；4. 教学辅助工具（如：黑板、白板等）。

函数大单元教学设计

函数大单元教学设计该教学设计旨在帮助学生全面掌握函数大单元的知识，包括函数的定义、性质、图像、运算以及应用等方面。

具体内容如下：1. 教学目标：通过本单元的学习，学生应该能够：(1) 理解函数的概念，能够正确地描述函数的定义和符号表示方法，并能够通过函数图像来判断函数的性质。

(2) 掌握函数的基本性质，包括奇偶性、单调性、零点和极值等，并能够运用这些性质解决实际问题。

(3) 熟练掌握函数的四则运算，包括函数的加减乘除和复合运算，并能够运用这些运算求解函数的值和方程。

(4) 理解函数的应用，包括函数在数学、物理、化学等领域中的应用，如最优化问题、运动学问题等，并能够运用函数解决实际问题。

2. 教学内容：(1) 函数的概念和符号表示方法。

(2) 函数的图像和基本性质，包括奇偶性、单调性、零点和极值等。

(3) 函数的四则运算，包括函数的加减乘除和复合运算。

(4) 函数的应用，包括函数在数学、物理、化学等领域中的应用，如最优化问题、运动学问题等。

3. 教学方法：(1) 教师讲授：以讲解概念、定理和公式为主，引导学生掌握函数的基本知识和技能。

(2) 实例分析：通过案例分析和实例练习，帮助学生理解和掌握函数的应用。

(3) 课堂讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生自主学习和合作学习。

(4) 作业布置：通过课后作业巩固学生所学的知识和技能。

4. 教学评估：(1) 课堂测试：通过课堂测试检测学生对函数概念和基本性质的掌握程度。

(2) 作业批改：通过批改作业检测学生对函数四则运算和应用的掌握程度。

(3) 期中考试：在本单元结束后，进行期中考试，检测学生对整个函数大单元的掌握程度。

(4) 期末考试：在学期结束前，进行期末考试，检测学生对整个数学课程的掌握程度。

高中数学教案《函数的概念及其表示》

教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。

o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。

o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。

2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。

o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。

o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。

o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。

o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。

二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。

●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。

●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。

2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。

●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。

●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。

3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。

●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。

《函数的概念及其表示大单元教学设计方案

在函数概念的建立过程中，经历从具体到一般的概念形成过程，提升数学抽象素养．在分段函数的简单应用过程中，体会分类讨论思想．在解决具体的实际问题过程中，理解函数图象的作用，体会数形结合思想，提升直观想象素养．
根据教学内容与目标
本单元分为4个课时：
第1课时，函数的概念（一）
第2课时，函数的概念（二）
第3课时，函数的表示（一）
第4课时，函数的表示（二）
单元所属主题
函数
本单元属于函数主题，本主题在高中必修阶段共有52课时，本单元占4课时。
本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量间依赖关系的数学语言和工具，也罢函数理解为实数集合之间的对于关系。
单元教学内容
本单元
内容包括：
函数的概念
函数的表示
函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界变化关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用．函数是贯穿高中数学课程的主线．高中阶段函数定义的本质是数集之间的单值对应，并且这种对应关系用抽象的符号f(x)表示．定义域、值域和对应关系是函数的三要素，它们是一个不可分割的整体，而对应关系是函数的灵魂．两个函数只要对应关系相同、定义域也相同，那么它们就是同一个函数．解析法、列表法和图象法是三种常用的函数表示法。函数的不同表示法是研究函数本身和应用函数模型解决实际问题的需要，也是进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识的需要．同时，高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式表示，因而函数的表示是渗透数形结合思想，培养直观想象素养的重要载体，有着非常重要的意义．分段函数是一个学生理解比较困难，但又普遍存在、比较重要的一类函数，通过具体的实例给出了分段函数的概念及其表示，并结合其它情境加以应用，能充分彰显分段函数在实际应用中的价值．

《函数概念与性质》大单元教学设计

《函数概念与性质》大单元教学设计一、教学目标1.知识目标：了解函数的概念与性质，掌握函数的定义、表示方法及函数的性质；2.能力目标：能够运用函数的概念与性质解决实际问题；3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生的数学思维和解决问题的能力。

