新人教版数学八下小专题( 四 ) 中点四边形问题

顺次连接四边形各边中点所得的四边形称之为中点四边形.根据三角形的中位线定理可知,中点四边形一定是平行四边形,且中点四边形的面积是原来四边形面积的一半.如果原来的四边形是平行四边形或特殊的平行四边形,其中点四边形又会呈现更多的性质.
类型1判断中点四边形的形状
先根据已知四边形的条件得出中点四边形的边、角、对角线等具有的特征,再根据这些特征判断它的形状.
1.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所得图形一定是( C)
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
2.( 改编)如图,在△ABC和△DCE中,BC=AC,DC=CE,∠ACB=∠DCE=90°,且AB,BE,DE,AD 的中点分别是点M,N,P,Q.问:四边形MNPQ是何种特殊的平行四边形?
解:四边形MNPQ是菱形.理由如下:
连接AE,BD,∵AB,BE,DE,AD的中点分别是点M,N,P,Q,
∴MN∥AE,PQ∥AE,MQ∥BD,NP∥BD,MN=AE,MQ=BD,∴MN∥PQ,MQ∥NP,
∴四边形MNPQ是平行四边形.
在△BCD和△ACE中,
∴△BCD≌△ACE( SAS ),∴BD=AE,∴MN=MQ,
∴平行四边形MNPQ是菱形.
类型2探求中点四边形的性质
先判断中点四边形是何种特殊的平行四边形,再根据这种特殊的平行四边形具有的性质解决问题.
3.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC=3,BD=2,则四边形EFGH的周长为( B)
A.4
B.5
C.6
D.7
4.如图,O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.
( 1 )求证:四边形DEFG是平行四边形;
( 2 )若M为EF的中点,OM=5,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
解:( 1 )∵边AB,OB,OC,AC的中点分别为D,E,F,G,
∴DG∥BC,EF∥BC,DG=BC,EF=BC,
∴DG∥EF,DG=EF,
∴四边形DEFG是平行四边形.
( 2 )∵∠OBC和∠OCB互余,
∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°.
∵M为EF的中点,∴OM=EF.
∴DG=EF=2OM=10.
类型3计算中点四边形的面积
综合原四边形与中点四边形的性质,根据图形的面积公式解决问题.
5.两个直角三角板ABD和BDC按照如图的方式拼成一个四边形ABCD,∠A=45°,∠
DBC=30°,AB=6,E,F,G,H分别是各边的中点,则四边形EFGH的面积等于9+3.
6.如图,四边形ABCD中,E,F,G,H依次是各边的中点,O是四边形ABCD内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为4,5,7,求四边形DHOG的面积.
解:连接OC,OB,OA,OD.
∵E,F,G,H依次是各边的中点,
∴△OAE和△OBE等底等高,
∴S△OAE=S△OBE.
同理可证,S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH,
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE.
∵S四边形AEOH=4,S四边形BFOE=5,S四边形CGOF=7,
∴4+7=5+S四边形DHOG,
∴S四边形DHOG=6.。