二、教学重难点1.教学重点：函数的定义、表示方法及函数的性质；2.教学难点：运用函数的概念与性质解决实际问题。

三、教学过程设计1.导入（5分钟）通过出示一个常见的实际问题引导学生思考，如：小明每天早上起床到上学时间为1小时，那么他离上学时间还有多长时间？请用数学语言表示。

2.概念引入（15分钟）向学生介绍函数的概念，并通过一些例子解释函数的含义和特点。

如交代“自变量”和“因变量”的概念。

3.函数的定义（25分钟）a.向学生详细解释函数的定义：“如果每一个自变量（也叫实数）在定义域内对应唯一的函数值（也叫函数值或者因变量），那么这个便是一个函数。

”b.给出一些图形、表格等的实例，通过分析自变量和因变量之间的关系判断是否为函数。

4.函数的表示方法（20分钟）a.向学生介绍函数的四种常用表示方法：语言、图形、公式和数据表。

b.分别给出几个函数的例子，并要求学生将其转化为其他表示方法。

5.函数的性质（25分钟）a.介绍函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性等性质，并总结性质的概念和判断方法。

b.通过一些练习题让学生巩固理解。

6.解决实际问题（25分钟）a.提供一些实际问题，引导学生根据问题抽象出函数，并通过解析问题确定问题的解答方式。

b.指导学生将问题中的自变量和因变量用数学符号表示，并利用已学的函数的概念与性质解决问题。

c.师生互动，讨论问题的解答方式。

7.归纳总结（15分钟）a.回顾本节课的核心知识点，通过课堂讨论巩固学生对函数的概念和性质的理解。

b.师生共同总结函数的概念与性质，并梳理思路。

四、教学手段1.多媒体教学：通过投影仪呈现图形和表格等案例，增加教学效果；2.板书：重要的概念、定义、公式和思路等；3.课堂讨论：通过小组或全班讨论的方式，激发学生的思维和兴趣；4.教学演示：通过解决实际问题的案例，引导学生掌握函数的定义、表示方法及函数的性质。

函数的概念(单元教学设计)高中数学人教A版2019必修第一册

《函数的概念及其表示》单元教学设计一、内容及其解析（一）内容1 函数的三个要素:定义域，值域，对应关系2 “对应说”的函数概念3 函数的表示法:解析法，图象法，表格法4 分段函数的概念及表示（二）内容解析1. 内容本质：两个数集之间建立对应关系(单射)是函数概念的本质，用集合语言和对应关系刻画函数概念是数学抽象素养得到提升的重要标志。

用解析式、图象与表格等不同方法表示函数，是进一步理解函数、认识函数对应关系f的重要过程，也是数学思维的重要特征。

2 蕴含的思想方法运用函数观察、研究事物的运动与变化及其规律是一种重要的思想，因此，函数思想自然是函数概念与表示教学中最重要的数学思想;在函数的表示中，函数不同表示法之间的转化渗透着数形结合的思想;同时，函数与方程、不等式之间的相互转化，蕴含着等价转化的思想。

3 知识知识的上下位关系:函数是数学的核心概念，是刻画客观世界中运动变化规律的重要数学模型。

在高中阶段，函数不仅贯穿数学学习的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其它领域也有广泛的应用;在高等数学和实际应用中，函数是基本数学对象，是数学建模的重要模型。

4 育人价值：函数所蕴含的集合间的“对应”是一种重要的数学思想与方法，这种思想方法帮助人们在不同事物之间建立联系，并运用这种联系去研究、发现事物变化的规律，掌握事物本身的性质，这对于提高人们的思想认识，指导日常行为有着重要的意义与价值，函数的表示是数学表示的典范，除帮助人们提高抽象能力外，其本质也是建立具体函数到数学符号之间的对应，可以帮助学生进一步体会函数思想的本质，发展学生的数学抽象与直观想象素养.5 教学重点：实例归纳概括函数的基本特征，建立用集合与对应的语言刻画概念，选择适当的方法表示函数二、目标及其解析（一）单元目标1在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

函数概念详细教案设计

函数概念详细教案设计教案主题：函数概念的介绍与应用教案目标：1.理解函数的定义和基本概念。

2.掌握函数的表示方法和性质。

3.能够应用函数解决实际问题。

教学重点：1.函数的定义和基本概念。

2.函数的表示方法和性质。

教学难点：1.函数的应用解决实际问题。

教学资源：1.教材：数学教材《高中数学》。

2.多媒体教学设备。

教学过程：一、导入（5分钟）1.师生互动，询问学生对函数的了解程度，引出本节课的主题。

2.使用多媒体设备展示一些实际问题（如温度的变化、汽车行驶的距离和时间等），引发学生思考。

二、概念解释（10分钟）1.定义：根据实际问题可以得到一个元素与元素之间的唯一对应关系，我们称这种对应关系为函数。

2.函数的表示方法：函数可以通过函数图像、解析式和列表等方式进行表示。

3.函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

三、函数图像与解析式的关系（15分钟）1.使用多媒体设备展示几个函数图像，并与学生一起观察图像特点。

2.引导学生分析函数图像与函数解析式之间的关系，如图像上的每一点都是解析式的一个解，反之亦然。

3.让学生通过具体的例子练习，将函数图像和解析式相互转化。

四、函数的应用（20分钟）1.引导学生思考如何用函数解决实际问题，例如温度变化、买水果的花费等。

2.使用多媒体设备展示一些实际问题，并指导学生分析问题所涉及的变量和函数关系。

3.让学生通过具体的例子练习，运用函数解决实际问题。

五、练习与巩固（15分钟）1.分发练习册，让学生进行练习，巩固函数的概念与应用。

2.引导学生进行讨论，解答他们在练习过程中遇到的问题。

六、拓展与应用（20分钟）1.让学生自主选择一个实际问题，并通过函数进行解决。

2.学生进行小组讨论，互相交流并提出问题。

3.学生展示自己的解决思路和结果。

七、总结（5分钟）1.对本节课的内容进行总结，并强调函数的重要性和应用价值。

2.鼓励学生继续探索函数的应用领域。

教学辅助策略：1.使用多媒体设备展示函数图像和实际问题。

《函数的概念》教学设计(精品)

函数的概念（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数的概念；体会随着数学的发展，函数的概念不断被精炼、深化、丰富.（2）初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义.2．过程与方法（1）回顾初中阶段函数的定义，通过实例深化函数的定义.（2）通过实例感知函数的定义域、值域，对应法则是构成函数的三要素，将抽象的概念通过实例具体化.3．情感、态度与价值观在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想.（二）教学重点与难点重点：理解函数的概念；难点：理解函数符号y = f (x)的含义.（三）教学方法回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法.（四）教学过程示例3 国际上常用恩格尔系数②反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著.备选例题例1 函数y = f (x)表示（ C ）A．y等于f与x的乘积B．f (x)一定是解析式C．y是x的函数D．对于不同的x，y值也不同例2 下列四种说法中，不正确的是（ B ）A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素例3 已知f (x) = x2 + 4x + 5，则f (2) = 2.7 ，f (–1) = 2 .例4 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是平方，它是 R → R 的函数.例5 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（ B ）【解析】取水深2H h ，注水量V ′＞2V ，即水深为一半时，实际注水量大小水瓶总水量的一半，A 中V ′＜2V，C 、D 中V ′=2V ，故排除A 、C 、D.。

函数的概念及其表示法教案

【课题】 3.1 函数的概念及其表示法【教学目标】知识目标：(1) 理解函数的定义； (2) 理解函数值的概念及表示； (3) 理解函数的三种表示方法；(4) 掌握利用“描点法”作函数图像的方法．能力目标：(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．【教学重点】(1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学难点】(1) 对函数的概念及记号)(x f y 的理解； (2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学设计】（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接；（2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平；（3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础；（4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能；（5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】}中的任意一个值，有唯一的值与之对应．两个变量之间的这种对应关系叫做动脑思考探索新知() 1,-+∞0，得12 x．因此函数的定义域为1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦．代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零．0,这个函数与-<x x,0.．但是它们的对应法则不同，因此不是同）尽管表示两个函数的字母不同，但是定义域与对应法则都相同，所以它们是同一个函数．(C)之间的11月29C）随时间）变化的曲线如下图过程行为行为意图间曲线形象地反映出气温T （C ）与时间t （h ）之间的函数关系，这里函数的定义域为[]0,14．对定义域中的任意时间t ，有唯一的气温T 与之对应．例如，当6t =时，气温 2.2T C =︒；当14t =时，气温12.5T C =︒．3. 用S 来表示半径为r 的圆的面积，则2πS r =．这个公式清楚地反映了半径r 与圆的面积S 之间的函数关系，这里函数的定义域为+R ．以任意的正实数0r 为半径的圆的面积为200πS r =．引导分析说明说明启发引领自我体会了解体会领悟从函数的角度讲解公式45*动脑思考探索新知函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种. (1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等都是用列表法来表示函数关系的.用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.(2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系. 例如，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法表示函数关系的.用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.(3)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.总结归纳介绍说明举例说明思考理解记忆观察带领学生总结函数的三种表示方法并了解其各自的特点可以过程行为行为意图间例如，s =60t 2，A =πr 2，S =2πrl ,y =2-x (x2)等都是用解析式表示函数关系的.用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 举例介绍体会了解教给学生自我分析总结 55 *巩固知识典型例题例4 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．分析函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数．解设x 表示购买的铅笔数（支），y 表示应付款额（元），则函数的定义域为{}1,2,3,4,5,6．（1）根据题意得，函数的解析式为0.12y x =，故函数的解析法表示为0.12y x =，{}1,2,3,4,5,6x ∈．（2）依照售价，分别计算出购买1~6支铅笔所需款额，列成表格，得到函数的列表法表示．x /支1 2 3 4 5 6 y /元 0.120.240.360.480.60.72（3）以上表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1，0.12），（2，0.24），（3，0.36），（4，0.48），（5，0.6），（6，0.72），得到函数的图像法表示．归纳由例4的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函质疑说明强调引领讲解启发分析观察体会思考主动求解理解领会通过例题进一步领会函数三种表示方法的特点突出图像的作法数形结合带领过程行为行为意图间数图像”的具体步骤：（1）确定函数的定义域；（2）选取自变量x 的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们对应的函数值y ，列出表格；（3）以表格中x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点(,)x y ；（4）根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线．这种作函数图像的方法叫做描点法．例5 利用“描点法”作出函数x y =的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的点 (求对应函数值时，精确到0.01) ．解（1）函数的定义域为),0[+∞．（2）在定义域内取几个自然数，分别求出对应函数值y ，列表：x0 1 2 3 4 5 …y11.411.7322.24 …（3）以表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（y x ,）．由于(25)255f ==，所以点(25,5)是图像上的点．（4）用光滑曲线联结这些点，得到函数图像.强调归纳总结说明启发引导强调讲解领会理解记忆了解思考求解理解学生总结归纳函数的图像做法特别注意步骤性和细节演示过程中提醒学生注意作图的细节70*运用知识强化练习教材练习3.1.21．判定点()11,2M -，()22,6M -是否在函数13y x =-的图像上．2．市场上土豆的价格是3.2元／kg ，应付款额y 是购买土豆提问巡视指导动手求解交流及时了解学生知识掌握。

函数概念教案

函数概念教案一、教学目标1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2、能根据函数解析式画出函数的图象，并根据图象理解函数的性质。

3、通过对函数概念的学习，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1、函数的概念：函数是一个数学概念，表示两个变量之间的关系，其中一个是自变量，另一个是因变量。

当自变量取一个值时，因变量就相应地取一个值。

2、函数的表示方法：常用的函数表示方法有解析法、表格法和图象法。

解析法是用数学方程来表示函数的关系，表格法是用表格来表示函数的关系，图象法是用图象来表示函数的关系。

3、函数的性质：函数的性质包括单调性、奇偶性和周期性。

单调性是指函数在某个区间内随着自变量的增加，因变量也相应增加；奇偶性是指函数在自变量取相反数时，因变量也相应地取相反数；周期性是指函数在自变量取一定值的周期时，因变量也相应地取一定值的周期。

三、教学步骤1、导入新课：通过实例引入函数的概念，让学生了解函数的基本思想。

2、讲解例题：通过例题的讲解，让学生掌握函数的表示方法，并通过对例题的讲解让学生了解函数的性质。

3、学生练习：让学生自己练习一些基本的函数题目，并让他们自己画函数的图象。

4、课堂讨论：让学生分组讨论一些较为复杂的函数题目，并让他们尝试画出函数的图象。

5、总结回顾：通过回顾和总结，让学生加深对函数概念的理解和掌握。

四、教学难点与重点1、难点：如何让学生理解函数的单调性、奇偶性和周期性。

2、重点：如何让学生掌握函数的表示方法，并能够根据函数的解析式画出函数的图象。

借助函数概念的发展史引入函数概念数学元认知研究现状综述一、引言数学元认知，作为一种高级的认知技能，涵盖了计划、监控和评估数学学习过程的能力。

它是现代教育的关键组成部分，特别是在深入理解和优化学习策略方面。

元认知在数学领域的应用，已经引起了广泛的和研究。

本文将对数学元认知的研究现状进行综述，探讨其重要性、应用领域以及未来的发展趋势。

人教版数学八年级下册第十九章《一次函数》大单元教学设计

（二）教学设想
1.采用情境导入法，通过生活中的实例引出一次函数的概念，激发学生的学习兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.利用多媒体辅助教学，以动态演示一次函数图像的绘制过程，帮助学生直观地理解一次函数的图像与性质。
3.设计丰富的课堂活动，如小组讨论、互助学习等，引导学生主动探究一次函数的性质，培养学生的合作意识和创新能力。
提示：可以从点到直线的距离公式入手，结合一次函数的图像和性质进行分析。
作业要求：
1.作业本需整洁、字迹清晰，解答过程要求简洁、逻辑性强。
2.对于难题和疑问，鼓励同学们主动与同学、老师交流，共同解决。
3.家长签字，监督学生按时完成作业，培养良好的学习习惯。
5.通过变式练习，使学生巩固所学知识，提高解决问题的灵活性和准确性。
（三）情感态度与价值观
在本章节的教学中，学生将形成以下情感态度与价值观：
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习积极性，使学生主动投入到一次函数的学习中。
2.培养学生面对数学问题时的耐心和毅力，使学生遇到困难时能够坚持不懈，勇于克服。
人教版数学八年级下册第十九章《一次函数》大单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节的教学中，学生将通过学习一次函数的概念、图像、性质及应用，达到以下知识与技能目标：
1.理解并掌握一次函数的定义，能够准确识别并写出一次函数的一般形式：y=kx+b（k≠0，k、b为常数）。
2.学会通过观察或解析式，分析一次函数的图像特征，如斜率k的正负与图像的走势，截距b与图像在y轴上的位置等。
3.通过一次函数的学习，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
4.引导学生在学习过程中，学会与他人合作、交流，培养学生的团队精神。

《函数的概念及其表示》教学设计

《函数的概念及其表示》教学设计一、内容和内容解析1.内容：函数的概念．2.内容解析函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具．在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其他学科中也有广泛应用；在高等数学中，函数是基本数学对象；在实际应用中，函数是数学建模的重要基础．学生在初中学习了函数概念，函数定义采用“变量说”．高中阶段要建立函数的“对应关系说”，它比“变量说”更具一般性．与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表述函数概念；明确了定义域、值域，引入抽象符号f x（）．函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x ,数集B中都有唯一确定的y和它对应．这里的关键词是“每一个”和“唯一确定”．集合A，B及对应关系f是一个整体，函数是两个集合的元素间的一种对应关系，这种“整体观”很重要．基于以上分析，确定本节课的教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念．二、目标和目标解析1.目标（1）建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念．=（）的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数．（2）理解y f x（3）在由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程中，培养学生的数学抽象素养．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生从具体实例出发，能在初中“变量说”的基础上，进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素，构建函数的一般概念．（2）学生能在确定变量变化范围的基础上，通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系，理解函数对应关系的本质，体会引入符号 f 表示对应关系的必要性．（3）学生能在不同实例的比较、分析基础上，归纳共性进而抽象出函数概念，体验用数学的眼光看待事物，发展数学抽象素养．三、教学问题诊断分析学生在初中学习函数概念时，没有涉及自变量与函数值的取值范围，也不知道为何要研究变量的取值范围，这是教学中首先遇到的问题．教学中应结合教科书实例1与实例2的分析、比较，让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必要性．如何认识函数的对应关系，就成为了第二个教学问题．教学中，要让学生通过三个实例建立解析式、图象、表格与函数对应关系的联系，通过具体的解析式、图象与表格去体会变量之间如何对应，由此抽象出函数的对应关系f 的本质．在对三个实例分析的基础上，学生认识到了函数自变量的取值范围、函数值的取值范围及对应关系对于函数的重要性，但是如何在此基础上让学生进行归纳、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学抽象素养，成为第三个教学问题，这也是本节课的教学难点．教学中可以将三个实例各自得到的三个要素表格化，让学生从表格中抽象出函数要素及其表示，并在此基础上给出一般的函数概念．在得出函数概念后，如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数，建立知识之间的联系，是第四个教学问题．教学中，除让学生按函数定义，仿照三个实例的分析去具体表述一次函数、二次函数、反比例函数外，还必须重视让学生采用教科书中的练习题与习题进行练习，也可以根据学生的学习状态适当增加一些题目供练习．四、教学支持条件分析本节课的教学重点是认识函数要素并建立函数概念，会涉及函数值的计算、图象的运用及分析所得信息，因此可以借助于信息技术解决以上问题，以让学生有更多的时间用于观察与思考函数的基本要素和抽象概念上．五、教学过程设计引导语：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x ,而且对于每一个确定的x 都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数，这个函数与正比例函数y=4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y=x与2=xyx是否相同吗？要解决些问题，就需要进一步学习函数概念．（一）函数概念的抽象问题1：请同学们根据如下情境回答问题．某高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．（1）这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？（2）如果有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km．”你认为这个说法正确吗？（3）你认为如何表述S与t的对应关系才能更精确？师生活动：教师给出问题后让学生先独立思考并写出回答要点，并提醒学生先不要看教科书．学生对问题（3）可能会有困难，教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范．设计意图：问题（1）是为了让学生回顾初中所学数概念，用“是否满足定义要求”来回答问题；问题（2）是要激发认知冲突，发现其中的不严谨；问题（3）是为了让学生关注到t 的变化范围，并尝试用精确的语言表述．问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天，如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：（1）你认为该怎样确定一个工人的每周的工资？（2）一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d 的函数吗？（3）你能仿照问题1中对S与t 的对应关系的精确表述，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表述吗？追问：问题1和2中函数的对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？师生活动：学生阅读题目后，自主回答．设计意图：问题（1）是引导学生使用不同表示方法，例如表1的形式：表1解析式w=350d ；等等．问题（3）是让学生模仿问题1的方法给出描述既让他们熟悉表述方法，又训练抽象概括能力．通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题．问题3：图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．（1）如何根据该图确定这一天内任一时刻t h 的空气质量指数（AQI ）的值I ？（2）你认为这里的I 是t 的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述I 与t 的对应关系吗？图1师生活动：给学生适当时间阅读思考，有些学生可能认为 I 不是时间 t 的函数，对此可进行如下追问．追问：（1）你能根据图1找到中午12时的AQI 的值吗？这个值是否唯一存在？（2）对于数集3 024A t t =｛|≤≤｝中的任意一个值，你会用什么方法寻找此时对应的I 值？在追问的基础上，教师阐释：因为对于数集3 024A t t =｛|≤≤｝中的任意一个值t ，都有唯一确定的AQI 的值与之对应，所以，我们可以根据初中所学的函数定义，得出I 是t 的函数，而且还可以断定I 的取值范围也是确定的，不过从图中我们不能确定这个范围．如果我们设I 的取值范围是C ，那么从图中可以确定，33 0150C B I I ⊆=｛|＜＜｝．这样，我们可以把I 与t 的对应关系描述为：对于数集3A 中的任一时刻t ，按照图1中曲线所给定的对应关系，在数集3B 中都有唯一确定的AQI 的值I 与之对应，因此I 是t 的函数．设计意图：学生根据图象描述对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的．实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射．为此，在问题（1）之后，先让学生认可图象表示一个函数，然后再通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点．这里，只要学生能够理解I 是t 的函数，并能够接受这种描述方式就可以了．问题4：上述问题1到问题3中的函数有哪些共同特征？由此你概括出函数的本质特征吗？师生活动：给学生充分思考的时间，可以给出表2帮助学生思考，引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程．表2教师引导学生得出：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．在上述归纳的基础上，教师先讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系．然后给出函数的一般性定义，并解释函数的记号y f x∈．=（），x A设计意图：让学生通过归纳三个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念．在此过程中，要突破“如何在三个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学抽素养”这一难点，突出“在学生初中已有函数认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征(要素)，用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点．(二)函数概念的初步应用问题5：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？师生活动：在学生思考后，教师用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习．设计意图：用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系与值域是函数的三要素．（三）区间的概念研究函数时常会用到区间的概念．设a，b 是两个实数，而且a＜b．我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）；（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［a，b），（a，b］．这里的实数a 与 b 都叫做相应区间的端点．这些区间的几何表示如表3 所示．在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．表3实数集R可以用区间表示为（－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．如下表，我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合，用区间分别表示为［a，＋∞），（a，＋∞），（－∞，b］，（－∞，b）．（四）函数的三要素问题6：如何判断两个函数相等？问题１和问题２中函数的对应关系相同，你认为它们是同一函数吗？由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．两个函数如果仅有对应关系相同但定义域不相同，那么它们不是同一个函数．例如，前面的问题１和问题２中，尽管两个函数的对应关系都是 y = 350x ，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是R ，而是R 的真子集，因此它们与正比例函数 y = 350x （x ∈R ）也不是同一个函数．问题7：函数2u t =，()t -∞+∞∈，，2s r =，()r ∈-∞+∞，与2y x =，()x ∈-∞+∞，，是同一个函数吗？虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数．例1 下列函数中哪个函数与函数 y = x 是同一个函数？（1）2y =；（2）u =（3）y =（4）2n m n=．师生活动：先由学生思考，之后教师示范（1）：2y x ==（|0x x x ∈｛≥｝），它与函数y = x （x ∈R ）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与y = x （x ∈R ）不是同一个函数．学生练习（2）～（4）．设计意图：进一步强化学生明确函数的三要素，抓住函数的本质．例2 已知函数12f x x =+（）．（1）求函数的定义域；（2）3f -（），23f （）的值．（3）当0a ＞时，求f a （），1f a -（）．分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y f x=（），而没有指明它的定义域，那么函数的定义域指能使这个式子有意义的实数的集合．解：（1有意义的实数x的集合是| 3x x-{≥}，使分式12x+有意义的实数x的集合是| 2x x≠-｛｝．所以，这个函数的定义域是| 2|23 3|x xx x xxx≠-=--≠-｛｝≥，且｛{≥}｝．即322+---[，）（，∞）．（2）将-3与23代入解析式，有1(3)132f+==---；2133238823f+==（）=（3）因为0a＞，所以f a（），1f a-（）有意义．12f aa=+（）；111121f aa a-=-++（）．练1 求下列函数的定义域：（1）147f xx=+（）；（2）1f x=（）．解：使分式147x+有意义的实数x的集合是74xx⎧≠-⎫⎨⎬⎩⎭．所以，这个函数的定义域是74xx⎧≠-⎫⎨⎬⎩⎭，即77+44---（∞，）（，∞）．（2x的集合是| 1x x{≤}有意义的实数x 的集合是| 3x x-{≥}，所以，这个函数的定义域是| 1 | 3 31|x xx x x x--={≤}{≥}≤｛≤｝．即31-[，]．练2 已知函数332f x x x =+（）．（1）求2f （），2f -（），2+2f f -（）（）的值；（2）求f a （），f a -（），+f a f a -（）（）的值．解：（1）将2代入解析式，有32322228f =⨯+⨯=（）；将-2代入解析式，有32322228f -=⨯-+⨯-=-（）（）（）； 2+228+280f f -=-=（）（）（）．（2）333232f a a a a a =⨯+⨯=+（）； 333232f a a a a a -=⨯-+⨯-=--（）（）（）；33+32+320f a f a a a a a -=+--=（）（）（）．练3判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）1f x =（）和0gx x =（）．解：（1）21305h t t =-（|026t t t ∈｛≤≤｝），它与函数21305y x x =-（x ∈R ）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以不是同一个函数；（2）1f x =（）（x ∈R ）和01g x x ==（）（|0x x x ∈≠｛｝）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以不是同一个函数．（五）课堂小结教师引导学生回顾本节课的学习内容．师生活动：教师进行总结．要强调如下几点：（1）函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准；（2）要通过具体例子理解函数的对应关系f 的特征，特别是对于“A 中任意一个数”“ B 中都有唯一确定的数”等关键词的含义要认真体会；（3）对应关系f 的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式，但它们的实质相同，在后续的学习中要注意积累用适当的方式表示函数的经验；等等．设计意图：引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程，关键词的理解等角度进行小结，进一步加深对函数概念的理解．（六）布置作业教材72页——习题3.11．复习巩固1，2，4．2．综合应用10．六、目标检测设计1．近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况．（1）臭氧层空洞的面积是时间的函数，这个函数的对应关系是；（2）上述函数的定义域是；值域是．设计意图：考查学生对函数三个要的认识，巩固函数概念．2．习题3.1第8题．设计意图：考查学生运用函数概念刻画实际问题的能力．。

高中数学必修一《3 1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√x x,g(x)=√x;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四求函数的定义域例4 求下列函数的定义域: (1)y=(x+2)|x |-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−1√2-x+1x的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32. ∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五求函数值（域）例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x ； ④y ＝2x －√x −1. 【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2. 【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。

《函数的概念》教学设计

《函数的概念》教学设计第一篇：《函数的概念》教学设计《函数的概念》教学设计教材分析：函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。

在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段对函数的概念加入“对应”，这一章内容渗透了函数的思想、特殊到一般，数形结合思想，从感性到理性,数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深刻的影响教学目标：知识与技能：（1）理解函数的概念，;（2）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

2过程与方法：通过学生自身对实际问题分析、抽象与概括，培养了抽象、概括、归纳知识以及建模等方面的能力；3情感与价值观：以熟知的生活实例引入，激发了学习数学的兴趣，增强其数学应用意识、创新意识。

相互合作学习，增强其合作意识体会合作学习的重要性。

教法：启发探究为主，讨论法为辅学法：观察分析、自主探究、合作交流教学重点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学难点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学过程：一、复习引入：．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和，对于x的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，此时是x的函数，x是自变量，是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法二、概念情景引入：思考1：（本P1）给出三个实例：A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为84米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。

B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。

（见本P1图）．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。

立足大概念,细化函数大单元整体教学内容及课时安排

立足大概念，细化函数大单元整体教学内容及课时安排一、大概念概述函数是数学中的核心概念，它描述了一种变量与另一种变量之间的关系。

在初中和高中阶段，学生需要逐步掌握函数的基本概念、性质、图像及其变换等。

通过深入学习函数，学生不仅能够培养逻辑思维能力，还能够解决实际应用问题。

二、教学内容细化1. 函数的基本概念：定义域、值域、对应关系等。

2. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。

3. 函数的图像：绘制基本函数的图像，如一次函数、二次函数、反比例函数等。

4. 函数的变换：平移、伸缩、对称等变换。

5. 函数的应用：解决实际问题，如最优化问题、方程求解等。

三、课时安排1. 第1-2课时：函数的基本概念及性质。

重点讲解函数的定义、定义域、值域及基本性质，如单调性、奇偶性等。

通过例题和练习，使学生初步掌握函数的基本概念和性质。

2. 第3-4课时：函数的图像及变换。

通过绘制基本函数的图像，让学生直观感受函数的形状和变化。

同时，介绍函数的平移、伸缩、对称等变换，培养学生的空间想象能力。

3. 第5-6课时：函数的综合应用。

通过解决实际问题，如最优化问题、方程求解等，让学生体会函数在实际生活中的应用价值。

同时，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

4. 第7-8课时：复习与测试。

对本单元所学内容进行复习，并进行测试以检验学生的学习成果。

根据测试结果，进行针对性的补充和强化。

四、教学建议1. 在教学过程中，要注重培养学生的数学思维能力和问题解决能力，鼓励学生积极参与课堂讨论和实践活动。

2. 要注重理论与实践相结合，通过实际问题引入函数概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系。

3. 要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生提供不同的教学支持和辅导，确保每个学生都能够理解和掌握函数的基本概念和性质。